GPS坐標(biāo)時(shí)間序列論文文獻(xiàn)綜述

1、文獻(xiàn)綜述摘要：通過對(duì)數(shù)據(jù)一系列處理，運(yùn)用三階自回歸AR（3）模型擬合gps坐標(biāo)時(shí)間序列，由于gps坐標(biāo)時(shí)間序列數(shù)據(jù)之間的相關(guān)關(guān)系，且歷史數(shù)據(jù)對(duì)未來的發(fā)展有一定影響，并對(duì)未來的電力增長(zhǎng)進(jìn)行預(yù)測(cè)。理論準(zhǔn)備：拿到一個(gè)觀測(cè)值序列之后，首先要判斷它的平穩(wěn)性，通過平穩(wěn)性檢驗(yàn)，序列可分為平穩(wěn)序列和非平穩(wěn)序列兩大類。如果序列值彼此之間沒有任何向關(guān)性，那就意味著該序列是一個(gè)沒有任何記憶的序列，過去的行為對(duì)將來的發(fā)展沒有絲毫影響，這種序列我們稱之為純隨機(jī)序列，從統(tǒng)計(jì)分析的角度而言，純隨機(jī)序列式?jīng)]有任何分析價(jià)值的序列。如果序列平穩(wěn)，通過數(shù)據(jù)計(jì)算進(jìn)行模型擬合，并利用過去行為對(duì)將來的發(fā)展預(yù)測(cè)，這是我們所期望得到的結(jié)果。

2、可采用下面的流程操作。關(guān)鍵字：gps坐標(biāo)時(shí)間序列 時(shí)間序列分析 數(shù)據(jù) 預(yù)測(cè)1、 前言GPS坐標(biāo)時(shí)間序列分析原來是“概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)”領(lǐng)域當(dāng)中的一個(gè)重要分支，其中有國際著名的學(xué)術(shù)雜志“時(shí)間序列分析”。由于在過去的二十幾年當(dāng)中，時(shí)間序列分析方法在經(jīng)濟(jì)學(xué)的定量分析當(dāng)中獲得了空前的成功應(yīng)用，因此所出現(xiàn)的“時(shí)間序列計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)”已經(jīng)成為了“實(shí)證宏觀經(jīng)濟(jì)學(xué)”的同意語或者代名詞。由此可見，作為宏觀經(jīng)濟(jì)研究，甚至已經(jīng)涉及到微觀經(jīng)濟(jì)分析，時(shí)間序列分析方法是十分重要的。時(shí)間序列分析方法之所以在經(jīng)濟(jì)學(xué)的實(shí)證研究中如此重要，其主要原因是經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)大多具有時(shí)間屬性，都可以按照時(shí)間順序構(gòu)成時(shí)間序列，而時(shí)間序列分析正是分析這些

3、時(shí)間序列數(shù)據(jù)動(dòng)態(tài)屬性和動(dòng)態(tài)相關(guān)性的有力工具。從一些典型的研究案例中可以看出，時(shí)間序列分析方法在揭示經(jīng)濟(jì)變量及其相關(guān)性方法取得了重要進(jìn)展。目前關(guān)于時(shí)間序列分析的教科書和專著很多。僅就時(shí)間序列本身而言的理論性論著也很多，例如本課程主要參考的Hamilton的“時(shí)間序列分析”，以及Box和Jankins的經(jīng)典性論著“時(shí)間序列分析”；近年來出現(xiàn)了兩本專門針對(duì)經(jīng)濟(jì)學(xué)和金融學(xué)所編寫的時(shí)間序列專著，這也是本課程主要參考的教材。另外需要注意的是，隨著平穩(wěn)性時(shí)間序列方法的成熟和解決問題所受到的局限性的暴露，目前研究非平穩(wěn)時(shí)間序列的論著也正在出現(xiàn)，其中帶有結(jié)構(gòu)性特征的非平穩(wěn)時(shí)間序列分析方法更是受到了廣泛重視。二、

4、本實(shí)驗(yàn)采用2000-012004-11月gps坐標(biāo)時(shí)間序列數(shù)據(jù)做時(shí)間序列分析模型，數(shù)據(jù)如下：2000.15.4%2001.98.8%2003.513.4%2000.215.3%2001.108.5%2003.613.1%2000.37.1%2001.117.4%2003.715.2%2000.46.9%2001.129.6%2003.815.5%2000.512.8%2002.115.4%2003.915.5%2000.612.5%2002.2-3.2%2003.1014.8%2000.713.5%2002.36.2%2003.1115.6%2000.810.6%2002.410.6%2003

5、.1213.4%2000.97.0%2002.58.5%2004.15.9%2000.109.3%2002.613.4%2004.224.7%2000.119.4%2002.711.4%2004.315.4%2000.128.5%2002.813.7%2004.416.2%2001.10.1%2002.918.6%2004.516.6%2001.212.8%2002.1016.1%2004.614.3%2001.39.8%2002.1117.1%2004.711.7%2001.47.7%2002.1214.6%2004.812.1%2001.57.7%2003.110.7%2004.911.8

6、%2001.68.4%2003.223.2%2004.1015.8%2001.710.2%2003.316.2%2004.1114.4%2001.86.3%2003.414.1%首先對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行平穩(wěn)性與純隨機(jī)性的檢驗(yàn)與判別（一） 平穩(wěn)性的檢驗(yàn)我們先采用圖示法，時(shí)序圖如下：由圖所示，該序列有很大的波動(dòng)，周期性不明顯。更重要的是該序列的上升或下降趨勢(shì)并不明顯，基本可以確認(rèn)該序列是平穩(wěn)的，但直觀感受不能認(rèn)定它就是平穩(wěn)的，需進(jìn)一步做檢驗(yàn)。樣本自相關(guān)圖如下:根據(jù)序列自相關(guān)圖可以看出：該序列具有短期相關(guān)性，就是隨著延期數(shù)的增加，平穩(wěn)序列的自相關(guān)系數(shù)很快地接近于零，自相關(guān)圖大部分都在2倍的標(biāo)準(zhǔn)差范圍內(nèi)。所以確

7、認(rèn)該序列就是平穩(wěn)序列。下面進(jìn)行純隨機(jī)性檢驗(yàn)：由自相關(guān)圖可以知道，該序列延遲16期的自相關(guān)系是0.285 0.318 0.418 0.288 0.346 0.282 0.212 0.276 0.211 0.185 0.102 0.087 0.164 0.137 0.063 0.019 延遲期的Q 統(tǒng)計(jì)值和對(duì)應(yīng)得P值如圖：由于Q統(tǒng)計(jì)值都很大，而對(duì)應(yīng)的P值都小a，所以拒絕該序列是白噪聲的假設(shè)，故該序列是非純隨機(jī)序列。三、對(duì)模型的識(shí)別，我們做出自相關(guān)和偏子相關(guān)圖。由于該序列的自相關(guān)系數(shù)大部分落入2倍標(biāo)準(zhǔn)差范圍內(nèi)，而且自相關(guān)系數(shù)衰減為零的速度很慢，所以表現(xiàn)出拖尾性，而偏自相關(guān)系數(shù)的三階在二倍標(biāo)準(zhǔn)差范圍外

8、，其他衰減為零的速度很快，所以表現(xiàn)出三階截尾性，所以可斷定該模型是AR(3)模型，即三階自回歸模型。一、 我們采用最小二乘法進(jìn)行參數(shù)估計(jì)：從圖中我們可以得出模型為： 二、 對(duì)模型進(jìn)行檢驗(yàn)（一）參數(shù)的顯著性檢驗(yàn)，如圖由于以上參數(shù)的t值顯著大于2，p值小于0.05，所以拒絕參數(shù)不顯著的假設(shè)，即認(rèn)為這些參數(shù)是顯著的。（二） 模型的顯著性檢驗(yàn)主要對(duì)殘差的白噪聲檢驗(yàn)，如圖：由殘差序列的自相關(guān)與偏自相關(guān)的延遲階數(shù)k下的Q統(tǒng)計(jì)值的p值都顯著大于0.05，可認(rèn)為該擬合模型的殘差序列屬于白噪聲序列，即該擬合模型顯著有效。四、模型優(yōu)化模型優(yōu)化主要有兩個(gè)準(zhǔn)則AIC和SBC準(zhǔn)則我們主要采用施瓦茲準(zhǔn)則，分別對(duì)AR（1）

9、、AR（2）、AR（3）進(jìn)行檢驗(yàn)，結(jié)果依次如下：圖表 1AR（1）圖表 2AR（2）圖表 3AR（3）通過比較可知：各模型中的Schwarz criterion(施瓦茲準(zhǔn)則)值在ar(3)模型中最小，所以ar(3)模型是相對(duì)優(yōu)化模型。六、預(yù)測(cè)序列未來走勢(shì)根據(jù)模型對(duì)未來五年做以下預(yù)測(cè)，如圖：預(yù)測(cè)模型12 月 20041 月 20052 月 20053 月 20054 月 2005V2-模型_1預(yù)測(cè).1344.0941.1647.1285.1301UCL.2121.1734.2455.2108.2138LCL.0567.0149.0840.0463.0464對(duì)于每個(gè)模型，預(yù)測(cè)都在請(qǐng)求的預(yù)測(cè)時(shí)間段范

10、圍內(nèi)的最后一個(gè)非缺失值之后開始，在所有預(yù)測(cè)值的非缺失值都可用的最后一個(gè)時(shí)間段或請(qǐng)求預(yù)測(cè)時(shí)間段的結(jié)束日期（以較早者為準(zhǔn)）結(jié)束。同時(shí)做出未來五年預(yù)測(cè)值的置信區(qū)間：故預(yù)測(cè)未來五年電廠電力增長(zhǎng)率分別為：0.1344、0.0941、0.1647、0.1285、0.1301，從數(shù)據(jù)中我們可以發(fā)現(xiàn)增長(zhǎng)狀況相對(duì)來講波動(dòng)不算太大，基本趨于穩(wěn)定。5、 gps坐標(biāo)時(shí)間序列具體計(jì)算一元ARMA模型是描述時(shí)間序列動(dòng)態(tài)性質(zhì)的基本模型。通過介紹ARMA模型，可以了解一些重要的gps坐標(biāo)時(shí)間序列的基本概念。1 預(yù)期、平穩(wěn)性和遍歷性1.1 預(yù)期和隨機(jī)過程假設(shè)可以觀察到一個(gè)樣本容量為的隨機(jī)變量的樣本：這意味著這些隨機(jī)變量之間的是

11、相互獨(dú)立且同分布的。例3.1 假設(shè)個(gè)隨機(jī)變量的集合為：，且相互獨(dú)立，我們稱其為高斯白噪聲過程產(chǎn)生的樣本。對(duì)于一個(gè)隨機(jī)變量而言，它是t時(shí)刻的隨機(jī)變量，因此即使在t時(shí)刻實(shí)驗(yàn)，它也可以具有不同的取值，假設(shè)進(jìn)行多次試驗(yàn)，其方式可能是進(jìn)行多次整個(gè)時(shí)間序列的試驗(yàn)，獲得I個(gè)時(shí)間序列：，將其中僅僅是t時(shí)刻的觀測(cè)值抽取出來，得到序列：，這個(gè)序列便是對(duì)隨機(jī)變量在t時(shí)刻的I次觀測(cè)值，也是一種簡(jiǎn)單隨機(jī)子樣。定義3.1 假設(shè)隨機(jī)變量是定義在相同概率空間上的隨機(jī)變量，則稱隨機(jī)變量集合為隨機(jī)過程。例3.2 假設(shè)隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)為：此時(shí)稱此時(shí)密度為該過程的無條件密度，此過程也稱為高斯過程或者正態(tài)過程。定義3.2 可以利

12、用各階矩描述隨機(jī)過程的數(shù)值特征：(1) 隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望定義為(假設(shè)積分收斂)：此時(shí)它是隨機(jī)樣本的概率極限：(2) 隨機(jī)變量的方差定義為(假設(shè)積分收斂):例3.3 (1) 假設(shè)是一個(gè)高斯白噪聲過程，隨機(jī)過程為常數(shù)加上高斯白噪聲過程：，則它的均值和方差分別為：(2) 隨機(jī)過程為時(shí)間的線性趨勢(shì)加上高斯白噪聲過程：，則它的均值和方差分別為：1.2 隨機(jī)過程的自協(xié)方差將j個(gè)時(shí)間間隔的隨機(jī)變量構(gòu)成一個(gè)隨機(jī)向量，通過隨機(jī)試驗(yàn)可以獲得該隨機(jī)向量的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本。假設(shè)函數(shù)為隨機(jī)向量的聯(lián)合概率分布密度，則可以類似地定義：定義3.3 隨機(jī)過程的自協(xié)方差定義為：上述協(xié)方差可以利用聯(lián)合概率分布密度求解。1.3 平穩(wěn)性

13、定義：假設(shè)隨機(jī)過程的均值函數(shù)和協(xié)方差函數(shù)與時(shí)間無關(guān)，則稱此過程是協(xié)方差平穩(wěn)過程，也稱為弱平穩(wěn)過程。此時(shí)對(duì)任意時(shí)間有：例3.4 (1) 假設(shè)隨機(jī)過程為常數(shù)加上高斯白噪聲過程：，則它的均值和方差與時(shí)間無關(guān)，因此該過程是協(xié)方差平穩(wěn)過程。(2) 假設(shè)隨機(jī)過程為時(shí)間的線性趨勢(shì)加上高斯白噪聲過程：，則它的均值為：，它依賴時(shí)間，因此它不是協(xié)方差平穩(wěn)過程。由于協(xié)方差平穩(wěn)過程僅僅依賴時(shí)間間隔，因此有：定義：假設(shè)隨機(jī)過程滿足條件：對(duì)于任意正整數(shù)值，隨機(jī)向量的聯(lián)合概率分布只取決于時(shí)間間隔，而不依賴時(shí)間，則稱該過程是嚴(yán)格平穩(wěn)過程，簡(jiǎn)稱為嚴(yán)平穩(wěn)過程。如果一個(gè)隨機(jī)過程是嚴(yán)平穩(wěn)過程，而且具有有限的二階矩，則該過程一定是協(xié)方

14、差平穩(wěn)過程，即寬平穩(wěn)過程。但是，一個(gè)寬平穩(wěn)過程卻不一定是嚴(yán)平穩(wěn)過程。例3.4 假設(shè)隨機(jī)過程是具有高斯分布的高斯過程，如果該過程是寬平穩(wěn)過程，則此過程一定是嚴(yán)平穩(wěn)過程。1.4 遍歷性遍歷性是時(shí)間序列中非常重要的。對(duì)于時(shí)間序列而言，我們可以得到一個(gè)隨著時(shí)間順序的樣本觀測(cè)值：，對(duì)此可以得到一個(gè)時(shí)間平均值：定義：假設(shè)時(shí)間序列是一個(gè)平穩(wěn)過程，如果時(shí)間平均值按照概率收斂到總體平均值，則稱該隨機(jī)過程是關(guān)于均值遍歷的。遍歷性是平穩(wěn)時(shí)間序列非常重要的一個(gè)性質(zhì)，如果一個(gè)平穩(wěn)時(shí)間序列是遍歷的，那么它在每個(gè)時(shí)點(diǎn)上的樣本矩性質(zhì)(均值和協(xié)方差等)就可以在不同時(shí)點(diǎn)上的樣本中體現(xiàn)出來。這就是遍歷性的含義。定理：如果一個(gè)協(xié)方差

15、平穩(wěn)過程，如果自協(xié)方差函數(shù)滿足：則隨機(jī)過程是關(guān)于均值遍歷的。定義：假設(shè)時(shí)間序列是一個(gè)協(xié)方差平穩(wěn)過程，如果樣本協(xié)方差按照概率收斂到總體協(xié)方差，即則稱該過程是關(guān)于二階矩遍歷的。高階矩遍歷意味著過程不同時(shí)間上的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)更接近同一時(shí)點(diǎn)上的隨機(jī)抽樣性質(zhì)。例3.4 如果隨機(jī)過程是高斯協(xié)方差平穩(wěn)過程，則它是均值遍歷過程，也是二階矩遍歷過程。一般情況下，平穩(wěn)性和遍歷性之間沒有必然聯(lián)系，下面的例子可以說明這一點(diǎn)。例3.5 假設(shè)隨機(jī)過程的均值過程滿足：其中均值滿足：，是獨(dú)立的白噪聲過程。因?yàn)椋鲜奖砻?，該過程是協(xié)方差平穩(wěn)過程，但是由于因此，該過程不是均值遍歷過程。2 移動(dòng)平均過程2.1 一階移動(dòng)平均過程假設(shè)是白噪

16、聲過程，考慮下述隨機(jī)過程：其中和是任意常數(shù)。由于這個(gè)隨機(jī)過程依賴最近兩個(gè)時(shí)間階段的的加權(quán)平均，因此稱此過程為一階移動(dòng)平均過程，表示為。下面我們通過求解過程的均值函數(shù)和協(xié)方差函數(shù)來說明它是一個(gè)寬平穩(wěn)過程。求解均值函數(shù)為：一階自協(xié)方差為：對(duì)于更高階的自協(xié)方差，則有：上述結(jié)果表明，過程是一個(gè)平穩(wěn)隨機(jī)過程。注意到：因此，也是均值遍歷過程。定義：將協(xié)方差平穩(wěn)過程的第j個(gè)自相關(guān)系數(shù)表示為，則有：根據(jù)相關(guān)系數(shù)的定義：根據(jù)Cauchy-Schwarz不等式，可知所有自相關(guān)系數(shù)絕對(duì)值不會(huì)超過1。對(duì)于MA(1)過程而言，它的自相關(guān)系數(shù)為：自相關(guān)系數(shù)也被稱為自相關(guān)函數(shù)，它度量隨著時(shí)間間隔的變化，隨機(jī)過程不同時(shí)點(diǎn)之間

17、的相關(guān)性。即使具有相同的自相關(guān)函數(shù)，所對(duì)應(yīng)的隨機(jī)過程性質(zhì)可能也是不同的。2.2 階移動(dòng)平均過程推廣MA(1)過程中的滯后階數(shù)，可以得到下面表示為的階移動(dòng)平均過程：其中殘差仍然是白噪聲過程，系數(shù)可以是任意實(shí)數(shù)。(1) 過程的均值直接計(jì)算均值函數(shù)為：(2) 過程的自協(xié)方差首先計(jì)算方差為：其次計(jì)算自協(xié)方差，當(dāng)時(shí)間間隔時(shí)：當(dāng)時(shí)間間隔時(shí)，則有：對(duì)于過程而言，則有：，顯然，對(duì)于任意階數(shù)的移動(dòng)平均過程，均是協(xié)方差平穩(wěn)的。因此，移動(dòng)平均過程的平穩(wěn)性對(duì)于參數(shù)沒有任何要求。(3) 過程的自相關(guān)函數(shù)根據(jù)自相關(guān)函數(shù)(ACF函數(shù))的定義，可以得到過程的自相關(guān)函數(shù)為：，上述ACF函數(shù)的典型性質(zhì)是它僅有兩個(gè)突出點(diǎn)，當(dāng)時(shí)間間

18、隔大于2個(gè)階段以后，ACF函數(shù)便快速地收斂到零。如果一個(gè)隨機(jī)過程的ACF函數(shù)體現(xiàn)出這樣的性質(zhì)，便可以推斷它的數(shù)據(jù)生成過程(data generating process，簡(jiǎn)稱為DGP)可能是一個(gè)MA(2)過程。2.3 無限階移動(dòng)平均過程無限階移動(dòng)平均過程是過程的進(jìn)一步推廣，令，得到過程的表達(dá)式為：為了與有限階移動(dòng)平均參數(shù)加以區(qū)別，上述移動(dòng)平均系數(shù)利用符號(hào)表示。如果假設(shè)移動(dòng)平均系數(shù)是平方可加的，即：可以證明上述表示按照均方收斂到一個(gè)隨機(jī)變量，因此確實(shí)定義了一個(gè)隨機(jī)過程。可以對(duì)于系數(shù)加以更強(qiáng)的條件，即假設(shè)是絕對(duì)可加的，即滿足：可以證明絕對(duì)可加可以推導(dǎo)出平方可加，但是反之不然。系數(shù)絕對(duì)可加的無限階移

19、動(dòng)平均過程是平穩(wěn)過程，其均值和協(xié)方差函數(shù)可以表示為：可以證明，當(dāng)移動(dòng)平均系數(shù)絕對(duì)可加時(shí)，自協(xié)方差也是絕對(duì)可加的：因此過程是關(guān)于均值遍歷的。3自回歸過程上面我們介紹的移動(dòng)平均過程是將一個(gè)隨機(jī)過程表示為隨機(jī)殘差的移動(dòng)平均，當(dāng)期隨機(jī)過程的實(shí)現(xiàn)沒有受到過程前期取值的直接影響。如果隨機(jī)過程取值對(duì)后繼取值產(chǎn)生影響，則可以利用自回歸過程表示這樣隨機(jī)過程的基本特征。3.1 一階自回歸過程AR (1)假設(shè)隨機(jī)過程當(dāng)期取值依賴前一個(gè)階段的取值，如此隨機(jī)過程可以利用下面一階自回歸過程AR (1)表示：其中仍然是白噪聲過程。顯然如此自回歸過程可以表示為線性差分方程形式：，根據(jù)線性差分方程的性質(zhì)可知，如果自回歸系數(shù)，外

20、生擾動(dòng)的作用將不斷累積，導(dǎo)致該過程具有逐漸增加的均值和方差，因此該過程將不是平穩(wěn)過程。為此，我們限制自回歸系數(shù)滿足：，這是一階自回歸過程平穩(wěn)的約束條件。根據(jù)差分方程解的公式，可以得到：根據(jù)上述過程表達(dá)式，可以知道：(1) 過程的均值函數(shù)為：(2) 過程的方差為：(3) 過程的協(xié)方差函數(shù)為：(4) 過程的自相關(guān)函數(shù)為：，當(dāng)平穩(wěn)性條件滿足時(shí)，上述自相關(guān)函數(shù)收斂到零，但是收斂的方式依賴的符號(hào)，如何自回歸系數(shù)是正的，則呈現(xiàn)單調(diào)收斂模式；當(dāng)自回歸系數(shù)是負(fù)的時(shí)候，呈現(xiàn)震蕩收斂模式。由于的絕對(duì)值大小體現(xiàn)了前期過程值對(duì)當(dāng)期值的影響程度，因此的絕對(duì)值越大，這個(gè)過程保持前期值符號(hào)的能力就越強(qiáng)，這樣的性質(zhì)可以通過對(duì)

21、不同值的自回歸過程的模擬當(dāng)中識(shí)別出來。在上述對(duì)過程的討論當(dāng)中，我們采用了無限階移動(dòng)平均表示，并根據(jù)這樣的表示求解過程的均方差和自協(xié)方差等性質(zhì)。下面我們?cè)诩僭O(shè)過程具有平穩(wěn)性的條件下，簡(jiǎn)單的求解這些過程的數(shù)值特征。(1) 對(duì)過程兩端求數(shù)學(xué)期望，得到：如果過程是平穩(wěn)的，則均值函數(shù)不依賴時(shí)間參數(shù)，則得到均值為：(2) 將過程進(jìn)行“中心化”表示，即將其根據(jù)均值進(jìn)行平移：上式兩端平方運(yùn)算以后取數(shù)學(xué)期望可以得到：需要注意到：則得到：也可以得到：(3) 當(dāng)時(shí)，在中心化表示兩端乘以因子，然后取數(shù)學(xué)期望得到：則得到：，這是自協(xié)方差函數(shù)所滿足的一個(gè)一階齊次差分方程，其解為：這同前面利用無限移動(dòng)過程的推導(dǎo)結(jié)果完全一致

22、。3.2 二階自回歸過程二階自回歸過程表示為，模型形式為：采用滯后算子形式表示為：差分方程穩(wěn)定或者上述過程平穩(wěn)的條件是：的所有根落在單位圓外。這時(shí)假設(shè)逆算子形式為：其中算子多項(xiàng)式的系數(shù)由前面差分方程的討論所確定。利用算子多項(xiàng)式的逆算子，可以將過程表示為無限階移動(dòng)平均過程：可以直接證明此過程的均值為：并且可以得到：如果假設(shè)該過程是平穩(wěn)過程，那么對(duì)過程直接求數(shù)學(xué)期望，也可以得到類似的均值。過程也存在下述中心化表示：兩端乘以因子，然后取數(shù)學(xué)期望得到：利用自協(xié)方差定義得到：，這說明自協(xié)方差滿足二階差分方程，這個(gè)差分方程的穩(wěn)定性是要求自回歸系數(shù)落入穩(wěn)定的三角形區(qū)域內(nèi)。自相關(guān)函數(shù)滿足：，令得到：從中可以得

23、到：令得到：從中可以得到：類似地，可以求解出過程的方差：可以表示為：從中解出方差為：或者：3.3 p階自回歸過程如果將解釋變量的滯后階數(shù)擴(kuò)展，可以得到下述p階自回歸過程，表示為AR (p)：假設(shè)算子多項(xiàng)式的特征方程：的根全部落入單位圓外，則AR (p)是協(xié)方差平穩(wěn)的，其無限階移動(dòng)平均表示為：在AR (p)過程滿足協(xié)方差平穩(wěn)的條件下，取均值為：則均值為：得到上述均值以后，可以將在AR (p)過程進(jìn)行中心化表示：兩端乘以因子，然后取數(shù)學(xué)期望得到：對(duì)于給定的參數(shù)，可以求出方差和協(xié)方差的初值狀態(tài)，可以作為上述差分方程的初值，并可以進(jìn)一步求解出所有階數(shù)的協(xié)方差序列。進(jìn)一步可以得到自相關(guān)函數(shù)方程，這個(gè)差分

24、方程被稱為Yule-Walker方程：，如果算子多項(xiàng)式特征方程具有相異根，則協(xié)方差構(gòu)成的差分方程具有解形式為：其中是下述方程的根：六、參考文獻(xiàn)1 Box, G. E. P. and Jenkins, G. M., Time Series Analysis: Forecasting and Control, Holden Day, 1976. 2 Enders W., Applied Econometric Time Series, John Wiley & Sons, Inc., 1995. 3 Mill, T. C., The Econometric Modelling of Financial Time Series, second editi