對(duì)初中階段尺規(guī)作圖教學(xué)的反思和建議-2019年教育文檔

1、對(duì)初中階段尺規(guī)作圖教學(xué)的反思和建議尺規(guī)作圖，顧名思義，是指用沒(méi)有刻度的直尺和圓規(guī)作圖， 它起源于古希臘的數(shù)學(xué)課題 . 尺規(guī)作圖只準(zhǔn)使用圓規(guī)和直尺有限 次，歷史上關(guān)于尺規(guī)作圖的著名問(wèn)題較多， 例如，“三等分角”、 “立方倍積”、“化圓為方”和“高斯與尺規(guī)作十七邊形”等 等筆者作為青年教師在聽(tīng)課的過(guò)程中， 不時(shí)觀摩到教師講授有 關(guān)尺規(guī)作圖的內(nèi)容，對(duì)于尺規(guī)作圖，執(zhí)教的老師各有標(biāo)準(zhǔn)，課后 就該內(nèi)容與老師們的交流中， 發(fā)現(xiàn)不少教師認(rèn)為初中階段涉及尺 規(guī)作圖的類型較少；同時(shí)，由于全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn) （實(shí)驗(yàn)稿）（以下簡(jiǎn)稱課標(biāo)）中對(duì)所要掌握的尺規(guī)作圖的 類型和要求比以往教學(xué)大綱有所減少，特別是在中考復(fù)

2、習(xí)階段， 教師教學(xué)中對(duì)該內(nèi)容的處理“方法單一”或者干脆匆匆?guī)н^(guò)， 學(xué) 生只要掌握或者就是記住基本的操作方法即可， 對(duì)尺規(guī)作圖在教 學(xué)中的作用認(rèn)識(shí)不足，這個(gè)現(xiàn)象引起筆者的思考 . 尺規(guī)作圖在現(xiàn) 今的初中階段教學(xué)中可作如何調(diào)整？調(diào)整意義在哪里？在此和 大家做個(gè)探討，談一點(diǎn)自己的反思和建議1應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生尺規(guī)作圖方法多樣化尺規(guī)作圖教學(xué)， 特別是在復(fù)習(xí)階段， 對(duì)作圖方法的復(fù)習(xí)只是 將書本上的作圖過(guò)程簡(jiǎn)單“過(guò)一遍”， 學(xué)生只需理解這一方法的 由來(lái)甚至就只是記住即可 . 其實(shí)，方法的多樣意味著考慮問(wèn)題的 出發(fā)點(diǎn)的不同，所涉及的知識(shí)的也就不同 . 方法的不同需要學(xué)生 自己動(dòng)手操作，觀察、大膽猜想、構(gòu)思出不同于已

3、有解決問(wèn)題的 畫法 .在構(gòu)思畫法的過(guò)程中，學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)對(duì)該畫法進(jìn)行必 要的證明 . 在中考復(fù)習(xí)階段，課程內(nèi)容已講授完畢，教師通過(guò)對(duì) 尺規(guī)作圖問(wèn)題方法的多樣化，可使學(xué)生充分聯(lián)系前后所學(xué)知識(shí)， 并使知識(shí)得以“內(nèi)化”，理解更全面和深入案例1已知線段AB,作出該線段的中垂線.教學(xué)中普遍采用分別以 A、B為圓心，以大于AB2的長(zhǎng)度為 半徑畫圓，則此兩圓的交點(diǎn)分別位于線段 AB的上下兩側(cè)，過(guò)這 兩點(diǎn)作直線即為該線段的中垂線，如圖 1 所示.圖 1 上述作法的原理在八年級(jí)即已知曉，但在中考復(fù)習(xí)階 段，教師不僅只是幫助學(xué)生復(fù)習(xí)原有作圖方法的由來(lái)， 還可引導(dǎo) 學(xué)生分析原有作法， 對(duì)原有作圖的原理進(jìn)行新的認(rèn)識(shí)

4、， 從而利用 前后知識(shí)間的聯(lián)系，突破成法 .教學(xué)中在復(fù)習(xí)處理上述案例 1 的 問(wèn)題時(shí)可以向?qū)W生提出是否可以只作出C點(diǎn)即可？這樣可引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)發(fā)現(xiàn) ABC為等腰三角形，利用等腰三角形“三線合 一”的性質(zhì)，作出/C的角平分線，即可知道該角平分線垂直且 平分線段AB.在此過(guò)程中，教師幫助學(xué)生從已有的思維定勢(shì)中跳 出；同時(shí)， 也在一定程度上展示怎樣從已解決問(wèn)題的基礎(chǔ)上“提 出問(wèn)題”，培養(yǎng)學(xué)生“問(wèn)題意識(shí)”.2教學(xué)中對(duì)尺規(guī)作圖的重視還應(yīng)加強(qiáng) 尺規(guī)作圖是問(wèn)題解決的不可分割的一部分 . 筆者參加一堂九 年級(jí)關(guān)于三角形全等判定的復(fù)習(xí)課聽(tīng)課過(guò)程中發(fā)現(xiàn)， 該班（該班 相當(dāng)部分學(xué)生學(xué)習(xí)能力偏低）相當(dāng)部分同學(xué)無(wú)法確定為

5、什么“SSA不能作為三角形全等判定的準(zhǔn)則，不少同學(xué)甚至認(rèn)為“SSA可以作為三角形全等的判定準(zhǔn)則，課后詢問(wèn)為什么不確 定，同學(xué)反映教師對(duì)這個(gè)問(wèn)題解釋過(guò)為什么，要求記住，雖然給 出相應(yīng)的解釋， 但他們理解起來(lái)有困難， 因而難免有類似錯(cuò)誤在 做題中出現(xiàn) . 同時(shí)，一些關(guān)于幾何命題（命題為真）的逆命題是 否為真往往不易判斷在幾何教學(xué)中， 針對(duì)某些這樣的問(wèn)題， 用尺規(guī)作圖很容易構(gòu) 造反例，而且論證直觀，思路清晰，具有很強(qiáng)的說(shuō)明力案例2 “ SSA不能作為三角形全等的判定準(zhǔn)則.如圖2,在直線a上，作/ A,固定AB長(zhǎng)度.以B點(diǎn)為圓心 作圓弧，在a上可以有兩個(gè)交點(diǎn) C和D,這樣得到的兩個(gè)三角形 ABCffi

6、ABD有兩邊相等（AB=ABBC=BD和一個(gè)公共角（/A）, 但顯然這兩個(gè)三角形不全等圖 2 同時(shí)，應(yīng)利用尺規(guī)作圖對(duì)上述問(wèn)題進(jìn)一步深入 （最好是 學(xué)生發(fā)現(xiàn)，如果沒(méi)有，則教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生將此問(wèn)題解決 . ） . 由于 此處作出的/A為銳角，那么是否/A為直角或者鈍角時(shí)“ SSA 也不成立？筆者在同不少同學(xué)的交流中發(fā)現(xiàn)， 絕大部分同學(xué)能清 楚的知道在/A為直角時(shí)，“ SSA是成立的（在中考復(fù)習(xí)階段， 最好由學(xué)生說(shuō)明理由），但對(duì)于/A 為鈍角，則相當(dāng)多同學(xué)認(rèn)為 不行，其實(shí)如圖2,在/A是鈍角的時(shí)候，對(duì)邊BC是最大邊，不 可能有另外的解，即在/A 是鈍角的時(shí)候，“ SSA依然成立.案例 3 直角三角形斜

7、邊上的中線等于其斜邊的一半，逆命 題不真.上述案例來(lái)自筆者所任教的一個(gè)九年級(jí)班級(jí)， 筆者在復(fù)習(xí)關(guān) 于“直角三角形斜邊上的中線等于其斜邊的一半”的內(nèi)容時(shí)， 向 全班同學(xué)提出“假如一個(gè)直角三角形 ABC / BAC=90 , E是BC 上一點(diǎn)，且 AE=BC2那么AE是否為BC邊上的中線？”一開(kāi)始，大部分同學(xué)均認(rèn)為上述命題是成立的，因?yàn)榭捎谩巴环ā闭f(shuō)明這個(gè)問(wèn)題，如圖 3所示，AD是BC邊上的中線， AD=BC2由于已知 AE=BC2所以自然有 AD=AE 即卩E與D重合（圖 3）. 這時(shí)筆者提出該問(wèn)題同學(xué)們的做法可能有不嚴(yán)密的地方，如圖4三角形EDA可能是等腰三角形.圖 3 圖 4事實(shí)上，上述問(wèn)

8、題完全可以利用尺規(guī)作圖加以解 決和探究，我們以 D為圓心，AD為半徑畫一個(gè)圓，由 AD=BC可 知BC正好為所畫圓的直徑.如圖5,再以A點(diǎn)為圓心，AD長(zhǎng)為半 徑畫圓弧，圓弧與BC相交于點(diǎn)E,此時(shí)AE=AD=BC2這樣也就直 觀和明了地發(fā)現(xiàn)了上述命題的逆命題是假命題.圖 5 更進(jìn)一步深入，借助尺規(guī)作圖（圖 5），我們可引導(dǎo)學(xué) 生直觀發(fā)現(xiàn)上述逆命題要成立的條件是什么（發(fā)現(xiàn)/ ABC和/ ACB的角度大小關(guān)系或者邊 AB和邊AC長(zhǎng)度關(guān)系是決定逆命題是否成 立的關(guān)鍵，這樣就對(duì)“大角對(duì)大邊”的認(rèn)識(shí)更加直觀和深入）， 問(wèn)題得以延伸和拓展.3教材中尺規(guī)作圖的基本類型偏少 按照課標(biāo)所倡導(dǎo)的理念， 教學(xué)中應(yīng)強(qiáng)調(diào)

9、讓學(xué)生自己動(dòng)手， 通過(guò)翻折、度量、拼湊、類比等方法進(jìn)行幾何操作，那么，尺規(guī) 作圖正是包含這樣的活動(dòng) . 實(shí)際教學(xué)中，尺規(guī)作圖是一種“問(wèn)題 情境”的創(chuàng)設(shè)， 即在某種問(wèn)題條件下， 由學(xué)生自己動(dòng)手解決問(wèn)題 . 學(xué)生能作出一張符合要求的圖形， 即使該圖形較簡(jiǎn)單， 也是一種 具有挑戰(zhàn)性和創(chuàng)造性的活動(dòng)， 在這個(gè)活動(dòng)中， 學(xué)生探索運(yùn)用知識(shí)， 構(gòu)思作圖方法， 對(duì)所學(xué)知識(shí)進(jìn)行直觀理解， 興趣和創(chuàng)新精神得以 培養(yǎng) .在幾何教學(xué)中強(qiáng)調(diào)“觀察、操作、推理”的今天，尺規(guī)作 圖的基本類型偏少 . 案例 4 給定兩條相交直線 和其中一條上的一個(gè)點(diǎn) P,用直尺和圓規(guī)作一個(gè)圓與兩條直線都 相切，并以 P 為一個(gè)切點(diǎn) 1圖6筆者

10、曾將案例4中的問(wèn)題請(qǐng)工作所在學(xué)校的九年級(jí)部 分學(xué)生試做， 結(jié)果發(fā)現(xiàn)絕大部分試做的同學(xué)都能構(gòu)思出解決問(wèn)題 的辦法：如圖6,作出/ BAP的角平分線AD,利用切線的性質(zhì)， 角平分線AD上某點(diǎn)即為圓心找到該點(diǎn)，以該點(diǎn)為圓心，以該點(diǎn) 和點(diǎn)P兩點(diǎn)距離為半徑畫圓即可但接下來(lái)在如何確定圓心所在 位置，即過(guò)點(diǎn)P作直線AP的垂線與角平分線 AD相交時(shí)，學(xué)生們 的做法出現(xiàn)較大差異，歸納起來(lái)，可分為以下幾種典型方法：作法 1：直接利用直角三角板的刻度線與邊沿的垂直關(guān)系畫 出垂線作法 2：直接利用直角三角板的直角畫出垂線作法 3：直接利用量角器畫出垂線以上三種作法中， 第一種是不規(guī)范的操作方法； 作法 2 與作 法

11、3 是課標(biāo)對(duì)垂線的畫法要求 . 實(shí)際上此題的尺規(guī)作法屬于 “過(guò)直線上一點(diǎn)作直線的垂線”，該作法在以前的教學(xué)大綱 上有，現(xiàn)在課標(biāo)已刪除 . 刪去了基本作圖類型里的“過(guò)直線 上一點(diǎn)作直線的垂線”除了造成初中階段尺規(guī)作圖題的不純粹， 也使教學(xué)中失去了培養(yǎng)學(xué)生動(dòng)手操作，在操作中運(yùn)用所學(xué)知識(shí)， 加深對(duì)知識(shí)的理解和掌握的過(guò)程筆者對(duì)其中部分同學(xué)加以適當(dāng)點(diǎn)撥后 （利用畫線段中垂線的 方法或者等腰三角形的“三線合一”性質(zhì)） ，這部分同學(xué)均能理 解并迅速利用尺規(guī)畫出題目所要求的圓同時(shí)，還發(fā)現(xiàn)在案例 4 中有一個(gè)有趣的現(xiàn)象， 即參加試做的 同學(xué)在畫出類似圖 6 的示意圖時(shí)，相當(dāng)多的同學(xué)只考慮到給 / BAP作角平分

12、線AD（可能與平時(shí)的視覺(jué)習(xí)慣有關(guān)），忽視還有 一種情況（圖 7）. 但當(dāng)筆者請(qǐng)他們對(duì)圖 6 再仔細(xì)看看時(shí)，所有 學(xué)生都能發(fā)現(xiàn)這個(gè)疏漏， 這便是尺規(guī)作圖在教學(xué)中具有的直觀明 了圖7案例5給定一個(gè)厶ABC試用直尺和圓規(guī)作一平行于底 邊BC的直線DE將厶ABC的面積分為兩部分，且SADE SDBCE=1 3，如圖 8 所示.圖 8筆者將案例 5中的題目請(qǐng)自己所在任教學(xué)校九年級(jí)部分 同學(xué)試做， 在試做過(guò)程中發(fā)現(xiàn)絕大部分同學(xué)在分析完題目的條件 后都能準(zhǔn)確知道 口匸為厶ABC的中位線，但在作出這條中位線的 過(guò)程發(fā)現(xiàn)試做此題的同學(xué)均是將邊 AB和邊AC的中點(diǎn)D和E分別 作出，然后連接 DE但當(dāng)筆者要求只用一

13、個(gè)中點(diǎn)作出邊 BC的平行線時(shí)，幾乎所 有的同學(xué)均不能用尺規(guī)作出 DE該作圖類型屬于現(xiàn)在課標(biāo)中沒(méi)有的內(nèi)容：“過(guò)一點(diǎn)作已 知直線的平行線” . 刪去這一條對(duì)教學(xué)并無(wú)多大影響，但這一條 所涉及的作圖原理對(duì)初中階段， 特別是八、 九年級(jí)學(xué)生而言是比 較容易接受的，在課標(biāo)倡導(dǎo)教學(xué)應(yīng)使學(xué)生“做中學(xué)”的理念 下，刪去這一條使得學(xué)生失去一個(gè)通過(guò)自己動(dòng)手和運(yùn)用所學(xué)知識(shí) 解決問(wèn)題的機(jī)會(huì)，比較可惜事實(shí)上，案例 4 和案例 5 中作圖所涉及的基本原理是初中階 段幾何知識(shí)中最基礎(chǔ)， 也是最重要的知識(shí)， 教師可利用這些基本 原理，創(chuàng)設(shè)較豐富的“幾何問(wèn)題情境”， 學(xué)生運(yùn)用這些基本知識(shí)， 借助直尺和圓規(guī)， 在作圖的學(xué)習(xí)活動(dòng)中

14、不斷思考問(wèn)題， 尋找問(wèn)題 解決的方法，正是一個(gè)觀察、操作、驗(yàn)證的過(guò)程，這對(duì)于學(xué)生加 深對(duì)這些知識(shí)的理解和培養(yǎng)嚴(yán)密的邏輯思維能力是有益的4反思和建議在尺規(guī)作圖問(wèn)題上， 以往的教學(xué)大綱同現(xiàn)在的 課標(biāo)相比， 教學(xué)大綱對(duì)幾何作圖的要求很高，需要掌握的類型較多，包括 “直線形”、“圓”、“比例線段”、“面積”四類 . 在圓的部 分，有作“內(nèi)接圓”、“外切圓”、“旁切圓”、“弓形”等；在比例線段中有“內(nèi)分”、“外分”、“定比”等；面積部分要 求作“和已知正方形等積的正方形”等 . 其中的大多數(shù)已經(jīng)不符 合我們現(xiàn)在教學(xué)的發(fā)展，需要?jiǎng)h減 . 但是，其中的第一類：關(guān)于 直線形的作圖類型，即以下 7 條：1.作一

15、角等于已知角；2.已知三邊或兩邊一夾角或兩角一夾邊作出三角形；3.過(guò)已知點(diǎn)作已知直線的垂線；4.過(guò)一點(diǎn)作已知直線的平行線；5.平分一角；6.作已知線段的垂直平分線；7.分一線段為 n 等份 .上述 7 條卻是應(yīng)該保留的，這 7 條，簡(jiǎn)單、準(zhǔn)確、實(shí)用、理 性，是尺規(guī)作圖的精華所在，試想，如果學(xué)生都理解以上 7 條作 圖步驟的由來(lái)， 都能用圓規(guī)和直尺將其作出， 那么對(duì)整個(gè)初中幾 何知識(shí)的組成和結(jié)構(gòu)就會(huì)有個(gè)清楚的認(rèn)識(shí) 2. 有了這 7條，本 文案例中涉及的一些問(wèn)題也就迎刃而解 . 實(shí)際教學(xué)中，這 7條學(xué) 生十分容易理解和接受，也便于操作 . 標(biāo)準(zhǔn)沒(méi)有 1，3，4， 卻要求 5，6，這一點(diǎn)值得商榷同時(shí)

16、，上述 7條與圖形運(yùn)動(dòng)有密切的聯(lián)系 . 課標(biāo)強(qiáng)調(diào)圖 形的運(yùn)動(dòng)，包括平移、旋轉(zhuǎn)、對(duì)稱等變換，尺規(guī)作圖是實(shí)現(xiàn)圖形 運(yùn)動(dòng)的極佳手段 . 從邏輯上看，尺規(guī)作圖作為圖形變換的一種手 段是成立的 3. 比如，作一角等于已知角的操作中，先是用直 尺作一條射線， 再用圓規(guī)以已知角的頂點(diǎn)為端點(diǎn)， 在已知角的一 邊上畫弧截取一段線段， 再在射線上截取線段， 使其長(zhǎng)度等于已 知線段，其中截取的過(guò)程，實(shí)質(zhì)是以射線端點(diǎn)為圓心，以已截取 線段長(zhǎng)為半徑畫弧， 交射線于一點(diǎn)， 其中射線的端點(diǎn)是所作的線 段的一個(gè)端點(diǎn)，弧與射線的交點(diǎn)是線段的另一個(gè)端點(diǎn) . 這里體現(xiàn) 了線段的兩種“運(yùn)動(dòng)”， 用圓規(guī)在射線上截取線段的長(zhǎng)度， 可以 看作是平移，而畫弧的過(guò)程，實(shí)質(zhì)是旋轉(zhuǎn)變換 . 再如，平分一個(gè) 角，使用圓規(guī)直尺可以順利地作出來(lái)，且方法嚴(yán)謹(jǐn)縝密，這種基 本的作圖方法，是學(xué)生掌握?qǐng)D形對(duì)稱的直觀根據(jù) .鑒于此，筆者認(rèn)為在初中階段的幾何