對初中階段尺規(guī)作圖教學的反思和建議-2019年教育文檔

1、對初中階段尺規(guī)作圖教學的反思和建議尺規(guī)作圖，顧名思義，是指用沒有刻度的直尺和圓規(guī)作圖， 它起源于古希臘的數(shù)學課題 . 尺規(guī)作圖只準使用圓規(guī)和直尺有限 次，歷史上關于尺規(guī)作圖的著名問題較多， 例如，“三等分角”、 “立方倍積”、“化圓為方”和“高斯與尺規(guī)作十七邊形”等 等筆者作為青年教師在聽課的過程中， 不時觀摩到教師講授有 關尺規(guī)作圖的內(nèi)容，對于尺規(guī)作圖，執(zhí)教的老師各有標準，課后 就該內(nèi)容與老師們的交流中， 發(fā)現(xiàn)不少教師認為初中階段涉及尺 規(guī)作圖的類型較少；同時，由于全日制義務教育數(shù)學課程標準 （實驗稿）（以下簡稱課標）中對所要掌握的尺規(guī)作圖的 類型和要求比以往教學大綱有所減少，特別是在中考復

2、習階段， 教師教學中對該內(nèi)容的處理“方法單一”或者干脆匆匆?guī)н^， 學 生只要掌握或者就是記住基本的操作方法即可， 對尺規(guī)作圖在教 學中的作用認識不足，這個現(xiàn)象引起筆者的思考 . 尺規(guī)作圖在現(xiàn) 今的初中階段教學中可作如何調(diào)整？調(diào)整意義在哪里？在此和 大家做個探討，談一點自己的反思和建議1應鼓勵學生尺規(guī)作圖方法多樣化尺規(guī)作圖教學， 特別是在復習階段， 對作圖方法的復習只是 將書本上的作圖過程簡單“過一遍”， 學生只需理解這一方法的 由來甚至就只是記住即可 . 其實，方法的多樣意味著考慮問題的 出發(fā)點的不同，所涉及的知識的也就不同 . 方法的不同需要學生 自己動手操作，觀察、大膽猜想、構思出不同于已

3、有解決問題的 畫法 .在構思畫法的過程中，學生運用所學知識對該畫法進行必 要的證明 . 在中考復習階段，課程內(nèi)容已講授完畢，教師通過對 尺規(guī)作圖問題方法的多樣化，可使學生充分聯(lián)系前后所學知識， 并使知識得以“內(nèi)化”，理解更全面和深入案例1已知線段AB,作出該線段的中垂線.教學中普遍采用分別以 A、B為圓心，以大于AB2的長度為 半徑畫圓，則此兩圓的交點分別位于線段 AB的上下兩側(cè)，過這 兩點作直線即為該線段的中垂線，如圖 1 所示.圖 1 上述作法的原理在八年級即已知曉，但在中考復習階 段，教師不僅只是幫助學生復習原有作圖方法的由來， 還可引導 學生分析原有作法， 對原有作圖的原理進行新的認識

4、， 從而利用 前后知識間的聯(lián)系，突破成法 .教學中在復習處理上述案例 1 的 問題時可以向?qū)W生提出是否可以只作出C點即可？這樣可引導學生通過發(fā)現(xiàn) ABC為等腰三角形，利用等腰三角形“三線合 一”的性質(zhì)，作出/C的角平分線，即可知道該角平分線垂直且 平分線段AB.在此過程中，教師幫助學生從已有的思維定勢中跳 出；同時， 也在一定程度上展示怎樣從已解決問題的基礎上“提 出問題”，培養(yǎng)學生“問題意識”.2教學中對尺規(guī)作圖的重視還應加強 尺規(guī)作圖是問題解決的不可分割的一部分 . 筆者參加一堂九 年級關于三角形全等判定的復習課聽課過程中發(fā)現(xiàn)， 該班（該班 相當部分學生學習能力偏低）相當部分同學無法確定為

5、什么“SSA不能作為三角形全等判定的準則，不少同學甚至認為“SSA可以作為三角形全等的判定準則，課后詢問為什么不確 定，同學反映教師對這個問題解釋過為什么，要求記住，雖然給 出相應的解釋， 但他們理解起來有困難， 因而難免有類似錯誤在 做題中出現(xiàn) . 同時，一些關于幾何命題（命題為真）的逆命題是 否為真往往不易判斷在幾何教學中， 針對某些這樣的問題， 用尺規(guī)作圖很容易構 造反例，而且論證直觀，思路清晰，具有很強的說明力案例2 “ SSA不能作為三角形全等的判定準則.如圖2,在直線a上，作/ A,固定AB長度.以B點為圓心 作圓弧，在a上可以有兩個交點 C和D,這樣得到的兩個三角形 ABCffi

6、ABD有兩邊相等（AB=ABBC=BD和一個公共角（/A）, 但顯然這兩個三角形不全等圖 2 同時，應利用尺規(guī)作圖對上述問題進一步深入 （最好是 學生發(fā)現(xiàn)，如果沒有，則教師應引導學生將此問題解決 . ） . 由于 此處作出的/A為銳角，那么是否/A為直角或者鈍角時“ SSA 也不成立？筆者在同不少同學的交流中發(fā)現(xiàn)， 絕大部分同學能清 楚的知道在/A為直角時，“ SSA是成立的（在中考復習階段， 最好由學生說明理由），但對于/A 為鈍角，則相當多同學認為 不行，其實如圖2,在/A是鈍角的時候，對邊BC是最大邊，不 可能有另外的解，即在/A 是鈍角的時候，“ SSA依然成立.案例 3 直角三角形斜

7、邊上的中線等于其斜邊的一半，逆命 題不真.上述案例來自筆者所任教的一個九年級班級， 筆者在復習關 于“直角三角形斜邊上的中線等于其斜邊的一半”的內(nèi)容時， 向 全班同學提出“假如一個直角三角形 ABC / BAC=90 , E是BC 上一點，且 AE=BC2那么AE是否為BC邊上的中線？”一開始，大部分同學均認為上述命題是成立的，因為可用“同一法”說明這個問題，如圖 3所示，AD是BC邊上的中線， AD=BC2由于已知 AE=BC2所以自然有 AD=AE 即卩E與D重合（圖 3）. 這時筆者提出該問題同學們的做法可能有不嚴密的地方，如圖4三角形EDA可能是等腰三角形.圖 3 圖 4事實上，上述問

8、題完全可以利用尺規(guī)作圖加以解 決和探究，我們以 D為圓心，AD為半徑畫一個圓，由 AD=BC可 知BC正好為所畫圓的直徑.如圖5,再以A點為圓心，AD長為半 徑畫圓弧，圓弧與BC相交于點E,此時AE=AD=BC2這樣也就直 觀和明了地發(fā)現(xiàn)了上述命題的逆命題是假命題.圖 5 更進一步深入，借助尺規(guī)作圖（圖 5），我們可引導學 生直觀發(fā)現(xiàn)上述逆命題要成立的條件是什么（發(fā)現(xiàn)/ ABC和/ ACB的角度大小關系或者邊 AB和邊AC長度關系是決定逆命題是否成 立的關鍵，這樣就對“大角對大邊”的認識更加直觀和深入）， 問題得以延伸和拓展.3教材中尺規(guī)作圖的基本類型偏少 按照課標所倡導的理念， 教學中應強調(diào)

9、讓學生自己動手， 通過翻折、度量、拼湊、類比等方法進行幾何操作，那么，尺規(guī) 作圖正是包含這樣的活動 . 實際教學中，尺規(guī)作圖是一種“問題 情境”的創(chuàng)設， 即在某種問題條件下， 由學生自己動手解決問題 . 學生能作出一張符合要求的圖形， 即使該圖形較簡單， 也是一種 具有挑戰(zhàn)性和創(chuàng)造性的活動， 在這個活動中， 學生探索運用知識， 構思作圖方法， 對所學知識進行直觀理解， 興趣和創(chuàng)新精神得以 培養(yǎng) .在幾何教學中強調(diào)“觀察、操作、推理”的今天，尺規(guī)作 圖的基本類型偏少 . 案例 4 給定兩條相交直線 和其中一條上的一個點 P,用直尺和圓規(guī)作一個圓與兩條直線都 相切，并以 P 為一個切點 1圖6筆者

10、曾將案例4中的問題請工作所在學校的九年級部 分學生試做， 結果發(fā)現(xiàn)絕大部分試做的同學都能構思出解決問題 的辦法：如圖6,作出/ BAP的角平分線AD,利用切線的性質(zhì)， 角平分線AD上某點即為圓心找到該點，以該點為圓心，以該點 和點P兩點距離為半徑畫圓即可但接下來在如何確定圓心所在 位置，即過點P作直線AP的垂線與角平分線 AD相交時，學生們 的做法出現(xiàn)較大差異，歸納起來，可分為以下幾種典型方法：作法 1：直接利用直角三角板的刻度線與邊沿的垂直關系畫 出垂線作法 2：直接利用直角三角板的直角畫出垂線作法 3：直接利用量角器畫出垂線以上三種作法中， 第一種是不規(guī)范的操作方法； 作法 2 與作 法

11、3 是課標對垂線的畫法要求 . 實際上此題的尺規(guī)作法屬于 “過直線上一點作直線的垂線”，該作法在以前的教學大綱 上有，現(xiàn)在課標已刪除 . 刪去了基本作圖類型里的“過直線 上一點作直線的垂線”除了造成初中階段尺規(guī)作圖題的不純粹， 也使教學中失去了培養(yǎng)學生動手操作，在操作中運用所學知識， 加深對知識的理解和掌握的過程筆者對其中部分同學加以適當點撥后 （利用畫線段中垂線的 方法或者等腰三角形的“三線合一”性質(zhì)） ，這部分同學均能理 解并迅速利用尺規(guī)畫出題目所要求的圓同時，還發(fā)現(xiàn)在案例 4 中有一個有趣的現(xiàn)象， 即參加試做的 同學在畫出類似圖 6 的示意圖時，相當多的同學只考慮到給 / BAP作角平分

12、線AD（可能與平時的視覺習慣有關），忽視還有 一種情況（圖 7）. 但當筆者請他們對圖 6 再仔細看看時，所有 學生都能發(fā)現(xiàn)這個疏漏， 這便是尺規(guī)作圖在教學中具有的直觀明 了圖7案例5給定一個厶ABC試用直尺和圓規(guī)作一平行于底 邊BC的直線DE將厶ABC的面積分為兩部分，且SADE SDBCE=1 3，如圖 8 所示.圖 8筆者將案例 5中的題目請自己所在任教學校九年級部分 同學試做， 在試做過程中發(fā)現(xiàn)絕大部分同學在分析完題目的條件 后都能準確知道 口匸為厶ABC的中位線，但在作出這條中位線的 過程發(fā)現(xiàn)試做此題的同學均是將邊 AB和邊AC的中點D和E分別 作出，然后連接 DE但當筆者要求只用一

13、個中點作出邊 BC的平行線時，幾乎所 有的同學均不能用尺規(guī)作出 DE該作圖類型屬于現(xiàn)在課標中沒有的內(nèi)容：“過一點作已 知直線的平行線” . 刪去這一條對教學并無多大影響，但這一條 所涉及的作圖原理對初中階段， 特別是八、 九年級學生而言是比 較容易接受的，在課標倡導教學應使學生“做中學”的理念 下，刪去這一條使得學生失去一個通過自己動手和運用所學知識 解決問題的機會，比較可惜事實上，案例 4 和案例 5 中作圖所涉及的基本原理是初中階 段幾何知識中最基礎， 也是最重要的知識， 教師可利用這些基本 原理，創(chuàng)設較豐富的“幾何問題情境”， 學生運用這些基本知識， 借助直尺和圓規(guī)， 在作圖的學習活動中

14、不斷思考問題， 尋找問題 解決的方法，正是一個觀察、操作、驗證的過程，這對于學生加 深對這些知識的理解和培養(yǎng)嚴密的邏輯思維能力是有益的4反思和建議在尺規(guī)作圖問題上， 以往的教學大綱同現(xiàn)在的 課標相比， 教學大綱對幾何作圖的要求很高，需要掌握的類型較多，包括 “直線形”、“圓”、“比例線段”、“面積”四類 . 在圓的部 分，有作“內(nèi)接圓”、“外切圓”、“旁切圓”、“弓形”等；在比例線段中有“內(nèi)分”、“外分”、“定比”等；面積部分要 求作“和已知正方形等積的正方形”等 . 其中的大多數(shù)已經(jīng)不符 合我們現(xiàn)在教學的發(fā)展，需要刪減 . 但是，其中的第一類：關于 直線形的作圖類型，即以下 7 條：1.作一

15、角等于已知角；2.已知三邊或兩邊一夾角或兩角一夾邊作出三角形；3.過已知點作已知直線的垂線；4.過一點作已知直線的平行線；5.平分一角；6.作已知線段的垂直平分線；7.分一線段為 n 等份 .上述 7 條卻是應該保留的，這 7 條，簡單、準確、實用、理 性，是尺規(guī)作圖的精華所在，試想，如果學生都理解以上 7 條作 圖步驟的由來， 都能用圓規(guī)和直尺將其作出， 那么對整個初中幾 何知識的組成和結構就會有個清楚的認識 2. 有了這 7條，本 文案例中涉及的一些問題也就迎刃而解 . 實際教學中，這 7條學 生十分容易理解和接受，也便于操作 . 標準沒有 1，3，4， 卻要求 5，6，這一點值得商榷同時

16、，上述 7條與圖形運動有密切的聯(lián)系 . 課標強調(diào)圖 形的運動，包括平移、旋轉(zhuǎn)、對稱等變換，尺規(guī)作圖是實現(xiàn)圖形 運動的極佳手段 . 從邏輯上看，尺規(guī)作圖作為圖形變換的一種手 段是成立的 3. 比如，作一角等于已知角的操作中，先是用直 尺作一條射線， 再用圓規(guī)以已知角的頂點為端點， 在已知角的一 邊上畫弧截取一段線段， 再在射線上截取線段， 使其長度等于已 知線段，其中截取的過程，實質(zhì)是以射線端點為圓心，以已截取 線段長為半徑畫弧， 交射線于一點， 其中射線的端點是所作的線 段的一個端點，弧與射線的交點是線段的另一個端點 . 這里體現(xiàn) 了線段的兩種“運動”， 用圓規(guī)在射線上截取線段的長度， 可以 看作是平移，而畫弧的過程，實質(zhì)是旋轉(zhuǎn)變換 . 再如，平分一個 角，使用圓規(guī)直尺可以順利地作出來，且方法嚴謹縝密，這種基 本的作圖方法，是學生掌握圖形對稱的直觀根據(jù) .鑒于此，筆者認為在初中階段的幾何