2.1無窮級數(shù)ppt課件

1、無窮級數(shù) 第七章7.1 7.1 無窮級數(shù)的概念和性質(zhì)無窮級數(shù)的概念和性質(zhì)7.2 正項級數(shù)的審斂法正項級數(shù)的審斂法7.3 任意項級數(shù)任意項級數(shù)7.4 冪級數(shù)冪級數(shù)7.5 函數(shù)展開成冪級數(shù)函數(shù)展開成冪級數(shù)7.1無窮級數(shù)的概念和性質(zhì)無窮級數(shù)的概念和性質(zhì) 一、無窮級數(shù)的概念一、無窮級數(shù)的概念 二、無窮級數(shù)的基本性質(zhì)二、無窮級數(shù)的基本性質(zhì) 三、級數(shù)收斂的必要條件三、級數(shù)收斂的必要條件 機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 第七章 一、無窮級數(shù)的概念一、無窮級數(shù)的概念 引例引例. 用圓內(nèi)接正多邊形面積逼近圓面積用圓內(nèi)接正多邊形面積逼近圓面積.依次作圓內(nèi)接正),2, 1,0(23nn邊形, 這個和逼近于圓的面

2、積 A .0a1a2ana設 a0 表示,時n即naaaaA210內(nèi)接正三角形面積, ak 表示邊數(shù)增加時增加的面積, 則圓內(nèi)接正邊形面積為n23機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 定義：定義： 給定一個數(shù)列,321nuuuu將各項依,1nnu即1nnunuuuu321稱上式為無窮級數(shù)， 其中第 n 項nu叫做級數(shù)的一般項,級數(shù)的前 n 項和nkknuS1稱為級數(shù)的部分和.nuuuu321次相加, 簡記為,lim存在若SSnn收斂收斂 ,則稱無窮級數(shù)并稱 S 為級數(shù)的和, 記作機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 1nnuS當級數(shù)收斂時, 稱差值21nnnnuuSSr為級數(shù)的余項.,lim不存在

3、若nnS則稱無窮級數(shù)發(fā)散 .顯然0limnnr機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 例例1. 討論等比級數(shù)討論等比級數(shù) (又稱幾何級數(shù))0(20aqaqaqaaqannn( q 稱為公比 ) 的斂散性. 解解: 1) 假假設設,1q12nnqaqaqaaSqqaan1時，當1q, 0limnnq由于從而qannS1lim因此級數(shù)收斂 ,;1 qa,1時當q,limnnq由于從而,limnnS則部分和因此級數(shù)發(fā)散 .其和為機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 2). 假設,1q,1時當qanSn因此級數(shù)發(fā)散 ;,1時當qaaaaan 1) 1(因而nSn 為奇數(shù)n 為偶數(shù)從而nnSlim綜合 1)、

4、2)可知,1q時, 等比級數(shù)收斂 ;1q時, 等比級數(shù)發(fā)散 .那么,級數(shù)成為,a,0不存在 , 因此級數(shù)發(fā)散.機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 例例2. 判別下列級數(shù)的斂散性判別下列級數(shù)的斂散性: .) 1(1)2( ;1ln) 1 (11nnnnnn解解: (1) 12lnnSnnln) 1ln()2ln3(ln) 1ln2(ln) 1ln( n）n(所以級數(shù) (1) 發(fā)散 ;技巧技巧:利用 “拆項相消” 求和23ln34lnnn1ln機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 (2) ) 1(1431321211nnSn211111n）n(1所以級數(shù) (2) 收斂, 其和為 1 .3121413

5、1111nn技巧技巧:利用 “拆項相消” 求和機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 例3. 判別級數(shù)2211lnnn的斂散性 .解解:211lnn221lnnn nnnln2) 1ln() 1ln(2211lnkSnkn2ln21ln3ln3ln22ln4lnln2) 1ln() 1ln(nnn5ln4ln23ln 2lnnnln) 1ln(2ln)1ln(1n, 2lnlimnnS故原級數(shù)收斂 , 其和為.2ln機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 例例4. 證明調(diào)和級數(shù)證明調(diào)和級數(shù) nnn13121111發(fā)散 .證證 假設調(diào)和級數(shù)收斂于假設調(diào)和級數(shù)收斂于 S , 那么那么0)(lim2nnnS

6、Snn2nnnn21312111但nnSS2矛盾!所以假設不真 .21機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 二、無窮級數(shù)的基本性質(zhì)二、無窮級數(shù)的基本性質(zhì) 性質(zhì)性質(zhì)1. 若級數(shù)若級數(shù)1nnu收斂于 S ,1nnuS則各項乘以常數(shù) c 所得級數(shù)1nnuc也收斂 ,證證: 令令,1nkknuS那么nkknuc1,nScnnlimSc這說明1nnuc收斂 , 其和為 c S . nnSclim說明說明: 級數(shù)各項乘以非零常數(shù)后其斂散性不變級數(shù)各項乘以非零常數(shù)后其斂散性不變 .即其和為 c S .機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 性質(zhì)性質(zhì)2. 設有兩個收斂級數(shù)設有兩個收斂級數(shù),1nnuS1nnv則級數(shù))

7、(1nnnvu 也收斂, 其和為.S證證: 令令,1nkknuS,1nkknv那么)(1knkknvu nnS)(nS這說明級數(shù))(1nnnvu 也收斂, 其和為.S機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 說明說明:(2) 若兩級數(shù)中一個收斂一個發(fā)散 , 那么)(1nnnvu 必發(fā)散 . 但若二級數(shù)都發(fā)散 ,)(1nnnvu 不一定發(fā)散.例如例如, ,) 1(2nnu取,) 1(12 nnv0nnvu而(1) 性質(zhì)2 表明收斂級數(shù)可逐項相加或減 .(用反證法可證)機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 性質(zhì)性質(zhì)3. 在級數(shù)前面加上或去掉有限項, 不會影響級數(shù)的斂散性.證證: 將級數(shù)將級數(shù)1nnu的前

8、k 項去掉,1nnku的部分和為nllknu1knkSSnknS與,時由于n數(shù)斂散性相同. 當級數(shù)收斂時, 其和的關系為.kSS 類似可證前面加上有限項的情況 .極限狀況相同, 故新舊兩級所得新級數(shù)機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 性質(zhì)性質(zhì)4. 收斂級數(shù)加括號后所成的級數(shù)仍收斂于原級數(shù)的和.證證: 設收斂級數(shù)設收斂級數(shù),1nnuS若按某一規(guī)律加括弧,)()(54321uuuuu則新級數(shù)的部分和序列 ), 2 , 1(mm為原級數(shù)部分和序列 ),2,1(nSn的一個子序列,nnmmS limlimS推論推論: 若加括弧后的級數(shù)發(fā)散若加括弧后的級數(shù)發(fā)散, 則原級數(shù)必發(fā)散則原級數(shù)必發(fā)散.注意注意:

9、 收斂級數(shù)去括弧后所成的級數(shù)不一定收斂收斂級數(shù)去括弧后所成的級數(shù)不一定收斂.,0) 11 () 11 (但1111發(fā)散.因此必有例如，用反證法可證用反證法可證例如機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 例例5.判斷級數(shù)的斂散性判斷級數(shù)的斂散性:141141131131121121解解: 考慮加括號后的級數(shù)考慮加括號后的級數(shù))()()(1411411311311211211111nnan12nnna2發(fā)散 ,從而原級數(shù)發(fā)散 .nn121機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 三、級數(shù)收斂的必要條件三、級數(shù)收斂的必要條件 設收斂級數(shù),1nnuS則必有.0limnnu證證: 1nnnSSu1limlimli

10、mnnnnnnSSu0SS可見: 若級數(shù)的一般項不趨于0 , 則級數(shù)必發(fā)散 .例如例如,1) 1(544332211nnn其一般項為1) 1(1nnunn不趨于0,因此這個級數(shù)發(fā)散.nun,時當機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 注意注意:0limnnu并非級數(shù)收斂的充分條件.例如例如, 調(diào)和級數(shù)調(diào)和級數(shù)nnn13121111雖然，01limlimnunnn但此級數(shù)發(fā)散 .機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 例例5. 判斷下列級數(shù)的斂散性判斷下列級數(shù)的斂散性, 若收斂求其和若收斂求其和:;!) 1 (1nnnnne解解: (1) 令令;231)2(123nnnn.212)3(1nnn,!nnnnneu 那么nnuu1nne)1 (1),2, 1(1n故euuunn11從而,0limnnu這說明級數(shù)(1) 發(fā)散.111)1 ()1 (nnnne11) 1(! ) 1(nnnnennnne!機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 123231)2(nnnn因nnn23123)2)(1()2(21nnnnn)2)(1(1) 1(121nnnn),2, 1(nnknkkkS123231nkkkkk1)2)(1(1) 1(121進行拆項相消進行拆項相消,41limnnS這說明原級數(shù)收斂 ,.41)2)(1(1nnn其和為)2)(1(121121nn(2) 機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢