球的組合體問(wèn)題教師版

1、高頻考點(diǎn) 球的組合體問(wèn)題題型1：球的截面問(wèn)題說(shuō)明：涉及到球的截面的問(wèn)題，總是使用關(guān)系式解題，我們可以通過(guò)兩個(gè)量求第三個(gè)量，也可能是抓三個(gè)量之間的其它關(guān)系，求三個(gè)量1.平面截球O的球面所得圓的半徑為1，球心O到平面的距離為，則此球的體積為 （A） （B）4 （C）4 （D）6【答案】B2.在球心同側(cè)有相距的兩個(gè)平行截面，它們的面積分別為和求球的表面積解：如圖為球的軸截面，由球的截面性質(zhì)知，且若、分別為兩截面圓的圓心，則，設(shè)球的半徑為，同理，設(shè)，則在中，；在中，解得，球的表面積為3.球面上有三點(diǎn)、組成這個(gè)球的一個(gè)截面的內(nèi)接三角形三個(gè)頂點(diǎn)，其中，、，球心到這個(gè)截面的距離為球半徑的一半，求球的表面積分

2、析：求球的表面積的關(guān)鍵是求球的半徑，本題的條件涉及球的截面，是截面的內(nèi)接三角形，由此可利用三角形求截面圓的半徑，球心到截面的距離為球半徑的一半，從而可由關(guān)系式求出球半徑解：，是以為斜邊的直角三角形的外接圓的半徑為，即截面圓的半徑，又球心到截面的距離為，得球的表面積為4如圖,有一個(gè)水平放置的透明無(wú)蓋的正方體容器,容器高8cm,將一個(gè)球放在容器口,再向容器內(nèi)注水,當(dāng)球面恰好接觸水面時(shí)測(cè)得水深為6cm,如果不計(jì)容器的厚度,則球的體積為 （）ABCD【答案】A 題型2：球與幾何體的切、接問(wèn)題 正方體棱長(zhǎng)為，則其內(nèi)切球半徑= ；棱切球半徑= ；外接球半徑= 長(zhǎng)方體長(zhǎng)寬高分別為，則其外接球半徑=_正四面體

3、棱長(zhǎng)為，則其內(nèi)切球半徑=_；外接球半徑=_CBADSOE.求球與它的外切圓柱、外切等邊圓錐的體積之比分析：首先畫(huà)出球及它的外切圓柱、等邊圓錐，它們公共的軸截面，然后尋找?guī)缀误w與幾何體之間元素的關(guān)系解：如圖，等邊為圓錐的軸截面，此截面截圓柱得正方形，截球面得球的大圓圓設(shè)球的半徑，則它的外切圓柱的高為，底面半徑為；， ， ，1.設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為,其頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，則該球的表面積為 （A） （B） （C） （D） 【答案】B【解析】本題考查長(zhǎng)方體的外接球問(wèn)題.練1.一個(gè)長(zhǎng)方體的各頂點(diǎn)均在同一球的球面上，且一個(gè)頂點(diǎn)上的三條棱的長(zhǎng)分別為1，2，3，則此球的表面積為練2.若三棱錐的三個(gè)側(cè)面兩

4、兩垂直，且側(cè)棱長(zhǎng)均為，則其外接球的表面積是 .:練3已知三棱柱的6個(gè)頂點(diǎn)都在球的球面上,則球的半徑為（）ABCD 【答案】C 2已知一個(gè)正方體的所有頂點(diǎn)在一個(gè)球面上. 若球的體積為, 則正方體的棱長(zhǎng)為 _.【答案】 3.過(guò)球表面上一點(diǎn)引三條長(zhǎng)度相等的弦、，且兩兩夾角都為，若球半徑為，求弦的長(zhǎng)度由條件可抓住是正四面體，、為球上四點(diǎn)，則球心在正四面體中心，設(shè)，則截面與球心的距離，過(guò)點(diǎn)、的截面圓半徑，所以得4.正三棱錐的高為1，底面邊長(zhǎng)為，正三棱錐內(nèi)有一個(gè)球與其四個(gè)面相切求球的表面積與體積解：如圖，球是正三棱錐的內(nèi)切球，到正三棱錐四個(gè)面的距離都是球的半徑是正三棱錐的高，即是邊中點(diǎn)，在上，的邊長(zhǎng)為，

5、可以得到 由等體積法， 得：， 說(shuō)明：球心是決定球的位置關(guān)鍵點(diǎn)，本題利用球心到正三棱錐四個(gè)面的距離相等且為球半徑來(lái)求出，以球心的位置特點(diǎn)來(lái)抓球的基本量，這是解決球有關(guān)問(wèn)題常用的方法5.【2012高考新課標(biāo)理11】已知三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球的球面上，是邊長(zhǎng)為的正三角形，為球的直徑，且；則此棱錐的體積為（ ） 【答案】A【解析】的外接圓的半徑，點(diǎn)到面的距離,為球的直徑點(diǎn)到面的距離為 此棱錐的體積為 另：排除,選A.6（2013年高考課標(biāo)卷（文）已知正四棱錐O-ABCD的體積為322,底面邊長(zhǎng)為3,則以O(shè)為球心,OA為半徑的球的表面積為_(kāi).【答案】 7.已知矩形的頂點(diǎn)都在半徑為4的球的球面上，且,則

6、棱錐的體積為 。8已知兩個(gè)圓錐有公共底面，且兩圓錐的頂點(diǎn)和底面的圓周都在同一個(gè)球面上若圓錐底面面積是這個(gè)球面面積的，則這兩個(gè)圓錐中，體積較小者的高與體積較大者的高的比值為_(kāi)9把四個(gè)半徑都是1的球中的三個(gè)放在桌面上，使它兩兩外切，然后在它們上面放上第四個(gè)球，使它與前三個(gè)都相切，求第四個(gè)球的最高點(diǎn)與桌面的距離分析：關(guān)鍵在于能根據(jù)要求構(gòu)造出相應(yīng)的幾何體，由于四個(gè)球半徑相等，故四個(gè)球一定組成正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)且正四面體的棱長(zhǎng)為兩球半徑之和2解：四球心組成棱長(zhǎng)為2的正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)，則正四面體的高而第四個(gè)球的最高點(diǎn)到第四個(gè)球的球心距離為求的半徑1，且三個(gè)球心到桌面的距離都為1，故第四個(gè)球的最高點(diǎn)與桌面

7、的距離為正三棱柱內(nèi)接于半徑為的球，若兩點(diǎn)的球面距離為，則正三棱柱的體積為 8（2009年理科）5.12已知球的直徑SC=4，A，B是該球球面上的兩點(diǎn)，AB=，則棱錐SABC的體積為 C （2011年理科）A B CD1圖3圖4圖5二、球與棱柱的組合體問(wèn)題1 正方體的內(nèi)切球：球與正方體的每個(gè)面都相切，切點(diǎn)為每個(gè)面的中心，顯然球心為正方體的中心。設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，球半徑為。如圖3，截面圖為正方形的內(nèi)切圓，得；2 與正方體各棱相切的球：球與正方體的各棱相切，切點(diǎn)為各棱的中點(diǎn)，如圖4作截面圖，圓為正方形的外接圓，易得。3 正方體的外接球：正方體的八個(gè)頂點(diǎn)都在球面上，如圖5，以對(duì)角面作截面圖得，圓為矩形

8、的外接圓，易得。例3.在球面上有四個(gè)點(diǎn)、.如果、兩兩互相垂直，且,那么這個(gè)球的表面積是_.解：由已知可得、實(shí)際上就是球內(nèi)接正方體中交于一點(diǎn)的三條棱，正方體的對(duì)角線長(zhǎng)就是球的直徑，連結(jié)過(guò)點(diǎn)的一條對(duì)角線，則過(guò)球心，對(duì)角線練習(xí)：一棱長(zhǎng)為的框架型正方體，內(nèi)放一能充氣吹脹的氣球，求當(dāng)球與正方體棱適好接觸但又不至于變形時(shí)的球的體積。（答案為）4構(gòu)造直三角形，巧解正棱柱與球的組合問(wèn)題正棱柱的外接球，其球心定在上下底面中心連線的中點(diǎn)處，由球心、底面中心及底面一頂點(diǎn)構(gòu)成的直角三角形便可得球半徑。例4.已知三棱柱的六個(gè)頂點(diǎn)在球上，又知球與此正三棱柱的5個(gè)面都相切，求球與球的體積之比與表面積之比。分析：先畫(huà)出過(guò)球心的截面圖，再來(lái)探求半徑之間的關(guān)系。圖6解：如圖6，由題意得兩球心、是重合的，過(guò)正三棱柱的一條側(cè)棱和它們的球心作截面，設(shè)正三棱柱底面邊長(zhǎng)為，則，正三棱柱的高為，由中，得，練習(xí)：正四棱柱的各頂點(diǎn)都在半徑為