高等數(shù)學(xué)第四節(jié)多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則課件

1、高等數(shù)學(xué)第四節(jié)多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則1第四節(jié)第四節(jié) 多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則25P:一元函數(shù)的鏈?zhǔn)椒▌t, )(, )(xguufy設(shè)xdxgufudufyd)()()(則.)()(xgufxdyd或:多元函數(shù)的鏈?zhǔn)椒▌t,可微uf,)()(, ),(.tyytxxyxfu設(shè)定理1.)(, )(,可導(dǎo)可微tytxf則)()(tyutxutdudyxtuxy高等數(shù)學(xué)第四節(jié)多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則2,.yxtt 其余變量獲得相應(yīng)增量獲得增量設(shè)證,u 所以可微由于,),(yxfu )( oyfxfuyx 22yx tyxotyftxftuyx 22 )(tyftxftutytxt 00

2、0limlimlim222200tytxot lim)(lim 220yxtyftxfyx)()()()(tyftxftdudyx.即高等數(shù)學(xué)第四節(jié)多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則3,)()()(, ),(.tzztyytxxzyxfu對于推廣.有xyztu.)(, )(, )(,可導(dǎo)可微tztytxf)()()(tzutyutxutdudzyx以上公式中的導(dǎo)數(shù)以上公式中的導(dǎo)數(shù) 稱為稱為tdud高等數(shù)學(xué)第四節(jié)多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則4, ),(, ),(, ),(yxvyxuvufz 設(shè):推廣xvxuvzuzxz則yvyuvzuzyzzuvxy:再推廣,),(可微設(shè)wvuzz ,xwxvxuwzvzuzx

3、z則.ywyvyuwzvzuzyzzwvuyx,),(可偏導(dǎo)可微vuvufz 可偏導(dǎo)),(, ),(, ),(yxwwyxvvyxuu高等數(shù)學(xué)第四節(jié)多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則5xvvzxuuzxz.解1 veyveuucossin,)cossin(vvyeu1 vexveuucossin.)cossin(vvxeuzuvxy,sin.yxvyxuvezu而設(shè)例1.yzxz和求yvvzyuuzyz高等數(shù)學(xué)第四節(jié)多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則61 tztdvdvztduduztdzd.解#cossinttuvetttetettcossincos.cos)sin(costttetzuvtt,cos,sin.tv

4、eutuvzt而設(shè)例2.tdzd求全導(dǎo)數(shù)高等數(shù)學(xué)第四節(jié)多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則7w12xyz.,余類推再對第一變量求偏導(dǎo)先對第二變量表示對其第一個變量求偏導(dǎo)表示多元函數(shù)ffff121 xxzyxfzyxfxw)()(. 21解21fzyfzxw2)(21fzyfz;zfzyfyzf221zfzf21,下面分別計算具有二階連設(shè)例fzyxzyxfw, ),(.3.,zxwxw2和求續(xù)偏導(dǎo)數(shù)高等數(shù)學(xué)第四節(jié)多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則8zf11211fyxf zf22221fyxf zxw2于是2111fyxf 2fy )(2212fyxfzy .)(22222111fyfzyxfzxyf w12xyz),(

5、11zyxzyxff 注注),(22zyxzyxff zzzyxfzyxf)()( 2111zzzyxfzyxf)()( 2212 zxw2;221zfyzf yzf ),(12212ffCf 1f 高等數(shù)學(xué)第四節(jié)多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則9,),(, ),(.可偏導(dǎo)可微設(shè)例 fyxuyxufz4zuxxyy21fufxzx .解.,),(的偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)關(guān)于關(guān)于yyufz xxx.),(個變量的偏導(dǎo)數(shù)個變量的偏導(dǎo)數(shù)關(guān)于第二關(guān)于第二yufx31fufyzy .類似地分析它們的區(qū)別類似地分析它們的區(qū)別.,yzxz求高等數(shù)學(xué)第四節(jié)多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則10全微分形式不變性全微分形式不變性則有可微設(shè)函數(shù)

6、,),(vufz 則有可微若, ),(, ),(vuyxvvyxuuyvvzyuuzyzxvvzxuuzxz,因為:)(式有代入 2)(1vdvzuduzzd)(2ydyzxdxzzd高等數(shù)學(xué)第四節(jié)多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則11xdxvvzxuuzydyzxdxzzdydyvvzyuuzydyuxdxuuzydyvxdxvvzuduz.vdvz都有是自變量還是中間變量由此說明不論,vuvdvzuduzzd.性此為全微分的形式不變高等數(shù)學(xué)第四節(jié)多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則12,)(.02zyxezed解,)(02zdezdyxdezyxzdexdyydxezyx)()(2ydeexxdeeyzdzyxzy

7、x)()(22,2zyxeeyxz.2zyxeexyz.,.yzxzezezyx和和求求已已知知例例024高等數(shù)學(xué)第四節(jié)多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則13復(fù)合函數(shù)的高階偏導(dǎo)數(shù)復(fù)合函數(shù)的高階偏導(dǎo)數(shù).22122211142fyxfyxfyxf ., ),(.yxzCfyxyxfz22225求設(shè)例, )(.xfyfxz221 解yxz2112112fyyfxf )()()(xyfxf222221 fz 21yx高等數(shù)學(xué)第四節(jié)多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則14.22222xzatz, )()(.26Cgftaxgtaxfz設(shè)例.22222xzatz求證.證)()()(ataxgataxftzgafa22tz.gafa 22)( agaafa )()(taxgtaxfxz. )()(taxgtaxfxz 22),(都是一元函數(shù)gf高等數(shù)學(xué)第四節(jié)多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則15設(shè)設(shè)),(xv