數學論文_希爾伯特空間中子空間的閉性與補性

1、希爾伯特空間中子空間的閉性與補性 (孝感學院數學系031114112)摘要：本文主要討論了內積空間中子空間所需的條件,并證明了以下主要結果：（1） 設是內積空間,是中的子空間，則的子空間,使得.（2） 若是內積空間,是中的有限維子空間,則;設是無限維內積空間,是中的無限維子空間,則不一定成立關鍵詞：內積空間；直交補；子空間；閉集. Hilbert space neutron closed space with the complementary natureHuang xue-mei(031114112,Department of Mathematics,Xiaogan University)

2、Abstract: This article mainly discussed the inner product space neutron space to satisfy the condition which needed, and has proven belowthe main result: (1)supposes is the inner product space, is center sub- space, then when also only when has sub- space, causes .(2)if is the inner product space, i

3、s center finite-Dimensional the sub- space, then establishment; Supposes is the infinite Uygurinner product space, is center infinite Uygur sub- space, then not necessarily had been established. KeyWord: Inner product space; Is perpendicular to makes up; Sub- space; Closedset.0 問題的提出在文獻1中提出了如下問題：“Le

4、t be a space, is a subset of ,then is a closed subspace.Prove the conclusion.Beacause is closed,every vector in can be decomposed into ,where is in .If is also a subspace，can we conclude that ? why?”在文獻2中,只證明了是Hilbert空間的閉子空間時,有及成立本文將討論當是內積空間的子空間時,及在哪些條件下成立,并給出證明;文獻8研究了模糊內積空間中的投影定理,本文將探討一般內積空間中投影定理成立

5、的條件,并試圖減弱文獻2中的投影定理的條件.本文中,用表示與的內積;用表示的范數(由內積導出的范數即);當且僅當;為的直交補; 為的線性包;是的閉包;是線性包的閉包;是閉包的線性包; ,; 表示空集;若內積空間是復的內積空間時,是復數域;若內積空間是實的內積空間時,是實數域;是閉區(qū)間上全體連續(xù)函數構成的線性空間; Hilbert空間即完備的內積空間; 為子空間的維數;另外表示等于與的直和,即,使.本文還類似文獻3,7在內積空間中引入了正交補概念:設,是內積空間的子空間,若,就稱是的正交補在文獻5中討論了無限維歐式空間中子空間直交補(即為文獻5中的正交子空間)與正交補等價的條件,并且發(fā)現直交補與

6、正交補是否相同是由歐式空間的完備特性所決定的;本文在文獻4和5的啟發(fā)下,討論了當是內積空間的子空間時, 的直交補與正交補的關系.1 引理及證明引理1 （Schwarz不等式）設按內積成為內積空間,則對，成立不等式 當且僅當與線性相關時,不等式取“”引理2 設為內積空間,對,若,則證明 ,對,使得,有,使得,有于是, 當時,有 （由引理1）,又時,有 ,當時,有界,令,則,.注1 引理2說明:若將看作一個二元函數,則此二元函數是連續(xù)的,即極限符號與內積符號可以交換位置:.引理3 設為內積空間,是的子集,則是中的閉子空間.證明 先證是中的子空間：對,則,有,.再證是閉子空間：對收斂點列且,有:,由

7、引理2,有,是閉子空間.引理4 設是內積空間的非空子集,則成立.證明 對,.引理5 設,是內積空間中的非空子集且,則.證明 對,有,.引理6(投影定理) 設是Hilbert空間中的閉子空間,則成立.引理7 設是Hilbert空間中的閉子空間,則成立.引理8 設是內積空間的線性子空間,則.證明 為線性子空間, 又, 對,有且,.引理9 設是內積空間的非空子集且,則成立.證明 由引理4知,下證:對,由于,有,由引理3有 是中的閉子空間,應用引理8有 , .引理10 設是內積空間的子空間,則.證明 顯然成立,下證:對,使,是子空間, ,.引理11 設且,則且,有.證明 由積分中值定理,使,使.假設在

8、內只有一個實根,則由于且,在與上異號,不妨設在上,在上,矛盾,假設不成立,且,有.另證 令,則,又,由積分中值定理,使,.對在和上分別利用羅爾定理, 則,使,證畢.引理12 設且,則互不相同的,有.證明 用數學歸納法證明當時由引理11可知命題成立;假設當時命題成立, 即若，則互不相同的，使.當時,由命題條件可知,由假設可知:互不相同的,有.不妨設，則假設在上只有個根，又由于，且,則 當為偶數，易知：在與上異號.不妨設在上,在上.所以我們得到：矛盾. 當為奇數時，易知：在與上異號.不妨設在上,在上.容易證明： 矛盾.由,可知假設不成立.在上不只有這個根,且與都不相同,使.當時,互不相同的,有由,

9、可知對此命題都成立.2 主要結論及證明定理1 設是內積空間中的子空間,則 的子空, .證明 令,由引理3 是內積空間中的閉子空間 由引理4有,下證，由引理4有,由引理5,有，即, 又, .推論 設是內積空間的非空子集,則成立.證明 由引理3，知是內積空間中的子空間，令，由定理1得，即，亦即成立.注 也可以直接證明本推論，現證明如下：對與應用引理4，得與成立，對再應用引理5，得，故現在我們討論一般內積空間中的子空間是否滿足及,先對有限維內積空間中的子空間進行討論.定理2 有限維內積空間必為Hilbert空間.證明 只需證明是完備的. 設的一組標準正交基為,則只需證明柯西點列有在中收斂,可設，是柯

10、西點列, ，有，即,對每個,有,有 ,對每個,有是柯西數列必收斂，不妨設,其中,則令,則顯然成立,下證:由有,對每個,對上述,有且,即在中收斂,為完備的內積空間即Hilbert空間.定理3 有限維內積空間的子空間必為閉子空間.證明 只需證明是閉的,即對收斂點列且,要證.不妨設子空間的一組標準正交基為,可設,是收斂點列必為柯西點列,有,即 = ,對每個,有,有 對每個,有是柯西數列必收斂,不妨設,其中，令,則,下證:由有,對每個,，對上述,有 ,由極限的唯一性,有,為閉子空間.定理4 有限維內積空間的子空間必滿足.證明 由定理2和定理3可知是Hilbert空間中的閉子空間,由引理6和引理7,有及

11、成立.那么無限維內積空間的子空間是否滿足及?下面進行討論.定理5 設是無限維內積空間的子空間，且,則有,及成立.證明 易證(1)成立,下證成立:設的一組標準正交基為,則對,令,則,且, 下證,只需證明,有, , ,其中, 所以.又由引理9知成立. 注2以上定理說明若是無限維內積空間的有限維子空間,則必滿足及,那么如果是無限維內積空間的無限維子空間是否也有及成立?定理6 設是無限維內積空間的子空間且,則有;不一定成立.證明 只需舉出反例: 歐氏空間按成為內積空間,令,則易證是無限維內積空間的子空間,且,下求:對有,，取,則,方法1對,有 , ,又, , , 由引理8,知, ,由引理9,易證不成立

12、.方法2 ,設,則 , 易知:, 由引理12,可知在(a,b)上可找到個互不相同的零點, 在(a,b)上可找到個互不相同的零點,的次數為,由引理9,易證不成立.注3 由定理4、5、6可得到本文的主要結論: 若是內積空間,是中的有限維子空間,則與成立;設是無限維內積空間,是中的無限維子空間,則與不一定成立現在討論直交補與正交補的關系:定理7 設是內積空間中的子空間, 是的正交補,則是的直交補,即.證明 先證 , 對,是的正交補,;下證,即證,有.,使,即,又, , 由上可知.注4 由定理7可知內積空間中的子空間的正交補一定是的直交補,換句話說的正交補的條件比直交補的要強一些;并且:若是內積空間中

13、的有限維子空間，則由定理4、5可知與滿足正交補定義的條件和,即此時的直交補也是的正交補;因此當是內積空間中的有限維子空間時,的正交補和直交補等價;設是無限維內積空間中的無限維子空間,則由定理6可知的正交補和直交補不一定等價下面討論當是Hilbert空間中的閉子空間時,、之間的關系.定理8 設是Hilbert空間中的閉子空間，則有成立.證明 是中的閉子空間，由引理10知是中的閉子空間，又由引理7，知，因此得到,是中的閉子空間,.3 結束語本文在文獻2中的投影定理及其推論的基礎上,結合文獻4,5中論述的線性空間中有限維與無限維的差異,解決了文獻1提出的問題并且得出了一些新的結論, 不同于文獻10,

14、 本文在這些結論的基礎上,討論了內積空間的子空間的直交補與正交補的關系,使今后對內積空間的研究變得更方便.相較文獻4而言,本文又補充了線性空間中有限維與無限維的一個本質差異.參考文獻1 Kreyszig E. Introductory functional analysis with applicationsM. New York:John Wrley & Sons: Inc. 19782 程其襄等.實變函數與泛函分析基礎(第二版)M.北京：高等教育出版社，2003.的含anMsh訂立定理3 王萼芳等.高等代數(第三版) M. 北京：高等教育出版社,2003,2.4 王航平.線性空間中有限維與無限維之差異J.中國計量學院學報,2003,14(1):67-69.5 舒世昌.無限維歐式空間中的正交補與正交子空間J.教育創(chuàng)新,2003,12(2):31-31.維歐式空間子空間的正交補J.桂林市教育學院學報,2000,14(4):94-95.7 胡運紅等.歐式空間中的子空間的正交補的探討J. 運城學院