高中數(shù)學論文：從數(shù)學高觀點試題探析中談初、高等數(shù)學的銜接教學

1、高中數(shù)學論 文高屋建瓴，融會貫通從數(shù)學高觀點試題探析中談初、高等數(shù)學的銜接教學【摘 要】近年來高等數(shù)學的基本思想、基本方法和基本問題為高考試題的命制提供了新的背景和新的思路。高等數(shù)學的一些內容可以通過初等數(shù)學的方法和手段解決，是考查學生進一步學習潛能的良好素材。以高等數(shù)學知識為背景的高觀點試題，既能實現(xiàn)高等數(shù)學與初等數(shù)學的接軌，又能有效地考查學生的思維能力和繼續(xù)學習數(shù)學的潛能，因而近年來此類問題更是“頻頻登場”。本文以近幾年各地高考試題為例，探索此類問題的命題背景和剖析解題方法，對在高中學習中如何搞好初、高等數(shù)學的銜接教學進行了探究?！娟P鍵詞】高觀點試題 背景探析 中學數(shù)學與高等數(shù)學的銜接教學

2、一問題的提出近年來高等數(shù)學的基本思想、基本方法和基本問題為高考試題的命制提供了新的背景和新的思路。高等數(shù)學的一些內容可以通過初等數(shù)學的方法和手段解決，是考查學生進一步學習潛能的良好素材。以高等數(shù)學知識為背景的高觀點試題，既能實現(xiàn)高等數(shù)學與初等數(shù)學的接軌，又能有效地考查學生的思維能力和繼續(xù)學習數(shù)學的潛能。扎實的數(shù)學基礎及數(shù)學思維方法的運用是大學生成才必備的素養(yǎng)，當然是實現(xiàn)我國今年提出的建設“創(chuàng)新型”國家的根本的內在的途徑。高考數(shù)學考試大綱明確指出高考命題要與高等數(shù)學相關聯(lián)，要為學生進入高校學習作準備，因此近幾年高考數(shù)學試題中出現(xiàn)了大量與高等數(shù)學銜接緊密的高觀點試題。二什么是高觀點試題所謂高觀點試

3、題，是指與高等數(shù)學相聯(lián)系的問題，這樣的問題或以高等數(shù)學符號、概念直接出現(xiàn)，或以高等數(shù)學的概念、定理作為依托融于初等數(shù)學知識中，或體現(xiàn)高等數(shù)學中常用的數(shù)學思想方法和推理方法。它能寬角度、多觀點地考查學生基本的數(shù)學素養(yǎng)，有層次地深入了解數(shù)學理性思維和進一步深造的潛能。高等數(shù)學中有些經典問題的處理方法既是數(shù)學的精髓所在，也是學生的數(shù)學素養(yǎng)和數(shù)學潛能所在。高等數(shù)學與初等數(shù)學交匯是高考命題的六大交匯之一，是現(xiàn)代數(shù)學新高考創(chuàng)新題的重要題源。作為中學數(shù)學老師只有了解高考試題的來龍去脈，才能居高臨下。本文試以近幾年各地高考題為例，研究此類問題的命題背景和剖析解題方法，探索在高中學習中如何搞好初、高等數(shù)學的銜接

4、教學。三在初、高等數(shù)學的銜接處命題（一）以高等數(shù)學中的基本內容為背景以高等數(shù)學的某些分支的基本概念、基本理論、基本定理為背景,可以考查學生的閱讀理解能力以及將新情景轉化為熟悉知識的學習能力以及考查學生的知識遷移的能力。1以基本概念為背景的高觀點試題例1 （2006年高考四川理第16題）非空集合g關于運算滿足：（1）對任意，都有；（2）存在，使得對一切，都有，則稱g關于運算為“融洽集”.現(xiàn)給出下列集合和運算： g=非負整數(shù)，為整數(shù)的加法;g=偶數(shù)，為整數(shù)的乘法;g=平面向量，為平面向量的加法;g=二次三項式，為多項式的加法;g=虛數(shù)，為復數(shù)的乘法.其中g關于運算為“融洽集”的是 （寫出所有“融洽

5、集”的序號）。題源探析: 這是一道以高等代數(shù)中的群論為背景而編擬的一道新題，將“融洽集”以信息形式給出。高等代數(shù)中的 “群”的定義：如果在一個非空集合g上定義了一個代數(shù)運算，而且要求滿足結合律、有單位元、有逆元，那么g稱為一個群.而本題中第(1)條實際上指出g關于該運算具有封閉性,第(2)條指出g關于該運算有單位元,因此所謂“融洽集”實際上是“群”概念的變形. 本題考查考生對新情景下知識的理解、抽象概括能力，是一道以高中學生熟悉的非負整數(shù)、偶數(shù)、平面向量、二次三項式、虛數(shù)為載體編擬的判斷填空題?？疾閷W生閱讀、理解、新知識的遷移能力以及綜合運用數(shù)學知識解決問題的能力，體現(xiàn)了在高等數(shù)學與高中數(shù)學的

6、銜接處命題。解析：根據(jù)題目給出的信息不難判斷：沒有單位元，不滿足封閉性，只有中的g關于運算為“融洽集”。2以基本理論為背景的高觀點試題例2（2004年浙江高考第12題）若f(x)和g(x)都是定義在實數(shù)集r上的函數(shù)，且方程x-fg(x)=0有實數(shù)解，則gf(x)不可能是（ ）.(a)x2+x- (b)x2+x+ (c)x2- (d)x2+題源探析：本題以函數(shù)方程的形式考查了抽象復合函數(shù)的不動點理論，是浙江試題中最出彩的題目，充分體現(xiàn)了能力立意的方向。3以基本定理為背景的高觀點試題例3(2004年廣東省高考第21題)設函數(shù)其中常數(shù)m為整數(shù).(1) 當m為何值時，(2) 定理: 若函數(shù)g(x) 在

7、a， b 上連續(xù)，且g(a) 與g(b)異號，則至少存在一點x0(a，b)，使g(x0)=0.試用上述定理證明:當整數(shù)m1時，方程f (x)= 0，在e-m ，e2-m 內有兩個實根。題源探析：第一小題利用導數(shù)來研究函數(shù)的性質，是新教材注入中學數(shù)學的又一亮點.第二小題要求學生利用高等數(shù)學中的介值定理，證明方程在某區(qū)間有兩個根，是考察學生數(shù)學素養(yǎng)的好題。解析:（i）解：函數(shù)f(x)=x-ln(x+m),x(-m,+)連續(xù)，且當x(-m,1-m)時,f（x）f(1-m)當x(1-m, +)時,f（x）0,f(x)為增函數(shù),f(x)f(1-m)根據(jù)函數(shù)極值判別方法，f(1-m)=1-m為極小值，而且

8、對x(-m, +)都有f(x)f(1-m)=1-m故當整數(shù)m1時，f(x) 1-m0(ii)證明：由（i）知，當整數(shù)m1時，f(1-m)=1-m1時，(由于m1,故2m-11,上述不等式也可用數(shù)學歸納法證明)類似地，當整數(shù)m1時，函數(shù)f(x)=x-ln(x+m),在 上為連續(xù)增函數(shù)且 f(1-m)與異號，由所給定理知，存在唯一的故當m1時，方程f(x)=0在內有兩個實根。（二）以高等數(shù)學的數(shù)學思想為背景數(shù)學思想和方法是數(shù)學知識在更高層次上的抽象和概括，蘊涵在數(shù)學知識發(fā)生、發(fā)展和應用的過程中，能夠遷移并廣泛應用于相關學科和社會生活中。數(shù)學思想和方法是數(shù)學知識的精髓，是分析和解決數(shù)學問題的基本原則

9、，也是數(shù)學素養(yǎng)的重要內涵。高考數(shù)學學科提出“以能力立意命題”，正是為了更好地考查數(shù)學思想，促進考生數(shù)學理性思維的發(fā)展?？v觀近幾年的高考試題，對數(shù)學思想方法的考查并不考查其理論本身，而是考查其應用，并且不局限于數(shù)形結合思想、分類討論思想、函數(shù)思想、等價轉化思想。為了考查學生的學習潛能，為此還設計一些滲透高等數(shù)學的數(shù)學思想為背景而用初等數(shù)學的語言表述的問題。oxyp1p2pn-1q1q2qn-11極限的思想在高考試題中的滲透例1（2007年高考安徽卷）如右圖，拋物線與x軸的正半軸交于點a，將線段oa的n等分點從左至右依次記為p1，p2，pn-1，過這些分點分別作x軸的垂線，與拋物線的交點依次為q1

10、，q2，qn-1，從而得到n-1個直角三角形，當n時，這些三角形的面積之和的極限為 。題源探析：本題設計圖形面積和的極限，不僅充分滲透了中學數(shù)學中數(shù)形結合的數(shù)學思想，而且實際上滲透了高等數(shù)學中無限細分的思想，這也是高等數(shù)學和初等數(shù)學的一個銜接點知識，教材在推導球的體積公式中予以體現(xiàn)，在高等數(shù)學和初等數(shù)學的銜接點命題，這有利于考查考生進一步學習高等數(shù)學的能力及數(shù)學潛質，這也是現(xiàn)行高考的一個動向，2導數(shù)的思想在高考試題中的滲透例2（06年廣東高考卷）是定義在上且滿足如下條件的函數(shù)組成的集合：對任意的，都有；存在常數(shù)，使得對任意的，都有.試求解：(1) 設 ，證明：；(2) 設，如果存在，使得，那么

11、這樣的是唯一的；(3) 設，任取，令，證明：給定正整數(shù)，對任意的正整數(shù)，不等式成立.題源探析：這是一道界定新范圍類的問題.求解這類題目的一個基本前提是明確“界定新范圍”的充要性，如本例界定a的范圍的兩條標準即可作判定條件。第（1）小題利用導數(shù)的思想判斷出函數(shù)的增減性；第（2）小題可從數(shù)形結合的角度導出矛盾，也可用高等數(shù)學的導數(shù)的思想處理證明問題。對于第（1）（3）小問也可以采用微分方程的利普希茨判定條件和估值技巧來求證。解析 ：（1）利用高等數(shù)學中的導數(shù)的思想判斷出函數(shù)的增減性對任意 ， 即在上是增函數(shù)。 ，即滿足集合a的第條件.對任意的有令=,顯然，且，即滿足集合a的第條件 綜上所述，函數(shù)（

12、2）證法一：從中學數(shù)學的角度分析假設存在兩個，使得, ，則由有 ，但與相矛盾這樣的是唯一的。證法二：從數(shù)形結合的思想方法分析若有且，使，則兩點與的連線的斜率1但由條件（）可得故如果存在，使得，那么這樣的是唯一的。證法三：從高等數(shù)學的導數(shù)思想分析要證明中的唯一性，令函數(shù)只需證明在中是嚴格單調便可因，而，即在嚴格單調。故如果存在，使得，那么這樣的是唯一的.（3）從高等數(shù)學中的迭代的思想分析 ， 3微積分的思想在高考試題中的滲透例3(2006年高考湖北文第15題)半徑為的圓的面積，周長，若將r看作上的變量，則式可以用語言敘述為：圓的面積函數(shù)的導數(shù)等于圓的周長函數(shù)。對于半徑為r的球，若將r看作(0，)

13、上的變量，請你寫出類似于的式子：式可以用語言敘述為： 。解：不難類比得到：，球的體積函數(shù)的導數(shù)等于球的表面積函數(shù)。題源探析：積分學最初起源于面積、體積等問題的計算，而在微積分學中,積分和微分互為逆運算，即有,由此可知本例實際根源于微積分學的這個基本思想。4級數(shù)的思想在高考試題中的滲透例4（2002年高考理科第22題）設數(shù)列滿足，（)當時，并由此猜想出的一個通項公式； （）當時，證明對所有的，有 （）； （）題源探析：其中的(）之（）就是以“數(shù)學分析中的無窮級數(shù)的部分和數(shù)列 有極限，則稱級數(shù)收斂”這一定義為靈感點，結合級數(shù)收斂的速度得到的高考題 從高等數(shù)學的角度分析一下()之()的思路：從技術的

14、觀點看，(）之（）具體指正項級數(shù)的前n項和有上界，故級數(shù)收斂，其收斂的速度大于的速度（），由比較判斷知必有，即從初等數(shù)學的角度描述上述過程為： 只要證明即可，比較判斷需證，即證，而對于的證明有多種途徑可證明。 （三）以基本方法為背景的高觀點試題例8（2007年高考廣東理科第21 題）已知函數(shù)，是方程的兩個根，是的導數(shù)設，（1）求的值；（2）證明：對于任意的正整數(shù)已知對任意的，都有；（3）記求數(shù)列的前項和題源探析：本題的背景是高等代數(shù)中的牛頓迭代法：為了計算方程的近似根，我們在附近找一個點，過點作曲線的切線交軸與，一直進行下去，就會得到的近似根。（四）以高等數(shù)學中研究的函數(shù)性質為背景例9 （20

15、06年高考四川理22）已知函數(shù)，f（x）的導函數(shù)是。對任意兩個不相等的正數(shù)、，證明：（）當a0時，；（）當a4時，。題源探析：本題作為壓軸題，主要考查導數(shù)的基本性質和應用，函數(shù)的性質和平均值不等式及綜合分析、推理論證的能力。但這道題有較深刻的高等數(shù)學背景。本題（）實際上就是證明該函數(shù)為凸函數(shù).第(2)小題以微積分學中的拉格朗日中值定理為背景，主要考查導數(shù)的基本性質和應用，函數(shù)的性質和平均值不等式等知識及綜合分析、推理論證的能力。這在數(shù)學分析（上）或吉為多維奇著數(shù)學分析習題集中我們可以找到許多這類題的背景和影子。這再一次體現(xiàn)高考數(shù)學要有利于高校選拔人才、有利于學生后繼學習的命題思想。下面從高等數(shù)

16、學的角度分析一下()之()的思路：（）當時，有故函數(shù)f(x) 是凸函數(shù)，故有。（）不妨設,由拉格朗日中值定理知, 存在使得,要證,只須證,而故只須證即只須證，而故當時，有，從而證得。以上用高等數(shù)學的方法處理這道題，還原了該題的命題思路，也比參考答案簡捷許多.對于本題第問，若將變形為，如果考慮到高中數(shù)學中數(shù)形結合的思想，由此可聯(lián)想斜率公式，由、的任意性可知，其實質即為y =圖象上任意一點的斜率，于是可從二階導數(shù)的角度很快找出正確的解決策略。四在初、高等數(shù)學的銜接處教學以高等數(shù)學知識為背景的高觀點試題,不拘泥于課本知識的束縛,有利于遏制題海戰(zhàn)術,有利于考試公平,有利于選拔具有數(shù)學學習潛能的人才。此

17、類題目的設計雖來源于高等數(shù)學，但一般起點高、落點低，其解決方法還是中學所學的初等數(shù)學知識，較易突破。筆者認為用高等數(shù)學派生知識求解的試題將不斷增加，為考查考生的學習潛能而設計的一些以高等數(shù)學的基本知識為背景，用初等數(shù)學語言表述的“再發(fā)現(xiàn)型”問題值得關注，這類問題是學生學習方式轉變的紐帶。因此中學教師要了解與中學數(shù)學知識有關的拓展知識和內在的思想方法, 在高中階段我們應重視在初、高等數(shù)學的銜接處教學，切實提高學生的數(shù)學素質。筆者認為搞好教學銜接的方法可以從以下幾方面入手：1掌握學法，養(yǎng)成習慣由于高等數(shù)學教學進度快，理論抽象，僅靠課堂上聽一聽就想把知識全部掌握是不現(xiàn)實的，因此，中學教師應指導學生做

18、好課前預習和課后復習，引導學生掌握學習方法，形成良好的學習習慣。通過預習，能使學生在學習新知識時，既提高聽課的積極性又增加聽課的選擇性，并努力掌握教師分析問題的思路和方法，從而大大提高學生的聽課質量，同時也克服了一些學生對教師的過分依賴，增強了學生的自信心。通過復習，讓學生學會概括和總結，學完一個章節(jié)，就應讓學生把所學的知識進行概括，整理成系統(tǒng)的知識結構圖，增強對知識的理解，保持有效記憶，從而使學生形成自己的知識結構體系。2正確使用數(shù)學語言抽象的數(shù)學知識是用數(shù)學語言和抽象的符號來描述的。與中學數(shù)學相比，高等數(shù)學的理論性更強，內容更抽象，出現(xiàn)大量新的抽象的數(shù)學符號及邏輯語言的應用，使大學生在短期

19、內很難適應。中學教師在教學時也要重視對學生進行數(shù)學語言及符號運用方面的訓練。經過練習，學生會認識到數(shù)學語言是多么的嚴謹精辟和和諧，符號的應用對結構體系的建立是多么重要。能使學生感到數(shù)學語言不再是枯燥乏味而是解決問題的有效工具。3提升能力，注重發(fā)展高中數(shù)學教學大綱規(guī)定“高中數(shù)學的教學目的是：使學生學好從事社會主義現(xiàn)代化建設和進一步學習所必需的代數(shù)、幾何的基礎知識和概率統(tǒng)計、微積分的初步知識，并形成基本技能；進一步培養(yǎng)學生的思維能力、運算能力、空間想象能力，以逐步形成運用數(shù)學知識來分析和解決實際問題的能力；進一步培養(yǎng)良好的個性品質和辯證唯物主義觀點”。調整能力結構，以思維能力為核心，全面考查各種數(shù)

20、學能力。高考數(shù)學科考試說明則進一步提出“對能力的考查，以思維能力為核心，全面考查各種能力，強調探究性、綜合性、應用性，切合考生的實際。運算能力是思維能力與運算技能的結合，對考生運算能力的考查以含字母的式的運算為主，同時要兼顧對算理和邏輯推理的考查空間想象能力是對空間形式的觀察、分析、抽象的能力，圖形的處理和圖形的變換都要注意與推理相結合。分析問題和解決問題的能力是上述三種基本數(shù)學能力的綜合體現(xiàn)”。 以考核信息接受和處理能力，數(shù)學閱讀和觀察能力，可以考查學生的應變能力和研究能力：要真正解決素質教育與應試教育的關系，首先要轉變教育觀念。在中學數(shù)學教學中應重視以下能力的發(fā)展。31 重視閱讀能力的培養(yǎng)

21、閱讀能力是自學能力的重要體現(xiàn)，是主動獲取知識的重要方面。中學數(shù)學教師要引導學生學會閱讀，要明確告訴學生，閱讀數(shù)學書籍特別是定義、定理及其推論，必須逐字逐句仔細推敲。要讓學生明白，僅從邏輯上弄懂了某個定理的證明，并不等于理解了這個定理，還要把書本上的思想變成自己的思想。應強調閱讀要和獨立思考緊密結合，在獨立思考有了相當?shù)奶岣吆?，再學新的定理時，就不妨作一些想象和試證，然后再閱讀，這樣可把證明的思想弄得更透，經過概括和總結把書本知識變成自己的知識。32 培養(yǎng)學生的雙向思維能力雙向思維是可逆思維，數(shù)學中的數(shù)量關系有許多可逆成份，要培養(yǎng)學生習慣于雙向思維。定理與逆定理，命題的充要條件，某些概念的定義都

22、具有可逆性。如果注意強調可逆性，下力氣去訓練可逆推導，不僅可以加深對知識的理解，而且能培養(yǎng)靈活運用知識的能力。實踐證明，思維的靈活性與雙向思維的靈活及雙向思維的建立有關，中學數(shù)學教師應有意讓學生加強訓練和指導，克服過去單向思維的思維慣性，使學生在解決數(shù)學問題時，不僅從正面，也善于從反面加以考慮，使運用知識的能力不斷提高。33 培養(yǎng)學生思維的批判性所謂培養(yǎng)學生思維的批判性，就是培養(yǎng)學生善于探討現(xiàn)象的根本原因，并得到正確論斷方法；不輕率盲從，而深入思考，如果發(fā)現(xiàn)問題，就提出進行爭論，分清什么是正確的，什么是錯誤的，從而提高學生辨別是非的能力，加強學生的獨立性等個性品質的充分發(fā)展，作為中學數(shù)學教師應從改革教學法入手，轉變教育思想，要尊重學生的意見和想法，允許學生對教學提出批評，鼓勵學生在學習中敢于質疑，敢于創(chuàng)新。4培養(yǎng)創(chuàng)新意識 高中數(shù)學教學