MATLAB與數(shù)學(xué)建模符計(jì)算課件

1、2012級(jí)級(jí) MATLAB與數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)建模第第6 6章章 MATLABMATLAB符號(hào)計(jì)算符號(hào)計(jì)算主要內(nèi)容：主要內(nèi)容： 6.1 6.1 符號(hào)計(jì)算基礎(chǔ)符號(hào)計(jì)算基礎(chǔ) 6.2 6.2 符號(hào)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用符號(hào)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 6.3 6.3 符號(hào)積分符號(hào)積分 6.4 6.4 級(jí)數(shù)級(jí)數(shù) 6.5 6.5 代數(shù)方程的符號(hào)求解代數(shù)方程的符號(hào)求解 6.6 6.6 常微分方程的符號(hào)求解常微分方程的符號(hào)求解2012級(jí)級(jí) MATLAB與數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)建模6.1 6.1 符號(hào)計(jì)算基礎(chǔ)符號(hào)計(jì)算基礎(chǔ)MATLAB中符號(hào)計(jì)算函數(shù)是數(shù)值計(jì)算函數(shù)的重載，中符號(hào)計(jì)算函數(shù)是數(shù)值計(jì)算函數(shù)的重載，符號(hào)計(jì)算工具箱采用的函數(shù)和數(shù)值計(jì)算的函數(shù)有一

2、符號(hào)計(jì)算工具箱采用的函數(shù)和數(shù)值計(jì)算的函數(shù)有一部分同名，為得到準(zhǔn)確的在線幫助，應(yīng)該用部分同名，為得到準(zhǔn)確的在線幫助，應(yīng)該用help sym/函數(shù)名函數(shù)名例如：例如： help sym/inv2012級(jí)級(jí) MATLAB與數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)建模6.1 6.1 符號(hào)計(jì)算基礎(chǔ)符號(hào)計(jì)算基礎(chǔ)6.1.1 符號(hào)對(duì)象符號(hào)對(duì)象1. 建立符號(hào)變量和符號(hào)常數(shù)建立符號(hào)變量和符號(hào)常數(shù)(1)sym函數(shù)函數(shù) sym函數(shù)用來建立單個(gè)符號(hào)變量和符號(hào)表達(dá)式，例如，函數(shù)用來建立單個(gè)符號(hào)變量和符號(hào)表達(dá)式，例如，a=sym(a) 建立符號(hào)變量建立符號(hào)變量a，此后，用戶可以在表達(dá)式中，此后，用戶可以在表達(dá)式中使用變量使用變量a進(jìn)行各種運(yùn)算。進(jìn)行

3、各種運(yùn)算。 rho = sym(1+sqrt(5)/2) f = rho2-rho-1rho = (1+sqrt(5)/2 f = (1/2+1/2*5(1/2)2-3/2-1/2*5(1/2)2012級(jí)級(jí) MATLAB與數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)建模例例6.1 考察符號(hào)變量和數(shù)值變量的差別?？疾旆?hào)變量和數(shù)值變量的差別。 在在 MATLAB命令窗口，輸入命令：命令窗口，輸入命令：a=sym(a); b=sym(b);c=sym(c); d=sym(d); %定義定義4個(gè)符號(hào)變量個(gè)符號(hào)變量w=10; x=5; y=-8; z=11; %定義定義4個(gè)數(shù)值變量個(gè)數(shù)值變量A=a, b; c, d %建立符號(hào)矩陣

4、建立符號(hào)矩陣AB=w, x; y, z %建立數(shù)值矩陣建立數(shù)值矩陣Bdet(A) %計(jì)算符號(hào)矩陣計(jì)算符號(hào)矩陣A的行列式的行列式det(B) %計(jì)算數(shù)值矩陣計(jì)算數(shù)值矩陣B的行列式的行列式A = a, b c, d B = 10 5 -8 11ans = a*d-b*c ans = 1502012級(jí)級(jí) MATLAB與數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)建模例例6.2 比較符號(hào)常數(shù)與數(shù)值在代數(shù)運(yùn)算時(shí)的差別。比較符號(hào)常數(shù)與數(shù)值在代數(shù)運(yùn)算時(shí)的差別。pi1=sym(pi); k1=sym(8);k2=sym(2); k3=sym(3); % 定義符號(hào)變量定義符號(hào)變量pi2=pi; r1=8; r2=2; r3=3; % 定義數(shù)

5、值變量定義數(shù)值變量sin(pi1/3) % 計(jì)算符號(hào)表達(dá)式值計(jì)算符號(hào)表達(dá)式值 sin(pi2/3) % 計(jì)算數(shù)值表達(dá)式值計(jì)算數(shù)值表達(dá)式值sqrt(k1) % 計(jì)算符號(hào)表達(dá)式值計(jì)算符號(hào)表達(dá)式值sqrt(r1) % 計(jì)算數(shù)值表達(dá)式值計(jì)算數(shù)值表達(dá)式值sqrt(k3+sqrt(k2) % 計(jì)算符號(hào)表達(dá)式值計(jì)算符號(hào)表達(dá)式值sqrt(r3+sqrt(r2) % 計(jì)算數(shù)值表達(dá)式值計(jì)算數(shù)值表達(dá)式值ans = 1/2*3(1/2)ans = 0.8660ans = 2*2(1/2)ans = 2.8284ans =(3+2(1/2)(1/2)ans = 2.10102012級(jí)級(jí) MATLAB與數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)建模

6、6.1 6.1 符號(hào)計(jì)算基礎(chǔ)符號(hào)計(jì)算基礎(chǔ)(2)syms函數(shù)函數(shù)syms函數(shù)的一般調(diào)用格式為：函數(shù)的一般調(diào)用格式為：syms var1 var2 varn 函數(shù)定義符號(hào)變量函數(shù)定義符號(hào)變量var1,var2,varn等。用這種格式等。用這種格式定義符號(hào)變量時(shí)定義符號(hào)變量時(shí)不要不要在變量名上加字符分界符在變量名上加字符分界符()，變，變量間用空格而量間用空格而不要不要用逗號(hào)分隔。用逗號(hào)分隔。 syms a b c dv符號(hào)計(jì)算的結(jié)果是符號(hào)或符號(hào)表達(dá)式，如果其中的符號(hào)計(jì)算的結(jié)果是符號(hào)或符號(hào)表達(dá)式，如果其中的符號(hào)要用具體數(shù)值代替，可以用符號(hào)要用具體數(shù)值代替，可以用subs函數(shù)，例如將函數(shù)，例如將A中的

7、符號(hào)中的符號(hào)a以數(shù)值以數(shù)值5代替，可以用代替，可以用B=subs(A,a,5)2012級(jí)級(jí) MATLAB與數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)建模clear;syms a b c d;A1=a,b;c,d;A2=det(A1);A3=subs(A2,a,1);A3=subs(A3,b,2);A3=subs(A3,c,3);A3=subs(A3,d,4) 例例6.3 計(jì)算行列式計(jì)算行列式 ，當(dāng)，當(dāng) 時(shí)計(jì)算時(shí)計(jì)算A的數(shù)值結(jié)果。的數(shù)值結(jié)果。abAcd1,2,3,4abcdA3 = -22012級(jí)級(jí) MATLAB與數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)建模6.1 6.1 符號(hào)計(jì)算基礎(chǔ)符號(hào)計(jì)算基礎(chǔ)2. 建立符號(hào)表達(dá)式建立符號(hào)表達(dá)式例例6.4 用兩種

8、方法建立符號(hào)表達(dá)式。用兩種方法建立符號(hào)表達(dá)式。在在MATLAB窗口，輸入命令：窗口，輸入命令：U=sym(3*x2+5*y+2*x*y+6) %定義符號(hào)表達(dá)式定義符號(hào)表達(dá)式Usyms x y; %建立符號(hào)變量建立符號(hào)變量x、yV=3*x2+5*y+2*x*y+6 %定義符號(hào)表達(dá)式定義符號(hào)表達(dá)式V2*U-V+6 %求符號(hào)表達(dá)式的值求符號(hào)表達(dá)式的值U = 3*x2+5*y+2*x*y+6V = 3*x2+5*y+2*x*y+6ans = 3*x2+5*y+2*x*y+122012級(jí)級(jí) MATLAB與數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)建模例例6.5 計(jì)算計(jì)算3階范得蒙矩陣行列式的值。設(shè)階范得蒙矩陣行列式的值。設(shè)A是一是

9、一個(gè)由符號(hào)變量個(gè)由符號(hào)變量a,b,c確定的范得蒙矩陣。確定的范得蒙矩陣。syms a b cU=a,b,cA=1,1,1;U;U.2 %建立范得蒙符號(hào)矩陣建立范得蒙符號(hào)矩陣det(A) %計(jì)算計(jì)算A的行列式值的行列式值U = a, b, cA = 1, 1, 1 a, b, c a2, b2, c2ans = b*c2-c*b2-a*c2+a*b2+a2*c-a2*b2012級(jí)級(jí) MATLAB與數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)建模6.1 6.1 符號(hào)計(jì)算基礎(chǔ)符號(hào)計(jì)算基礎(chǔ)例例6.6 建立建立x,y的一般二元函數(shù)。的一般二元函數(shù)。在在MATLAB命令窗口，輸入命令：命令窗口，輸入命令：syms x y;f=sym(

10、f(x,y)f = f(x,y)2012級(jí)級(jí) MATLAB與數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)建模6.1.2 基本的符號(hào)運(yùn)算基本的符號(hào)運(yùn)算1. 符號(hào)表達(dá)式運(yùn)算符號(hào)表達(dá)式運(yùn)算(1) 符號(hào)表達(dá)式的四則運(yùn)算符號(hào)表達(dá)式的四則運(yùn)算例例6.7 符號(hào)表達(dá)式的四則運(yùn)算示例。符號(hào)表達(dá)式的四則運(yùn)算示例。在在 MATLAB命令窗口，輸入命令：命令窗口，輸入命令：syms x y z; f=2*x+x2*x-5*x+x3 %符號(hào)表達(dá)式的結(jié)果為最簡(jiǎn)形式符號(hào)表達(dá)式的結(jié)果為最簡(jiǎn)形式f=2*x/(5*x) %符號(hào)表達(dá)式的結(jié)果為最簡(jiǎn)形式符號(hào)表達(dá)式的結(jié)果為最簡(jiǎn)形式f=(x+y)*(x-y) %符號(hào)表達(dá)式的結(jié)果不是符號(hào)表達(dá)式的結(jié)果不是x2-y2，而是

11、，而是 %(x+y)*(x-y)f =-3*x+2*x3f =2/5f =(x+y)*(x-y)2012級(jí)級(jí) MATLAB與數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)建模6.1 6.1 符號(hào)計(jì)算基礎(chǔ)符號(hào)計(jì)算基礎(chǔ)(2)因式分解與展開因式分解與展開factor(S) 對(duì)對(duì)S分解因式，分解因式，S是符號(hào)表達(dá)式或符號(hào)矩陣。是符號(hào)表達(dá)式或符號(hào)矩陣。expand(S) 對(duì)對(duì)S進(jìn)行展開，進(jìn)行展開，S是符號(hào)表達(dá)式或符號(hào)矩陣。是符號(hào)表達(dá)式或符號(hào)矩陣。collect(S) 對(duì)對(duì)S合并同類項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，S是符號(hào)表達(dá)式或符號(hào)矩陣。是符號(hào)表達(dá)式或符號(hào)矩陣。collect(S,v) 對(duì)對(duì)S按變量按變量v合并同類項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，S是符號(hào)表達(dá)式或是符

12、號(hào)表達(dá)式或符號(hào)矩陣。符號(hào)矩陣。2012級(jí)級(jí) MATLAB與數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)建模例例6.8 對(duì)符號(hào)矩陣對(duì)符號(hào)矩陣A的每個(gè)元素分解因式。的每個(gè)元素分解因式。命令如下：命令如下：syms a b x y;A=2*a2*b3*x2-4*a*b4*x3+10*a*b6*x4, 3*x*y-5*x2; 4, a3-b3;factor(A) %對(duì)對(duì)A的每個(gè)元素分解因式的每個(gè)元素分解因式A = 2*a2*b3*x2-4*a*b4*x3+10*a*b6*x4, 3*x*y-5*x2 4, a3-b3ans = 2*a*b3*x2*(5*b3*x2-2*b*x+a), -x*(-3*y+5*x) 4, (a-b)*

13、(a2+a*b+b2)2012級(jí)級(jí) MATLAB與數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)建模例例6.9 計(jì)算表達(dá)式計(jì)算表達(dá)式S的值。的值。syms x y;s=(-7*x2-8*y2)*(-x2+3*y2);expand(s) %對(duì)對(duì)s展開展開collect(s,x) %對(duì)對(duì)s按變量按變量x合并同類項(xiàng)合并同類項(xiàng)(無同類項(xiàng)無同類項(xiàng))factor(ans) % 對(duì)對(duì)ans分解因式分解因式expand(cos(x+y)ans =7*x4-13*x2*y2-24*y4 ans =7*x4-13*x2*y2-24*y4 ans =(8*y2+7*x2)*(x2-3*y2)ans =cos(x)*cos(y)-sin(x)*si

14、n(y)2012級(jí)級(jí) MATLAB與數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)建模6.1 6.1 符號(hào)計(jì)算基礎(chǔ)符號(hào)計(jì)算基礎(chǔ)(3)表達(dá)式化簡(jiǎn)表達(dá)式化簡(jiǎn)MATLAB提供的對(duì)符號(hào)表達(dá)式化簡(jiǎn)的函數(shù)有：提供的對(duì)符號(hào)表達(dá)式化簡(jiǎn)的函數(shù)有：simplify(S) 應(yīng)用函數(shù)規(guī)則對(duì)應(yīng)用函數(shù)規(guī)則對(duì)S進(jìn)行化簡(jiǎn)。進(jìn)行化簡(jiǎn)。simple(S) 調(diào)用調(diào)用MATLAB的其他函數(shù)對(duì)表達(dá)式進(jìn)行的其他函數(shù)對(duì)表達(dá)式進(jìn)行綜合化簡(jiǎn)，并顯示化簡(jiǎn)過程。綜合化簡(jiǎn)，并顯示化簡(jiǎn)過程。例：例：syms x y;s=(x2+y2)2+(x2-y2)2;simple(s) %MATLAB自動(dòng)調(diào)用多種函數(shù)對(duì)自動(dòng)調(diào)用多種函數(shù)對(duì)s進(jìn)行進(jìn)行%化簡(jiǎn)，化簡(jiǎn)，并顯示每步結(jié)果并顯示每步結(jié)果ans

15、 = 2*x4+2*y4222222()()xyxy2012級(jí)級(jí) MATLAB與數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)建模6.1 6.1 符號(hào)計(jì)算基礎(chǔ)符號(hào)計(jì)算基礎(chǔ)2. 符號(hào)矩陣運(yùn)算符號(hào)矩陣運(yùn)算transpose(S) 返回返回S矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣。矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣。2012級(jí)級(jí) MATLAB與數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)建模6.1.3 符號(hào)表達(dá)式中變量的確定符號(hào)表達(dá)式中變量的確定MATLAB中的符號(hào)可以表示符號(hào)變量和符號(hào)常數(shù)。中的符號(hào)可以表示符號(hào)變量和符號(hào)常數(shù)。findsym可以可以幫助用戶查找一個(gè)符號(hào)表達(dá)式中的符號(hào)變量。幫助用戶查找一個(gè)符號(hào)表達(dá)式中的符號(hào)變量。該函數(shù)的調(diào)用格式該函數(shù)的調(diào)用格式為：為：findsym(S,n)函數(shù)返回符號(hào)

16、表達(dá)式函數(shù)返回符號(hào)表達(dá)式S中的中的n個(gè)符號(hào)變量，若沒有指定個(gè)符號(hào)變量，若沒有指定n，則返回，則返回S中的全部符號(hào)變量。中的全部符號(hào)變量。在求函數(shù)的極限、導(dǎo)數(shù)和積分時(shí)，如果用戶沒有明確指定自變量，在求函數(shù)的極限、導(dǎo)數(shù)和積分時(shí)，如果用戶沒有明確指定自變量，MATLAB將按缺省原則確定主變量并對(duì)其進(jìn)行相應(yīng)微積分運(yùn)算。將按缺省原則確定主變量并對(duì)其進(jìn)行相應(yīng)微積分運(yùn)算?？捎每捎胒indsym(S,1)查找系統(tǒng)的缺省變量，事實(shí)上，查找系統(tǒng)的缺省變量，事實(shí)上，MATLAB按離按離字符字符x最近原則確定缺省變量最近原則確定缺省變量。syms a x y z tfindsym(sin(pi*t) ans = t

17、findsym(x+i*y-j*z) ans = x, y, zfindsym(a+y,1) returns y.2012級(jí)級(jí) MATLAB與數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)建模6.2 6.2 符號(hào)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用符號(hào)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用6.2.1 6.2.1 函數(shù)的極限函數(shù)的極限limit函數(shù)的調(diào)用格式為：函數(shù)的調(diào)用格式為：limit(f,x,a)limit函數(shù)的另一種功能是求單邊極限，其調(diào)用格函數(shù)的另一種功能是求單邊極限，其調(diào)用格式為：式為：limit(f,x,a,right) 或或 limit(f,x,a,left)數(shù)學(xué)表達(dá)式數(shù)學(xué)表達(dá)式命令格式命令格式limit(f)limit(f,x,a)或或limit(f,a)

18、limit(f,x,a,left) limit(f,x,a,right)0lim( )xf xlim( )xaf xlim( )xaf xlim( )xaf x2012級(jí)級(jí) MATLAB與數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)建模例例6.10 求極限。求極限。在在MATLAB命令窗口，輸入命令：命令窗口，輸入命令：syms a m x;f=(x(1/m)-a(1/m)/(x-a);limit(f,x,a) %求極限求極限(1)f=(sin(a+x)-sin(a-x)/x;limit(f) %求極限求極限(2)limit(f,inf) %求求f函數(shù)在函數(shù)在x(包括包括+和和-) %處的極限處的極限limit(f,x,i

19、nf,left) %求極限求極限(3)f=(sqrt(x)-sqrt(a)-sqrt(x-a)/sqrt(x*x-a*a);limit(f,x,a,right) %求極限求極限(4)2012級(jí)級(jí) MATLAB與數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)建模6.2 6.2 符號(hào)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用符號(hào)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用6.2.2 符號(hào)函數(shù)求導(dǎo)及其應(yīng)用符號(hào)函數(shù)求導(dǎo)及其應(yīng)用MATLAB中的求導(dǎo)的函數(shù)為：中的求導(dǎo)的函數(shù)為：diff(f,x,n)diff 函數(shù)求函數(shù)函數(shù)求函數(shù) f 對(duì)變量對(duì)變量 x 的的 n 階導(dǎo)數(shù)階導(dǎo)數(shù)。參數(shù)。參數(shù)x的的用法同求極限函數(shù)用法同求極限函數(shù)limit，可以缺省，缺省值與，可以缺省，缺省值與limit相同，相同，n的

20、缺省值是的缺省值是1。2012級(jí)級(jí) MATLAB與數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)建模例例6.11 求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。syms a b t x y z;f=sqrt(1+exp(x);diff(f) %求求(1)。未指定求導(dǎo)變量和階數(shù)，按缺省規(guī)則處理。未指定求導(dǎo)變量和階數(shù)，按缺省規(guī)則處理f=x*cos(x);diff(f,x,2) %求求(2)。求。求f 對(duì)對(duì)x的二階導(dǎo)數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)diff(f,x,3) %求求(2)。求。求f 對(duì)對(duì)x的三階導(dǎo)數(shù)的三階導(dǎo)數(shù)f1=a*cos(t); f2=b*sin(t);diff(f2)/diff(f1) %求求(3)。按參數(shù)方程求導(dǎo)公式求。按參數(shù)方程求導(dǎo)公式求y對(duì)對(duì)x

21、的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)(diff(f1)*diff(f2,2)-diff(f1,2)*diff(f2)/(diff(f1)3 %求求(3)。求。求y對(duì)對(duì)x %的二階導(dǎo)數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)f=x*exp(y)/y2;diff(f,x) %求求(4)。z對(duì)對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)diff(f,y) %求求(4)。z對(duì)對(duì)y的偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)f=x2+y2+z2-a2;zx=-diff(f,x)/diff(f,z) %求求(5)。按隱函數(shù)求導(dǎo)公式求。按隱函數(shù)求導(dǎo)公式求z對(duì)對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)zy=-diff(f,y)/diff(f,z) %求求(5)。按隱函數(shù)求導(dǎo)公式求。按隱函數(shù)求導(dǎo)公式求z對(duì)對(duì)y的偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)2012級(jí)級(jí)

22、 MATLAB與數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)建模6.2 6.2 符號(hào)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用符號(hào)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 ans = 1/2/(1+exp(x)(1/2)*exp(x) ans = -2*sin(x)-x*cos(x) ans = -3*cos(x)+x*sin(x) ans = -b*cos(t)/a/sin(t) ans = -(a*sin(t)2*b+a*cos(t)2*b)/a3/sin(t)3 ans = exp(y)/y2 ans = x*exp(y)/y2-2*x*exp(y)/y3 zx = -x/z zy = -y/z2012級(jí)級(jí) MATLAB與數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)建模6.2 6.2 符號(hào)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用符

23、號(hào)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用例例6.12 在曲線在曲線y=x3+3x-2上哪一點(diǎn)的切線與直線上哪一點(diǎn)的切線與直線y=4x-1平行。平行。命令如下：命令如下：x=sym(x); y=x3+3*x-2; %定義曲線函數(shù)定義曲線函數(shù)f=diff(y); %對(duì)曲線求導(dǎo)數(shù)對(duì)曲線求導(dǎo)數(shù)g=f-4;solve(g) %求方程求方程f-4=0的根，即求曲線的根，即求曲線%何處的導(dǎo)數(shù)為何處的導(dǎo)數(shù)為4ans = 1/3*3(1/2) -1/3*3(1/2)2012級(jí)級(jí) MATLAB與數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)建模6.3 6.3 符號(hào)積分符號(hào)積分6.3.1不定積分不定積分在在MATLAB中，求不定積分的函數(shù)是中，求不定積分的函數(shù)是int，其

24、調(diào)，其調(diào)用格式為：用格式為：int(f,x)int 函數(shù)求函數(shù)函數(shù)求函數(shù) f 對(duì)變量對(duì)變量 x 的不定積分的不定積分。參數(shù)。參數(shù)x可可以缺省，缺省原則與以缺省，缺省原則與diff函數(shù)相同。函數(shù)相同。2012級(jí)級(jí) MATLAB與數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)建模例例6.13 求不定積分。求不定積分。x=sym(x);f=(3-x2)3;int(f) %求不定積分求不定積分(1)f=sqrt(x3+x4);int(f) %求不定積分求不定積分(2)g=simple(ans) %調(diào)用調(diào)用simple函數(shù)對(duì)結(jié)果化簡(jiǎn)函數(shù)對(duì)結(jié)果化簡(jiǎn)ans = 27*x-1/7*x7+9/5*x5-9*x3ans = -1/48*(x3+

25、x4)(1/2)*(-16*(x2+x)(3/2)+12*(x2+x)(1/2)*x+6*(x2+x)(1/2)-3*log(1/2+x+(x2+x)(1/2)/x/(x+1)*x)(1/2) g = 1/3*(x+1)*x)(1/2)*x2+1/12*(x+1)*x)(1/2)*x-1/8*(x+1)*x)(1/2)+1/16*log(1/2+x+(x+1)*x)(1/2)2012級(jí)級(jí) MATLAB與數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)建模6.3.2 符號(hào)函數(shù)的定積分符號(hào)函數(shù)的定積分定積分在實(shí)際工作中有廣泛的應(yīng)用。在定積分在實(shí)際工作中有廣泛的應(yīng)用。在MATLAB中，定中，定積分的計(jì)算使用函數(shù)：積分的計(jì)算使用函數(shù)：

26、int(f,x,a,b)例例6.14 求定積分。求定積分。x=sym(x); t=sym(t);int(abs(1-x),1,2) %求定積分求定積分(1)f=1/(1+x2);int(f,-inf,inf) %求定積分求定積分(2)int(4*t*x, x, 2, sin(t) %求求定積分定積分(3)f=x3/(x-1)100;I=int(f, 2, 3) %求定積分求定積分(4)double(I) %將上述符號(hào)結(jié)將上述符號(hào)結(jié)果轉(zhuǎn)換為數(shù)值果轉(zhuǎn)換為數(shù)值ans = 1/2ans = pi ans = 2*t*(sin(t)2-4) I = 9789312955195 /119297837397

27、11853203721344 ans = 0.08212012級(jí)級(jí) MATLAB與數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)建模6.3 6.3 符號(hào)積分符號(hào)積分例例6.15 求橢球的體積。求橢球的體積。命令如下：命令如下：syms a b c z;f=pi*a*b*(c2-z2)/c2;V=int(f,z,-c,c)V =4/3*pi*a*b*c222%czabc2012級(jí)級(jí) MATLAB與數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)建模例例6.16 軸的長(zhǎng)度為軸的長(zhǎng)度為10米，若該軸的線性密度計(jì)算公式是米，若該軸的線性密度計(jì)算公式是f(x)=6+0.3x千克千克/米米(其中其中x為距軸的端點(diǎn)距離為距軸的端點(diǎn)距離)，求軸的質(zhì)量。，求軸的質(zhì)量。(1)符

28、號(hào)函數(shù)積分。在符號(hào)函數(shù)積分。在MATLAB命令窗口，輸入命令：命令窗口，輸入命令：sym x;f=6+0.3*x;m=int(f,0,10)(2)數(shù)值積分。數(shù)值積分。先建立一個(gè)函數(shù)文件先建立一個(gè)函數(shù)文件fx.m：function fx=fx(x)fx=6+0.3*x;再在再在MATLAB命令窗口，輸入命令：命令窗口，輸入命令：m=quad(fx,0,10,1e-6)6.3 6.3 符號(hào)積分符號(hào)積分2012級(jí)級(jí) MATLAB與數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)建模6.3 6.3 符號(hào)積分符號(hào)積分6.3.3 積分變換積分變換1. 傅立葉傅立葉(Fourier)變換變換在在MATLAB中，進(jìn)行傅立葉變換的函數(shù)是：中，進(jìn)

29、行傅立葉變換的函數(shù)是：fourier(fx,x,t) 求函數(shù)求函數(shù)f(x)的傅立葉像函數(shù)的傅立葉像函數(shù)F(t)。ifourier(Fw,t,x) 求傅立葉像函數(shù)求傅立葉像函數(shù)F(t)的原函數(shù)的原函數(shù)f(x)。例：例：syms x t;y=abs(x)Ft=fourier(y,x,t) %求求y的傅立葉變換的傅立葉變換fx=ifourier(Ft,t,x) %求求Ft的傅立葉逆變換的傅立葉逆變換y =abs(x)Ft =-2/t2 fx =x*(2*heaviside(x)-1)2012級(jí)級(jí) MATLAB與數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)建模6.3 6.3 符號(hào)積分符號(hào)積分2. 拉普拉斯拉普拉斯(Laplace)

30、變換變換在在MATLAB中，進(jìn)行拉普拉斯變換的函數(shù)是：中，進(jìn)行拉普拉斯變換的函數(shù)是：laplace(fx,x,t) 求函數(shù)求函數(shù)f(x)的拉普拉斯像函數(shù)的拉普拉斯像函數(shù)F(t)。ilaplace(Fw,t,x) 求拉普拉斯像函數(shù)求拉普拉斯像函數(shù)F(t)的原函數(shù)的原函數(shù)f(x)。2012級(jí)級(jí) MATLAB與數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)建模6.3 6.3 符號(hào)積分符號(hào)積分例例6.19 計(jì)算計(jì)算y=x2的拉普拉斯變換及其逆變換的拉普拉斯變換及其逆變換.命令如下：命令如下：x=sym(x); y=x2;Ft=laplace(y,x,t) %對(duì)函數(shù)對(duì)函數(shù)y進(jìn)行拉普拉斯變換進(jìn)行拉普拉斯變換fx=ilaplace(Ft,

31、t,x) %對(duì)函數(shù)對(duì)函數(shù)Ft進(jìn)行拉普拉斯逆變換進(jìn)行拉普拉斯逆變換Ft = 2/t3fx = x22012級(jí)級(jí) MATLAB與數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)建模6.3 6.3 符號(hào)積分符號(hào)積分3. Z變換變換對(duì)數(shù)列對(duì)數(shù)列f(n)進(jìn)行進(jìn)行z變換的變換的MATLAB函數(shù)是：函數(shù)是：ztrans(fn,n,z) 求求fn的的Z變換像函數(shù)變換像函數(shù)F(z)iztrans(Fz,z,n) 求求Fz的的z變換原函數(shù)變換原函數(shù)f(n)例例6.20 求數(shù)列求數(shù)列 fn=e-n的的Z變換及其逆變換。變換及其逆變換。命令如下：命令如下：syms n zfn=exp(-n);Fz=ztrans(fn,n,z) %求求fn的的Z變換變

32、換f=iztrans(Fz,z,n) %求求Fz的逆的逆Z變換變換Fz =z/exp(-1)/(z/exp(-1)-1) f =exp(-1)n2012級(jí)級(jí) MATLAB與數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)建模6.4 6.4 級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)6.4.1 級(jí)數(shù)的符號(hào)求和級(jí)數(shù)的符號(hào)求和函數(shù)函數(shù)symsum用于對(duì)符號(hào)表達(dá)式求和，調(diào)用格式為：用于對(duì)符號(hào)表達(dá)式求和，調(diào)用格式為：symsum(a,n,n0,nn)對(duì)表達(dá)式對(duì)表達(dá)式a的符號(hào)變量的符號(hào)變量n從從n=n0到到n=nn求和求和例例6.22 求級(jí)數(shù)之和。求級(jí)數(shù)之和。命令如下：命令如下：n=sym(n);s1=symsum(1/n2,n,1,inf) %求求s1s2=symsum

33、(-1)(n+1)/n,1,inf) %求求s2。未指定求和變量，。未指定求和變量，缺省為缺省為ns3=symsum(n*xn,n,1,inf) %求求s3。此處的求和變量。此處的求和變量n %不能省略。不能省略。s4=symsum(n2,1,100) %求求s4。計(jì)算有限級(jí)數(shù)的和。計(jì)算有限級(jí)數(shù)的和2012級(jí)級(jí) MATLAB與數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)建模6.4 6.4 級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)6.4.2 函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)MATLAB中提供了將函數(shù)展開為冪級(jí)數(shù)的函數(shù)中提供了將函數(shù)展開為冪級(jí)數(shù)的函數(shù)taylor，其調(diào)，其調(diào)用格式為：用格式為：taylor(f,x,a,k)將函數(shù)將函數(shù)f對(duì)對(duì)x在在x=a處泰勒展開

34、到處泰勒展開到k-1項(xiàng)。項(xiàng)。例例6.23 求函數(shù)在指定點(diǎn)的泰勒展開式。求函數(shù)在指定點(diǎn)的泰勒展開式。命令如下：命令如下：x=sym(x);f1=(1+x+x2)/(1-x+x2);f2=sqrt(1-2*x+x3)-(1-3*x+x2)(1/3);taylor(f1,x,5) %展開到展開到x的的4次冪時(shí)應(yīng)選擇次冪時(shí)應(yīng)選擇k=5ans =1+2*x+2*x2-2*x42012級(jí)級(jí) MATLAB與數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)建模6.4 6.4 級(jí)數(shù)級(jí)數(shù) 例例6.24 將多項(xiàng)式表示成將多項(xiàng)式表示成x+1的冪的多項(xiàng)式。的冪的多項(xiàng)式。命令如下：命令如下：x=sym(x);p=1+3*x+5*x2-2*x3;f=tay

35、lor(p,x,-1,4)f =-8-13*x+11*(1+x)2-2*(1+x)32012級(jí)級(jí) MATLAB與數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)建模6.5 6.5 代數(shù)方程的符號(hào)求解代數(shù)方程的符號(hào)求解求解方程組的函數(shù)是求解方程組的函數(shù)是solve，調(diào)用格式為：，調(diào)用格式為：solve(eqn1,eqn2,eqnN,var1,var2,varN)例例6.28 解方程。解方程。命令如下：命令如下：x=solve(1/(x+2)+4*x/(x2-4)=1+2/(x-2),x) %解方程解方程(1)f=sym(x-(x3-4*x-7)(1/3)=1);x=solve(f) %解方程解方程(2)x=solve(2*sin

36、(3*x-pi/4)=1) %解方程解方程(3) x=solve(x+x*exp(x)-10,x) %解方程解方程(4)。僅標(biāo)出方程的左端。僅標(biāo)出方程的左端2012級(jí)級(jí) MATLAB與數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)建模例例6.29 求方程組的解。求方程組的解。x y=solve(1/x3+1/y3-28,1/x+1/y-4,x,y) %解方程組解方程組(1)x y=solve(x+y-98,x(1/3)+y(1/3)-2,x,y) %解方程組解方程組(2)Warning: Explicit solution could not be found. In C:MATLABR11toolboxsymbolicso

37、lve.m at line 136x = empty sym y = 對(duì)方程組對(duì)方程組(2)MATLAB給出了無解的結(jié)論，顯然錯(cuò)誤，請(qǐng)看完全給出了無解的結(jié)論，顯然錯(cuò)誤，請(qǐng)看完全與其同構(gòu)的方程組與其同構(gòu)的方程組(3)。輸入命令如下：。輸入命令如下：u,v=solve(u3+v3-98,u+v-2,u,v) %解方程組解方程組(3)2012級(jí)級(jí) MATLAB與數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)建模6.6 6.6 常微分方程的符號(hào)求解常微分方程的符號(hào)求解MATLAB的符號(hào)運(yùn)算工具箱中提供了功能強(qiáng)大的求解常微分的符號(hào)運(yùn)算工具箱中提供了功能強(qiáng)大的求解常微分方程的函數(shù)方程的函數(shù)dsolve。該函數(shù)的調(diào)用格式為：。該函數(shù)的調(diào)用

38、格式為：dsolve(eqn1,condition,var)該函數(shù)求解微分方程該函數(shù)求解微分方程eqn1在初值條件在初值條件condition下的特解。參數(shù)下的特解。參數(shù)var描述方程中的自變量符號(hào)，省略時(shí)按缺省原則處理，若沒描述方程中的自變量符號(hào)，省略時(shí)按缺省原則處理，若沒有給出初值條件有給出初值條件condition，則求方程的通解。，則求方程的通解。dsolve在求微分方程組時(shí)的調(diào)用格式為：在求微分方程組時(shí)的調(diào)用格式為：dsolve(eqn1,eqn2,eqnN,condition1,conditionN,var1,varN)函數(shù)求解微分方程組函數(shù)求解微分方程組eqn1、eqnN在初值條件在初值條件conditoion1、conditionN下的解，若不給出初值條件，則下的解，若不給出初值條件，則求方程組的通解，求方程組的通解