二維線性系統(tǒng)分析課程中心.doc

1、第 2 章標(biāo)量衍射的角譜理論光的傳播是光學(xué)研究的基本問題之一, 也是光能夠記錄、存儲、處理和傳送信息的基礎(chǔ)。眾所周知， 幾何光學(xué)的基本定律光沿直線傳播，是光的波動理論的近似。作為電磁波的光的傳播要用衍射理論才能準(zhǔn)確說明。衍射，按照索末菲定義是 “不能用反射或折射來解釋的光線對直線光路的任何偏離”。衍射是波動傳播過程的普遍屬性，是光具有波動性的表現(xiàn)。 電磁波是矢量波， 精確解決光的衍射問題， 必須考慮光波的矢量性。用矢量波處理衍射過程非常復(fù)雜， 這是因?yàn)殡姶艌鍪噶康母鱾€(gè)分量通過麥克斯韋方程聯(lián)系在一起，不能單獨(dú)處理。但是在光的干涉、衍射等許多現(xiàn)象中，只要滿足：（ 1）衍射孔徑比波長大很多，（ 2）

2、觀察點(diǎn)離衍射孔不太靠近；不考慮電磁場矢量的各個(gè)分量之間的聯(lián)系，把光作為標(biāo)量處理的結(jié)果與實(shí)際極其接近。在本書涉及的情況下這些條件基本上是滿足的，因此只討論光的標(biāo)量衍射理論。經(jīng)典的標(biāo)量衍射理論最初是1678年惠更斯提出的。他設(shè)想波動所到達(dá)的面上每一點(diǎn)是次級子波源， 每一個(gè)次級波源發(fā)出的次級球面波向四面八方擴(kuò)展，所有這些次級波的包絡(luò)面形成新的波前。 1818 年菲涅耳引入干涉的概念補(bǔ)充了惠更斯原理，考慮到子波源是相干的，認(rèn)為空間光場是子波干涉的結(jié)果。而后1882 年基爾霍夫利用格林定理，采用球面波作為求解波動方程的格林函數(shù)， 導(dǎo)出了嚴(yán)格的標(biāo)量衍射公式。在基爾霍夫衍射理論中，球面波是傳播過程的基元函數(shù)

3、。 由于任意光波場可以展開為平面波的疊加，因此用平面波作為基元函數(shù)也可以來描述衍射現(xiàn)象， 這就是研究衍射的角譜方法。光學(xué)課程中已經(jīng)由基爾霍夫公式出發(fā)詳細(xì)討論了菲涅耳衍射公式，本章將采用平面波角譜理論導(dǎo)出同樣的衍射公式，說明光的傳播過程作為線性系統(tǒng)用頻譜（角譜）方法在頻域中分析，與用脈沖響應(yīng)（點(diǎn)光源傳播）方法在空域中分析是等價(jià)的。 進(jìn)而用角譜方法討論菲涅耳衍射和夫瑯和費(fèi)衍射。最后，本章還要介紹分?jǐn)?shù)傅里葉變換以及用分?jǐn)?shù)傅里葉變換來表示菲涅耳衍射的優(yōu)越性。2.1光波的數(shù)學(xué)描述作為電磁場的基本理論，麥克斯韋方程組描述了電場和磁場在各向同性介質(zhì)中的傳播特性。同時(shí)作為空間和時(shí)間函數(shù)的電場或磁場分量u ，在

4、任一空間無源點(diǎn)上滿足標(biāo)量波動方程uu（ 2.1 ）vt25式中xyz是拉普拉斯算符，電磁場在介質(zhì)中傳播速度率。如在真空中的傳播，則速度為真空光速v , 而 、 為介質(zhì)的介電系數(shù)和磁導(dǎo)v c ，式中 、 為真空中的介電系數(shù)和磁導(dǎo)率。式（ 2.1 ）是線性的，也就是說滿足該方程的基本解的線性組合都是方程的解。可以證明球面波和平面波都是波動方程的基本解。 任何復(fù)雜的波都可以用球面波和平面波的線性組合表示，也都是滿足波動方程的解。2.1.1光振動的復(fù)振幅和亥姆霍茲方程取最簡單的簡諧振動作為波動方程的特解，單色光場中某點(diǎn)P 在時(shí)刻 t 的光振動可表示成u P,ta P cos t P（2.2 ）式中是光

5、波的時(shí)間頻率，a P 和 P分別是 P x,y,z點(diǎn)光振動的振幅和初位相。為將相位中由空間位置確定的部分 P 和由時(shí)間變量決定的部分t 分開，用復(fù)指數(shù)函數(shù)表示光振動是方便的。這樣一來， （ 2.2 ）式變成u P,t Re a P e jtP（2.3 ）Re a P e j P e j t式中，符號 Re表示對括號內(nèi)的復(fù)函數(shù)取實(shí)部。將花括號內(nèi)的由空間位置確定的部分合在一起定義成一個(gè)物理量U Pa P exp j P（ 2.4 ）U ( P) 稱為單色光場中P 點(diǎn)的復(fù)振幅。它包含了P 點(diǎn)光振動的振幅a P 和初位相 P ，僅僅是位置坐標(biāo)的復(fù)值函數(shù)，與時(shí)間無關(guān)。利用復(fù)振幅U ( P) ，光振動可改

6、寫為u P,tRe U P expj t（ 2.5 ）光振動的強(qiáng)度是其振幅a P 的平方，因而光強(qiáng)可用復(fù)振幅表示成IP UP UU*（2.6 ）26在僅涉及滿足疊加原理的線性運(yùn)算（加、減、積分和微分等）時(shí)，可用復(fù)指數(shù)函數(shù)替代表示光振動的余弦函數(shù)形式。在運(yùn)算的任何一個(gè)階段對復(fù)指數(shù)函數(shù)取實(shí)部，與直接用余弦函數(shù)進(jìn)行運(yùn)算在同一個(gè)階段得到的結(jié)果是相同的。故可將式 (2.5 )左邊花括號中的部分代入式( 2.1 )，波動方程化簡為(k ) U（ 2.7 ）其中 k 稱為波數(shù)，表示單位長度上產(chǎn)生的相位變化，定義為k（2.8 ）v式(2.7) 稱為亥姆霍茲方程，是不含時(shí)間的偏微分方程。在自由空間傳播的任何單色

7、光擾動的復(fù)振幅都必須滿足這個(gè)不含時(shí)間的波動方程。 這也就意味著， 可以用不含時(shí)間變量的復(fù)振幅分布完善地描述單色光波場。2.1.2球面波的復(fù)振幅表示球面波是波動方程的基本解。從點(diǎn)光源發(fā)出的光波，在各向同性介質(zhì)中傳播時(shí)形成球形的波面，稱為球面波。一個(gè)復(fù)雜的光源常?？梢钥醋鍪窃S多點(diǎn)光源的集合, 它所發(fā)出的光波就是球面波的疊加。這些點(diǎn)光源互不相干時(shí)是光強(qiáng)相加，相干時(shí)則是復(fù)振幅相加。因此研究球面波的復(fù)振幅表示是很重要的。球面波的等位相面是一組同心球面，每個(gè)點(diǎn)上的振幅與該點(diǎn)到球心的距離成反比。當(dāng)直角坐標(biāo)的原點(diǎn)與球面波中心重合時(shí)，單色發(fā)散球面波在光場中任何一點(diǎn)產(chǎn)生的復(fù)振幅可寫作U Pa e jkr（ 2.9

8、 ）r式中， r 為觀察點(diǎn) P x, y, z 離開點(diǎn)光源的距離，rxyz，a 為離開點(diǎn)光源單位距離處的振幅。對于會聚球面波，則有U Pae jkr（2.10 ）r當(dāng)點(diǎn)光源或會聚點(diǎn)位于空間任意一點(diǎn)S x , y , z（圖 2.1 ）時(shí)，有rxxyyzz（ 2.11 ）27圖 2.1球面波在 xy 平面上的等位相線光學(xué)問題中所關(guān)心的常常是某個(gè)選定平面上的光場分布。例如衍射場中的孔徑平面、觀察平面， 成象系統(tǒng)中的物平面和像平面等。因而要用到光波包括球面波在某一特定平面上產(chǎn)生的復(fù)振幅分布。在圖2.1 中，點(diǎn)光源位于 xy 平面上 S x , y , z點(diǎn)，考察與其相距 z z的 x y 平面上的光

9、場分布。 r 可寫為xxyyrzxxyyzz（ 2.12 ）當(dāng) xy 平面上只考慮一個(gè)對S 點(diǎn)張角不大的區(qū)域，這時(shí)有xxyyz利用二項(xiàng)式展開，并略去高階項(xiàng)，得到rxxy y（2.13）zz將式（ 2.13 ）代入式（ 2.9），得出發(fā)散球面波在xy 平面上產(chǎn)生的復(fù)振幅分布U x, yajkz exp j kxxyy（ 2.14）expzz式中分母上的 r 已用 z近似，這是因?yàn)樗紤]的區(qū)域相對z 很小，各點(diǎn)的光振動的振幅近似相等。但在指數(shù)函數(shù)上的位相因子中，由于光的波長極短， k數(shù)值很大，（2.13）近似式中第二項(xiàng)不能省略。在式（ 2.14 ）的位相因子中包括兩項(xiàng)：exp jkz 是常量位相因

10、子；隨xy 平面坐標(biāo)變化的第二項(xiàng) expj kxxyy稱作球面波的 （二次） 位相因子。 當(dāng)平面上復(fù)z振幅分布的表達(dá)式中包含有這種因子，我們就可以認(rèn)為距離該平面z處有一個(gè)點(diǎn)光源發(fā)出的球面波經(jīng)過這個(gè)平面。x y 平面上位相相同的點(diǎn)的軌跡，即等位相線方程為xxyyC（ 2.15 ）28式中， C 表示某一常量。不同C 值所對應(yīng)的等位相線構(gòu)成一個(gè)同心圓族，它們是球形波面與 xy 平面的交線。注意位相值相差的同心圓之間的間隔并不相等，而是由中心向外愈來愈密集。當(dāng)光源位于xy 平面的坐標(biāo)原點(diǎn)，傍軸近似下，發(fā)散球面波在xy 平面上的復(fù)振幅分布為U x, ya exp jkz expj k xy（ 2.16

11、 ）zz若 z，上式也可以用來表示會聚球面波。或者寫作aexp jk z exp j kxy（ 2.17 ）U x, yzz它表示經(jīng)過xy 平面向距離z 處會聚的球面波在該平面產(chǎn)生的復(fù)振幅分布。2.1.3平面波的復(fù)振幅表示如圖2.2所示，波矢量k 表示光波的傳播方向，其大小為k2，方向余弦為cos, cos,cos。在任意時(shí)刻、與波矢量相垂直的平面上振幅和位相為常數(shù)的光波稱為平面波。圖 2.2平面波在xy 平面上的等位相線若空間某點(diǎn) P x, y, z 的位置矢量為r ，則平面波傳播到P 點(diǎn)的位相為 k r ，該點(diǎn)復(fù)振幅的一般表達(dá)式為U (x, y, z) a exp( jkr )(2.18)

12、a exp jk ( x cosycoszcos )222其 中 a 為 常 量 振 幅 。 由 于 方 向 余 弦 滿 足 恒 等 式 c o sc o sc o s1 ， 故29cos1 cos2cos2，這樣式 (2.18)可表示為U ( x, y, z)a exp( jkzcoscos ) exp jk ( x cosy cos )(2.19)令A(yù)a exp( jkzcoscos)(2.20)于是復(fù)振幅可寫為：U ( x, y)Aexp jk ( x cosy cos )(2.21)式 (2.21)表征了與 z 軸垂直并距原點(diǎn)z 處的任一平面上平面波的復(fù)振幅分布。和球面波表達(dá)式（ 2.

13、14）類似，上式右邊可分成與xy 坐標(biāo)有關(guān)的 exp jk ( x cosy cos ) 和與x y坐標(biāo)無關(guān)的 A 兩部分。 前者是表征平面波特點(diǎn)的線性位相因子，當(dāng)平面上復(fù)振幅分布的表達(dá)式中包含有這種因子，我們就可以認(rèn)為有一個(gè)方向余弦為cos, cos的平面波經(jīng)過這個(gè)平面。 后者即 A 的幅值是個(gè)常數(shù)， 不象球面波的幅值與距離成反比。A 的幅角則與 z 坐標(biāo)成正比。平面波等位相線方程為x cosy cosC（2.22 ）式中， C 表示某一常量。不同 C值所對應(yīng)的等位相線是一些平行直線。圖2.2中用虛線表示出相位值相差的一組波面與xy 平面的交線，即等位相線。它們是一組平行等距的斜直線。由于位

14、相值相差的點(diǎn)的光振動實(shí)際相同，所以平面上復(fù)振幅分布的基本特點(diǎn)是位相值相差的周期性分布。這是平面波傳播的空間周期性特點(diǎn)在xy 平面上的具體表現(xiàn)，也是下面提出平面波空間頻率概念的基礎(chǔ)。2.1.4平面波的空間頻率在式（ 2.18 ）中，令f xcoscoscos， f y， f z(2.23)平面波的復(fù)振幅的一般表達(dá)式變?yōu)閁 (x, y, z)a exp j ( xf xyf y zf z )(2.24)式（ 2.23 ）定義的 f x , f y, f z 為 x ， y ， z方向上平面波的空間頻率。30如圖 2.3 所示，一平面波的波矢量為k ，頻率為 ，其等位相面為平面， 并與波矢量 k垂直

15、。圖中畫出了由原點(diǎn)起沿波矢量方向每傳播一個(gè)波長 周期性重復(fù)出現(xiàn)的兩個(gè)等位相面。由于 k 的方向余弦為cos ,cos , cos ，則復(fù)振幅振蕩周期( 波長 ) 在 x, y, z 軸上的投影分別為X, Y, Z(2.25)coscoscos由式 (2.9)可知，振蕩周期（ X，Y，Z）的倒數(shù)即為空間頻率，表示在x 、 y 、 z 軸上單位距離內(nèi)的復(fù)振幅周期變化的次數(shù)。這就是平面波空間頻率的物理意義。圖 2.3傳播矢量 k 位于 x ,z 平面的平面波在x,y 平面上的空間頻率從以上討論可以看出，空間頻率與平面波的傳播方向有關(guān)，波矢量 k 與 x 軸的夾角越大，則 在 x 軸上的投影就越大，也

16、就是在x 方向上的空間頻率就越小。因此，空間頻率不同的平面波對應(yīng)于不同的傳播方向。顯然 , 三個(gè)空間頻率不能相互獨(dú)立, 由于2 f x 22 f y 22 f z 21(2.26)因此f z( 12 f x 22 f y 2 )(2.27)這樣平面波的復(fù)振幅即平面波方程可以寫為U ( x, y, z)a exp j( xf xyf y ) exp( jzf xf y )(2.28)U ( x, y,) exp( jzf xf y)式中U ( x, y, )a exp j( xf xyf y )（ 2.29）為 z0平面上的復(fù)振幅。 式 (2.28) 說明，在任一距離z 的平面上的復(fù)振幅分布，由

17、在 z0平面上的復(fù)振幅和與傳播距離及方向有關(guān)的一個(gè)復(fù)指數(shù)函數(shù)的乘積給出。這說明了傳播過程31對復(fù)振幅分布的影響， 已經(jīng)在實(shí)質(zhì)上解決了最基礎(chǔ)的平面波衍射問題， 在下面討論標(biāo)量衍射的角譜理論時(shí)非常有用。由式（ 2.26 ）還可得到f xf yf zf(2.30)式中，f 表示平面波沿傳播方向的空間頻率。上式同時(shí)也說明空間頻率的最大值是波長的倒數(shù)。2.2復(fù)振幅分布的角譜及角譜的傳播2.2.1復(fù)振幅分布的角譜對任一平面上的光場復(fù)振幅分布作空間坐標(biāo)的二維傅里葉變換，可求得其頻譜分布。由于各個(gè)不同空間頻率的空間傅里葉分量可看作是沿不同方向傳播的平面波，因此稱空間頻譜為平面波譜即復(fù)振幅分布的角譜。圖 2.4

18、復(fù)振幅分布及其角譜的傳播設(shè)有一單色光波沿z 方向投射到x, y 平面上，在z 處光場分布為U ( x, y, z) 。則函數(shù)U ( x, y, z) 在 x, y 平面上的二維傅里葉變換是A( f x , f y , z)U (x, y, z) expj( xf xyf y ) dxdy(2.31)這就是光場復(fù)振幅分布U ( x, y, z) 的角譜。同時(shí)有逆變換為U ( x, y, z)A( f x , f y , z) exp j( xf xyf y ) df xdf y(2.32)U ( x, y, z) 可理解為不同空間頻率的一系列基元函數(shù)exp j( xf xyf y ) 之和，其疊

19、加權(quán)重為 A( f x , f y , z) 。由式（ 2.29 ）可以看出?；瘮?shù)就是空間頻率為f x , f y ，或者說是方32向余弦為 cos, cos的平面波。權(quán)重因子A( f x , f y , z) 為該方向平面波即該空間頻率平面波的復(fù)振幅。 因此，式 (2.32)說明，單色光波在某一平面上的光場分別可以看作是不同傳播方向的平面波的疊加，在疊加時(shí)各平面波有自己的振幅和位相，它們的值分別為角譜的模和幅角。因?yàn)?f xcos, f ycos，則 A( f x , f y , z) 也可利用方向余弦來表示：A( cos, cos, z)U ( x, y, z) exp j ( cos

20、 xcosy)dxdy (2.33)由此可見復(fù)振幅分布的空間頻譜以表示平面波傳播方向的角度為宗量，這就是把它稱為角譜或平面波角譜的原因。2.2.2平面波角譜的傳播根據(jù)式 (2.32)，圖 2.4 中 z0 平面上的光場分布U ( x, y,0) 和 zz平面上的光場分布U ( x, y, z) 可以分別記作U ( x, y, )A( cos, cos, ) exp j( cosxcosy)d ( cos) d( cos)(2.34)U ( x, y, z)coscos, z) exp jcosxcosy) d (coscos)A(,()d(2.35)研究角譜的傳播就是要找到z0平面上的角譜A(

21、cos, cos,) 和 zz 平面上的角譜A( cos, cos, z) 之間的關(guān)系。從不含時(shí)間變量的標(biāo)量波動方程出發(fā)討論這個(gè)問題，將式（2.35 ）代入式 (2.7) 表示的亥姆霍茲方程。改變積分與微分的順序，注意到角譜A( cos, cos, z) 僅是 z 的函數(shù)而復(fù)指數(shù)函數(shù)中不含z 變量，可以導(dǎo)出A(cos cos, z) 必須滿足的微分方程,dcos cos, z)kcoscosA(coscos, z)A(,dz（2.36 ）該二階常微分方程的一個(gè)基本解是（另一個(gè)是倒退波，此處不予討論）33coscoscoscoscoscosA(, z) C,exp jkzcoscos由初始條件決

22、定。z平面上的角譜為 A(coscos) 因而有式中 C,Ccos, cosA( cos, cos, )最后得到A( cos, cos, z)A( cos, cos,) exp jkzcoscos（ 2.37 ）這是一個(gè)十分重要的結(jié)果， 它給出了兩個(gè)平行平面之間角譜傳播的規(guī)律。在由已知平面上的光場分布 U ( x, y, ) 得到其角譜 A( cos, cos, ) 后，可以利用式（2.37 ）求出它傳播到 zz 平面上的角譜A( cos, cos, z) ，再通過傅立葉反變換求出其光場分布U ( x, y, z) 。還需要說明一點(diǎn)的是，式（2.37 ）也可以由式（ 2.28）直接導(dǎo)出，這是因

23、為單色的某一特定空間頻率的平面波自然也滿足亥姆霍茲方程。現(xiàn)在進(jìn)一步討論式 （ 2.37 ）。當(dāng)傳播方向余弦cos , cos滿足 coscos時(shí)，式（ 2.37 ）說明，經(jīng)過距離z 的傳播只是改變了各個(gè)角譜分量的相對位相，引入了一個(gè)位相延遲因子 exp( j 2z 1cos2cos2) ，這是由于每個(gè)平面波分量在不同方向上傳播，它們到達(dá)給定的點(diǎn)所經(jīng)過的距離不同。對于 coscos的情況，式（2.37 ）中的平方根是虛數(shù)，于是公式變成A coscoszA(coscosz（2.38 ）(,), ) exp式中kcoscos由于是正實(shí)數(shù)，式（2.38 ）說明一切滿足coscos的波動分量，將隨z 的

24、增大而按指數(shù) expz衰減。在幾個(gè)波長的距離內(nèi)很快衰減到零。對應(yīng)于這些傳播方向的波動分量稱為倏逝波，在滿足標(biāo)量衍射理論近似條件情況下忽略不計(jì)。對于 coscos的情況， 即 cos的情況， 波動分量的傳播方向垂直z 軸，它在 z 軸方向的凈能量流為零。34令 f xcosf ycos,把式（ 2.37 ）改寫為A( f x , f y )A ( f x , f y )H f x , f y（2.39 ）式中 A f x , f y和 A f x , f y Acos cosA cos,cos,z,系統(tǒng)的輸出和輸入函數(shù)的頻譜，系統(tǒng)在頻域的效應(yīng)可由傳遞函數(shù)表征A( f x , f y )H f x

25、 , f yexp jkz f x f y A ( f x , f y )分別看作一個(gè)不變線性（ 2.40 ）在滿足標(biāo)量衍射理論近似條件情況下，倏逝波總是忽略不計(jì)的，因而傳遞函數(shù)可表示為f y H f x , f yexp jkzf xf yf x（ 2.41 ）其他公式表明，可以把光波的傳播現(xiàn)象看作一個(gè)空間濾波器。它具有有限的帶寬 （見圖2.5 ）。在頻率平面上的半徑為的圓形區(qū)域內(nèi)， 傳遞函數(shù)的模為 1，對各頻率分量的振幅沒有影響。但要引入與頻率有關(guān)的相移。在這一圓形區(qū)域外，傳遞函數(shù)為零。 這一結(jié)論告訴我們，對空域中比波長還要小的精細(xì)結(jié)構(gòu)，或者說空間頻率大于的信息，在單色光照明下不能沿z 方

26、向向前傳遞。光在自由空間傳播時(shí)，攜帶信息的能力是有限的。圖 2.5傳播現(xiàn)象的有限空間帶寬2.2.3衍射孔徑對角譜的作用如圖 2.6 所示，在 z平面處有一無窮大不透明屏，其上開一孔，則該孔的透射函數(shù)為：( x,y) 在內(nèi)t( x, y)(2.42)其他35圖 2.6衍射孔徑對角譜的影響沿 z 方向傳播的光波入射到該孔徑上的復(fù)振幅為U i (x, y,0) ，則緊靠孔徑后的平面上的出射光場的復(fù)振幅 U t (x, y,0) 為：U t (x, y,0)U i ( x, y,0)t (x, y)(2.43)對上式兩邊做傅立葉變換，用角譜表示為At ( cos, cos)Ai ( cos, cos)

27、T (cos, cos)(2.44)其中為卷積， T ( cos, cos) 為孔徑函數(shù)的傅里葉變換。由于卷積運(yùn)算具有展寬帶寬的性質(zhì)， 因此，引入使入射光波在空間上受限制的衍射孔徑的效應(yīng)就是展寬了光波的角譜，而不同的角譜分量相應(yīng)于不同方向傳播的平面波分量，故角譜的展寬就是在出射波中除了包含與入射光波相同方向傳播的分量之外，還增加了一些與入射光波傳播方向不同的平面波分量，即增加了一些高空間頻率的波，這就是衍射波。2.3 標(biāo)量衍射的角譜理論本節(jié)用平面波角譜理論推導(dǎo)常用的衍射公式， 并說明光的傳播過程作為線性系統(tǒng)用頻譜方法在頻域中分析， 與用脈沖響應(yīng)（點(diǎn)光源傳播） 方法在空域中分析是等價(jià)的。為了方便

28、進(jìn)行兩種方法的比較，首先簡要的回顧一下經(jīng)典的衍射理論。2.3.1惠更斯菲涅爾基爾霍夫標(biāo)量衍射理論的簡要回顧衍射理論要解決的問題是：光場中任意一點(diǎn)為P 的復(fù)振幅 U P 能否用光場中其它各點(diǎn)的復(fù)振幅表示出來。顯然，這是一個(gè)根據(jù)邊界條件求解波動方程的問題。惠更斯菲涅爾提出的子波干涉原理與基爾霍夫求解波動方程所得的結(jié)果十分一致，都可以表示成如下的衍射公式36UP CUPKe jkr（ 2.45a ）dsr對點(diǎn)光源照明平面屏幕的衍射，基爾霍夫?qū)С龅膹?fù)常數(shù)C 和傾斜因子 K的表達(dá)形式為C（ 2.45b ）jcos n, rcos n, r （2.47c ）K式中U P為衍射孔徑內(nèi)的復(fù)振幅分布。P ，如圖

29、 2.7所示，為照明平面屏幕的點(diǎn)光源，0P 為孔徑上的任意一點(diǎn)，P 為孔徑后方的觀察點(diǎn)。r 和 r 分別是 P 和 P 到 P 的距離，二者都比波長大得多。矢量r 和 r 均指向 P 點(diǎn)。 n 表示面上法線的正方向。式（ 2.45a ）僅是單個(gè)球面波照明孔徑的情況，但是衍射公式可以適用于更普遍的任意單色光照明的情況。這是因?yàn)槿我鈴?fù)雜的光波都可以分解為簡單球面波的線性組合，波動方程的線性性質(zhì)允許對每一單個(gè)球面波應(yīng)用衍射公式，再把它們在P 點(diǎn)產(chǎn)生的貢獻(xiàn)疊加起來。圖 2.7點(diǎn)光源照明平面屏幕的衍射根據(jù)基爾霍夫?qū)ζ矫嫫聊患俣ǖ倪吔鐥l件，孔徑以外陰影區(qū)內(nèi)U (P )，因此，式（2.42 ）的積分限可以擴(kuò)

30、展到無窮。從而有U PU P K e jkr ds（2.46 ）jr當(dāng)點(diǎn)光源足夠遠(yuǎn)，而且入射光在孔徑面上各點(diǎn)的入射角都不大時(shí)，有cos n,r（參考圖 2.4 ）。進(jìn)一步如果觀察平面與孔徑的距離遠(yuǎn)大于孔徑，而且觀察平面上僅考慮一個(gè)對孔37徑上各點(diǎn)張角不大的范圍，即在傍軸近似下，又有cos n,r。從而使 K 。再用二項(xiàng)式近似將距離r 表示為x xy yrzx xy yzzz將上述近似均代入式（2.46 ），得到菲涅爾衍射計(jì)算公式Ux, y1exp jkzU 0 x0 , y0exp jkx x02y y02dx0 dy0 （ 2.47 ）jz2z在此基礎(chǔ)上， 再作遠(yuǎn)場近似還可進(jìn)一步得到夫瑯和費(fèi)

31、衍射公式。方法與下面2.3.3 小節(jié)的敘述相同，留待后面講述。2.3.2平面波角譜的衍射理論本書的重點(diǎn)是從頻域的角度即用平面波角譜方法來討論衍射問題。前面已經(jīng)討論過頻域的角譜傳播問題， 在由已知平面上的光場分布U ( x, y, ) 得到其角譜A ( f x , f y , ) 后，可以利用（ 2.37 ）式求出它傳播到z z 平面上的角譜A( f x , f y , z) 。通過傅里葉反變換可以進(jìn)而得到用已知的U( , ) 表示的衍射光場分布U ( x, y, z)，得到空域中的衍射公式。根x y據(jù)式（ 2.33 ）和式（ 2.37 ）導(dǎo)出U ( x, y, z)A ( f x , f y

32、, ) exp( jzf xf y ) exp j( f x xf y y)df x df y(2.48)將式（ 2.34 ）的反變換代入上式得到U (x, y, z)U ( x , y ,zf xf y) exp( j(2.49)exp j f x ( xx ) f y ( yy ) df x df y dxdy這就是平面波角譜衍射理論的基本公式。盡管對 ( x0 , y0 ) 的積分限是從到，根據(jù)基爾霍夫?qū)ζ矫嫫聊患俣ǖ倪吔鐥l件，孔徑外的場為0 。故對孔徑平面的積分實(shí)際上只需對孔徑內(nèi)的場作積分。(2.49) 式的四重積分是類似（2.42 ）式的一個(gè)精確的表達(dá)式。盡管它不含三角函數(shù)，但是使用

33、起來仍很不方便。 我們還是要按照菲涅耳的辦法進(jìn)行化簡。 首先對不同傳播距離衍射的情況做個(gè)直觀的說明。 考慮一列平面波通過一個(gè)孔徑， 在孔徑后不同的平面上觀察其輻射38的圖樣。如圖 2.8 所示， 在緊靠孔徑后的平面上， 光場分布基本上與孔徑的形狀相同，這個(gè)區(qū)域稱為幾何投影區(qū)； 隨著傳播距離的增加，衍射圖樣與孔的相似性逐漸消失，衍射圖的中心產(chǎn)生亮暗變化， 從這個(gè)區(qū)域開始到無窮遠(yuǎn)處，均稱為菲涅耳衍射區(qū)； 當(dāng)傳播距離進(jìn)一步增加，這時(shí)衍射圖樣的相對強(qiáng)度關(guān)系不再改變，只是衍射圖的尺寸隨距離的增加而變大，幅度隨之降低， 這個(gè)區(qū)域稱為夫瑯和費(fèi)衍射區(qū)。夫瑯和費(fèi)衍射區(qū)包含在菲涅耳衍射區(qū)內(nèi)，但是通常不太確切的把前

34、者稱作遠(yuǎn)場衍射，后者稱作近場衍射。圖 2.8按傳播距離劃分衍射區(qū)2.3.3菲涅耳衍射公式假定孔徑和觀察平面之間的距離z 遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于孔徑的線度，并且只對z 軸附近的一個(gè)小區(qū)域內(nèi)進(jìn)行觀察，則有zx maxymax及zxmaxymax這 樣f xc o sxx01,f yc o syy01 。在這種情況下，對zz12 f x22 f y2展開，只保留一次項(xiàng)，略去高次項(xiàng)，即12 f x22 f y2112 ( f x2f y2 )(2.50)2這樣式 (2.48)可寫為U ( x, y, z)exp( jkz )U ( x , y , ) expjz( f xf y )(2.51)exp j f x (

35、xx )f y ( yy ) df xdf ydx dy利用高斯函數(shù)的傅里葉變換（參閱附錄B）和傅里葉變換的相似性定理有exp j z f xf yexp jf x x f y y df x df yjexp jx yzz代入（ 2.51 ）式，先完成對f x , f y 的積分，則39exp( jkz)U (x ,y ,) exp j( xx )( yy ) dx dy(2.52)U (x, y, z)jzz上式與（ 2.47 ）式完全相同。把指數(shù)中的二次項(xiàng)展開，還可表示為U ( x, y)exp( jkz) exp jk( xy)U(x , y )j zz(2.53)exp j k( xy

36、) expjz( xxyy )dx dyz這就是常用的菲涅耳衍射公式。式中光場的復(fù)振幅已改用通常的二維面分布的形式，為區(qū)別衍射孔徑面與觀察面，前者增加下標(biāo) “ 0”。菲涅耳衍射成立的條件是要求式(2.49)積分中第一個(gè)指數(shù)的展開式中二次項(xiàng)遠(yuǎn)小于1，即2 z12222 21，則：8f xf y2 z 1(x x0 ) 2( y y0 )221(2.54)8z 2z2也就是觀察距離z 滿足z3(x x0 ) 2( yy0 ) 22(L20L12 )2(2.55)4max4其中， L0 ( x02y02 ) max 為孔徑的最大尺寸，L1(x2y 2 )max 為觀察區(qū)的最大區(qū)域。這種近似稱為菲涅耳

37、近似或近軸近似。上一節(jié)已證明， 因?yàn)椴▌拥目莎B加性，可以把光波的傳播現(xiàn)象看作一個(gè)線性系統(tǒng)。其傳遞函數(shù)由（ 2.41 ）式表示。在菲涅耳近似下這一傳遞函數(shù)可進(jìn)一步表示為H ( f x , f y ) exp( jkz) expjz( f x2f y2 )(2.56)它表示在菲涅耳近似下角譜傳播的相位延遲。因子exp( jkz) 代表一個(gè)總體位相延遲，它對于各種頻率分量都是一樣的，因子expjz( f x2f y2 ) 則代表與頻率有關(guān)的位相延遲，不同的頻率分量，其位相延遲不一樣。2.4 夫瑯和費(fèi)衍射與傅里葉變換在菲涅耳衍射公式中，對衍射孔采取更強(qiáng)的限制條件，即取：z1 k (x02y02 )(2

38、-57)2則平方位相因子在整個(gè)孔徑上近似為1，于是40U ( x, y, z)exp( jkz) exp jk( x2y 2 )j z2 z(2-58)j 2U ( x0 , y0 ,0) exp(xx0 yy0 )dx0 dy0z這就是夫瑯和費(fèi)衍射公式。在夫瑯和費(fèi)近似條件下，觀察面上的場分布等于衍射孔徑上場分布的傅里葉變換和一個(gè)二次位相因子的乘積。對于僅響應(yīng)光強(qiáng)不響應(yīng)位相的一般光探測器，夫瑯和費(fèi)衍射和光場的傅里葉變換并沒有區(qū)別。一般光學(xué)教材都給出包括矩孔、圓孔、狹縫、雙矩孔等各類孔徑的夫瑯和費(fèi)衍射。用傅里葉變換方法計(jì)算這些簡單孔徑的夫瑯和費(fèi)衍射可以直接查常用函數(shù)的傅里葉變換表。本書省去這些介

39、紹，僅以余弦型振幅光柵的夫瑯和費(fèi)衍射為例說明傅里葉分析方法的應(yīng)用。圖 2.9 示的余弦型振幅光柵空間頻率為f0，透過率調(diào)制度為m ，其透過率函數(shù)表示為：t (x0 , y0 )1mcos(2 f 0 x0 )rectx0recty0(2.59)22ll式中后面兩個(gè)矩形函數(shù)因子表示光柵處于一個(gè)寬度為l 的方孔內(nèi)。圖 2-9余弦型光柵振幅透過率函數(shù)用單位振幅的單色平面光波垂直照明該光柵， 根據(jù)余弦函數(shù)及矩形函數(shù)的傅里葉變換對和 函數(shù)及傅里葉變換的性質(zhì)，可得光柵的頻譜為：T ( f x , f y )l 2sin c(lf y ) sin c(lf x )m sin c l ( f x f 0 )m sin c l ( f x f 0 ) (2.60)222則夫瑯和費(fèi)衍射圖的復(fù)振幅分布為：41U ( x, y)1exp( jkz) expjk( x2y 2 )T ( f x , f y )xyjz2zf xz, f yzl 2exp( jkz) expjk ( x2y 2 )sin clyj 2z2zzsin c