2021年人教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)提高練習(xí)3.3.2《拋物線(xiàn)的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)（2）》（解析版）

1、3.3.2 拋物線(xiàn)的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)（2） -B提高練一、選擇題1（2020江西宜春高二期中）已知點(diǎn)A，拋物線(xiàn)C：的焦點(diǎn)F射線(xiàn)FA與拋物線(xiàn)C相交于點(diǎn)M，與其準(zhǔn)線(xiàn)相交于點(diǎn)N，則=（ ）ABCD【答案】C【解析】拋物線(xiàn)C：x2=4y的焦點(diǎn)為F（0，1），定點(diǎn)A（2，0），拋物線(xiàn)C的準(zhǔn)線(xiàn)方程為y=-1.設(shè)準(zhǔn)線(xiàn)與y軸的交點(diǎn)P，則FM：MN=FP：FN，又F（0，1），A（2，0），直線(xiàn)FA為：x+2y-2=0，當(dāng)y=-1時(shí)，x=4，即N（4，-1），=.2（2020遼寧大連高二月考）已知點(diǎn)P是拋物線(xiàn)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到點(diǎn)A（0，2）的距離與P到該拋物線(xiàn)準(zhǔn)線(xiàn)的距離之和的最小值為（ ）ABCD【答案】A【解

2、析】由題意，設(shè)在拋物線(xiàn)準(zhǔn)線(xiàn)的投影為，拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，則，根據(jù)拋物線(xiàn)的定義可知點(diǎn)到該拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)的距離為,則點(diǎn)到點(diǎn)的距離與點(diǎn)到該拋物線(xiàn)準(zhǔn)線(xiàn)的距離之和，故選A.3.已知拋物線(xiàn)y2=8x的焦點(diǎn)為F,過(guò)點(diǎn)F的直線(xiàn)與該拋物線(xiàn)交于A,B兩點(diǎn),且16|AB|24,O為坐標(biāo)原點(diǎn),記直線(xiàn)OA,OB的斜率分別為k1,k2,則1k1+1k2的取值范圍是()A.-2,-22,2B.-2,-11,2 C.-2,-11,2D.-2,2【答案】B【解析】對(duì)于一般的拋物線(xiàn)方程y2=2px,設(shè)過(guò)焦點(diǎn)的直線(xiàn)方程為x=my+p2,與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立可得y2-2pmy-p2=0,設(shè)Ay122p,y1,By222p,y2,故y1+y2=

3、2pm,則1k1+1k2=y122p1y1+y222p1y2=2pm2p=m=1k,其中k為直線(xiàn)AB的斜率,設(shè)AB所在直線(xiàn)的傾斜角為,由拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)弦公式可知|AB|=2psin2=8sin216,24,則sin213,12,tan2=1cos2-1=11sin2-112,1,故1k1+1k221,2,所以1k1+1k2的取值范圍是-2,-11,2.4（2020河南洛陽(yáng)高二月考）已知拋物線(xiàn)y2=16x的焦點(diǎn)為F,過(guò)點(diǎn)F作直線(xiàn)l交拋物線(xiàn)于M,N兩點(diǎn),則|NF|94|MF|的最小值為()A.23B.-23C.-13D.13【答案】D【解析】拋物線(xiàn)y2=16x的焦點(diǎn)為F,則F(4,0),當(dāng)直線(xiàn)l的斜

4、率不存在時(shí),直線(xiàn)l為x=4,由y2=16x,x=4,可得M(4,8),N(4,-8),|MF|=|NF|=8,|NF|94|MF|=718.當(dāng)直線(xiàn)l的斜率存在時(shí),設(shè)過(guò)點(diǎn)F的直線(xiàn)l的方程為y=k(x-4),不妨設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),由y2=16x,y=k(x-4),消y可得k2x-(16+8k2)x+16k2=0,x1+x2=8+16k2,x1x2=16,|MF|=x1+p2=x1+4,|NF|=x2+p2=x2+4,1|MF|+1|NF|=x1+x2+84(x1+x2)+x1x2+16=16+16k232+64k2+16+16=14.|NF|94|MF|=|NF|9+4|NF|

5、-12|NF|94|NF|-1=13,當(dāng)且僅當(dāng)|NF|=6時(shí)取等號(hào).故|NF|94|MF|的最小值為13.5（多選題）（2020江蘇如皋高二月考）已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，是拋物線(xiàn)上兩點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（ ）A點(diǎn)的坐標(biāo)為B若，三點(diǎn)共線(xiàn)，則C若直線(xiàn)與的斜率之積為，則直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)D若，則的中點(diǎn)到軸距離的最小值為2【答案】BCD【解析】由拋物線(xiàn)，可得，則焦點(diǎn)坐標(biāo)為，故A錯(cuò)誤；設(shè)直線(xiàn)的方程為，聯(lián)立方程組，可得，所以，所以，所以，故B正確；設(shè)直線(xiàn)的方程為，聯(lián)立方程組，可得，所以，所以，因?yàn)橹本€(xiàn)與的斜率之積為，即，可得，解得，所以直線(xiàn)的方程為，即直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，故C正確；因?yàn)椋?，所以，因?yàn)?，所以的中點(diǎn)到軸的距離：

6、 ，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以的中點(diǎn)到軸的距離的最小值為2，故D正確，綜上所述，正確命題為BCD.6. （多選題）已知拋物線(xiàn)C:y2=4x的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線(xiàn)為l,過(guò)點(diǎn)F的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于P(x1,y1),Q(x2,y2)兩點(diǎn),點(diǎn)P在l上的射影為P1,則下列結(jié)論中正確的是()A.若x1+x2=6,則|PQ|=8B.以PQ為直徑的圓與準(zhǔn)線(xiàn)l相切C.設(shè)M(0,1),則|PM|+|PP1|2D.過(guò)點(diǎn)M(0,1)與拋物線(xiàn)C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線(xiàn)至多有2條【答案】ABC【解析】若直線(xiàn)的斜率存在,設(shè)y=k(x-1),由y=k(x-1),y2=4x,得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,x1+x2=2k2+4

7、k2,x1x2=1.對(duì)于A,若x1+x2=6,則k2=1,故k=1或-1,|PQ|=1+1(x1+x2)2-4x1x2=242=8,故A成立;對(duì)于B,取PQ點(diǎn)中點(diǎn)N,N在l上的投影為N,Q在l上的投影為Q,根據(jù)拋物線(xiàn)的定義,|PP1|=|PF|,|QQ|=|QF|,NN為梯形的中位線(xiàn),故|NN|=12(|PP1|+|QQ|)=12|PQ|,故B成立;對(duì)于C,M(0,1),|PM|+|PP1|=|MP|+|PF|MF|=2,故C成立;對(duì)于D,過(guò)M(0,1)且與拋物線(xiàn)相切的直線(xiàn)有2條,過(guò)M(0,1)且與x軸平行的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相交且有一個(gè)交點(diǎn),所以至多有三條,故D不成立.二、填空題7（2020博興第

8、三中學(xué)高二月考）以?huà)佄锞€(xiàn)的焦點(diǎn)為圓心，且與拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)相切的圓的方程為_(kāi).【答案】【解析】拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線(xiàn)為，焦點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離為，所以圓的圓心為，半徑為，故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故答案為：8.已知M,N是過(guò)拋物線(xiàn)C:y2=2px(p0)的焦點(diǎn)F的直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)C的交點(diǎn),O是坐標(biāo)原點(diǎn),且滿(mǎn)足MF=3FN,SOMN=3|MN|,則p的值為.【答案】8【解析】不妨設(shè)直線(xiàn)MN的斜率k0,過(guò)M,N作拋物線(xiàn)準(zhǔn)線(xiàn)的垂線(xiàn),垂足分別為G,H,過(guò)N作NKMG于K,由MF=3FN,得|MF|=3|FN|,|MG|=3|NH|,|MK|=2|NH|=2|NF|=12|MN|,|NK|=|MN|2-|MK|2=32|MN

9、|,由SOMN=SOMF+SONF=12|OF|NK|=38p|MN|,又SOMN=3|MN|,38p|MN|=3|MN|,得p=8.9（2020華南師大附中高二月考）已知拋物線(xiàn)在第一象限內(nèi)的一點(diǎn)到拋物線(xiàn)焦點(diǎn)F的距離為4，若P為拋物線(xiàn)準(zhǔn)線(xiàn)上任意一點(diǎn)，則當(dāng)?shù)闹荛L(zhǎng)最小時(shí)，點(diǎn)P到直線(xiàn)的距離為_(kāi).【答案】【解析】由已知及拋物線(xiàn)的定義得點(diǎn)A到準(zhǔn)線(xiàn)的距離為4，因此有，解得，故拋物線(xiàn)方程為，從而.當(dāng)?shù)闹荛L(zhǎng)最小即的值最小，設(shè)F關(guān)于準(zhǔn)線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，則，連接，則與準(zhǔn)線(xiàn)的交點(diǎn)即為使得的值最小的點(diǎn)P，此時(shí)可求得.又因?yàn)?，所以直線(xiàn)的方程為，即，故點(diǎn)P到直線(xiàn)的距離.10. （2020山西師大附中高二月考）拋物線(xiàn)有如下光學(xué)

10、性質(zhì):由其焦點(diǎn)射出的光線(xiàn)經(jīng)拋物線(xiàn)反射后,沿平行于拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸的方向射出.今有拋物線(xiàn)y2=2px(p0),如圖,一平行x軸的光線(xiàn)射向拋物線(xiàn)上的點(diǎn)P,反射后又射向拋物線(xiàn)上的點(diǎn)Q,再反射后又沿平行x軸方向射出,且兩平行光線(xiàn)間的最小距離為3,則拋物線(xiàn)的方程為.【答案】y2=3x【解析】由拋物線(xiàn)的光學(xué)性質(zhì)可得,PQ必過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)Fp2,0.當(dāng)直線(xiàn)PQ斜率不存在時(shí),易得|PQ|=2p;當(dāng)直線(xiàn)PQ斜率存在時(shí),設(shè)PQ的方程為y=kx-p2,P(x1,y1),Q(x2,y2),聯(lián)立y=kx-p2,y2=2px,得k2x2-px+p24=2px,整理得4k2x2-(4k2p+8p)x+k2p2=0,所以x1+x

11、2=p+2pk2,x1x2=p24.所以|PQ|=x1+x2+p=2p1+1k22p.綜上,當(dāng)直線(xiàn)PQ與x軸垂直時(shí),弦長(zhǎng)最短,又因?yàn)閮善叫泄饩€(xiàn)間的最小距離為3,故2p=3,拋物線(xiàn)方程為y2=3x.三、解答題11. （2020利川市第五中學(xué)高二期中）已知?jiǎng)狱c(diǎn)在拋物線(xiàn)上，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線(xiàn)，垂足為，動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足.（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；（2）點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線(xiàn)交軌跡于兩點(diǎn)，設(shè)直線(xiàn)的斜率分別為，求的值.【解析】（1）設(shè)點(diǎn)，可得，則可得出點(diǎn)的坐標(biāo)為，得動(dòng)點(diǎn)軌跡的方程為.（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)方程為，聯(lián)立方程有，可得，則.，.12.（2020全國(guó)高二專(zhuān)題練）如圖，已知點(diǎn)F（1，0）為拋物線(xiàn)y22px（p0）的焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在拋物線(xiàn)上，使得ABC的重心G在x軸上（1）求p的值及拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程 ；（2）求證：直線(xiàn)OA與直線(xiàn)BC的傾斜角互補(bǔ)； （3）當(dāng)xA（1，2）時(shí)，求ABC面積的最大值【解析】（1）點(diǎn)為拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，即，即，拋物線(xiàn)的方程為，準(zhǔn)線(xiàn)方程為；（2）證明