四點(diǎn)共圓基本性質(zhì)及證明精編版

1、最新資料推薦四點(diǎn)共圓如果同一平面內(nèi)的四個點(diǎn)在同一個圓上，則稱這四個點(diǎn)共圓，一般簡稱為 “四點(diǎn)共圓”。四點(diǎn)共圓有三個性質(zhì)：（1）共圓的四個點(diǎn)所連成同側(cè)共底的兩個三角形的頂角相等；（2）圓內(nèi)接四邊形 的對角互補(bǔ)；（3）圓內(nèi)接四邊形的外角等于 內(nèi)對角 。以上性質(zhì)可以根據(jù)圓周角等于它所對弧的度數(shù)的一半進(jìn)行 證明 。1 定理判定定理方法 1： 把被證共圓的四個點(diǎn)連成共底邊的兩個三角形， 且兩三角形都在這 底邊的同側(cè)，若能證明其頂角相等，從而即可肯定這四點(diǎn)共圓。（可以說成：若線段同側(cè)二點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)連線 夾角 相等，那么這二點(diǎn)和線 段二端點(diǎn)四點(diǎn)共圓）方法 2 ：把被證共圓的四點(diǎn)連成四邊形， 若能證明其對角

2、互補(bǔ)或能證明其一 個外角等于其鄰補(bǔ)角的內(nèi)對角時，即可肯定這四點(diǎn)共圓。（可以說成：若平面上四點(diǎn)連成四邊形的對角互補(bǔ)或一個外角等于其內(nèi)對 角，那么這四點(diǎn)共圓）托勒密定理若ABCD四點(diǎn)共圓（ ABCD按順序都在同一個圓上） ，那么 AB DC+BCAD=AC BD。最新資料推薦例題：證明對于任意正整數(shù) n 都存在 n個點(diǎn)使得所有點(diǎn)間兩兩距離為整數(shù)解答：歸納法。我們用歸納法證明一個更強(qiáng)的定理：對于任意n都存在 n個點(diǎn)使得所有點(diǎn)間兩兩距離為整數(shù)， 且這 n 個點(diǎn)共圓， 并且有兩點(diǎn)是一條直徑的兩 端。 n=1，n=2很輕松。當(dāng) n=3 時，一個邊長為整數(shù)的勾股三角形即可：比如說 邊長為 3，4，5 的三角

3、形。我們發(fā)現(xiàn)這樣的三個點(diǎn)共圓，邊長最長的邊是一條直 徑。假設(shè)對于 n 大于等于 3 成立，我們來證明 n+1。假設(shè)直徑為 r （整數(shù)）。找 一個不跟已存在的以這個直徑為斜邊的三角形相似的一個整數(shù)勾股三角形 ABC （邊長 abc）。把原來的圓擴(kuò)大到原來的 c 倍，并把一個邊長為 rarbrc 的 三角形放進(jìn)去，使得 rc 邊和放大后的直徑重合。這個三角形在圓上面對應(yīng)了第 n+1個點(diǎn)，記為 P。于是根據(jù) Ptolomy 定理， P和已存在的所有點(diǎn)的距離都是一 個有理數(shù)。（考慮 P，這個點(diǎn) Q和直徑兩端的四個點(diǎn)，這四點(diǎn)共圓，于是 PQ是 一個有理數(shù)因?yàn)?Ptolomy 定理里的其它數(shù)都是整數(shù)。 ）

4、引入一個新的點(diǎn) P 增加了 n個新的有理數(shù)距離，記這 n 個有理數(shù)的最大公分母為 M。最后只需要把這個新 的圖擴(kuò)大到原來的 M倍即可。歸納法成立，故有這個命題。反證法證明現(xiàn)就“若平面上四點(diǎn)連成四邊形的對角互補(bǔ)。 那么這個四點(diǎn)共圓”證明如下 其它畫個證明圖如后）已知：四邊形 ABCD中， A+C=180求證：四邊形 ABCD內(nèi)接于一個圓（ A，B，C，D 四點(diǎn)共圓）證明：用 反證法過 A，B，D作圓 O，假設(shè) C不在圓 O上，點(diǎn) C 在圓外或圓內(nèi)，最新資料推薦若點(diǎn) C在圓外，設(shè) BC交圓 O于 C，連結(jié) DC，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì) 得 A+DCB=180 ， A+C=180 DCB=C這與三角

5、形外角定理矛盾， 故 C不可能在圓外。 類似地可證 C不可能在圓內(nèi)。C在圓 O上，也即 A，B，C，D 四點(diǎn)共圓。2 證明方法方法 1從被證共圓的四點(diǎn)中先選出三點(diǎn)作一圓，然后證另一點(diǎn)也在這個圓周上，若 能證明這一點(diǎn)，即可肯定這四點(diǎn)共圓方法 2把被證共圓的四個點(diǎn)連成共底邊的兩個三角形， 且兩三角形都在這底邊的 同 側(cè)，若能證明其頂角相等 （同弧所對的 圓周角相等），從而即可肯定這四點(diǎn)共圓。幾何描述：四邊形 ABCD中， BAC=BDC，則 ABCD四點(diǎn)共圓。證明：過 ABC作一個圓，明顯 D一定在圓上。若不在圓上，可設(shè)射線 BD與 圓的交點(diǎn)為 D ，那么 BDC=BAC=BDC，與外角定理矛盾。

6、方法 3把被證共圓的四點(diǎn)連成 四邊形 ，若能證明其對角互補(bǔ)或能證明其一個外角等 于其鄰補(bǔ)角的內(nèi)對角時，即可肯定這四點(diǎn)共圓。證法見上方法 4把被證共圓的四點(diǎn)兩兩連成相交的兩條 線段 ，若能證明它們各自被交點(diǎn)分成 的兩線段之積相等，即可肯定這四點(diǎn)共圓（ 相交弦定理 的逆定理）；或把被證共 圓的四點(diǎn)兩兩連結(jié)并延長相交的兩線段， 若能證明自交點(diǎn)至一線段兩個端點(diǎn)所成最新資料推薦的兩線段之積等于自交點(diǎn)至另一線段兩端點(diǎn)所成的兩線段之積， 即可肯定這四點(diǎn) 也共圓（ 割線定理 的逆定理）上述兩個定理統(tǒng)稱為圓冪定理的逆定理， 即 ABCD四個點(diǎn)，分別連接 AB和 CD, 它們（或它們的延長線）交點(diǎn)為 P，若 PA

7、 PB=PC PD，則 ABCD四點(diǎn)共圓。證明：連接 AC,BD，PA PB=PC PDPA/PC=PD/PBAPC=BPDAPCDPB當(dāng) P在 AB,CD上時，由相似得 A=D，且 A和 D在 BC同側(cè)。根據(jù)方法 2 可 知 ABCD四點(diǎn)共圓。當(dāng)P在 AB,CD的延長線上時，由相似得 PAC=D，根據(jù)方法 3可知 ABCD四 點(diǎn)共圓。方法 5 證被證共圓的點(diǎn)到某一定點(diǎn)的距離都相等，從而確定它們共圓即連 成的四邊形三邊中垂線有交點(diǎn)，可肯定這四點(diǎn)共圓方法 6四邊形 ABCD中，若有 AB CD+ADBC=ACBD，即兩對邊乘積之和等于對角線 乘積，則 ABCD四點(diǎn)共圓。該方法可以由托勒密定理逆定

8、理得到。托勒密定理逆定理：對于任意一個凸四邊形 ABCD，總有 AB CD+ADBCAC BD,等號成立的條件是 ABCD四點(diǎn)共圓。如圖，在四邊形內(nèi)作 APBDCB（只需要作 PAB=CDB,PBA=CBD 即 可）最新資料推薦由相似得 ABP=DBC， BAP=BDCABP+PBD=DBC+PBD即ABD=PBC又由相似得 AB:BD=PB:CB=AP:CDAB CD=BDAP， ABD PBCAD:BD=PC:B，C 即 AD BC=BD PC兩個等式相加，得 AB CD+AD BC=BD (PA+PC)BD AC,等號成立的充要條件 是 APC三點(diǎn)共線而 APC共線意味著 BAP=BAC

9、，而BAP=BDC， BAC=BDC根據(jù)方法 2，ABCD四點(diǎn)共圓方法 7若一點(diǎn)在一三角形三邊上的射影共線，則該點(diǎn)在三角形外接圓上。設(shè)有一 ABC，P 是平面內(nèi)與 ABC不同的點(diǎn)，過 P 作三邊垂線，垂足分別為 L,M,N，若 L,M,N 共線，則 P 在ABC的外接圓上。如圖，PMAC,PNAB,PLBC，且 L,N,M 在一條線上。連接 PB,PC， PLB+PNB=90 +90=180PLBN四點(diǎn)共圓 PLN=PBN，即 PLM=PBA最新資料推薦同理， PLM=PCM，即 PLM=PCA=PBA根據(jù)方法 2，P 在ABC外接圓上3 判定與性質(zhì)圓內(nèi)接四邊形 的對角和為 180, 并且任何一個外角都等于它的內(nèi)對角【如圖 A：四點(diǎn)共圓的圖片】圖 A ：四點(diǎn)共圓的圖片四邊形 ABCD內(nèi)接于圓 O，延長 AB和 DC交至 E，過點(diǎn) E 作圓 O的切線 EF，AC、 BD交于 P，則有：（1）A+C=，B+D=（即圖中 DAB+DCB= , ABC+ADC=）（2）DBC=DAC（同弧所對的圓周角相等）。（3）ADE=CBE（外角等于內(nèi)對角，可通過（ 1）、（ 2）得到）（4） ABP DCP（兩三角形三個內(nèi)角對應(yīng)相等，可由（ 2）得到）（5）AP