人教版初中數(shù)學(xué)常用概念、公式和定理

1、初中數(shù)學(xué)常用的概念、公式和定理 1. 整數(shù)(包括:正整數(shù)、0、負(fù)整數(shù))和分?jǐn)?shù)(包括:有限小數(shù)和無限環(huán)循小數(shù))都是有理數(shù).如:3,0.231,0.737373,.無限不環(huán)循小數(shù)叫做無理數(shù).如:,0.1010010001(兩個1之間依次多1個0).有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù).2. 絕對值:a0丨a丨=a;a0丨a丨=a.如:丨丨=;丨3.14丨=3.14.3.一個近似數(shù),從左邊笫一個不是0的數(shù)字起,到最末一個數(shù)字止,所有的數(shù)字,都叫做這個近似數(shù)的有效數(shù)字.如:0.05972精確到0.001得0.060,結(jié)果有兩個有效數(shù)字6,0.4.把一個數(shù)寫成a10n的形式(其中1a0,b0).如:(3)2=45.

2、=6.a0時,方程有兩個不相等的實數(shù)根;當(dāng)=0時,方程有個相等的實數(shù)根;當(dāng)0時,y隨x的增大而增大(直線從左向右上升);當(dāng)k0時,雙曲線在一、三象限(從左向右降);當(dāng)k0時,開口向上;a0時,開口向下.頂點坐標(biāo)是(,),對稱軸是直線x=.特別:拋物線y=a(xh)2+k的頂點坐標(biāo)是(h,k),對稱軸是直線x=h.注意:求解析式的設(shè)法已知三個點的坐標(biāo),則設(shè)為一般形式y(tǒng)=ax2+bx+c;已知頂點坐標(biāo)(h,k),則設(shè)為頂點式y(tǒng)=a(xh)2+k;已知拋物線與x軸的兩個交點坐標(biāo)(x1,0)和(x2,0),則設(shè)為交點式y(tǒng)=a(xx1)(xx2).19.拋物線與x軸的位置關(guān)系:對于拋物線y=ax2+bx

3、+c0時,它與x軸有兩個交點(x1,0)和(x2,0),其中x1和x2是方程ax2+bx+c=0的兩個根.20.統(tǒng)計初步:(1)概念:所要考察的對象的全體叫做總體,其中每一個考察對象叫做個體.從總體中抽取的一部份個體叫做總體的一個樣本,樣本中個體的數(shù)目叫做樣本容量.在一組數(shù)據(jù)中,出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)(有時不止一個),叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù).將一組數(shù)據(jù)按大小順序排列,把處在最中間的一個數(shù)(或兩個數(shù)的平均數(shù))叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).(2)公式:設(shè)有n個數(shù)x1,x2,xn,那么:平均數(shù)=(x1+x2+xn).方差S2=(x1)2+(x2)2+(xn)2.(是整數(shù)時用)S2=(x12+x22+xn2)n()2.

4、注:各數(shù)據(jù)的數(shù)位較少或平均數(shù)是分?jǐn)?shù)時,用此公式.若將n個數(shù)x1,x2,xn各減去一個適當(dāng)?shù)臄?shù)a,得到一組新數(shù)x1,x2,xn,那么原來那組數(shù)的方差S2=這組新數(shù)的方差,平均數(shù)=a+,.方差越大,這組數(shù)據(jù)的波動就越大.通常用樣本方差去估計總體方差,用樣本平均數(shù)去估計總體平均數(shù).方差的算術(shù)平方根叫做標(biāo)準(zhǔn)差(3)頻率:把一組數(shù)分成若干個小組,組距=(最大值最小值)組數(shù)(求組數(shù)時,用收尾法取整數(shù)),這時,落在某小組內(nèi)的數(shù)據(jù)的個數(shù)叫做這組的頻數(shù),每一小組的頻數(shù)與數(shù)據(jù)總個數(shù)的比值叫做這一小組的頻率.因此,各組的頻率的和等于1.在頻率分布直方圖中,各小長方形的面積等于相應(yīng)各組的頻率.各小長方形的面積的和等于

5、1.21.銳角三角函數(shù):設(shè)A是Rt的任一銳角,則A的正弦:sinA=,A的余弦:cosA=,A的正切:tanA=,A的余切:cotA=.并且sinA=cosB,tgA=ctgB,tgActgA=1,sin2A+cos2A=1.0sinA1,0cosA0,ctgA0.A越大,A的正弦和正切值越大,余弦和余切值反而越小.余角公式:sin(900A)=cosA,cos(900A)=sinA,tg(900A)=ctgA,ctg(900A)=tgA.特殊角的三角函數(shù)值:sin300=cos600=,sin450=cos450=,sin600=cos300=,sin00=cos900=0,sin900=c

6、os00=1,tg300=ctg600=,tg450=ctg450=1,tg600=ctg300=,tg00=ctg900=0.斜坡的坡度i=.設(shè)坡角為,則i=tg=.22.三角形:(1)在一個三角形中:等邊對等角,等角對等邊.(2).證明兩個三再形全等的方法有:SAS,AAS,ASA,SSS,HL.(3)在Rt中,斜邊上的中線等于斜邊的一半.(4)證明一個三角形是直角三角形的方法有:先證明有一個角等于900.先證明最長邊的平方等于另兩邊的平方和.先證明一條邊的中線等于這條邊的一半.(5)三角形的中位線平行于笫三邊,并且等于笫三邊的一半.(6)等腰三角形中,頂角的平分線與底邊上的中線和高互相重

7、合.23.四邊形:(1)n邊形的內(nèi)角和等于(n2)1800,外角和等于3600.(2)平行四邊形的性質(zhì):對邊平行且相等;對角相等;鄰角互補;對角線互相平分.(3)證明一個四邊形是平行四邊形的方法有:先證兩組對邊平行.先證兩組對邊相等.先證一組對邊平行且相等.先證兩條對角線互相平分.先證兩組對角分別相等.(4)矩形的對角線相等且互相平分;菱形的對角線互相垂直平分,并且四條邊相等.(5)證明一個四邊形是矩形的方法有:先證明它有三個角是直角.先證它是平行四邊形,再證它有一個角是直角或?qū)蔷€相等.(6)證明一個四邊形是菱形的方法有:先證明它的四條邊相等.先證它是平行四邊形,再證它有一組鄰邊相等或?qū)蔷€

8、互相垂直.(7)正方形既是矩形又是菱形,它具有矩形和菱形的所有性質(zhì).(8)梯形的中位線平行于兩底并且等于兩底之和的一半.(9)軸對稱圖形有:線段,角,等腰三角形,等腰梯形,矩形,菱形,正方形,正多邊形,圓.中心對稱圖形有:線段,平行四邊形,矩形,菱形,正方形,邊數(shù)是偶數(shù)的正多邊形,圓.24.證明兩個三角形相似的方法有:先證兩組對應(yīng)角相等.先證兩邊對應(yīng)成比例并且夾角相等.先證三邊對應(yīng)成比例.先證斜邊和一條直角邊對應(yīng)成比例.相似三角形的性質(zhì):對應(yīng)高的比,對應(yīng)角平分線的比,對應(yīng)中線的比,周長的比,都等于相似比.面積的比等于相似比的平方.25.平行切割定理:如圖1,DEBC=.如圖2,若ABCDEF則

9、=,=.26.射影定理:如圖3,ABC中,若ACB=900,CDAB,則:AC2=ADAB.BC2=BDBA.AD2=DADB.27.圓的有關(guān)性質(zhì):(1)垂徑定理:如果一條直線具備以下五個性質(zhì)中的任意兩個性質(zhì):經(jīng)過圓心;垂直弦;平分弦;平分弦所對的劣弧;平分弦所對的優(yōu)弧,那么這條直線就具有另外三個性質(zhì).注:具備,時,弦不能是直徑.(2)兩條平行弦所夾的弧相等.(3)在同圓或等圓中,如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦、兩條弦的弦心距中有一組量相等,那么它所對應(yīng)的其余三組量都分別相等.(4)圓心角的度數(shù)等于它所對的弧的度數(shù).(5)一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半.(6)圓周角等于它所對的弧的

10、度數(shù)的一半.(7)弦切角等于它所夾的弧的度數(shù)的一半.(8)同弧或等弧所對的圓周角相等.(9)在同圓或等圓中,相等的圓周角所對的弧相等.(10).900的圓周角所對的弦是直徑.(11)圓內(nèi)接四邊形的對角互補,外角等于它的內(nèi)對角.28.直線和圓的位置關(guān)系:(1)若O的半徑為r,圓心到直線L的距離為d,則:dr直線L和O相離.(2)切線的判定定理:經(jīng)過半徑外端并且垂直這條半徑的直線是圓的切線.反之:切線垂直過切點的半徑.(3)切線長定理,弦切角定理,相交弦定理及其推論,切割線定理及其推論.(4)三角形的內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心.三角形的內(nèi)心就是三內(nèi)角平分線的交點.三角形的外接圓的圓心叫做三角形的外心.三角形的外心就是三邊中垂線的交點.(5)Rt的內(nèi)切圓的半徑R內(nèi)=,任意多邊形的內(nèi)切圓的半徑R內(nèi)=.(6)圓外切四邊形的一組對邊的和等于另一組對邊的和.29.圓和圓的位置關(guān)系:(1)設(shè)兩圓半徑為R和r,圓心距為d,則:dR+r兩圓外離.d=R+r兩圓外切.RrdR+r(Rr)兩圓相交.d=Rr兩圓內(nèi)切.dRr兩圓內(nèi)含.30.圓中常作的輔助線:(1)兩圓相交,常作公共弦,連心線.(2)兩圓相切,常作公切線,連心線.(3)已知切線,常過切點作半徑.(4)已知直徑,常作直徑所對的圓周角.(5)求解