【名師同步】高中數(shù)學(xué) 必修1 集合與函數(shù) 2.1 函數(shù)定值域 知識點(diǎn)+例題+練習(xí)題（含答案）

1、高中數(shù)學(xué) 必修1 集合與函數(shù) 2.1 函數(shù)定值域 知識點(diǎn)+例題+練習(xí)題1.函數(shù)的概念：設(shè)A、B是非空的數(shù)集，如果按照某個(gè)確定的 ，使對于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x，在集合B中都有 的數(shù)f(x)和它對應(yīng)，那么就稱f：AB為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)。記作： 。其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的 ；與x的值相對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合f(x)| xA 叫做函數(shù)的 。注意：1“y=f(x)是函數(shù)符號，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)；2函數(shù)符號“y=f(x)中的f(x)表示與x對應(yīng)的函數(shù)值，一個(gè)數(shù)，而不是f乘x。2.構(gòu)成函數(shù)的三要素： 、 和 :1解決一切函數(shù)問題必須認(rèn)真確定該函

2、數(shù)的定義域，函數(shù)的定義域包含三種形式：自然型：指函數(shù)的解析式有意義的自變量x的取值范圍如：分式函數(shù)的分母不為零，偶次根式函數(shù)的被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)，對數(shù)函數(shù)的真數(shù)為正數(shù)，等等；限制型：指命題的條件或人為對自變量x的限制，這是函數(shù)學(xué)習(xí)中重點(diǎn)，往往也是難點(diǎn)，因?yàn)橛袝r(shí)這種限制比擬隱蔽，容易犯錯(cuò)誤；實(shí)際型：解決函數(shù)的綜合問題與應(yīng)用問題時(shí)，應(yīng)認(rèn)真考察自變量x的實(shí)際意義。2求函數(shù)的值域是比擬困難的數(shù)學(xué)問題，中學(xué)數(shù)學(xué)要求能用初等方法求一些簡單函數(shù)的值域問題。配方法將函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)；判別式法將函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次方程；不等式法運(yùn)用不等式的各種性質(zhì)。3.兩個(gè)函數(shù)的相等：當(dāng)函數(shù)的定義域及從定義域到值域的對應(yīng)法那么確定之

3、后，函數(shù)的值域也就隨之確定。因此，定義域和對應(yīng)法那么為函數(shù)的兩個(gè)根本條件，當(dāng)且僅當(dāng)兩個(gè)函數(shù)的 和 都分別相同時(shí)，這兩個(gè)函數(shù)才是同一個(gè)函數(shù)。4.區(qū)間：1區(qū)間的分類：開區(qū)間： 、閉區(qū)間： 、半開半閉區(qū)間： ；2無窮區(qū)間： ； 3區(qū)間的數(shù)軸表示。5.映射的概念:一般地，設(shè)A、B是兩個(gè) ，如果按某一個(gè)確定的對應(yīng)法那么f，使對于集合A中的任意一個(gè)元素x，在集合B中都有 的元素y與之對應(yīng)，那么就稱對應(yīng)f：AB為從集合A到集合B的一個(gè)映射。記作“f：AB。函數(shù)是建立在兩個(gè) 的一種對應(yīng)，假設(shè)將其中的條件“非空數(shù)集弱化為“任意兩個(gè)非空集合，按照某種法那么可以建立起更為普通的元素之間的對應(yīng)關(guān)系，這種的對應(yīng)就叫映射

4、。注意：1這兩個(gè)集合有先后順序，A到B的映射與B到A的映射是截然不同的.其中f表示具體的對應(yīng)法那么，可以用漢字表達(dá)。2“都有唯一什么意思？包含兩層意思：一是必有一個(gè)；二是只有一個(gè)，也就是說有且只有一個(gè)的意思?！纠?】求以下函數(shù)的定義域： (1)； (2)； (3).【例2】判斷以下函數(shù)是否表示同一個(gè)函數(shù)，說明理由？(1)f(x)=(x1)0；g(x)=1 (2)f(x)=x；g(x)=(3)f(x)=x2；f(x)=(x+1)2 (4)f(x)=|x|；g(x)= (5)f(x)=x2, g(x-2)=(x-2)2, g(t)=t2【例3】給出四個(gè)命題：函數(shù)是其定義域到值域的映射; 是函數(shù);函

5、數(shù)y=2x(xN)的圖象是一條直線; 與g(x)=x是同一函數(shù).其中正確的有_個(gè).【例4】設(shè)集合A和集合B都是實(shí)數(shù)集R，映射f：AB把集合A中的元素x映射到集合B中的元素x3x1，那么在映射f下，象1的原象所組成的集合是()A.1 B.0,1，1 C.0 D.0，1，2【例5】假設(shè)f(x)滿足f(ab)=f(a)+f(b)，且f(2)=p，f(3)=q，那么f(72)等于( )3+q2【例6】函數(shù)f(x)=.(1)求f(2)與f()，f(3)與f()；(2)由(1)中求得的結(jié)果，你能發(fā)現(xiàn)f(x)與f()有什么關(guān)系？證明你的發(fā)現(xiàn).【例7】函數(shù)的定義域?yàn)榧螦、B=x|xa.(1)求集合A；(2)

6、假設(shè)AB，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【例8】根據(jù)以下條件，求以下各函數(shù)的定義域：(1)函數(shù)y=f(x2)的定義域?yàn)?,4，求函數(shù)y=f(x)的定義域；(2)函數(shù)y=f(2x)的定義域?yàn)?,1，求函數(shù)y=f(x1)的定義域；(3)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)?,1，求g(x)=f(xa)f(xa)的定義域.【例9】求以下函數(shù)的值域：(1)y=2x1，x1,2,3,4,5；(2)y=1；(3)y=x24x6，x1,5；(4)y=x；(5)y=.【例10】求的值域.1.設(shè)集合M=x|2x2，N=y|0y2，給出以下四個(gè)圖形，其中能表示以集合M為定義域，N為值域的函數(shù)關(guān)系的是()2.映射f：AB，即對任意aA

7、，f：a|a|.其中，集合A=3，2，1,2,3,4，集合B中的元素都是A中元素在映射f下的對應(yīng)元素，那么集合B中元素的個(gè)數(shù)是( )A.4 B.5 C.6 D.73.函數(shù)f(x1)的定義域?yàn)?2，1)，那么函數(shù)f(x)的定義域?yàn)? )A.(-1.5，-1) B.(1,0) C.(3，2) D.(-2，-1.5)4.函數(shù)f(x)=5，那么f(3)=( )A.3 B.4 C.1 D.65.設(shè)，那么=( )A.1 B.1 C. D.6.f(x)=x21，那么ff(1)=()A.2 B.3 C.4 D.57.函數(shù)f(x)由下表給出，那么f(f(3)等于() 8.為確保信息平安，信息需加密傳輸，發(fā)送方由

8、明文密文(加密)，接收方由密文明文(解密)，加密規(guī)那么為：明文a，b，c，d對應(yīng)密文a2b,2bc,2c3d,4d，例如，明文1,2,3,4對應(yīng)密文5,7,18,16.當(dāng)接收方收到密文14,9,23,28時(shí)，那么解密得到的明文為()A.4,6,1,7 B.7,6,1,4 C.6,4,1,7 D.1,6,4,79.函數(shù)y=f(x)的圖象如下圖，那么函數(shù)y=f(x)的解析式為()A.f(x)=(xa)2(bx)B.f(x)=(xa)2(xb)C.f(x)=(xa)2(xb)D.f(x)=(xa)2(xb)的定義域是 的定義域是 的定義域是 13.元素(x，y)在映射f下的原象是(x+y，x-y)，

9、那么(1，2)在f下的象是_. 14.函數(shù)y=x22x的定義域?yàn)?,1,2,3，那么其值域?yàn)開.，那么ff(x)=_.16.函數(shù)f(x)=x22x5定義域?yàn)锳，值域?yàn)锽，那么集合A與B的關(guān)系是 .17.如圖，函數(shù)f(x)的圖象是曲線OAB，其中點(diǎn)O，A，B的坐標(biāo)分別為(0,0)，(1,2)，(3,1)，那么的值等于_.(1)求函數(shù)f(x)的定義域；(2)求f(1), f(12)的值.(1)求f(2)與f(0.5)， f(3)與f().(2)由(1)中求得結(jié)果，你能發(fā)現(xiàn)f(x)與f()有什么關(guān)系？并證明你的發(fā)現(xiàn).(3)求f(1)f(2)f(3)f(2 017)f()f()f().20.求函數(shù)的值

10、域；1.函數(shù)符號y=f(x)表示()A.y等于f與x的乘積 B.f(x)一定是一個(gè)式子C.y是x的函數(shù) D.對于不同的x，y也不同2.以下各組中，集合P與M不能建立映射的是()A.P=0，M= B.P=1,2,3,4,5，M=2,4,6,8C.P=有理數(shù)，M=數(shù)軸上的點(diǎn) D.P=平面上的點(diǎn)，M=有序?qū)崝?shù)對解析:選項(xiàng)A中，M=，故集合P中的元素在集合M中無元素與之對應(yīng)，故不能建立映射.3.集合A=1,2，m，B=4,7,13，假設(shè)f：xy=3x1是從集合A到集合B的映射，那么m的值為( )A.22 B.8 C.7 D.44.設(shè)集合A=x|0x2，B=y|1y2，在圖中能表示從集合A到集合B的映射

11、的是()5.函數(shù)f(x)=1，那么f(2)的值為()A.2 B.1 C.0 D.不確定6.以下圖形可作為函數(shù)y=f(x)的圖象的是() 7.函數(shù)y=的定義域是()A.(-1,1) B.(-,-1)(1,+) C.(0,1) D.-1,18.假設(shè)函數(shù)g(x2)=2x3，那么g(3)的值是()9.函數(shù)的定義域是( )A.-3,1.5 B.-3,-1.5)(-1.5,1.5) C.-3,1.5) D.-3,-1.5)(-1.5,1.510.f(x1)的定義域?yàn)?,3，那么f(x)的定義域?yàn)開.11.函數(shù)f(x)對任意實(shí)數(shù)a,b,都有f(ab)=f(a)+f(b)成立.(1)求f(0),f(1)的值;

12、(2)假設(shè)f(2)=p,f(3)=q(p,q為常數(shù)),求f(36)的值.12.在體育測試時(shí)，初三的一名高個(gè)男同學(xué)推鉛球，鉛球所經(jīng)過的路徑是某個(gè)二次函數(shù)圖象的一局部如下圖.如果這個(gè)男同學(xué)出手處A點(diǎn)的坐標(biāo)是0，2，鉛球路線的最高處B點(diǎn)的坐標(biāo)是6，5.1求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；2該同學(xué)把鉛球推出去多遠(yuǎn)？精確到0.01米，15=3.873知識點(diǎn) 參考答案1.答案為：對應(yīng)關(guān)系f，唯一確定；y=f(x)，xA；定義域；值域；2.答案為：定義域、對應(yīng)關(guān)系和值域；3.答案為：定義域，對應(yīng)法那么；4.答案為：( ); ;( , )；(-,+);5.答案為：非空的集合；唯一確定；非空數(shù)集間；例題 參考答案例1.(

13、1)x2;(2)x0，2x3，故A=x|23.故實(shí)數(shù)a的取值范圍為a3.例8.解：(1)y=f(x2)中，1x4，3x26，函數(shù)y=f(x)中，3x6，故函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)?,6.(2)y=f(2x)中，0x1，02x2，函數(shù)y=f(x1)中，0x12，1x1，函數(shù)y=f(x1)的定義域?yàn)?,1.(3)由題意得0x+a1,0x-a1，-ax1-a,ax1+a，以下按a的取值情況討論：當(dāng)a=0時(shí)，函數(shù)的定義域?yàn)?,1.a0時(shí)，須1aa.才能符合函數(shù)定義(定義域不能為空集).0a.此時(shí)函數(shù)的定義域?yàn)閤|ax1a.a0時(shí)，須1aa，即a0，此時(shí)函數(shù)的定義域?yàn)閤|ax1a. 綜上可得：a0時(shí)，

14、定義域?yàn)閤|ax1a,0a時(shí)，定義域?yàn)閤|ax1a.例9.解：(1)y=2x1，且x1,2,3,4,5，y3,5,7,9,11.函數(shù)的值域?yàn)?,5,7,9,11.(2)0，11.函數(shù)的值域?yàn)?，).(3)配方得y=(x2)22，x1,5，由圖知2y11.即函數(shù)的值域?yàn)?,11.(4)令u=，那么u0，x=，y=u=(u1)2.函數(shù)的值域?yàn)椋?.(5)y=33.函數(shù)的值域?yàn)閥|y3.例10.解：=1-，而x2-x+1=(x-0.5)2，即0， -13的值域?yàn)?,1.課堂練習(xí)題 參考答案1.答案為：B;2.答案為：A;3.答案為：B;解析:函數(shù)f(x1)的定義域?yàn)?2，1)，1x10，函數(shù)f(x)

15、的定義域?yàn)?1,0).4.答案為：A;5.答案為：B;6.答案為：D;7.答案為：A8.答案為：C；解析：由題目的條件可以得到a2b=14,2bc=9,2c3d=23,4d=28.解得a=6，b=4，c=1，d=7，應(yīng)選C.9.答案為：A;10.答案為：x1；11.答案為：x1且x2.12.答案為：x1且x2且x3；13.答案為：3，-1；14.答案為：1,0, 3；.A;17.答案為：2；18.解：(1)根據(jù)題意知x10且x40，x4且x1，即函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?,1)(1，).(2)f(1)3.f(12).19.解：(1)f(x)=，f(2)=0.8，f(0.5)=0.2，f(3)=0

16、.9;f()=0.1.(2)由(1)發(fā)現(xiàn)f(x)f(如下：f(x)f()=1.(3)f(1)=0.5.由(2)知f(2)f(0.5)=1，f(3)f()=1，f(2 017)f()=1，原式=1+1+.+1=2 0160.5=2021.5.20.解：函數(shù)式可變形為yx2+2yx+3y=2x2+4x-7，即2(y-2)2-4(y-2)(3y+7)=0.當(dāng)y2時(shí)，將上式視為關(guān)于x的一元二次方程. xR， 0，即2(y-2)2-4(y-2)(3y+7)y2.當(dāng)y=2時(shí)，32+70， y2. 函數(shù)的值域?yàn)?.5,2).課后練習(xí)題 參考答案1.答案為：C;2.答案為：A;3.答案為：D;4.答案為：D;5.答案為：B6.答案為：D;7.答案為：D.8.答案為：C9.答案為：B；10.答案為：4,2；解析：3x3，4x12，f(x)的定義域?yàn)?,2.11.解：(1)令a=b=0,得f(0)=f(0)+f(0),解得f(0)=0;令a=1,b=0,得f(0)=f(1)+f(0),解得f(1)=0.(2)方法一：令a=b=2,得f(4)=f(2)+f(2)=2p,令a=b=3,得f(9)=f(3)+f(3)=2q,令a=4