通信網(wǎng)第二章

1、第二章 通信信源模型和M/M/1排隊(duì)系統(tǒng)2.1泊松過(guò)程n2.1.1 Poisson過(guò)程n下面通過(guò)描述到達(dá)電話交換機(jī)的呼叫流來(lái)引入Poisson過(guò)程。n到達(dá)交換機(jī)的電話呼叫流或顧客在一定條件下滿足下面幾個(gè)條件：n（1）平穩(wěn)性:在區(qū)間 內(nèi)有k個(gè)呼叫到來(lái)的概率與起點(diǎn)a無(wú)關(guān)，只與時(shí)間區(qū)間的長(zhǎng)度有關(guān)，這個(gè)概率記為 n（2）無(wú)后效性：不相交區(qū)間內(nèi)到達(dá)的呼叫數(shù)是相互獨(dú)立的；n（3）普通性:令 表示長(zhǎng)度為t的區(qū)間內(nèi)至少到達(dá)兩個(gè)呼叫的概率， 則 n（4）有限性：在任意有限區(qū)間內(nèi)到達(dá)有限個(gè)呼叫的概率為1，即 taa,)(),(tPtaaPkk)(t1)(0tPkk)()(tot 0tn這種輸入過(guò)程容易處理，并且應(yīng)

2、用廣泛，被稱為Poisson過(guò)程。n下面定理2-1描述了Poisson過(guò)程的特點(diǎn)，并且（2-1）計(jì)算了在長(zhǎng)度為t的時(shí)間內(nèi)到達(dá)k個(gè)呼叫的概率。n定理2-1 對(duì)于Poisson呼叫流，長(zhǎng)度為t的時(shí)間內(nèi)到達(dá)k個(gè)呼叫的概率 服從Poisson分布，即n ， （2-1）n其中 0為一常數(shù)，表示了平均到達(dá)率或Poisson呼叫流的強(qiáng)度。 )(tPketkkkttp!)()( , 2 , 1 , 0kn在參數(shù)t固定的情況下， 如果用 表達(dá) 內(nèi)到的呼叫數(shù) n例2-1：計(jì)算 的方差 和期望。)(tNt , 0)(tNnPoisson過(guò)程是一個(gè)很簡(jiǎn)單的隨機(jī)過(guò)程，有許多良好的性質(zhì)，在一定條件下將被用來(lái)模擬到達(dá)網(wǎng)絡(luò)節(jié)

3、點(diǎn)的電話呼叫流或數(shù)據(jù)包流，模擬到達(dá)網(wǎng)絡(luò)的各種信源。nPoisson過(guò)程在任何時(shí)間區(qū)間內(nèi)的到達(dá)率都是一樣，如果到達(dá)率隨著時(shí)間變化，在習(xí)題2.9中有一個(gè)廣義Poisson過(guò)程，它的到達(dá)率可以隨著時(shí)間變化。 2.1.2 Poisson過(guò)程的性質(zhì)n性質(zhì)2-1：m個(gè)Poisson流的參數(shù)分別為 ， ， ，并且它們是相互獨(dú)立的，合并流仍然為Poisson流，且參數(shù)為 。n這個(gè)性質(zhì)也就是說(shuō)獨(dú)立的Poisson過(guò)程是可加的。12mm21n性質(zhì)2-2：參數(shù)為 的Poisson流到達(dá)交換局A后，每個(gè)呼叫將獨(dú)立去兩個(gè)不同方向，且去兩個(gè)方向的概率分別為n n則Poisson流被分解為兩個(gè)獨(dú)立的Poisson流，參數(shù)分

4、別為 2121和iiP 2 , 1i2.2 Poisson過(guò)程和負(fù)指數(shù)分布的關(guān)系n隨機(jī)變量X滿足 ，或分布函數(shù)為：n n這個(gè)分布被稱之為參數(shù) 的負(fù)指數(shù)分布。n這個(gè)分布的概率密度函數(shù)為： tetXP 0,1tetXPt0,)(tetftxn例2-2：計(jì)算參數(shù)為 的負(fù)指數(shù)分布的均值和方差 。n關(guān)于負(fù)指數(shù)分布，有如下無(wú)記憶特性：n性質(zhì)2-3：假定 服從參數(shù)為 的負(fù)指數(shù)分布，對(duì)任意 有n X0, stsXPtXstXPn這個(gè)性質(zhì)實(shí)際上表明負(fù)指數(shù)分布的殘余分布和原始分布服從一致的分布，這個(gè)性質(zhì)也被稱為無(wú)記憶性。n可以證明具有性質(zhì)（2-3）的連續(xù)分布一定是負(fù)指數(shù)分布。Xn性質(zhì)2-4：假設(shè) 為相互獨(dú)立的兩個(gè)

5、負(fù)指數(shù)分布，參數(shù)分別為 ，令 則：n（1） 是一個(gè)以 為參數(shù)的負(fù)指數(shù)分布；n（2） 的分布和 誰(shuí)是較小數(shù)無(wú)關(guān)；n（3） 21,TT21,),min(21TTT T21TiT21121tTTTPn定理2-2：一個(gè)隨機(jī)過(guò)程是參數(shù) 的Poisson過(guò)程的充分必要條件為呼叫到達(dá)間隔 相互獨(dú)立，且服從相同參數(shù) 的負(fù)指數(shù)分布。 2 , 1,iXi2.3生滅過(guò)程n生滅過(guò)程是一種特殊的離散狀態(tài)的連續(xù)時(shí)間馬爾可夫過(guò)程，或被稱為連續(xù)時(shí)間馬爾可夫鏈。n生滅過(guò)程的特殊性在于狀態(tài)為有限個(gè)或可數(shù)個(gè)，并且系統(tǒng)的狀態(tài)變化一定是在相鄰狀態(tài)之間進(jìn)行。n生滅過(guò)程的極限解或穩(wěn)態(tài)解有很簡(jiǎn)單的形式。 生滅過(guò)程定義n如果用 表示系統(tǒng)在時(shí)刻

6、 的狀態(tài)， 取非負(fù)整數(shù)值。如果 ，稱在時(shí)刻系統(tǒng)處于狀態(tài) 。當(dāng)滿足下面幾個(gè)條件時(shí)系統(tǒng)稱之為生滅過(guò)程。n（a）在時(shí)間 內(nèi)系統(tǒng)從狀態(tài) 轉(zhuǎn)移到 的概率為 ，這里 為在狀態(tài) 的出生率； )(tNt)(tNktN)(tk),(ttt)0(kk1k)( totkkkn（b）在時(shí)間 內(nèi)系統(tǒng)從狀態(tài) 轉(zhuǎn)移到 的概率為 ， 這里 為在狀態(tài) 的死亡率；n（c）在時(shí)間 內(nèi)系統(tǒng)發(fā)生跳轉(zhuǎn)的概率為 ；n（d）在時(shí)間 內(nèi)系統(tǒng)停留在狀態(tài)的概率為 ；),(ttt) 1(kk1k)( totkkk),(ttt)( to ),(tttk)()(1totkk生滅過(guò)程的狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖 生滅過(guò)程的穩(wěn)態(tài)分布 n首先 ， 表示系統(tǒng)從狀態(tài) 經(jīng)過(guò)時(shí)間

7、后轉(zhuǎn)移到 的條件概率，則n )()(ktNPtpk)(tpiktik01)(, 0)(kikiktptp穩(wěn)態(tài)分布必要條件011012010110011,1,1,2,3,.(1) ,(1)kkkkkkkkkkkkpp kpppp 令有形式上，從而穩(wěn)態(tài)分布為，。極限定理 n定理2-3：對(duì)有限狀態(tài)的生滅過(guò)程或?qū)M足條件n n的可數(shù)狀態(tài)的生滅過(guò)程，穩(wěn)態(tài)分布存在，且與初始條件無(wú)關(guān)。kkkkk1n關(guān)于生滅過(guò)程中微分方程和穩(wěn)態(tài)方程的建立可以依照下面圖2-3簡(jiǎn)單完成 2.4 M/M/1排隊(duì)系統(tǒng)2.4.1排隊(duì)系統(tǒng)概念n在實(shí)際應(yīng)用中，有一大類被稱之為隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)或排隊(duì)系統(tǒng)。在這些系統(tǒng)中，顧客到來(lái)的時(shí)刻與進(jìn)行服務(wù)的

8、時(shí)間都是隨機(jī)的，會(huì)隨不同的條件而變化，因而服務(wù)系統(tǒng)的狀況也是隨機(jī)的，會(huì)隨各種條件而波動(dòng)。n在電信網(wǎng)絡(luò)中，交換機(jī)就可以看成一種隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)，對(duì)于不同的電信網(wǎng)絡(luò)，未來(lái)將使用不同的排隊(duì)系統(tǒng)模擬不同的電信業(yè)務(wù)交換機(jī)進(jìn)行分析。n在下圖的圖2-4中表達(dá)了一個(gè)排隊(duì)系統(tǒng)的模型。n在圖2-4中，外界到來(lái)一個(gè)顧客流，當(dāng)顧客到達(dá)系統(tǒng)后，如果有空閑的服務(wù)員就得到服務(wù)。如果沒(méi)有空閑的服務(wù)員，有兩種可能情況，或者可以排隊(duì)等待，或者系統(tǒng)拒絕該顧客。n要仔細(xì)描述一個(gè)排隊(duì)系統(tǒng)，主要需要描述3個(gè)方面的內(nèi)容：（a）輸入過(guò)程；（b）服務(wù)時(shí)間；（c）排隊(duì)方式等。下面使用一個(gè)隨機(jī)點(diǎn)移動(dòng)模型來(lái)說(shuō)明關(guān)于排隊(duì)系統(tǒng)的模型和假設(shè) .排隊(duì)系統(tǒng)的假設(shè)

9、 n在軸上有一些點(diǎn)從左向右做同速率的勻速直線運(yùn)動(dòng)，圖2-5中的 表示顧客到達(dá)排隊(duì)系統(tǒng)的到達(dá)間隔，它們均為隨機(jī)變量； 表示不同顧客的服務(wù)時(shí)間，它們也是隨機(jī)變量，關(guān)于 ，滿足下面3個(gè)假設(shè)： ,2,1tt ,2,1iit和n（1）n（2）n（3）n在上面這個(gè)假設(shè)的基礎(chǔ)上，排隊(duì)系統(tǒng)將相對(duì)容易處理并可以根據(jù) 將不同的排隊(duì)系統(tǒng)分類。獨(dú)立同分布； , 2 , 1,iit獨(dú)立同分布； , 2 , 1,ii獨(dú)立；和iitiit和n首先，輸入過(guò)程和服務(wù)時(shí)間可以分別使用一個(gè)分布來(lái)表示；一般，M表示到達(dá)為Poisson過(guò)程或服務(wù)時(shí)間為負(fù)指數(shù)分布，G表示一般分布，D表示確定性分布等等。n在排隊(duì)方式和隊(duì)列的內(nèi)容中主要包括

10、服務(wù)員的數(shù)目，系統(tǒng)中等待顧客的排隊(duì)方式和隊(duì)列的容量等。n排隊(duì)的方式可以有先進(jìn)先出（FIFO），后進(jìn)先出（LIFO），優(yōu)先級(jí)服務(wù)和隨機(jī)服務(wù)等不同方式。n隊(duì)列的容量表示系統(tǒng)中對(duì)顧客總數(shù)的限制，如果隊(duì)列的容量和服務(wù)員數(shù)目相同，表明系統(tǒng)不可以等待為即時(shí)拒絕系統(tǒng)；如果隊(duì)列的容量為無(wú)限大，系統(tǒng)為不拒絕等待系統(tǒng)等。n關(guān)于不同排隊(duì)系統(tǒng)的記法采用肯德?tīng)枺―.G. Kendall） 的記號(hào)A/B/C/D/E。A表示輸入過(guò)程；B表示服務(wù)時(shí)間；C表示服務(wù)員數(shù)目；D表示系統(tǒng)的容量；E表示排隊(duì)規(guī)則，其中D/E的缺省表示容量無(wú)限大和FIFO方式。如M/M/s， G/G/1等。 n對(duì)于排隊(duì)系統(tǒng)到達(dá)率 ，服務(wù)率 ，有時(shí)服務(wù)率也

11、被稱為離去率。n對(duì)于排隊(duì)系統(tǒng)的分析，主要希望得到：（1）隊(duì)長(zhǎng)分布或其各種統(tǒng)計(jì)值及其估計(jì)；（2）等待時(shí)間分布或其各種統(tǒng)計(jì)值及其估計(jì)。1tE1E2.4.2 Little公式nLittle公式描述了任意排隊(duì)系統(tǒng)滿足的關(guān)系，下面通過(guò)簡(jiǎn)單描述來(lái)說(shuō)明該公式。n如果 表示系統(tǒng)中的平均顧客數(shù)， 表示顧客在系統(tǒng)中的平均時(shí)間（這個(gè)時(shí)間有時(shí)也被稱為系統(tǒng)時(shí)間）， 表示單位時(shí)間到達(dá)系統(tǒng)的顧客數(shù)，對(duì)于任意排隊(duì)系統(tǒng)，有 NTTN2.4.3 M/M/1n假設(shè)M/M/1的到達(dá)過(guò)程為一個(gè)參數(shù)為 的Poisson過(guò)程，服務(wù)時(shí)間是參數(shù)為 的負(fù)指數(shù)分布，如果用系統(tǒng)中的顧客數(shù)來(lái)表征系統(tǒng)的狀態(tài)，容易驗(yàn)證這是一個(gè)生滅過(guò)程，并且k0, 2 , 10kkkn 令 ，根據(jù)生滅過(guò)程的性質(zhì)n在 時(shí) nM/M/1的隊(duì)長(zhǎng)分布 0ppkk1111p10kk)1 (pkk , 2 , 1 , 0kn穩(wěn)態(tài)時(shí)，隊(duì)長(zhǎng)的均值和方差可以分別求解如下：n顧客停留在系統(tǒng)中的平均時(shí)間 ： 1)1 (p00kkkkkkNE22222202)1 ()1 ()1 ()(pNEkNVarkk11sE