第四章相似和量綱分析

1、實驗既是發(fā)展理論的依據，又是檢驗理論的準繩。理論可以指導實驗，實驗可以發(fā)展理論。流體力學實驗有兩種流體力學實驗有兩種：工程性模型實驗，目的在于預測即將建造的大型機械或水工結構上的流動情況。工程性模型實驗，目的在于預測即將建造的大型機械或水工結構上的流動情況。探索性的觀察實驗，目的在于尋找未知的流動規(guī)律。探索性的觀察實驗，目的在于尋找未知的流動規(guī)律。由于流體力學的工程問題非常復雜，許多規(guī)律是在簡化的條件下得到的，必須對其進行實驗驗證。還有許多問題理論上難以求解，必須使用實驗來獲得經驗，指導應用。流體力學研究中，實驗是的非常重要手段第四章第四章 相似和量綱分析相似和量綱分析直接實驗方法的不足直接實

2、驗方法的不足真實的設備規(guī)模大，直接實驗成本高，耗時，耗力。并且難以進行系列研究。如三峽水庫，飛機，航空設備。這樣可以通過建造小型模型的實驗方法來模擬大設備來進行科學研究。但是，模型的建立需要遵循一定的規(guī)則。4.1 4.1 相相 似似 理理 論論 一、力學相似的基本概念一、力學相似的基本概念 所謂所謂力學相似力學相似:是指實物流動與模型流動在對應點上對應物理量都應有一定的比是指實物流動與模型流動在對應點上對應物理量都應有一定的比例關系。具體來說，應有如下幾個方面。（幾何、運動、動力相似）例關系。具體來說，應有如下幾個方面。（幾何、運動、動力相似） 1.幾何相似幾何相似 模型流動與實物流動有相似的

3、邊界形狀，一切對應的線性尺寸成比例?；蛘哒f模型與實物幾何形狀相似。pmmp即兩個系統的對應長度成同一比例，且對應角相等 長度長度(線性線性)比例尺比例尺 面積比例尺面積比例尺 體積比例尺體積比例尺 長度比例尺是基本比例尺長度比例尺是基本比例尺，面積比例例尺（L2）和體積比例例尺（L3）是導出比例例尺。導出比例例尺與基本比例例尺的關系為導出物理量導出物理量量綱與基本物理基本物理量綱(L)間的關系。或者說對照導出物理量的量綱，可直接寫出導出物理量的比例尺。此結論不僅適合于幾何相似，也適合于運動、動力相似。lll1222AllAAl333VllVVl規(guī)定：用無上標的物理量表示實物流動，有上標的表示模

4、型流動基本比例尺基本比例尺導出比例尺導出比例尺 2.運動相似運動相似 流動的速度場相似（流線形狀相同）。即滿足幾何相似的兩系統對應瞬時、對應點上的速度方向相同，大小成同一比例。(速度、時間、加速度、流量、粘度、角速度比例尺等，利用速度和長度比例尺可以表示這些物理量) 速度比尺速度比尺 時間比尺時間比尺 加速度比尺加速度比尺vvv/ltvtl vtlv2/vvatlav tavt速度比尺是其基本比例尺速度比尺是其基本比例尺?；颈壤呋颈壤邔С霰壤邔С霰壤?流量比尺流量比尺 運動粘度比尺運動粘度比尺 角速度比尺角速度比尺 可見，一切運動學比尺都是長度比尺長度比尺和和速度比尺速度比尺的函數

5、。速度比尺是運動相似的基本比尺速度比尺是運動相似的基本比尺。3323/lqlvtltqqlt 222/llvtltlt /vlv lvl導導出出比比例例尺尺 3.動力相似動力相似 實物流動與模型流動應該受同種外力作用同種外力作用，而且對應點上的對應力成比例。密度比例尺是第三個基本比例尺，其它動力學的比例尺密度比例尺是第三個基本比例尺，其它動力學的比例尺均可按照物理量的定義或量綱由均可按照物理量的定義或量綱由長度比例尺、速度比例長度比例尺、速度比例尺和密度比例尺確定出來。尺和密度比例尺確定出來。如相應的密度、質量、力、壓強、動力粘度、功率的比例尺等?；颈壤呤敲芏缺壤呋颈壤呤敲芏缺壤呙?/p>

6、度比例尺 32 MFllvFlF l 質量比例尺 3mlmVmV 力的比例尺22 FmalvFmaFm a 力矩（功、能） 比例尺動力粘度比例尺 l 壓強（應力）比例尺2/FpvAFAFA 23MPlvtPP 功率比例尺導導出出比比例例尺尺基本比例尺基本比例尺5、單位質量力或重力加速度比例尺為、單位質量力或重力加速度比例尺為：因為實物和模型均在地球引力作用范圍內，重力加速度相同。1ggg1c4、無量綱系數比例尺為、無量綱系數比例尺為：相似的實物流動與模型流動之間存在一切無量綱系數皆對應相等的關系，這提供了在模型流動上測定實物流動中的流速系數、流量系數、流速系數、流量系數、阻力系數阻力系數等等的

7、可能性。222222222yy222222222111xxxxxxxxxxyzyyyyyyyxyzzzzzzzzxvvvdvvvvvpfvvvxxyzdttxyzvvvdvvvvvpfvvvyxyzdttxyzvvvdvvvpfvzxyzdttxzzyzvvvvyz理想流體，0 作用在單位質量流體上的粘性分力納維-斯托克斯方程（N-S方程）作用在單位質量流體的質量分力作用在單位質量流體的壓力流體質點的加速度（慣性力）不可壓縮實際流體的運動微分方程式二、相似準則二、相似準則模型流動與實物流動如果存在力學相似，則必然存在眾多的比例尺。如果一一檢查這些比例尺相似的話，過程及其繁瑣。而且也沒有必要，下

8、面介紹判斷相似的準則。用他們來判斷力學相似。設符合模型運動不可壓縮流體不可壓縮流體的運動微分方程： dtduuxpfxxx21則與其運動相似的實物流體中必與模型中各物理量存在著一定的比例尺關系。故實際運動的方程式可表示為： dtduuxpfxlvxlvlpxg2221方程中每一項的比例尺都是加速度的比例尺，所以各項都相等。 lvlvlpg22將上式前三項分別去除第四項，分別得到下面三個常數：1Froude 弗勞德數弗勞德數，代表慣性力與重力之比。代表慣性力與重力之比。 Frglvlgvglvlgv2222 1Euvpvppv22212Euler歐拉數歐拉數，表壓力與慣性力之比。 3Relyno

9、ld雷諾數雷諾數，慣性力與粘性力之比。 Re 1lvvlvldtduuxpfxlvxlvlpxg2221質量力 壓力 粘性力 慣性力三個相似準數 雷諾數雷諾數 弗勞德數弗勞德數 歐拉數歐拉數重力慣性力2glvFr慣性力壓力2vpEu粘性力慣性力Revl主要反映主要反映粘性力相似粘性力相似主要反映主要反映重力相似重力相似主要反映主要反映壓力相似壓力相似 這三個等式稱為不可壓縮流體定常流動的力學相似準則不可壓縮流體定常流動的力學相似準則。判斷兩個流動是否相似，只要判斷這三個準則是否相等。 ReReEuEuFrFr相似準則既是判斷流動相似的標準，又相似準則既是判斷流動相似的標準，又是設計模型的準則是

10、設計模型的準則。設計模型時，根據比例尺之間的關系確定模型尺寸。即滿足：22VglpVlV 如果兩個流動力學相似，則它們的上述三個準則數必須相等。于是： 一般情況下，模型與實際流動選用同一種介質。但要做到完全力學相似是很困難的，實際采用近似模型法。V22vvglpl 如果所選擇的三個基本比例尺能滿足這三個關系，便是完全相似。實際上，很難同時滿足。v,l1g12Vl從第三式可得Vl32l即流體的運動粘度比例尺和線性比例尺要保持 顯然不現實。因為一般來說模型和實物所用流體一樣，比如水、空氣。此時 32l1121VlVl除非 ，否則，很難同時滿足。 ，又不是模型而是原型實驗了1l因此，許多問題需要利用

11、近似模型法來解決，即滿足部分法則即可代入第一式，得因為所以弗勞德數 Fr歐拉數 Eu雷諾數 Re1l 近似模型法是針對具體的問題，摒棄不是主要的無關緊要的力。從而不去判斷所有的準則數，而只考慮主要的準則數。 水利工程、明渠無壓流動中，重力是支配流動的原因，粘性力不起作用或作用不顯著，那就只考慮弗勞德準則弗勞德準則即可。 管中流動粘性力起主要作用，那就用雷諾準則雷諾準則。 自動模型區(qū)的管中流動、風洞實驗及氣體繞流，壓力是主要的，歐拉歐拉準則。準則。 三、近似模型法1. 用于重力起主要作用，粘性力可忽略的場合。 相似準則為Fr，有： 基本比例尺為： 密度比例尺密度比例尺 和長度比例尺長度比例尺 。

12、12222 vlvvvFrglglg l慣性力；重力l圖表示深為H=4m的水在弧形閘門下的流動，求（1）=1, l=10的模型上的水深。（2）在模型上測得流量、收縮斷面流速、作用在閘門上的力及力矩分別如下，求各實物上的量。 NmMNFsmvslqv70,50,/3 . 1,/155解：閘門下的水流是水在重力作用下流動，按froude模型法計算 NmMMMNFFFsmvvvsmqqqmHHlMlFlvvlvqvl4443213251075105/11. 4/494 . 012222 vlvvvFrglglg l慣性力；重力 用于粘性力起主要作用，重力影響很小，可忽略的場合。相似準則為Re，有：

13、Revlvlvlv l慣性力；粘性力雷諾模型法的應用廣泛，管道流動、液壓技術、水利機械多采用。 基本比例尺為： 長度、密度、長度、密度、運動粘度運動粘度比例尺比例尺,l例2 欲用一文丘里流量計測量空氣（運動粘度）流量為qvt=2.78m3/s， 該流量計的尺寸為Dt=450mm，dt=225mm， 現設計模型文丘里流量計用t=10度水作試驗，測得流量qvm=0.1028m3/s，這時水與空氣和流動動力相似。度確定模型文丘里流量計的尺寸。解：影響這一流動主要作用力為粘性力，因此，決定性相似準數為雷諾數mtmtVtVmmttmmmvmttvtmmmtttDDddmmqqdddqdqdvdv7 .9

14、9Re第五章將要講到粘性流動中的一種特殊現象，當雷諾數大到一定界限以后，慣性力與粘性力之比也大到一定程度，粘性力的影響相對減弱，繼續(xù)提高雷諾數，也不再對流動現象和流動性能發(fā)生質和量的影響，此時盡管雷諾數不同，但粘性效果卻是一樣的。這種現象叫做自動模型化自動模型化，產生這種現象的雷諾數范圍叫做自動模型區(qū)自動模型區(qū)。雷諾數處在自動模型區(qū)時，雷諾準則失去判別作用。2vp用于自動模型區(qū)的管中流動，風洞實驗及氣體繞流等。 3、 歐拉模型法設計模型時，設計模型時，粘性力的影響不再考慮粘性力的影響不再考慮 了了,如果是管如果是管中流動，或者氣體流動，其重力影響也不必考慮中流動，或者氣體流動，其重力影響也不必

15、考慮了，只考慮壓力和慣性力之比的歐拉數即可。比了，只考慮壓力和慣性力之比的歐拉數即可。比例尺的制約關系為：例尺的制約關系為： 基本比例尺為vl,4-2 定理和量綱分析方法1、量綱分析的基本知識量綱量綱 ：基本物理量的度量單位 ，是代表物理量單位種類的一種符號，從符號可以看出物理量的屬性。如小時、分、秒是不同的時間測量單位單位，但這些單位屬于同一時間種類。將這些屬于同一種類的單位用t表示，則t是上述時間單位的量綱量綱。流體力學中常采用長度長度L，質量質量M，時間時間T為基本量綱，其他量綱由基本量綱推導出來的，且一般可用三個基本量綱的乘積形式表示。如B為任一物理量，B=LaMbtc.當三個數每一個

16、都為零時，則該物理量為無量綱數?？赡苁莾蓚€同類量的比值，也可能是幾個量綱量通過乘積組合而成的。速度速度v力力F密度密度壓強壓強p動力粘性動力粘性系數系數運動粘性運動粘性系數系數LT-1MLT-2ML-3ML-1T-2ML-1T-1L2T-12、定理經常會遇到這種情況：通過分析知道其中一個物理量N受其余物理量ni的影響，運用已有的理論方法不能確定出描述這種變化的方程式，這時候怎么辦呢？實驗。如果用依次改變每個自變量的方法實驗，不適宜。為了合理地選擇實驗變量，同時使實驗結果具有普遍適用價值，一般需要將物理量之間的函將物理量之間的函數式轉化為無量綱數之間的函數式數式轉化為無量綱數之間的函數式。用無量

17、綱數之間的函數式所表達的實驗曲線具有更普遍的使用價值。怎樣確定實驗中的無量綱數？定理、量綱分析定理、量綱分析基本原理：基本原理：假定某物理過程與幾個物理量有關，則可以用下式表示一個需假定某物理過程與幾個物理量有關，則可以用下式表示一個需要研究的物理規(guī)律：要研究的物理規(guī)律： （4-1） 這這k+1個物理量都有單位和數值。若使用的單位制不同（如國際制、工程個物理量都有單位和數值。若使用的單位制不同（如國際制、工程制、英制等），則物理量的單位和數值也不同，但物理規(guī)律是與單位制的制、英制等），則物理量的單位和數值也不同，但物理規(guī)律是與單位制的選擇無關的。選擇無關的。123,( ,. ,.,)ikNf

18、n n nnn現在我們不取通常所用的長度、時間、質量（力）為基本單位，選擇式中對所研究的問題有重大影響的幾個物理量，例如n1,n2,n3為基本單位。要求：1選擇的n1,n2,n3必須相互獨立；2且能推導出其它的物理量例如：研究水頭損失時選線性尺寸L、流體速度v和流體密度112323iiixyzxyziiNn n nnn n n333111222111111312232323232323,.,.iiiiiiikxyzxyzxyzxyzxyzxyznnnnnNfn n nn n nn n nn n nn n nn n n112323iiixyziixyzNn n nnn n n或那么，4-1式變?yōu)?/p>

19、：(4-2)44(1,1,1,.,.)(,.,.)ikikff或選擇n1,n2,n3 為基本單位，式（4-1）中的所有其它物理量就可以表示成為三個基本單位冪函數與一個無量綱數的乘積。為無量綱數123,( ,. ,.,)ikNf n n nnn這樣，通過選擇新基本單位的辦法，使原來k+1k+1各有量綱的物理量之間的關系式（4-1）變成了k-2k-2各無量綱數之間的函數式（4-2）。這就是著名的泊金漢（E.Buckingham)定理，因為常用表示無量綱數，所以也叫定理。(4-1)二、量綱分析法的應用二、量綱分析法的應用1、列出所求物理量與全部有關變量的函數表達式。2、選擇3個基本單位，并把所求物理

20、量和所有變量用無量綱數 表示。3、用國際單位制國際單位制列出所求物理量和所有變量的量綱。4、根據量綱對等原則，分別求所求物理量與全部有關變量的x,y,z。 5、將無量綱數 帶回所求物理量的函數表達式。下面通過例子來說明解題步驟。解題步驟：,i ,i 二、量綱分析法的應用（二、量綱分析法的應用（P229例題例題4-4）解：1）p =f(d,v, , ,l, l,) 例題5.3管中流動的沿程水頭損失 根據實際觀測知道，管中流動由于沿程摩擦造成的壓強差 p 與下列因素有關：管徑 d、管中平均流速 v、流體密度、流體動力粘度 、管長 l、管壁粗糙度 ，試用定理確定壓力降與其它物理量的函數關系。zyxv

21、dp4444zyxvd5555zyxvdl6666zyxvd物理量dvp l量綱LLT1ML3ML1T2ML1T1LL2）選）選d、 v 、 為基本單位，符合基本單位制的兩點要求，于是為基本單位，符合基本單位制的兩點要求，于是3）各物理量量綱如下）各物理量量綱如下同理分析同理分析 的量綱的量綱 ML1T1 =( L)x4 ( LT1)y4( ML3)z4 解得 x4=1；y4=1；z4=1，有 分析分析l的量綱的量綱 L=( L)x5 ( LT1)y5( ML3)z5 解得 x5=0 ；y5=0 ； z5=1 ，有 2pv41Revdvd5ldzyxvdp4444zyxvd5555zyxvdl6666zyxvd4）