求數(shù)列通項的常用方法

1、數(shù)列通項公式的求法 nanncos1注： 有的數(shù)列沒有通項公式，如：3，e，6；有的數(shù)列有多個通項公式,如： 數(shù)列的通項公式:是一個數(shù)列的第n項（即an）與項數(shù)n之間的函數(shù)關(guān)系一、觀察法（又叫猜想法，不完全一、觀察法（又叫猜想法，不完全歸納法）：歸納法）：觀察數(shù)列中各項與其序號間的觀察數(shù)列中各項與其序號間的關(guān)系，分解各項中的變化部分與不變部分，關(guān)系，分解各項中的變化部分與不變部分，再探索各項中變化部分與序號間的關(guān)系，從再探索各項中變化部分與序號間的關(guān)系，從而歸納出構(gòu)成規(guī)律寫出通項公式而歸納出構(gòu)成規(guī)律寫出通項公式. 例1：數(shù)列9，99，999，9999，110 nna解：變形為：1011，102

2、1，1031，1041， 通項公式為：注意注意：用不完全歸納法，只從數(shù)列的有限項用不完全歸納法，只從數(shù)列的有限項來歸納數(shù)列所有項的通項公式是不一定可靠來歸納數(shù)列所有項的通項公式是不一定可靠的，如的，如2，4，8，?？蓺w納成?？蓺w納成 或或 者者 兩個不同的數(shù)列（兩個不同的數(shù)列（ 便不同）便不同）nna222nnan4a二、累加法（又叫加減法，逐加法）二、累加法（又叫加減法，逐加法） 當(dāng)所給數(shù)列每依次相鄰兩項之間的差組成等差或等比數(shù)列時，就可用累加法進(jìn)行消元 .例3，求數(shù)列：1，3，6，10，15，21，的通項公式na解： 兩邊相加得： 212aa323 aa545 aanaann1naan43

3、21) 1(21nnan434aa三、累積法（逐積法）三、累積法（逐積法） 當(dāng)一個數(shù)列每依次相鄰兩項之商構(gòu)成一個等比數(shù)列時，就可用累積法進(jìn)行消元 例4、已知數(shù)列 中 ， ，求通項公式 。 na21annnaa31na解：由已知 ， ，得： 把1，2，n分別代入上式得： ， ，21annnaa31nnnaa311123aa2233aa113nnnaa四、待定系數(shù)法：四、待定系數(shù)法： 用待定系數(shù)法解題時，常先假定通項公式用待定系數(shù)法解題時，常先假定通項公式或前或前n項和公式為某一多項式，一般地，項和公式為某一多項式，一般地，若數(shù)列若數(shù)列 為等差數(shù)列：則為等差數(shù)列：則 或是或是 （b、為常數(shù)），若、

4、為常數(shù)），若數(shù)列數(shù)列 為等比數(shù)列，則為等比數(shù)列，則 或或 。nacbnancnbnsn2na1nnAqa) 1, 0(qAqAAqsnn例 5 已 知 數(shù) 列 的 前 n 項 和為 ，若 為等差數(shù)列，求p與 。na3)1(2pnpPnsnnana五、五、 已知數(shù)列的前已知數(shù)列的前n項和公式，求通項項和公式，求通項公式的基本方法是：公式的基本方法是： 注意：要先分注意：要先分n=1和和 兩種情況分別進(jìn)兩種情況分別進(jìn)行運(yùn)算，然后驗證能否統(tǒng)一。行運(yùn)算，然后驗證能否統(tǒng)一。)2() 1(11nssnsannn2n例7已知下列兩數(shù)列 的前n項和sn的公式，求 的通項公式。（1） （2）nanannsn32

5、212 nsn六、六、 換元法換元法當(dāng)給出遞推關(guān)系求 時，主要掌握通過引進(jìn)輔助數(shù)列能轉(zhuǎn)化成等差或等比數(shù)列的形式。na例8，已知數(shù)列 的遞推關(guān)系為 ，且 求通項公式 。na121nnaa11ana解： 121nnaa) 1(211nnaa令則輔助數(shù)列 是公比為2的等比數(shù)列 即1nnabnb11nnqbbnnnqaa2) 1(11112 nna例 9 ， 已 知 數(shù) 列 的 遞 推 關(guān) 系 為 ，且 ， ，求通項公式 。na4212nnnaaa11a32ana解： 4212nnnaaa4)()(112nnnnaaaa令 則數(shù)列 是以4為公差的等差數(shù)列 nnnaab1nb2) 1(1211aabdnbbn241naabnnn21412 aa22423 aa23434 aa2) 1(41naann兩邊分別相加得： ) 1( 2)1(321 41nnaan3422naan例10，已知 ， ，且 ，求 。 21a0na)(211Nnaaaannnnna解： 即 0211nn