《圓柱和圓錐》教材分析

1、【第二單元圓柱和圓錐】本單元在學(xué)生認(rèn)識了圓，掌握了長方體和正方體的形狀特征以及表面積與體積計(jì)算方法的基礎(chǔ)上編排，是小學(xué)數(shù)學(xué)最后教學(xué)的形體知識。與長方體、正方體一樣，圓柱和圓錐也是基本的幾何形體，在日常生活和生產(chǎn)勞動(dòng)中經(jīng)常能夠看到這些形狀的物體。教學(xué)圓柱和圓錐，能夠擴(kuò)大學(xué)生認(rèn)識幾何形體的范圍，豐富對形體的認(rèn)識，有利于解決更多的實(shí)際問題。教學(xué)圓柱和圓錐，也能夠豐富學(xué)生認(rèn)識幾何形體的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，深入理解體積的意義和常用的體積單位，有利于完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)，發(fā)展空間觀念。教學(xué)圓柱和圓錐，還能夠給學(xué)生提供探索表面積和體積計(jì)算公式的機(jī)會，有利于轉(zhuǎn)化能力和推理能力的進(jìn)一步提高。全單元編排五道例題，具體安排見下表：例

2、1 圓柱、圓錐的形狀特點(diǎn)例2 圓柱的側(cè)面積例3 圓柱的表面積例4 圓柱的體積例5 圓錐的體積從表格里可以看到，全單元的教學(xué)內(nèi)容大致由三部分組成:認(rèn)識圓柱和圓錐，了解它們的形狀特點(diǎn)；理解圓柱的側(cè)面積與表面積的含義，計(jì)算圓柱側(cè)面積和表面積的方法；理解圓柱和圓錐體積的意義，計(jì)算圓柱和圓錐體積的公式。由于圓錐的表面展開圖是一個(gè)扇形和一個(gè)圓的組合，相對比較復(fù)雜，所以小學(xué)數(shù)學(xué)不教學(xué)扇形的面積，即本單元不涉及圓錐的側(cè)面積和表面積。從表格里還能看到，教學(xué)圓柱和圓錐的內(nèi)容編排，與教學(xué)長方體和正方體差不多。這就使本單元的教學(xué)，可以充分利用以前教學(xué)長方體和正方體的方法與經(jīng)驗(yàn)，提高效率，讓學(xué)生在各個(gè)方面都得到較好的鍛

3、煉。（一） 仔細(xì)觀察、動(dòng)手操作、充分交流，了解圓柱和圓錐的形狀特點(diǎn)，建立相應(yīng)的形體概念教材編排一道例題，先后教學(xué)圓柱和圓錐的形狀特點(diǎn)。這樣安排出于兩個(gè)原因：一是學(xué)習(xí)圓柱和圓錐的起點(diǎn)不同，二是認(rèn)識圓柱和圓錐的難度不同。學(xué)生在第一學(xué)段已經(jīng)直觀認(rèn)識了圓柱，通過滾一滾、堆一堆、摸一摸等活動(dòng)，對圓柱的形狀有了一些粗淺的感受。這是他們繼續(xù)認(rèn)識圓柱的起點(diǎn)，而學(xué)習(xí)圓錐就沒有這樣的臺階。相對于認(rèn)識圓柱來說，了解圓錐會稍難些。首先，圓柱有兩個(gè)圓形底面，圓錐是一個(gè)底面、一個(gè)頂點(diǎn)，感受圓柱側(cè)面是曲面比較容易，感受圓錐側(cè)面是曲面稍難些。其次，圓柱的高是它兩個(gè)底面之間的距離，比較容易表示和測量。圓錐的高是它頂點(diǎn)到底面的距

4、離，表示或測量都要難些。可見，把認(rèn)識圓柱和圓錐的教學(xué)適當(dāng)分開，先圓柱、后圓錐，是比較好的編排。像這樣先“易”后“難”，先“熟”后“生”，有利于教學(xué)突出重點(diǎn)。把圓柱的認(rèn)識與圓錐的認(rèn)識編排在一道例題里教學(xué)，也體現(xiàn)了它們既是不同的幾何體，也有內(nèi)在聯(lián)系。它們的聯(lián)系，一是“都有圓形底面”，二是“圓錐體積是等底等高圓柱的三分之一”。教學(xué)圓柱，從識別圓柱形物體開始。因?yàn)槿粘Ｉ钪杏性S多圓柱形狀的物體，學(xué)生已有識別的能力。通過識別，不僅引出了學(xué)習(xí)內(nèi)容，而且能體會學(xué)習(xí)圓柱的現(xiàn)實(shí)意義。例題的圖片里，有些物體是圓柱形的，有些物體是圓錐形的。圓柱形的物體中，有的橫放、有的豎擺；有的很高、有的很矮。這就為教學(xué)圓柱提供了

5、豐富的感性材料。教學(xué)圓柱的形狀特點(diǎn)，要引導(dǎo)學(xué)生觀察、操作、交流，教師適時(shí)給出必要的講解。因?yàn)閳A柱的形狀需要學(xué)生充分感知，有關(guān)圓柱特點(diǎn)的數(shù)學(xué)術(shù)語和規(guī)范表述不是他們發(fā)現(xiàn)創(chuàng)造，而是意義接受的。三個(gè)小卡通的交流，代表學(xué)生通過觀察、操作，獲得的有關(guān)圓柱的感性認(rèn)識，也是圓柱的最主要特點(diǎn)。學(xué)生通常對圓柱“上下兩個(gè)面是完全相同的兩個(gè)圓”“有一個(gè)曲面”這兩點(diǎn)比較關(guān)注，對圓柱“上下一樣粗”容易疏忽，教學(xué)要注意這一點(diǎn)。在學(xué)生交流圓柱特征的過程中，教師可以相機(jī)指出圓柱上、下兩個(gè)面叫作圓柱的“底面”，圍成圓柱的曲面叫作“側(cè)面”；及時(shí)呈現(xiàn)圓柱的幾何圖形，在圖形上標(biāo)出底面和側(cè)面。這是幫助學(xué)生建立圓柱概念的重要步驟。教師還應(yīng)

6、該告訴學(xué)生，圓柱兩個(gè)底面之間的距離叫作高，并在圓柱的幾何圖形上標(biāo)出高，直觀表達(dá)高的數(shù)學(xué)含義。同時(shí)，也讓學(xué)生想想測量圓柱高的方法。以往，有些課堂上強(qiáng)調(diào)圓柱有“無數(shù)”條高。這出于可以在圓柱的側(cè)面上或圓柱的內(nèi)部，可以任意選擇位置表示出圓柱的高。其實(shí)圓柱的“高”是一個(gè)數(shù)學(xué)概念，指的是圓柱兩個(gè)底面之間的距離。人們可以在適當(dāng)?shù)奈恢蒙媳硎緢A柱的高，在方便的位置上測量圓柱的高。教學(xué)應(yīng)該突出的是關(guān)于圓柱高的概念，關(guān)于圓柱圖形上表示高的方法，以及測量圓柱形物體的高的方法。沒有必要在“幾條”上糾纏不清，特別不能造成概念的含糊。教學(xué)圓錐，從圓錐形狀的物體引入。由于學(xué)生首次接觸圓錐，教材指著沙堆、屋頂?shù)葓D片，告訴他們“

7、這些物體的形狀都是圓錐體，簡稱圓錐”。認(rèn)識圓錐的學(xué)習(xí)方式與認(rèn)識圓柱相似，也是一邊觀察、操作、交流，一邊接受教師的講解。要引導(dǎo)學(xué)生把認(rèn)識圓柱的學(xué)習(xí)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)遷移到認(rèn)識圓錐上來，在觀察圓錐形物體的基礎(chǔ)上抽象出圓錐的幾何圖形；在交流圓錐特征的過程中認(rèn)識圓錐的頂點(diǎn)、底面和側(cè)面。圓錐的高是教學(xué)難點(diǎn)。因?yàn)閳A錐的高是圓錐內(nèi)部一條線段的長。教材圖文結(jié)合，指出從圓錐的頂點(diǎn)到底面的距離是圓錐的高，并在圓錐的幾何圖形上用虛線畫出從頂點(diǎn)到底面圓心的線段，幫助學(xué)生理解圓錐高的含義。教學(xué)圓錐的高，除了準(zhǔn)確而精練的講解，還要給學(xué)生體會和內(nèi)化的機(jī)會?？梢宰屗麄冎钢鴪A錐形實(shí)物或圓錐的幾何圖形，說說什么是圓錐的高，并且想辦法量出圓

8、錐形物體的高。例1的“練一練”提供了九個(gè)物體的圖片，要求找出其中圓柱形狀的物體和圓錐形狀的物體。教學(xué)這道題，不僅要讓學(xué)生辨別哪些物體是、哪些物體不是，還要引導(dǎo)他們說出理由。尤其對上口小、下底大的杯子，兩個(gè)底面雖然相同但兩底之間粗細(xì)不同的鼓等等，指出它們不是圓柱或者不是圓錐的原因，以加強(qiáng)對圓柱和圓錐形狀特點(diǎn)的體驗(yàn)。練習(xí)二第1、2、3題配合例1的教學(xué)。練習(xí)設(shè)計(jì)十分重視空間觀念的培養(yǎng)，有很強(qiáng)的操作性。尤其是第2題，要求從前面、右面、上面觀察圓柱和圓錐，通過立體圖形與平面圖形、曲面與平面的相應(yīng)轉(zhuǎn)化，加強(qiáng)對圓柱和圓錐特征的體驗(yàn)。特別是從正面和側(cè)面觀察圓柱或觀察圓錐，看到的圖形相同；從上面觀察圓錐，看到一

9、個(gè)圓以及它中心的一個(gè)點(diǎn)。能使頭腦里的圓柱、圓錐表象更加清晰。第3題要求利用教科書附頁里的圖形做一個(gè)圓柱和一個(gè)圓錐，體會圓柱的側(cè)面是長方形卷成的，圓錐的側(cè)面是扇形卷成的，經(jīng)歷平面變成曲面的過程。同時(shí)，做出一個(gè)圓錐只要一個(gè)圓，做出一個(gè)圓柱需要兩個(gè)同樣大小的圓，再次體會了圓柱和圓錐的特征。測量做出的圓柱和圓錐的底面半徑與高，可以再次鞏固高的概念，也能為接下來教學(xué)表面積和體積作些準(zhǔn)備。（二） 展開圓柱的側(cè)面與表面，探索側(cè)面積與表面積的計(jì)算方法圓柱是兩個(gè)同樣大小的圓和一個(gè)曲面圍成的立體，它的表面積是側(cè)面積與兩個(gè)底面積的總和。圓柱的側(cè)面展開是什么形狀？側(cè)面積怎樣計(jì)算？這些都是新知識。為此，教材先安排例2教

10、學(xué)圓柱的側(cè)面積，再在例3里教學(xué)圓柱的表面積。例2要求計(jì)算圓柱形罐頭側(cè)面的商標(biāo)紙的面積。學(xué)生在這個(gè)問題情境里會產(chǎn)生把商標(biāo)紙剪開后看看、算算的想法，這正是教材期望的學(xué)習(xí)活動(dòng)。例題的教學(xué)分三步安排：第一步由“白菜”卡通指導(dǎo)學(xué)生“沿著接縫把商標(biāo)紙剪開，展開后看看是什么形狀”，讓他們通過這些操作，發(fā)現(xiàn)商標(biāo)紙展開后是長方形，從而理解圓柱的側(cè)面展開圖是一個(gè)長方形。教學(xué)這一步，要組織學(xué)生討論“為什么沿著接縫剪？”弄明白沿著其他地方剪也能把商標(biāo)紙展開，但得到的不一定是長方形，計(jì)算長方形的面積比計(jì)算其他圖形的面積方便。還要組織學(xué)生討論“商標(biāo)紙的接縫相當(dāng)于圓柱的什么？”弄明白沿著接縫剪相當(dāng)于沿著圓柱的一條高剪，而這

11、樣做才能使側(cè)面展開成一個(gè)長方形。第二步研究長方形的長與寬在圓柱上各是什么。因?yàn)橛?jì)算長方形面積需要知道它的長與寬，而在圓柱上只知道底面直徑和高，必須溝通長方形的長、寬和圓柱的直徑、高之間的聯(lián)系，為計(jì)算側(cè)面積創(chuàng)造條件。教學(xué)這一步應(yīng)該讓學(xué)生明白研究什么、為什么研究，帶著積極的心向去尋找聯(lián)系。還要讓學(xué)生面對長方形圍成圓柱的側(cè)面、圓柱側(cè)面展開成長方形的現(xiàn)象，理解長方形的長等于圓柱的底面周長，寬等于圓柱的高。由此得出圓柱的側(cè)面積等于底面周長乘高。第三步列式計(jì)算商標(biāo)紙的面積，即計(jì)算圓柱的側(cè)面積。這一步要求學(xué)生獨(dú)立完成。教師要指導(dǎo)他們分步計(jì)算，先算出圓柱的底面周長（側(cè)面展開的長方形的長），再計(jì)算圓柱的側(cè)面積。

12、分步列式計(jì)算能減少錯(cuò)誤，比列綜合算式方便。還要支持學(xué)生使用計(jì)算器，沒有必要把大量的時(shí)間和精力放在繁瑣的乘法筆算上。教材還指出“（商標(biāo)紙的面積）也可以這樣計(jì)算：1115=165”，省略1653.14的筆算，用165作為最后的得數(shù)。這與中學(xué)數(shù)學(xué)是接軌的，會受到教師和學(xué)生的歡迎。例4教學(xué)圓柱的表面積，關(guān)鍵在于建立表面積的概念。只要理解“求表面積”就是求什么，算法自然就產(chǎn)生了。而且長方體與正方體表面積的概念和算法，對教學(xué)圓柱表面積有支持作用。例題按如下的思路編寫，大致分兩步教學(xué)。第一步要求在方格紙上畫出一個(gè)圓柱的表面展開圖。這個(gè)圓柱的幾何圖形上標(biāo)出了底面直徑2厘米、高2厘米，要求學(xué)生看著圓柱圖形和標(biāo)注

13、的底面直徑與高，思考圓柱的側(cè)面沿著高展開，得到的長方形長和寬各是多少厘米，兩個(gè)底面分別是多大的圓，并在方格紙上畫出一個(gè)長方形和兩個(gè)圓，即這個(gè)圓柱的表面展開圖。畫出的圖形能直觀展示表面積的含義：圓柱側(cè)面積與兩個(gè)底面積的和，是圓柱的表面積。這既是表面積的概念，也是計(jì)算表面積的方法。和長方體、正方體的表面積計(jì)算一樣，圓柱的表面積計(jì)算也不給出公式，讓學(xué)生在理解表面積意義的基礎(chǔ)上推理算法，以避免記憶公式的負(fù)擔(dān)。第二步計(jì)算例題呈現(xiàn)的圓柱的表面積。由于計(jì)算圓柱側(cè)面積的方法已在例2教學(xué)，計(jì)算兩個(gè)底面圓的面積是舊知識，學(xué)生應(yīng)該能獨(dú)立計(jì)算圓柱的表面積。教師仍然要提醒他們列分步算式解答，通常先算出側(cè)面積，再算出一個(gè)

14、底面的面積，然后算側(cè)面積與兩個(gè)底面積的和。學(xué)生如果用4表示側(cè)面積，用2表示兩個(gè)底面圓的面積，用6表示表面積，應(yīng)該加以肯定。計(jì)算圓柱的側(cè)面積或表面積，一般都已知圓柱的高，還要已知底面的直徑（或者半徑、周長）。接著例3編排的“練一練”給出的底面條件有直徑、有半徑、也有周長等各種情況，要幫助學(xué)生激活有關(guān)圓的知識和經(jīng)驗(yàn)，并正確應(yīng)用到計(jì)算圓柱的側(cè)面積和表面積上面。練習(xí)二第412題，應(yīng)用圓柱側(cè)面積和表面積知識解決實(shí)際問題。習(xí)題編排分三個(gè)層次：第4、5兩題的練習(xí)重點(diǎn)是把實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)問題，求制作隊(duì)鼓的鋁皮面積是計(jì)算圓柱的側(cè)面積，求制作隊(duì)鼓的羊皮面積是計(jì)算兩個(gè)底面積的和，求做一個(gè)油桶需要的鐵皮是計(jì)算圓柱的

15、表面積。第6題有整理知識和思路的作用。通過填表幫助學(xué)生進(jìn)一步區(qū)分圓柱的側(cè)面積、底面積、表面積三個(gè)不同的概念和不同的算法；整理側(cè)面積、底面積與表面積之間的聯(lián)系，使計(jì)算圓柱表面積的思路更加清楚。第612題要求靈活應(yīng)用圓柱側(cè)面積與表面積的知識解決問題，有時(shí)只需要計(jì)算側(cè)面積，有時(shí)要計(jì)算側(cè)面積與一個(gè)底面積的和，有時(shí)是計(jì)算表面積。正確解答這些問題，需要仔細(xì)讀題，準(zhǔn)確理解題意，還要有相應(yīng)的生活常識和經(jīng)驗(yàn)。如通風(fēng)管是沒有底面的圓柱形筒，計(jì)算通風(fēng)管所用的材料，是求圓柱側(cè)面積的問題。無蓋的水桶可以看成只有一個(gè)底面的圓柱形，計(jì)算制作這樣的水桶要用多少材料，是求圓柱側(cè)面積和一個(gè)底面積的和。（三） 通過猜想驗(yàn)證，探索圓

16、柱和圓錐的體積計(jì)算公式學(xué)生已經(jīng)掌握了長方體和正方體的體積公式，而且知道它們的體積都可以用“底面積高”來計(jì)算。事實(shí)上，不僅是長方體與正方體，求各種直柱體的體積都可以用“底面積高”來計(jì)算，圓柱的體積也是這樣。例4教學(xué)圓柱的體積。教材先呈現(xiàn)了長方體、正方體和圓柱這三個(gè)立體圖形，涂色突出它們的底面，指出這三個(gè)幾何體的底面積相等，高也相等。要求先猜想圓柱體積與等底（面積）等高的長方體、正方體體積是不是相等，再通過把圓柱“等積變形”證實(shí)猜想，推導(dǎo)出圓柱的體積計(jì)算公式。猜想與驗(yàn)證是人們解決問題經(jīng)常采用的策略。教材鼓勵(lì)學(xué)生猜想并驗(yàn)證，調(diào)動(dòng)他們的積極性，使圓柱體積的教學(xué)不是被動(dòng)接受，而是有意義的探索。例題通過兩

17、個(gè)問題幫助學(xué)生形成猜想：第（1）個(gè)問題是圖示的長方體和正方體體積相等嗎？為什么？引導(dǎo)學(xué)生回憶長方體和正方體的體積都可以用“底面積高”的方法計(jì)算，從長方體與正方體的底面積相等、高也相等，判斷它們的體積相等。充分體會長方體或正方體的體積與它們的底面積和高有關(guān)，把計(jì)算直柱體體積的心向調(diào)整到“底面積高”上面。第（2）個(gè)問題是猜想圖示的圓柱體積會不會和長方體、正方體的體積相等。從等底（面積）等高的長方體與正方體體積相等，類比推理等底（面積）等高的圓柱與長方體體積也會相等，猜想圓柱的體積也可以用“底面積高”來計(jì)算。這就為探索圓柱的體積公式找到了方向。猜想必須驗(yàn)證，這是科學(xué)精神、嚴(yán)謹(jǐn)態(tài)度的表現(xiàn)。類比推理的結(jié)

18、論可能正確，也可能錯(cuò)誤，要經(jīng)過驗(yàn)證才能確認(rèn)或者否認(rèn)。為了證實(shí)圓柱體積可以用“底面積高”計(jì)算，教材設(shè)計(jì)了三步活動(dòng)：首先是形成驗(yàn)證思路，把圓柱轉(zhuǎn)化成等底（面積）等高，體積不變的長方體，并展示轉(zhuǎn)化過程。轉(zhuǎn)化思路的形成，借鑒了把圓轉(zhuǎn)化成長方形計(jì)算面積的經(jīng)驗(yàn)。轉(zhuǎn)化的要領(lǐng)是保持圓柱與長方體等底（面積）、等高、等（體）積。學(xué)生可以看教材里的插圖，明白怎樣把圓柱切割與改拼。如果能親自操作學(xué)具，實(shí)踐圓柱的等（體）積變形，就更好了。然后是滲透極限思想。把圓柱的底面平均分成16份，切開后拼成的只是一個(gè)近似于長方體的物體。如果圓柱的底面平均分的份數(shù)越多，切開后拼成的物體越接近長方體。圓柱底面被平均分的份數(shù)足夠多，就能

19、轉(zhuǎn)化成等底（面積）、等高、等（體）積的長方體。最后是推導(dǎo)圓柱的體積計(jì)算公式。由于圓柱與轉(zhuǎn)化成的長方體體積相等，所以求圓柱的體積只要計(jì)算長方體的體積；由于長方體體積可以用底面積乘高計(jì)算，而長方體的底面積與圓柱底面積相等，長方體的高與圓柱的高相等，“底面積高”計(jì)算的既是長方體的體積，也是圓柱的體積。由此得出圓柱的體積計(jì)算公式：圓柱的體積底面積高。必須注意的是，在得出圓柱體積計(jì)算公式以后，教材安排“回顧圓柱體積公式的探索過程”，要求學(xué)生交流體會。“轉(zhuǎn)化”是探索圓柱體積公式的策略，在尋求圓柱體積計(jì)算方法的過程中，“轉(zhuǎn)化成長方體”是關(guān)鍵。教學(xué)應(yīng)通過回顧，突出轉(zhuǎn)化策略在這里的應(yīng)用，聯(lián)系實(shí)際加強(qiáng)策略意識。另

20、外，用“底面積高”涵蓋長方體、正方體和圓柱的體積計(jì)算，有利于優(yōu)化認(rèn)知結(jié)構(gòu)，這也應(yīng)是回顧與反思的一個(gè)重要內(nèi)容。得出圓柱的體積公式以后，利用公式計(jì)算圓柱的體積就讓學(xué)生獨(dú)立進(jìn)行了?！霸囈辉嚒焙汀熬氁痪殹狈謩e已知圓柱的底面半徑和高、底面直徑和高、底面周長和高，求圓柱的體積。與前面計(jì)算圓柱的表面積相似，計(jì)算體積也可以分步列式，先算出圓柱的底面積，再計(jì)算體積。尤其是已知圓柱底面直徑或周長時(shí)，分步計(jì)算體積能夠減少錯(cuò)誤。練習(xí)三配合例4的教學(xué)，設(shè)計(jì)了三個(gè)層次的習(xí)題。第1、2兩題是一個(gè)層次，主要幫助學(xué)生消化基礎(chǔ)知識。計(jì)算圓柱體積的基本方法是底面積乘高，如果已知圓柱的底面積，可以直接與高相乘；如果沒有已知底面積，應(yīng)

21、該先算出底面積。第49題是一個(gè)層次，主要幫助學(xué)生應(yīng)用體積知識解決實(shí)際問題。要注意的是，如果計(jì)算圓柱形物體的體積，應(yīng)該在物體外面測量有關(guān)的長度；如果計(jì)算圓柱形物體的容積，應(yīng)該從物體的里面測量需要的數(shù)據(jù)。其中第7題，把一張長5厘米、寬4厘米的長方形紙分別繞其長或?qū)捫D(zhuǎn)，能形成兩個(gè)不同的圓柱。先估計(jì)這兩個(gè)圓柱的體積，指出哪一個(gè)大，再計(jì)算它們的體積，驗(yàn)證前面的估計(jì)。教學(xué)這道題，要讓學(xué)生體驗(yàn)“長方形繞其長（寬）旋轉(zhuǎn)，能形成長方體”的現(xiàn)象。如有必要，可以動(dòng)手操作，實(shí)踐一下。要識別形成的圓柱的底面半徑和高，把已知的長方形的長、寬轉(zhuǎn)化成圓柱的有關(guān)數(shù)據(jù)。形成的兩個(gè)圓柱，一個(gè)的底面小一些、高一些，另一個(gè)的底面大一

22、些、矮一些。估計(jì)哪一個(gè)的體積比較大，其實(shí)是猜一猜哪個(gè)的體積大。猜對和猜錯(cuò)，都要通過計(jì)算體積來驗(yàn)證。第1016題是一個(gè)層次，主要幫助學(xué)生綜合應(yīng)用圓柱表面積和體積的知識。要整理表面積和體積的概念與算法，在求異的時(shí)候也要關(guān)注求同。求同往往能形成比較上位的認(rèn)識，求異有助于區(qū)分下位的知識。以往的教學(xué)比較重視比“異”，疏忽比“同”，這里說說求同。如長方體和圓柱的表面積都是它所有面的面積總和，計(jì)算表面積要把各個(gè)面的面積相加；長方體和圓柱的體積都是它所占空間的大小，計(jì)算體積都可用底面積乘高。再如計(jì)算長方體、圓柱的表面積或體積，都需要知道高和有關(guān)底面的條件。底面周長乘高得到側(cè)面積，底面積乘高得到體積要辨別所解決

23、的實(shí)際問題與物體的表面積有關(guān)還是與體積有關(guān)，應(yīng)用相應(yīng)的知識去解答。要靈活應(yīng)用體積公式，在求物體的體積時(shí)，可以按公式列出算式；在已知物體的體積，求它的高（或底面積）時(shí)，可以按公式列出方程。練習(xí)三的后面是“動(dòng)手做”，要求測量土豆的體積。土豆的形狀不規(guī)則，求它的體積沒有現(xiàn)成的計(jì)算公式。教材設(shè)計(jì)了利用圓柱形容器測量土豆體積的方法：先準(zhǔn)備材料圓柱形容器1個(gè)，土豆1個(gè)；講解測量方法在容器里放適量的水，把土豆浸沒在水中，測量并記錄相關(guān)的數(shù)據(jù)，算出土豆的體積。并且提供一張表格，提示應(yīng)該記錄容器的底面積、放入土豆前的水面高度、放入土豆后的水面高度以及算出的土豆體積。然后是測量與計(jì)算，一邊操作一邊思考應(yīng)注意什么。

24、如，容器底面積不能直接量得，只能測量底面的半徑、直徑或周長。測量半徑需要確定圓心，測量周長還要計(jì)算直徑，一般測量直徑，既容易量，也便于算。又如，測量底面直徑、水面高度都要在容器里面進(jìn)行，利用容器里面的數(shù)據(jù)，算出的才是水的體積、土豆的體積。教學(xué)應(yīng)在適當(dāng)時(shí)候組織學(xué)生反思這次測量活動(dòng)，體會其中的“轉(zhuǎn)化”策略：把形狀不規(guī)則的土豆體積，轉(zhuǎn)化成形狀規(guī)則的圓柱體積，通過計(jì)算圓柱體積，得到土豆的體積。例5教學(xué)圓錐的體積，教學(xué)思路也是先猜想再驗(yàn)證。教材首先出示底面積相等，高也相等的圓柱和圓錐各一個(gè)，涂色表示它們的底面相等，用兩條平行的虛線表示高相等。要求學(xué)生估計(jì)這個(gè)圓錐的體積會是圓柱的幾分之幾，引導(dǎo)他們利用圓柱

25、的體積求圓錐的體積。這里的估計(jì)是形成一個(gè)猜想，如果等底（面積）等高的圓柱和圓錐的體積之間存在確定的倍數(shù)關(guān)系，就可以利用圓柱的體積計(jì)算圓錐的體積。學(xué)生不一定估計(jì)圓錐的體積是圓柱的三分之一。不過，這并不要緊，后面的實(shí)驗(yàn)會得出這個(gè)關(guān)系。只要形成圓錐體積與等底（面積）等高圓柱體積有關(guān)的心向，就能支持后面的操作驗(yàn)證。例題把驗(yàn)證活動(dòng)分成三步進(jìn)行。第一步選擇實(shí)驗(yàn)器具：等底等高的圓柱形和圓錐形容器各一個(gè)。圖示的方法里，把圓錐形容器放到圓柱形容器的上面，容易比出底面積是否相等。把圓柱形容器和圓錐形容器靠近著放在同一桌面上，容易比出高是否相等。第二步倒沙實(shí)驗(yàn)：在圓錐形容器里裝滿沙子，倒入圓柱形容器。從“3次正好倒

26、滿”這個(gè)事實(shí)，證實(shí)圓柱形容器的容積是等底等高圓錐形容器的3倍，也就是圓錐形容器的容積是等底等高圓柱形容器的1/3。第三步推導(dǎo)圓錐的體積計(jì)算公式：如果不考慮容器壁的厚度，圓錐容器里裝滿的沙子的體積可以看作圓錐的體積，圓柱容器里裝滿的沙子的體積可以看作圓柱的體積。從實(shí)驗(yàn)的結(jié)果先得出等底等高圓錐和圓柱的體積關(guān)系：圓錐的體積圓柱的體積1/3；再把圓柱的體積計(jì)算方法代入關(guān)系式，得出圓錐體積計(jì)算公式：底面積高1/3。教材很重視引導(dǎo)學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)思想和積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，在得出圓錐體積公式以后，要求他們回顧圓錐體積公式的探索過程。要讓學(xué)生說說自己的體會。整理學(xué)生的交流，應(yīng)該突出兩點(diǎn)：一是“轉(zhuǎn)化”策略，圓錐體積可

27、以轉(zhuǎn)化成圓柱體積來計(jì)算，新知識可以轉(zhuǎn)化成舊知識來認(rèn)識。二是實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化可以通過猜想、驗(yàn)證來落實(shí)，猜想圓錐體積與圓柱體積有關(guān)，并驗(yàn)證這種關(guān)系確實(shí)存在，就實(shí)現(xiàn)了圓錐體積到圓柱體積的轉(zhuǎn)化。“練一練”加強(qiáng)對等底等高圓錐與圓柱的體積關(guān)系的把握。第1題先是已知圓柱體積求等底等高的圓錐體積，再是已知圓錐體積求等底等高的圓柱體積，讓學(xué)生充分利用圓錐體積是等底等高圓柱體積的1/3，圓柱體積是圓錐的3倍這兩個(gè)結(jié)論，加強(qiáng)對這種關(guān)系的理解和把握。在此基礎(chǔ)上完成第2題，學(xué)生求圓錐體積就不會忘記“1/3”了。練習(xí)四第5題要求把等底等高的圓柱體積和圓錐體積相互轉(zhuǎn)化，從已知的圓柱體積得出相應(yīng)的圓錐體積，從已知的圓錐體積得出相應(yīng)的

28、圓柱體積，繼續(xù)加強(qiáng)對等底等高圓柱和圓錐體積關(guān)系的理解。第6題根據(jù)圖示的各個(gè)立體圖形的底面直徑與高，尋找與圓錐體積相等的圓柱，其中的推理稍有難度。可以從圓錐體積是等底等高圓柱體積的1/3，推理出體積相等的圓柱與圓錐，如果底面積相等，圓錐的高是圓柱的3倍圓柱的高是圓錐的1/3；如果高相等，圓錐的底面積是圓柱的3倍圓柱的底面積是圓錐的1/3。還要注意到，大圓的直徑是小圓的3倍小圓直徑是大圓的1/3，大圓的面積則是小圓的9倍小圓的面積是大圓的1/9。過去的教學(xué)告訴我們，這一單元的計(jì)算比較繁瑣，學(xué)生經(jīng)常會算錯(cuò)。對此提出三點(diǎn)建議：一是營造良好的計(jì)算環(huán)境。每次作業(yè)的題量不宜過多，給學(xué)生的時(shí)間要充分，心理壓力小些能減少計(jì)算錯(cuò)誤。二是較復(fù)雜的計(jì)算可以使用計(jì)算器。通常情況是，三位數(shù)乘一位數(shù)、三位數(shù)乘兩位數(shù)可以采用筆算，位數(shù)更多的乘法應(yīng)該用計(jì)算器算。沒有必要讓學(xué)生進(jìn)行繁瑣的四則運(yùn)算，消耗時(shí)間和精力。三是指導(dǎo)簡便運(yùn)算。在半徑的長度數(shù)是5、15、25，高的長度數(shù)是2、4、8時(shí)，往往可以利用乘法運(yùn)算律使計(jì)算簡便些。要善于發(fā)現(xiàn)、及時(shí)利用可