常用的幾個(gè)期權(quán)定價(jià)模型的基本原理及其對(duì)比分析

1、-作者xxxx-日期xxxx常用的幾個(gè)期權(quán)定價(jià)模型的基本原理及其對(duì)比分析【精品文檔】常用的幾個(gè)期權(quán)定價(jià)模型的基本原理及其對(duì)比分析 (function() var s = _ + Math.random().toString(36).slice(2); document.write(); (window.slotbydup = window.slotbydup | ).push( id: u3686515, container: s ); )(); 摘 要 期權(quán)是一類重要的金融衍生產(chǎn)品，它賦予持有者的是一種買權(quán)或賣權(quán)，而并非義務(wù)，所以期權(quán)持有者可以選擇行使權(quán)利，也可以放棄行權(quán)。那么，如何對(duì)期權(quán)定

2、價(jià)才能對(duì)期權(quán)的發(fā)行者、持有者雙方更加合理？于是就產(chǎn)生了期權(quán)的定價(jià)問題。在現(xiàn)代金融理論中，期權(quán)定價(jià)已經(jīng)成為其重要的組成部分，關(guān)于對(duì)期權(quán)定價(jià)模型的研究成果也是層出不窮，文章主要介紹在連續(xù)時(shí)間下常用的三種期權(quán)定價(jià)模型：Black-Scholes模型、Ornstein-Ulhenbeck過程模型以及跳躍-擴(kuò)散模型，并對(duì)這三種模型作簡要的對(duì)比分析。 關(guān)鍵詞 Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型；Ornstein-Ulhenbeck過程的期權(quán)定價(jià)模型；跳躍-擴(kuò)散過程的期權(quán)定價(jià)模型；風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià) doi ： 10 . 3969 / j . issn . 1673 - 0194 . 2018. 23. 05

3、0 中圖分類號(hào) F830.9 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼 A 文章編號(hào) 1673 - 0194（2018）23- 0117- 04 1 Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型 1970年初，美國經(jīng)濟(jì)學(xué)家布萊克（F.Black）和斯科爾斯（M.Scholes）發(fā)現(xiàn)無支付紅利的股票的衍生證券的價(jià)格必然滿足一個(gè)微分方程，他們推導(dǎo)出了該方程的解析解，并得到了歐式看漲、看跌期權(quán)的價(jià)格。該理論被視為期權(quán)定價(jià)史上的豐碑，為此，斯科爾斯以及后來為該方程做出重大貢獻(xiàn)的默頓（Merton）共同獲得了1997年10月10日的諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)。 Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型是建立在以下假設(shè)之上的： （1）股票不支付紅利，且股

4、價(jià)St服從幾何布朗（Brown）運(yùn)動(dòng)，其隨機(jī)微分方程為 dSt=Stdt+StdWt（1） 其中，均為常數(shù)，Wt是定義在概率空間（，F(xiàn)，P）上的標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)。 （2）市場是完全的，所有未定權(quán)益都是可復(fù)制的，且不存在任何套利機(jī)會(huì)； （3）無風(fēng)險(xiǎn)利率r是一個(gè)常數(shù)，并且任何期限的借貸利率都相等； （4）允許無限制的賣空； （5）市場是無摩擦的，即無稅收成本、無交易成本； （6）股票可以以任何數(shù)量在任何連續(xù)的時(shí)間內(nèi)交易。 首先求解隨機(jī)微分方程式（1）。根據(jù)伊藤（It？?h）公式可得： d ln St=- dt+dWt（2） 給定初始股價(jià)S0，在式（2）的兩邊同時(shí)取0，t上的積分便可解得： St=S0e

5、 （3） 如果一個(gè)金融市場僅包括無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和股票兩種資產(chǎn)，無風(fēng)險(xiǎn)利率為r，給定時(shí)間區(qū)間0，T，將0，T進(jìn)行N等分，每個(gè)子區(qū)間的長度均為t，則T=Nt。設(shè)t0，T，令t=nt。在離散情形下，投資者的初始財(cái)富為X0，他于nt時(shí)刻購買了？準(zhǔn)nt份股票，若nt時(shí)刻的股價(jià)為Snt，則在下一時(shí)刻，投資者擁有的財(cái)富值滿足： X（n+1）t =？準(zhǔn)ntS（n+1）t +（Xnt -？準(zhǔn)nt=Snt）ert 化簡整理得： X（n+1）t-Xnt=？準(zhǔn)nt（S（n+1）t-Snt）+（Xnt -？準(zhǔn)ntSnt）（ert-1）（4） 當(dāng)t0時(shí)，ert-1rt，再根據(jù)微分與差分的關(guān)系，結(jié)合式（1），（4）可變?yōu)?dX

6、t=（-r）？準(zhǔn)tSt+rXtdt+？準(zhǔn)tStdWt（5） 給定一個(gè)適應(yīng)過程t= ，令Zt=e ，則Z0=1，根據(jù)伊藤公式，在概率測度P下，有 dZt=-tZtdWt（6） 式（6）說明，Zt在概率測度P下是一個(gè)鞅。在式（6）的兩邊同時(shí)取0，t上的積分， Zt=1- ZsHsdWs 由于 ZsHsdWs是一個(gè)隨機(jī)伊藤積分，所以期望為0。令ZT=Z，則 EP（Z）=EP（ZT）=EP（1- ZsHsdWs）=1 如果把Z（）視為概率空間（，F(xiàn)，P）上一個(gè)幾乎必然為正的隨機(jī)變量，且EP（Z）=1，定義一個(gè)新的概率測度Q： Q（A）= Z（）dP（），？坌AF（7） 就會(huì)有如下形式的拉東-尼柯迪姆（

7、Radon-Nikodym）導(dǎo)數(shù)： dQ=Z（）dP 若概率測度QP，并且假定EP（ s2ZS2ds） 考慮一份在T時(shí)刻到期的歐式期權(quán)，期權(quán)在到期時(shí)刻的價(jià)值VT=V（T，ST）滿足： VT=V（T，ST）=maxST-K，0 歐式看漲期權(quán)maxK-ST，0 歐式看跌期權(quán)（15） 其中，K0表示期權(quán)合約的敲定價(jià)格。根據(jù)完全市場的可復(fù)制原理，令X=V，在風(fēng)險(xiǎn)中性概率測度Q下，由于資產(chǎn)組合價(jià)值的貼現(xiàn)過程Xt*是一個(gè)鞅，所以期權(quán)價(jià)值的貼現(xiàn)過程Vt*=e-rtVt也是一個(gè)鞅，即 EQ（e-rTVT|Ft）=e-rtVt（16） 稍做整理便可得到風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)公式： Vt=EQe-r（T-t）VT|Ft（1

8、7） 仿照式（3），根據(jù)式（9），在風(fēng)險(xiǎn)中性概率測度Q下可以解得： St=S0e 于是，在最終時(shí)刻T， ST=S0e =Ste （18） 假設(shè)隨機(jī)變量Y=- N（0，1），其累積分布函數(shù)為N（?），則式（18）可寫為 ST=Ste （19） 首先考慮一份在T時(shí)刻到期的歐式看漲期權(quán)，其價(jià)值函數(shù)不妨設(shè)為Ct=C（t，St），則 CT=C（T，ST）=maxST-K，0（20） 當(dāng)ST=Ste K時(shí)，解此不等式得： Y0，0首先求解隨機(jī)微分方程式（25）。根據(jù)伊藤公式可得： d（lnSt）=- -a ln Stdt+dWt（26） 不妨設(shè)Yt=ln St，則式（26）可變?yōu)?dYt=- -a Ytd

9、t+dWt（27） 又因?yàn)?d（eatYt）=aeatYtdt+eatdYt 結(jié)合式（27）得： d（eatYt）=- eatdt+eatdWt（28） 而Y0=ln S0=0，故在式（28）的兩邊同時(shí)取0，t上的積分便可解得： St=e （29） 由此可見，當(dāng)a0+時(shí)，1-e-atat，從而， - - t且e-at easdWs dWs=Wt 故Ste ，這恰好是當(dāng)S0=1時(shí)的幾何布朗運(yùn)動(dòng)模型的解析解，所以O(shè)rnstein-Ulhenbeck期權(quán)定價(jià)模型是Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型假設(shè)股價(jià)遵循隨機(jī)微分方程式（1）的一個(gè)極限情況，同樣，這也是對(duì)經(jīng)典的Black-Scholes期權(quán)定

10、價(jià)模型的一個(gè)改進(jìn)。 在概率空間（，F(xiàn)，P）上，若設(shè)股價(jià)的貼現(xiàn)過程St*=e-rtSt，則有 dSt*=（1-aln St）-rSt*dt+St*dWt（30） 如果Q為風(fēng)險(xiǎn)中性概率測度，且Q-P，令t= ，故t是一個(gè)適應(yīng)過程，則在Q下，定義一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)： t=Wt+ tds 另設(shè)Zt=e ，Zt在P下是一個(gè)鞅，于是式（30）可變?yōu)?dSt*=St*d t（31） 式（31）說明，在風(fēng)險(xiǎn)中性概率測度Q下，股價(jià)的貼現(xiàn)過程St*是一個(gè)鞅，并且可以解得： St*=S0*e （32） 其中，St*=1。這樣，式（32）與式（12）在形式上是一致的。 在風(fēng)險(xiǎn)中性概率測度Q下，式（25）可變?yōu)?dSt=

11、rStdt+Std t（33） 由此可見，式（33）與式（9）在形式上也是一致的，這樣就可以斷定，在Black-Scholes模型和Ornstein-Ulhenbeck模型下，歐式期權(quán)具有相同的價(jià)格。 3 跳躍-擴(kuò)散過程的期權(quán)定價(jià)模型 Black-Scholes模型是一個(gè)經(jīng)典的、典型的期權(quán)定價(jià)模型，它利用幾何布朗運(yùn)動(dòng)來模擬連續(xù)時(shí)間、連續(xù)狀態(tài)下股票?r格的運(yùn)動(dòng)模式，但是股票價(jià)格的變動(dòng)并非都是連續(xù)的，有時(shí)會(huì)發(fā)生跳躍的行為。例如，在1987年的“?色星期五（Black Friday）”中，股票價(jià)格日平均跌幅高達(dá)30%，這時(shí)的股價(jià)就呈現(xiàn)出跳躍狀態(tài)。為了全面描繪股價(jià)的真實(shí)運(yùn)動(dòng)情況，1975年，默頓在其發(fā)

12、表的論文股票收益不連續(xù)時(shí)的期權(quán)定價(jià)中假設(shè)股價(jià)會(huì)產(chǎn)生跳躍的行為，即在原幾何布朗運(yùn)動(dòng)的基礎(chǔ)上加了一個(gè)跳躍項(xiàng)。 給定一個(gè)概率空間（，F(xiàn)，P），設(shè)X1，X2，是一列獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，數(shù)學(xué)期望為EP（Xi）=，i=1，2，。Nt是強(qiáng)度為的泊松（Poisson）過程，對(duì)于任意的0stT，其增量的分布為 P（Nt-Ns=n）= e-（t-s），n=0，1，（34） 其中，N0=0，泊松過程的增量是獨(dú)立的，并且EP（Nt）=Varp（Nt）=t。若Xi與Nt相互獨(dú)立，定?x復(fù)合泊松過程Yi= Xi，這樣，EP（Yt）=EPEP（Yt|Nt=n）= e-t? EP（Xi）=t 若定義補(bǔ)償復(fù)合泊松過程為Mt=

13、Yt-t，則Mt在概率測度P下是一個(gè)鞅，即 EP（Mt|Fs）=EP（Yt-t|Fs）=Ys-s=Ms 其中，0stT，F(xiàn)s=（Yu，0us）表示由Yt生成的-域流。 默頓的跳躍-擴(kuò)散模型是建立在幾何布朗運(yùn)動(dòng)基礎(chǔ)之上的，即在原有的幾何布朗運(yùn)動(dòng)模型中加入跳躍項(xiàng)。假設(shè)股票的價(jià)格滿足如下的隨機(jī)微分方程： dSt=Stdt+StdWt+StdMt=（-）Stdt+StdWt+StdYt（35） 這里，Wt是定義在（，F(xiàn)，P）上的標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)。根據(jù)多萊昂-戴德（Doleans-Dade）指數(shù)公式，方程式（35）的解為 St=S0e （Xi+1）（36） 其中，S0為初始股價(jià)。若設(shè)Bi=ln（Xi+1）服

14、從正態(tài)分布，則Bi也是獨(dú)立同分布的，且 （Xi+1）= e 這樣，式（36）可寫為 St=S0e （37） 給定一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)中性概率測度Q-P，則在Q下，定義標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng) t=Wt+t，Nt是風(fēng)險(xiǎn)中性強(qiáng)度為 的泊松過程，EQ（Xi）= ，且Mt=Yt- t。由于測度變換改變了股票的平均回報(bào)率，使它成為無風(fēng)險(xiǎn)利率r，即 dSt=rStdt+Std t+StdMt=（r+- ）Stdt+StdWt+StdYt（38） 因?yàn)镼P，所以式（35）與式（38）相等，即 -=r+- （39） 式（39）就是該模型的風(fēng)險(xiǎn)的市場價(jià)格方程。類似于式（35），方程式（38）的解為 St=S0e （40） 考慮一份在T

15、時(shí)刻到期的歐式看漲期權(quán)，Q為風(fēng)險(xiǎn)中性概率測度，在最終時(shí)刻T，期權(quán)的價(jià)值為 CT=C（T，ST）=maxST-K，0（41） 如果股價(jià)沒有發(fā)生跳躍，則根據(jù)歐式看漲期權(quán)的Black-Scholes定價(jià)公式，令 StN（d1）-Ke-r（T-t）N（d2）=g（T-t，St）（42） 則在Nt=n的條件下，對(duì)于t0，T），根據(jù)風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理便可得到此時(shí)的歐式看漲期權(quán)的定價(jià)公式，即 Ct=C（t，St）= e-r（T-t）EQ（g（T-t，Ste ）（43） 其中，N（?）是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的累積分布函數(shù)，且有 d1= ln +r+ （T-t） d2= ln +r- （T-t） 根據(jù)式（43），再結(jié)合平

16、價(jià)公式（23）便可求得歐式看跌期權(quán)的定價(jià)公式。 4 結(jié) 語 經(jīng)典的Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型假設(shè)股價(jià)遵循幾何布朗運(yùn)動(dòng)，通過構(gòu)造一個(gè)與原概率測度等價(jià)的風(fēng)險(xiǎn)中性概率測度，進(jìn)而利用鞅的方法以及平價(jià)公式就可以推導(dǎo)出歐式看漲、看跌期權(quán)的定價(jià)公式。在風(fēng)險(xiǎn)中性概率測度下，股票的預(yù)期收益率可以視為無風(fēng)險(xiǎn)利率。 Ornstein-Ulhenbeck模型與跳躍-擴(kuò)散模型可以視為對(duì)經(jīng)典的Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型的改進(jìn)，它們都是通過調(diào)整股價(jià)所滿足的隨機(jī)微分方程來對(duì)期權(quán)定價(jià)：Ornstein-Ulhenbeck模型是通過調(diào)整股價(jià)所沿著方向的變化來對(duì)期權(quán)定價(jià)，歐式期權(quán)在Ornstein-Ulhenbeck模型與Black-Scholes模型中具有相同的價(jià)格；跳躍-擴(kuò)散模型是根據(jù)股價(jià)是否發(fā)生跳躍而添加跳躍項(xiàng)來對(duì)期權(quán)定價(jià)，如果股價(jià)發(fā)生跳躍，則應(yīng)在原幾何布朗運(yùn)動(dòng)的基礎(chǔ)上添加由補(bǔ)償復(fù)合泊松過程驅(qū)動(dòng)的跳