高中數(shù)學(xué) 第一章 推理與證明 1.4 數(shù)學(xué)歸納法 1.4.2 數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用優(yōu)質(zhì)課件 北師大版選修2-2

1、1第2 2課時(shí)數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用21.鞏固用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)學(xué)命題的方法和步驟.2.會(huì)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式問題、整除問題以及幾何問題.3數(shù)學(xué)歸納法(1)應(yīng)用范圍:作為一種證明方法,用于證明一些與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題;(2)基本要求:它的證明過程必須是兩步,最后還有結(jié)論,缺一不可;(3)注意點(diǎn):在第二步歸納遞推時(shí),從n=k到n=k+1時(shí)必須用上歸納假設(shè).4題型一題型二題型三5題型一題型二題型三6題型一題型二題型三反思反思對(duì)于與正整數(shù)有關(guān)的不等式的證明,如果用其他方法證明比較困難,可考慮使用數(shù)學(xué)歸納法證明.使用數(shù)學(xué)歸納法的難點(diǎn)在第二個(gè)步驟上,這時(shí)除了一定要運(yùn)用歸納假設(shè)外,還要較多地運(yùn)用不等式證明的

2、其他方法,對(duì)所要證明的不等式加以變形,尋求其與歸納假設(shè)的聯(lián)系是解決問題的突破口.7題型一題型二題型三8題型一題型二題型三a2+a+1【例2】 設(shè)aN+,nN+,用數(shù)學(xué)歸納法證明:an+2+(a+1)2n+1能被整除.分析:用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問題,一是注意分析出n=k時(shí)的假設(shè)式,二是注意通過分解因式湊出整除.9題型一題型二題型三證明:(1)當(dāng)n=1時(shí),a3+(a+1)3=a+(a+1)a2-a(a+1)+(a+1)2=(2a+1)(a2+a+1),故當(dāng)n=1時(shí),結(jié)論成立.(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k1,kN+)時(shí),結(jié)論成立,即ak+2+(a+1)2k+1能被a2+a+1整除.則當(dāng)n=k+1時(shí),a(k

3、+1)+2+(a+1)2(k+1)+1=aak+2+(a+1)2(a+1)2k+1=aak+2+(a+1)2k+1+(a+1)2(a+1)2k+1-a(a+1)2k+1=aak+2+(a+1)2k+1+(a2+a+1)(a+1)2k+1.因?yàn)閍k+2+(a+1)2k+1和a2+a+1均能被a2+a+1整除,且aN+,所以當(dāng)n=k+1時(shí),結(jié)論成立.根據(jù)(1)和(2),可知原結(jié)論成立.10題型一題型二題型三反思反思應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問題時(shí),關(guān)鍵是“湊項(xiàng)”,采用增項(xiàng)、減項(xiàng)、拆項(xiàng)和因式分解等方法,也可以說將式子“硬提公因式”,即將n=k時(shí)的項(xiàng)從n=k+1時(shí)的項(xiàng)中“硬提出來”,后面的式子相應(yīng)變形,使

4、之與n=k+1時(shí)的項(xiàng)相同,從而達(dá)到利用歸納假設(shè)的目的.11題型一題型二題型三【變式訓(xùn)練2】 用數(shù)學(xué)歸納法證明:對(duì)于任意非負(fù)整數(shù)n,An=11n+2+122n+1能被133整除.證明:(1)當(dāng)n=0時(shí),A0=112+12=133,命題成立.(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k0,kZ)時(shí)命題成立,即Ak=11k+2+122k+1能被133整除,則當(dāng)n=k+1時(shí),Ak+1=11k+3+122k+3=1111k+2+122122k+1=1111k+2+11122k+1+(122-11)122k+1=11(11k+2+122k+1)+133122k+1,能被133整除.即當(dāng)n=k+1時(shí)命題成立.根據(jù)(1)和(2),

5、可知對(duì)于任意非負(fù)整數(shù)n命題都成立.12題型一題型二題型三【例3】 有n個(gè)圓,其中每?jī)蓚€(gè)圓都相交于兩點(diǎn),并且每三個(gè)圓都不相交于同一點(diǎn),求證:這n個(gè)圓把平面分成f(n)=n2-n+2個(gè)部分.分析:由n=k到n=k+1時(shí),研究第(k+1)個(gè)圓與其他k個(gè)圓的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題.13題型一題型二題型三證明(1)當(dāng)n=1時(shí),即一個(gè)圓把平面分成2個(gè)部分,f(1)=2,又當(dāng)n=1時(shí),n2-n+2=2,即命題成立.(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k1,kN+)時(shí),命題成立,即k個(gè)圓把平面分成f(k)=k2-k+2個(gè)部分.若將第(k+1)個(gè)圓記作O,由題意,知它與k個(gè)圓中每個(gè)圓交于兩點(diǎn),又無三圓交于同一點(diǎn),于是它與其他k個(gè)圓相交于

6、2k個(gè)點(diǎn).把O分成2k條弧,而每條弧把原區(qū)域分成2部分,因此這個(gè)平面的區(qū)域個(gè)數(shù)增加了2k個(gè)部分,即f(k+1)=k2-k+2+2k=(k+1)2-(k+1)+2.即當(dāng)n=k+1時(shí)命題成立.根據(jù)(1)和(2),可知命題對(duì)任何nN+均成立.14題型一題型二題型三反思反思1.用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問題,關(guān)鍵在于分析由n=k到n=k+1的變化情況,即分點(diǎn)(或頂點(diǎn))增加了多少,直線的條數(shù)(或劃分區(qū)域)增加了多少(或幾部分)等.2.幾何問題的證明:一要注意數(shù)形結(jié)合,二要注意有必要的文字說明.15題型一題型二題型三【變式訓(xùn)練3】 平面上有n條拋物線,其中每?jī)蓷l都相交于兩點(diǎn),并且任意三條都不相交于同一點(diǎn).求證:

7、這n條拋物線把平面分成f(n)=n2+1部分.16題型一題型二題型三證明:(1)當(dāng)n=1時(shí),即有一條拋物線,它把平面分成兩部分,因?yàn)閒(1)=12+1=2,所以當(dāng)n=1時(shí)命題成立.(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k1,kN+)時(shí),命題成立,即k條拋物線把平面分成(k2+1)部分.則當(dāng)n=k+1時(shí),在k條拋物線的基礎(chǔ)上增加了1條,按題目條件,新增加的這條拋物線與原來k條拋物線有2k個(gè)交點(diǎn),2k個(gè)交點(diǎn)把新增拋物線分成(2k+1)段,各段把平面一分為二,所以平面增加了(2k+1)部分.故f(k+1)=f(k)+2k+1=(k+1)2+1,即當(dāng)n=k+1時(shí)命題成立.根據(jù)(1)和(2),可知命題對(duì)任意nN+都成立.

8、171 2 3 4 51用數(shù)學(xué)歸納法證明3nn3(n3,nN),第一步應(yīng)驗(yàn)證 ()A.當(dāng)n=1時(shí)不等式成立B.當(dāng)n=2時(shí)不等式成立C.當(dāng)n=3時(shí)不等式成立D.當(dāng)n=4時(shí)不等式成立解析:由題知n的最小值為3,所以第一步驗(yàn)證當(dāng)n=3時(shí)不等式成立,選C.答案:C6181 2 3 4 52用數(shù)學(xué)歸納法證明 時(shí),由n=k(k1,kN+)時(shí)不等式成立,推證n=k+1時(shí)不等式成立,左邊應(yīng)增加的項(xiàng)數(shù)是()A.2k-1B.2k-1C.2kD.2k+1解析:增加的項(xiàng)數(shù)為(2k+1-1)-(2k-1)=2k.答案:C6191 2 3 4 53.用數(shù)學(xué)歸納法證明“當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí),xn+yn能被x+y整除”的第二步是(

9、)A.假設(shè)n=2k+1(kN+)時(shí)命題正確,再推n=2k+3時(shí)命題正確B.假設(shè)n=2k-1(kN+)時(shí)命題正確,再推n=2k+1時(shí)命題正確C.假設(shè)n=k(kN+)時(shí)命題正確,再推n=k+1時(shí)命題正確D.假設(shè)n=k(k1,kN+)時(shí)命題正確,再推n=k+2時(shí)命題正確答案:B6201 2 3 4 56211 2 3 4 5解析:在從n=k推證n=k+1不等式成立時(shí),必須用到歸納假設(shè),而上述證法沒有用歸納假設(shè).答案:沒有用歸納假設(shè)6221 2 3 4 56231 2 3 4 566.證明:對(duì)一切正整數(shù)n,5n+23n-1+1能被8整除.證明(1)當(dāng)n=1時(shí),5n+23n-1+1=8,顯然能被8整除,即n=1時(shí),結(jié)論成立.(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k1,kN+)時(shí),結(jié)論成立,即5k+23k-1+1能被8整除,設(shè)5k+23k-1+1=8m,mN+,則當(dāng)n=k+1時(shí),5k+1+23k+1=5(5k+23k-1+1)-43k-1-4=