《球坐標柱坐標》PPT課件

1、2021-8-19第一章 矢量分析1第一章第一章 矢量分析矢量分析簡要介紹矢量分析和場論基礎(chǔ)。簡要介紹矢量分析和場論基礎(chǔ)。散度、旋度和梯度的基本概念；散度、旋度和梯度的基本概念； 算符運算公式；算符運算公式；散度、旋度和梯度在曲線正交坐標系中的表示散度、旋度和梯度在曲線正交坐標系中的表示討論了矢量場的基本構(gòu)成及其與源的關(guān)系。討論了矢量場的基本構(gòu)成及其與源的關(guān)系。 2021-8-19第一章 矢量分析21.1 1.1 矢量代數(shù)運算矢量代數(shù)運算1.2 1.2 場論場論- - 梯度、散度和旋度梯度、散度和旋度1.3 1.3 矢量微分算子矢量微分算子1.4 1.4 矢量積分定理矢量積分定理1.51.5*

2、 * 并矢及其運算規(guī)則并矢及其運算規(guī)則1.61.6* * 正交曲線坐標系正交曲線坐標系主要內(nèi)容主要內(nèi)容2021-8-19第一章 矢量分析3一、矢量與矢量場一、矢量與矢量場1 1、矢量及表示、矢量及表示2 2、標量場與矢量場、標量場與矢量場矢量場矢量場 空間某一區(qū)域定義一個空間某一區(qū)域定義一個矢量函數(shù)矢量函數(shù), ,其大小和方向其大小和方向隨空間坐標的變化而變化，有時還可隨時間變化。則稱該隨空間坐標的變化而變化，有時還可隨時間變化。則稱該區(qū)域存在一矢量場。如速度場區(qū)域存在一矢量場。如速度場, ,電場、磁場等電場、磁場等. .uAA矢量標量場標量場 空間某一區(qū)域定義一個空間某一區(qū)域定義一個標量函數(shù)標

3、量函數(shù), ,其值隨其值隨空間坐標的變化而變化，有時還可隨時間變化。空間坐標的變化而變化，有時還可隨時間變化。則稱該區(qū)域存在一標量場。如溫度場則稱該區(qū)域存在一標量場。如溫度場, ,電位場電位場, ,高高度場等度場等2021-8-19第一章 矢量分析4二、矢量代數(shù)ABBACBACBA)()(cosABABBACABACBA)(uBAsinABABBACABACBA)(332211uuuAAAA321321321BBBAAAuuuBA33221uuuBBBB2.點乘（標量積、投影積）- 對應(yīng)分量相乘的和3. 叉乘（矢量積）行列式展開1、矢量和2021-8-19第一章 矢量分析54、矢量代數(shù)公式)()

4、()(BACACBCB)()(CBACBACBACBA)()(CBCC)()()(（1）（2）（3）（4）2021-8-19第一章 矢量分析61、直角坐標系（、直角坐標系（x,y,z） x y z O P(x0,y0,z0) x0 y0 z0 Fxeyeze,xyzeee方向單位矢量方向單位矢量：矢量表示矢量表示：000 xyzx ey ez e位置矢量位置矢量：000 xyzrx ey ez e三、常用坐標系2021-8-19第一章 矢量分析7 x y z O P(r0,0,z0) 0 r0 z0 reeze,zeee方向單位矢量方向單位矢量：矢量表示矢量表示：( )( )( )rzzA r

5、 eA r eA r e位置矢量：位置矢量：00zrr ez e2、圓柱坐標系 ( )z,2021-8-19第一章 矢量分析8方向單位矢量方向單位矢量：矢量表示矢量表示： y O z x P(r0,0,0) 0 0 r0 reee,reee( )( )( )rrA r eA r eA r e位置矢量：位置矢量：0rrr e3、球面坐標系 ( ), r2021-8-19第一章 矢量分析9圓柱坐標系與直角坐標系間單位矢量變換關(guān)系圓柱坐標系與直角坐標系間單位矢量變換關(guān)系cossinsincosxyxyzzeeeeeeee 球面坐標系與直角坐標系間單位矢量變換關(guān)系球面坐標系與直角坐標系間單位矢量變換關(guān)

6、系sincossinsincossincoscoscoscossinsinrxyzxyxyzeeeeeeeeeee 4、坐標變換2021-8-19第一章 矢量分析10一、一、 標量場的梯度標量場的梯度1. 1. 等值面（線）等值面（線） 由所有場值相等的點所構(gòu)成的面，即為等值面。即若由所有場值相等的點所構(gòu)成的面，即為等值面。即若標量函數(shù)為標量函數(shù)為 ，則等值面方程為：，則等值面方程為：( , , )uu x y z( , , )u x y zcconstuPNleMuu ne1.2 場論梯度、散度和旋度2021-8-19第一章 矢量分析11max( , , )ldugradu x y zedl

7、式中：式中： 為垂直于等值面（線）的方向。為垂直于等值面（線）的方向。le3、梯度的物理意義1)1)、標量場的梯度為一矢量，且是坐標位置的函數(shù)；、標量場的梯度為一矢量，且是坐標位置的函數(shù)；2)2)、標量場的梯度表征標量場變化規(guī)律：其方向為標、標量場的梯度表征標量場變化規(guī)律：其方向為標量場增加最快的方向，其幅度表示標量場的最大增加量場增加最快的方向，其幅度表示標量場的最大增加率。率。2、梯度的定義2021-8-19第一章 矢量分析121 1）在直角坐標系中：）在直角坐標系中：xyzuuugradueeexyz2 2）在柱面坐標系中：）在柱面坐標系中：1rzuuugradueeerrz3 3）在球

8、面坐標系中：）在球面坐標系中：11sinruuugradueeerrr4、直角、圓柱和球坐標系中梯度的表達式2021-8-19第一章 矢量分析131 1、矢量線（力線）、矢量線（力線） 2 2、矢量場的通量、矢量場的通量 矢量線的疏密表征矢量場的大?。皇噶烤€的疏密表征矢量場的大??； 矢量線上每點的切向代表該處矢量場矢量線上每點的切向代表該處矢量場的方向；的方向；( )SrdAS若若矢量場矢量場 分布于空間中，在空間中存在任意曲面分布于空間中，在空間中存在任意曲面S S，則定義則定義：( )A r為矢量為矢量 沿有向曲面沿有向曲面S S 的通量。的通量。( )A r二、 矢量場的通量 散度202

9、1-8-19第一章 矢量分析14 矢量場的通量矢量場的通量 ( )srd AS物理意義：表示穿入和穿出閉合物理意義：表示穿入和穿出閉合面面S S的矢量通量的代數(shù)和。的矢量通量的代數(shù)和。 討論：討論：1 1）面元）面元 定義；定義；dS( ) cos ( )sA rr ds 2 2） 3) 3) 通過閉合面通過閉合面S S的通量的物理意義：的通量的物理意義：a) a) 若若 ，閉合面內(nèi)有產(chǎn)生矢量線的正源；，閉合面內(nèi)有產(chǎn)生矢量線的正源；0 b) b) 若若 ，閉合面內(nèi)有吸收矢量線的負源；，閉合面內(nèi)有吸收矢量線的負源；0 c) c) 若若 ，閉合面無源。，閉合面無源。0 若若S S為閉合曲面為閉合曲

10、面2021-8-19第一章 矢量分析15在場在場 空間中任意點空間中任意點M M 處作一個閉合曲面，所處作一個閉合曲面，所圍的體積為圍的體積為 ，則定義場矢量在，則定義場矢量在M M點處的散度點處的散度為：為： ( )A rV0( )div( )limsvrdrv ASA3、矢量場的散度的定義2021-8-19第一章 矢量分析16 1) 1) 矢量場的散度代表矢量場的通量源的分布特性；矢量場的散度代表矢量場的通量源的分布特性； 2) 2) 矢量場的散度是一個標量；矢量場的散度是一個標量； 3) 3) 矢量場的散度是空間坐標的函數(shù)；矢量場的散度是空間坐標的函數(shù)；4、散度的物理意義( ( 無源無源

11、）( )0divF r ( ( 正源正源) )( )0divF r 負負源源) )( )0divF r 4) 4) 矢量場的散度值表征空間中通量源的密度。矢量場的散度值表征空間中通量源的密度。 討論：在矢量場中，討論：在矢量場中， 1 1）若）若 ，則該矢量場稱為有源場，則該矢量場稱為有源場， 為源密度為源密度；( )0divA r( )0divA r 2 2）若）若 處處成立，則該矢量場稱為無源場。處處成立，則該矢量場稱為無源場。2021-8-19第一章 矢量分析171) 1) 在直角坐標系下：在直角坐標系下：( )yxzFFFdivF rxyz() ()xyzxxyyzzeeeF eF e

12、F exyz5、散度的計算2021-8-19第一章 矢量分析18已知矢量已知矢量 ，求，求 穿過一個球心在穿過一個球心在原點，半徑為原點，半徑為a a的球面的通量和散度的球面的通量和散度 。 ( )A rr【例題例題1.2.1】( )A r2021-8-19第一章 矢量分析19 已知()()()xyzRe xxeyye zzRR求：矢量求：矢量3RDR在在R 0處的散度。處的散度?！纠}1.2.2】*2021-8-19第一章 矢量分析201 1、矢量的環(huán)流、矢量的環(huán)流SSn 環(huán)流的計算ACP環(huán)流的定義：環(huán)流的定義：在場矢量在場矢量 空間中，取一有向閉合空間中，取一有向閉合路徑路徑l l，則稱，

13、則稱 沿沿l l積分的結(jié)果稱為積分的結(jié)果稱為矢量矢量 沿沿l l的環(huán)流。即：的環(huán)流。即：( )A r( )A r( )A r( )lA rdl討論：討論：1 1）線元矢量）線元矢量 的定義；的定義；dl3 3）環(huán)流意義：若矢量場環(huán)流為零，矢量場無渦漩流動；反之，則）環(huán)流意義：若矢量場環(huán)流為零，矢量場無渦漩流動；反之，則矢量場存在渦漩運動矢量場存在渦漩運動( )( ) cos ( )llA rdlA rr dl2)2)反映矢量場漩渦源分布情況。反映矢量場漩渦源分布情況。三、 矢量場的環(huán)流 旋度2021-8-19第一章 矢量分析21在場矢量在場矢量 空間中，圍繞空間某點空間中，圍繞空間某點M M取

14、取一面元一面元S S，其邊界曲線為，其邊界曲線為C C，面元法線方，面元法線方向為向為 ，當面元面積無限縮小時，可定，當面元面積無限縮小時，可定義義 在點在點M M處沿處沿 方向的環(huán)量面密度方向的環(huán)量面密度( )A r n n( )A r0limcnsA dlrot As 表示矢量場表示矢量場 在點在點M M處沿處沿 方向的漩渦源密度；方向的漩渦源密度；nrot A( )Ar nSSnACM2. 環(huán)流面密度2021-8-19第一章 矢量分析22 旋度是一個矢量，模值等于環(huán)量密度的最大值；方向旋度是一個矢量，模值等于環(huán)量密度的最大值；方向為最大環(huán)量密度的方向。用為最大環(huán)量密度的方向。用 表示，即

15、：表示，即：rot Am ax0ro tlimcSAd lAnS式中：表示矢量場旋度的方向；式中：表示矢量場旋度的方向； n3. 矢量場的旋度2021-8-19第一章 矢量分析231 1）矢量的旋度為矢量，是空間坐標的函數(shù)；）矢量的旋度為矢量，是空間坐標的函數(shù)；2 2）矢量在空間某點處的旋度表征矢量）矢量在空間某點處的旋度表征矢量 場在該點處的漩渦源密度；場在該點處的漩渦源密度；4. 旋度的物理意義2021-8-19第一章 矢量分析241) 1) 在直角坐標系下：在直角坐標系下：xxyyzzrotFe rot Fe rot Fe rot F()()()yyxxzzxyzFFFFFFeeeyzz

16、xxy()xyzxxyyzzeeee Fe Fe Fxyz5. 旋度的計算2021-8-19第一章 矢量分析251.3 矢量微分算子一、微分算子的定義 gradxyzffffeeefxyz AAzAyAxAzyxdivzyxzyxeee微分算子微分算子 是一個是一個“符號符號”矢量，矢量，梯度散度1、直角坐標系2021-8-19第一章 矢量分析26rotxyzxyzeeexyzAAAAA旋度注意注意：算子在上述的定義與規(guī)定下可以將它看成一矢：算子在上述的定義與規(guī)定下可以將它看成一矢量來按照矢量代數(shù)規(guī)則進行運算，但又不能完全將它量來按照矢量代數(shù)規(guī)則進行運算，但又不能完全將它與一普通矢量等同，因為

17、它的分量是微分算符而不是與一普通矢量等同，因為它的分量是微分算符而不是真實矢量的分量。這樣，兩個普通矢量代數(shù)運算的某真實矢量的分量。這樣，兩個普通矢量代數(shù)運算的某些性質(zhì)對就不成立。些性質(zhì)對就不成立。從以上的過程中可以清楚地看出，算子確實把對矢量從以上的過程中可以清楚地看出，算子確實把對矢量函數(shù)的微分運算轉(zhuǎn)變?yōu)槭噶克阕优c矢量的代數(shù)運算。函數(shù)的微分運算轉(zhuǎn)變?yōu)槭噶克阕优c矢量的代數(shù)運算。例如例如：普通矢量有：普通矢量有 ，但是，但是， ， 即算子進行運算時，除了上面的定義與規(guī)定外，還必須對包含即算子進行運算時，除了上面的定義與規(guī)定外，還必須對包含有算子的算式做進一步的補充定義。有算子的算式做進一步的補

18、充定義。ABBAAA2021-8-19第一章 矢量分析271()zeeerrz ()11zFFFFz2、圓柱坐標系1zzeeezAAAA2021-8-19第一章 矢量分析2811sinreeerrr 22111( )()(sin)sinsinrFF rr FFrrrr3、在球坐標系2sin1sinsinrrerererrArArAA2021-8-19第一章 矢量分析29【例題例題1.3.1】 求矢量場求矢量場 沿沿xyxy平面內(nèi)一閉合回路平面內(nèi)一閉合回路C C的線積分，此閉的線積分，此閉合回路由（合回路由（0 0，0 0）和（）和（ ）之間的一）之間的一段拋物線段拋物線 和兩段平行于坐標軸的直

19、和兩段平行于坐標軸的直線段組成。再計算線段組成。再計算 的旋度。的旋度。zyxezeyexrA)(2222, 2xy 2A2021-8-19第一章 矢量分析30【例題例題1.3.2】 求二維標量場求二維標量場 的梯度，并取的梯度，并取一閉合回路一閉合回路C C，證明，證明xyyxu2),(0Cl du2021-8-19第一章 矢量分析31證明：證明：RrrRR11()()RR 說明：說明：xyzeeexyz xyzeeexyz 【例題例題1.3.3】 若若 2021-8-19第一章 矢量分析32)()()(ccfffAAA二、含有 算子算式()()()()()()()cxcyczcxyzfef

20、efefxyzfefefefxyzAAAAAAAA()()()()cxcyczcxyzfefefefxyzfffeeefxyzAAAAAAAAfffAAA)() 1 (證明：2021-8-19第一章 矢量分析33)()()()()()2(ABABBABABA)()()(ccBABABA)()()()()(BACABCBABCACBA又BABABABABA)()()()()(cc)()()()()(ABABABBAcc證明：2021-8-19第一章 矢量分析34三、二重算子2222222222222()()()xxyyzzfeefeefeefxyzffffxyz 2021-8-19第一章 矢量分

21、析35【例題例題1.3.41.3.4】 證明一個標量場的梯度必無旋，一個矢量證明一個標量場的梯度必無旋，一個矢量場的旋度必無散。場的旋度必無散。 0 xyyxe zxxze yzzye xyxlrrF 0yAxAzxAzAyzAyAxxyzxyzerArF2021-8-19第一章 矢量分析36gfgf)(fggffg)()0( ,/ )()/(2gggffggfBABA)(AAAfff )(BABA)(四、包含 算子的恒等式（1）（2）（3）（4）（5）（6）2021-8-19第一章 矢量分析37BAABBA)(AAAfff )()()()()()(BABAABABBA)()()()()(BA

22、ABBAABBA（7）（8）（9）（10）2021-8-19第一章 矢量分析380fAAA2)()(0)(gf0)(Aff2（11）（12）（13）（14）（15）2021-8-19第一章 矢量分析391.4 矢量積分定理一、一、 高斯散度定理 SVssVdddnASAA證明：sdAdSAS1 S2 ( )( )sA rdS rA niiniSiSdAdASdASdAi11為為體體積積的的表表面面即即：另另一一面面的的流流入入，最最后后成成剛剛好好是是并并注注意意到到相相鄰鄰面面的的流流出出將將上上面面所所有有體體積積相相加加，2021-8-19第一章 矢量分析40從散度定義，可以得到：從散度

23、定義，可以得到：( )( )limlimsVVF rdSdF rVVdV則在一定體積則在一定體積V V內(nèi)的總的通量為：內(nèi)的總的通量為：( )VF r dV 式中：式中：S S為包圍為包圍V V的閉合面的閉合面式中：式中：S S為包圍為包圍體積體積V V的閉合面的閉合面得證！得證！( )sF rdS證明證明2021-8-19第一章 矢量分析41()cdd lAAS0limro tcnSdSlAe由旋度的定義由旋度的定義對于有限大對于有限大面面積積s s，可將其按如圖方式可將其按如圖方式進行分割，對每一小面積元有進行分割，對每一小面積元有c)11()cdd lAAS22()cdd lAAS()sd

24、 AScdlA()SlddAlAS證明：證明：得證！得證！ 意義：矢量場的旋度在曲面上的積分等于意義：矢量場的旋度在曲面上的積分等于該矢量場在限定該曲面的閉合曲線上的線該矢量場在限定該曲面的閉合曲線上的線積分。積分。二、斯托克斯定理2021-8-19第一章 矢量分析42【例題例題1.4.1】 矢量場矢量場 中有一半球面中有一半球面 計算斯托克斯定理中兩邊的積分值。計算斯托克斯定理中兩邊的積分值。zyxeyexezrA)()0, 1(222zzyxS2021-8-19第一章 矢量分析43三、 平面格林定理()SlddAlAS2021-8-19第一章 矢量分析44四、標量格林定理 (1)(2)Sd

25、)(V)(2sVdSd)(V)22sVd格林第一定理格林第一定理 格林第二定理格林第二定理令：令：Sd)(V)(22sVd2021-8-19第一章 矢量分析45證明：證明：第一定理第一定理,A令，代入式（代入式（1 1）后求得）后求得dSn)(d)(dV)(SsV又有又有2)()(代回前一式得代回前一式得SSd)(dV)(V22021-8-19第一章 矢量分析46證明：證明：第二定理第二定理令式（令式（1 1）中的）中的 換位置，得換位置，得和Sd)(V)(sVd將上式與（將上式與（1 1）式相減，求得）式相減，求得Sd)(V)22sVd得證得證2021-8-19第一章 矢量分析47SBABA

26、BABAd)(d)(dV)(sVVVSABBABAABd)()(dV)()(sVSABABABABd)()(dV)()(sV六 并矢格林定理 五五 矢量格林定理2021-8-19第一章 矢量分析48 七 其他積分定理 ssVASSAnAdd)(dVsVSddVnVsdV)()d(ABBASABSVssVdddnASAAcsslSdAnASAd)(d)(lSddlSlSAlASd)(d2021-8-19第一章 矢量分析49證明證明(1(1) )在高斯散度定理中令在高斯散度定理中令CBAC C 是常矢量是常矢量SnCBCBd)(dV)(sVBCCBBCCB)( )() ()(BnCnCBnCB將以

27、上二式代回高斯定理，得將以上二式代回高斯定理，得SBnCVBCd)(d)(sVC C 提出積分號外，得提出積分號外，得SBnCVBCd)(d)(sVC C 是非零常矢量，可約去，得證是非零常矢量，可約去，得證2021-8-19第一章 矢量分析50證明證明(2(2) )在高斯散度定理中令在高斯散度定理中令CAC C 是常矢量是常矢量 將以上二式代回式高斯定理，得將以上二式代回式高斯定理，得C C 提出積分號外得提出積分號外得C C 是非零常矢量，可約去，得證是非零常矢量，可約去，得證SCCddV)(sV)0()(CCCsVdSCCdV0dVsVdSCsVSddV2021-8-19第一章 矢量分析

28、51證明(3)xyzxyzB eB eB eBAAABxxxBB)(sxVxSABABddV)(dV()d(VxxsxA)BBASABdV()d(VyysyA)BBASABdV()d(VzzszA)BBASAB(d)( dsxxxVyyyzzzeeeVB ASABBA)ABBA)ABBA)VzyVxd )()( )(zBAyBAxBABAzBAyBAxBA)()()(zyxVsdV)()d(ABBASAB。 2021-8-19第一章 矢量分析52（1 1）矢量場除有散和有旋特性外，是否存在）矢量場除有散和有旋特性外，是否存在 別的特性？別的特性？（2 2）是否存在不同于通量源和旋渦源的其它）是

29、否存在不同于通量源和旋渦源的其它 矢量場的激勵源？矢量場的激勵源？（3 3）如何唯一的確定一個矢量場？）如何唯一的確定一個矢量場？ 現(xiàn)在我們考慮如下問題現(xiàn)在我們考慮如下問題2021-8-19第一章 矢量分析531 1 、定理內(nèi)容：、定理內(nèi)容： 空間區(qū)域空間區(qū)域V V上的任意矢量場，如果它的散度、上的任意矢量場，如果它的散度、旋度和邊界條件為已知，則該矢量場唯一旋度和邊界條件為已知，則該矢量場唯一確定，并且可以表示為一無旋矢量場和一確定，并且可以表示為一無旋矢量場和一無散矢量場的疊加，即：無散矢量場的疊加，即： 其中其中 為無散場，為無散場， 為無旋場。為無旋場。 rFrFrFle rFe rF

30、l 八、矢量場的Helmholtz定理2021-8-19第一章 矢量分析54HelmholtzHelmholtz定理明確回答了上述三個問題。即定理明確回答了上述三個問題。即任一矢量場由兩個部分構(gòu)成，其中一部分是無任一矢量場由兩個部分構(gòu)成，其中一部分是無散場，由旋渦源激發(fā)；并且滿足：散場，由旋渦源激發(fā)；并且滿足：另一部分是無旋場，由通量源激發(fā)，滿足：另一部分是無旋場，由通量源激發(fā)，滿足： 0rFe 0rFl2021-8-19第一章 矢量分析55根據(jù)矢量場的散度和旋度值是否為零進行分類：根據(jù)矢量場的散度和旋度值是否為零進行分類：1) 1) 調(diào)和場調(diào)和場若矢量場若矢量場 在某區(qū)域在某區(qū)域V V內(nèi)，處處有：內(nèi)，處處有： 和和 則在該區(qū)域則在該區(qū)域V V內(nèi)，場內(nèi)，場 為調(diào)和場。為調(diào)和場。 0F0F( )F r( )F r注意：不存在在整個空間內(nèi)散度和旋度處處均注意：不存在在整個空間內(nèi)散度和旋度處處均 為零的矢量場。為零的矢量場。2、 矢量場的分類2021-8-19第一章 矢量分析56 若矢量場若矢量場 在某區(qū)域在某區(qū)域V V內(nèi)，