小波分析及其應(yīng)用

1、1 小波分析及其應(yīng)用小波分析及其應(yīng)用 Wavelet Analysis and Its Applications 2 小波分析及其應(yīng)用小波分析及其應(yīng)用 1、小波變換簡介 2、小波分析在一維信號處理中的應(yīng)用 3 、小波分析在圖象分析中的應(yīng)用 圖象特征抽取 圖象壓縮 數(shù)據(jù)隱藏和圖象水印 3 小波變換簡介 1.1小波變換的理論基礎(chǔ)小波變換的理論基礎(chǔ) 信號分析是為了獲得時間和頻率之間的相互關(guān)系。傅立 葉變換提供了有關(guān)頻率域的信息，但有關(guān)時間的局部化信息 卻基本丟失。與傅立葉變換不同，小波變換是通過縮放母小 波（Mother wavelet）的寬度來獲得信號的頻率特征， 通過 平移母小波來獲得信號的時間

2、信息。對母小波的縮放和平移 操作是為了計算小波系數(shù)，這些小波系數(shù)反映了小波和局部 信號之間的相關(guān)程度。 4 （a） 正弦波曲線； (b) 小波曲線 (a)(b) 5 6 從小波和正弦波的形狀可以看出，變化劇烈的信號，用不 規(guī)則的小波進行分析比用平滑的正弦波更好，即用小波更能描 述信號的局部特征。 連續(xù)小波變換（Continuous Wavelet Transform， CWT）用 下式表示： dttpositionscaletfpositionscaleC),()(),( (1.1) 式（1.1）表示小波變換是信號f(x)與被縮放和平移的小波函 數(shù)()之積在信號存在的整個期間里求和的結(jié)果。CW

3、T的變換結(jié)果 是許多小波系數(shù)C，這些系數(shù)是縮放因子（scale）和平移（positon） 的函數(shù)。 7 基本小波函數(shù)()的縮放和平移操作含義如下： (1) 縮放。簡單地講， 縮放就是壓縮或伸展基本小波， 縮 放系數(shù)越小， 則小波越窄，如圖1.2所示。 圖1.2 小波的縮放操作 O O O f (t) f (t) f (t) t t t f (t)(t)； scale 1 f (t)(2t)； scale 0.5 f (t)(4t)； scale 0.25 8 (2) 平移。簡單地講，平移就是小波的延遲或超前。在數(shù)學(xué) 上， 函數(shù)f(t)延遲k的表達式為f(t-k)，如圖1.3所示。 圖1.3 小

4、波的平移操作 (a) 小波函數(shù)(t)； (b) 位移后的小波函數(shù)(t-k) Ot (t) Ot (t k) (a)(b) 9 圖1.4 計算系數(shù)值C 原 始 信 號 小 波 信 號 C 0.0102 10 圖1.5 計算平移后系數(shù)值C 原 始 信 號 小 波 信 號 11 圖1.6 計算尺度后系數(shù)值C 原 始 信 號 小 波 信 號 C 0.2247 12 圖1.7 小波分解示意圖 S AD 濾波器組 低通高通 13 圖1.12 多層小波重構(gòu)示意圖 A3D3 A2D2 S A1D1 14 小波的時間和頻率特性小波的時間和頻率特性 運用小波基，可以提取信號中的“指定時間”和“指定頻 率”的變化。

5、 時間：提取信號中“指定時間”（時間A或時間B）的 變化。顧名思義，小波在某時間發(fā)生的小的波動。 頻率：提取信號中時間A的比較慢速變化，稱較低頻 率成分；而提取信號中時間B的比較快速變化，稱較 高頻率成分。 時間A時間B 15 多分辨度分析（多分辨度分析（MRA） 1988年 Mallat 提出的多分辨度分析理 論，統(tǒng)一了幾個不相關(guān)的領(lǐng)域：包括 語音識別中的鏡向濾波，圖象處理中 的金字塔方法，地震分析中短時波形 處理等。 當(dāng)在某一個分辨度檢測不到的現(xiàn)象， 在另一個分辨度卻很容易觀察處理。 例如： 16 17 參考： M. Vetterli, ”Wavelets and Subband Codi

6、ng “, Prentice Hall PTR, 1995 p.11 18 小波的小波的3 個特點個特點 小波變換，既具有頻率分析的性質(zhì)，又能表示 發(fā)生的時間。有利于分析確定時間發(fā)生的現(xiàn)象 。（傅里葉變換只具有頻率分析的性質(zhì)） 小波變換的多分辨度的變換，有利于各分辨度 不同特征的提取（圖象壓縮，邊緣抽取，噪聲 過濾等） 小波變換比快速Fourier變換還要快一個數(shù)量級。 信號長度為M時， Fourier變換（左）和小波變 換（右）計算復(fù)雜性分別如下公式： MOMMO wf ,log 2 19 小波基表示發(fā)生的時間和頻率小波基表示發(fā)生的時間和頻率 “時頻局域性” 圖解：Fourier變換的基（上

7、）小波變換基（中） 和時間采樣基（下）的比較 傅里葉變換 (Fourier)基 小波基 時間采樣基 20 Haar小小波基母函數(shù)波基母函數(shù) （a）Haar “近似”基函數(shù) （b）Haar “細(xì)節(jié)”基 函數(shù) 低頻濾波系數(shù) 高頻濾波系數(shù) H0= 1 1 q H1= 1 -1 q = q q = q -q 其中： 7071. 02 q 21 Haar小波的基函數(shù)小波的基函數(shù) 第 1 行基函數(shù)是取平均（近似）， 第 2-8 行基函數(shù)是取變化（細(xì)節(jié)）。 細(xì)節(jié)包括變化速率和發(fā)生的時間。 H0= 1 1 q H1= 1 -1 q 尺度函數(shù) 近似基函數(shù) 小波函數(shù) 細(xì)節(jié)基函數(shù) 7071. 02 q 22 小波分

8、析發(fā)展歷史小波分析發(fā)展歷史 1807年 Fourier 提出傅里葉分析 ， 1822年發(fā)表 “熱 傳導(dǎo)解析理論”論文 1910年 Haar 提出最簡單的小波 1980年 Morlet 首先提出平移伸縮的小波公式，用 于地質(zhì)勘探。 1985年 Meyer 和稍后的Daubeichies提出“正交小波 基”，此后形成小波研究的高潮。 1988年 Mallat 提出的多分辨度分析理論（MRA） ，統(tǒng)一了語音識別中的鏡向濾波，子帶編碼 ，圖象處理中的金字塔法等幾個不相關(guān)的領(lǐng) 域。 23 小波基可以通過給定濾波系數(shù)生成小波基可以通過給定濾波系數(shù)生成 小波基（尺度函數(shù)和小波函數(shù)）可以通過 給定濾波系數(shù)生成

9、。 有的小波基是正交的，有的是非正交的。 有的小波基是對稱的，有的是非對稱的。 小波的近似系數(shù)和細(xì)節(jié)系數(shù)可以通過濾波 系數(shù)直接導(dǎo)出，而不需要確切知道小波基 函數(shù)，這是 I. Daubechies 等的重要發(fā)現(xiàn)， 使計算簡化，是快速小波分解和重建的基 礎(chǔ)。 24 小波基函數(shù)和濾波系數(shù)小波基函數(shù)和濾波系數(shù)(Haar-正交，對稱正交，對稱) “近似”基函 數(shù) “反變換” 低頻 和 高頻 “濾波系數(shù) ” “細(xì)節(jié)”基 函數(shù) Haar小波 “正變換” 低頻 和 高頻 “濾波系數(shù) ” 25 小波基函數(shù)和濾波系數(shù)小波基函數(shù)和濾波系數(shù)(db 2-正交，不對稱正交，不對稱 ) “近似”基函 數(shù) “細(xì)節(jié)”基 函數(shù)

10、db小波 “反變換” 低頻 和 高頻 “濾波系數(shù) ” “正變換” 低頻 和 高頻 “濾波系數(shù) ” 26 小波基函數(shù)和濾波系數(shù)小波基函數(shù)和濾波系數(shù)(db 4-正交，不對稱正交，不對稱) 27 小波基函數(shù)和濾波系數(shù)小波基函數(shù)和濾波系數(shù)(sym 4-正交，近似對稱正交，近似對稱) 28 小波基函數(shù)和濾波系數(shù)小波基函數(shù)和濾波系數(shù)(bior 2.4 雙正交，對稱雙正交，對稱) 29 小波基函數(shù)和濾波系數(shù)小波基函數(shù)和濾波系數(shù)(bior 6.8 雙正交，對稱雙正交，對稱) 30 2 2、小波、小波分析分析在一維信號處理中的應(yīng)用在一維信號處理中的應(yīng)用 小波變換小波變換就是將 “ 原始信號 s ” 變換 成 “

11、 小波 系數(shù) w ” ，w=wa , wd 包括近似(approximation)系數(shù)wa 與細(xì)節(jié)(detail)系數(shù)wd 近似系數(shù)wa-平均成分（低頻） 細(xì)節(jié)系數(shù)wd-變化成分（高頻） 31 小波原始信號分解過程：小波原始信號分解過程： 原始信號s可分解成小波近似 a 與小波細(xì)節(jié)d 之和。 s = a+d 小波系數(shù) w = wa , wd 的分量，乘以 基函數(shù)，形 成小波分解： 小波近似系數(shù)wa 基函數(shù)A=近似分解 a -平均 小波細(xì)節(jié)系數(shù)wd 基函數(shù)D=細(xì)節(jié)分解 d-變化 32 小波分解和小波分解和小波基小波基 小波基D 小波基A 原始信號 小波系數(shù)wd 小波系數(shù)wa 正變換：原始信號在小

12、波基上，獲得 “小波系數(shù)”分量 反變換：所有“小波分解” 合成原始信號 例如： 小波分解 a=小波系數(shù) wa 小波基A 33 離散小波變換公式離散小波變換公式 正變換 反變換 其中： 是小波基函數(shù) 參考“數(shù)字圖象處理”英文版,電子工業(yè)出版社,2002年 （R.C. Gonzalaz,”Digital Image Processing”，p.375) 信號 s 有M個樣本，J 級小波變換： nDnA nDwnAwndnans JjnDnsw nAnsw wwwwMn jJ J j jjdJJa J j iJ jjd JJa dJdJaJ , 1 , ,., 1 11 1 小波分解 小波系數(shù) 34

13、 一維信號小波變換例子一維信號小波變換例子 Haar小波，例子： 16點信號: 6 5 9 8 3 7 8 5 6 5 9 8 1 3 3 9 6 5 9 8 3 7 8 5 6 5 9 8 1 3 3 9 通過MATLAB實現(xiàn)(wavemenu) 波形圖 小波正變換：小波系數(shù)： 小波近似系數(shù)（加）；小波細(xì)節(jié)系數(shù)（減） 小波反變換：可以由分解信號恢復(fù)原始信號。 有2種：近似分解；細(xì)節(jié)分解 35 一維信號的二級小波變換系數(shù)一維信號的二級小波變換系數(shù) 原始信號 2級小波系數(shù) w2=w a2 , w d2 , w d1 * Haar是正交變換。除以常數(shù)，目的使變換后平方和不變。例如： 2 62113

14、411 28636 216282328 9331895658738956 1 2 2 d d a w w w s 2062121262288956 22 22 2222 16位 2級近似系數(shù) 2級細(xì)節(jié)系數(shù) 1級細(xì)節(jié)系數(shù) 16位 36 一維信號的二級小波變換分解一維信號的二級小波變換分解 2級近似分解 （原始信號每4個平均值） 2級細(xì)節(jié)分解 （原始信號每2個平均的差值） 1級細(xì)節(jié)分解 （原始信號單數(shù)和雙數(shù)的差值） 恢復(fù)信號 9331895658738956 26622111133441111 48888666633336666 416161616282828282323232328282828

15、122 1 2 2 ddas d d a 37 一維信號的二級小波變換系數(shù)和分解一維信號的二級小波變換系數(shù)和分解 原始信號 2級小波系數(shù) w2=w a2 , w d2 , w d1 2級近似分解 （原始信號每4個平均值） 2級細(xì)節(jié)分解 （原始信號每2個平均的差值） 1級細(xì)節(jié)分解 （原始信號單數(shù)和雙數(shù)的差值） 恢復(fù)信號 9331895658738956 26622111133441111 48888666633336666 416161616282828282323232328282828 262113411 28636 216282328 9331895658738956 122 1 2 2

16、1 2 2 ddas d d a w w w s d d a 38 原始信號原始信號 16點點 16點原始信號點原始信號 6 5 9 8 3 7 8 5 6 5 9 8 1 3 3 9 39 兩級小波系數(shù)兩級小波系數(shù)16點點 原始信號 小波系數(shù) 262113411 28636 9331895658738956 1 2 d d w w s 原始信號 (紅) 兩級小波系數(shù) wd1 wd2 |wd2 | |wd1 | 40 16點點 信號信號 的的Haar小波近似值和細(xì)節(jié)分解小波近似值和細(xì)節(jié)分解 兩級分解 26622111133441111 48888666633336666 41616161628

17、2828282323232328282828 9331895658738956 1 2 2 122 d d a ddas 41 小波小波去噪聲去噪聲 一般噪聲特點：一般噪聲特點： （1）高頻成分（細(xì)節(jié)） ，（2）幅度?。河瞄撝?； 去噪聲過程：去噪聲過程： 去除原始信號高頻成分（細(xì)節(jié)）中幅度小于閾值部分。 對2級小波，設(shè)定2個閾值，稱“閾值2” 和 “閾值1” 。 去除1級噪聲：去除1級小波細(xì)節(jié)分解中小于“閾值1”部分。 去除2級噪聲：去除2級小波細(xì)節(jié)分解中小于“閾值2”部分。 恢復(fù)：恢復(fù)： 將小波近似分解，加上去噪聲后小波細(xì)節(jié)分解，即獲得去除噪聲 的信號 42 噪聲去除噪聲去除 4181615

18、15282828282323232328282828 262113411 28636 216282328 9331895658738956 122 1 2 2 ddas w w w s dn d d a 兩級分解 噪聲去除， 括號內(nèi)保留 部分?jǐn)?shù)據(jù) 原始信號 (紅),去噪后 (黃) wd1 兩級小波系數(shù) wd2 43 小波小波去噪聲去噪聲16點點 6 5 9 8 3 7 8 5 6 5 9 8 1 3 3 9 |wd1 | 1級去噪前絕對值 |wd1 | 1級去噪后絕對值 |wd2 | 2級去噪后絕對值 |wd2 | 2級去噪前絕對值 原始信號 (紅),去噪后 (黃) 1 級細(xì)節(jié)小波系數(shù) 2 級

19、細(xì)節(jié)小波系數(shù) 0.7071,1,-4,3,1,1,-2,- 6 0.5-6,-3,-6,-8 兩級小波系數(shù) 閾值1wd1 wd2閾值2 44 Haar小波小波去噪聲去噪聲 （16點信號）點信號） 16點原始信號點原始信號 6 5 9 8 3 7 8 5 6 5 9 8 1 3 3 9 小波去噪聲 兩級分解 45 一維信號的小波變換例子一維信號的小波變換例子 2 2 （電壓曲線電壓曲線） 通過MATLAB實現(xiàn)(wavemenu) 波形圖 ( MATLAB toolbox wavelet wavedemo leleccum.mat ) 是 “電網(wǎng)監(jiān)視的電壓曲線電網(wǎng)監(jiān)視的電壓曲線”，有4570個點

20、Haar小波變換 46 haar 小波小波 (s= a2+ d2+d1 1) (wavemenu) leleccum Level 2 (s-原始信號，a2-近 似，d1 1-d2細(xì)節(jié)) 1 級細(xì)節(jié)分解 (奇偶數(shù)值的差) 2 級 細(xì)節(jié)分解 (前2和后2的差) 原始信號 (紅) 2 級近似分解值 2 級小波分解 波形中的毛刺 (見下頁) 47 1 級細(xì)節(jié)分解 (奇偶數(shù)值的差) 2 級細(xì)節(jié)分解 (前2和后2的差) 原始信號 (紅) 2 級近似分解值 2 級小波分解（放大） 波形中的毛刺 48 圖圖-5 haar (s= a5+ d5+.+d1 1) (wavemenu) leleccum Level

21、 5 a5-近似， d5 5-d1細(xì) 節(jié) 附錄附錄-5 (wavemenu) leleccum haar Level 5 leleccum.mat 是有 36560個點的一維電壓 信號(s-原始信號，a1- 近似，d1-細(xì)節(jié)) 信號前2和后2的差-細(xì)節(jié)2 信號奇偶數(shù)值的差-細(xì)節(jié)1 原始信號 信號-近似值 5 級小波分解 49 小波小波去噪聲去噪聲 leleccum haar 小波小波 兩級小波系數(shù) 1 級細(xì)節(jié)小波系數(shù) 2 級細(xì)節(jié)小波系數(shù) 黃虛線表示閾值 wd1 wd2 原始信號 (紅), 去噪后 (黃) |wd1 | 1級去噪前絕對值 |wd1 | 1級去噪后絕對值 |wd2 | 2級去噪后絕

22、對值 |wd2 | 2級去噪前絕對值 50 小波小波壓縮壓縮 leleccum haar 黃虛線表示閾值 1 級細(xì)節(jié)小波系數(shù) 2 級細(xì)節(jié)小波系數(shù) wd1 wd2 原始信號 (紅), 壓縮后 (黃)兩級小波系數(shù) |wd1 | 1級去噪前絕對值 |wd1 | 1級去噪后絕對值 |wd2 | 2 級去噪后絕對值 |wd2 | 2 級去噪前絕對值 51 小波小波壓縮效果壓縮效果 leleccum haar 黃色虛線全局閾值（自動分配兩級閾值） 紫色線相對能量百分比（能量盡量保持） 綠色線零數(shù)目百分比 (零數(shù)目愈大，壓縮愈明顯) 52 3 、小波小波分析分析在圖象處理中的應(yīng)用在圖象處理中的應(yīng)用 圖象是二

23、維信號，其小波變換相當(dāng)于二 次一維信號的小波變換：。 （1）第一次一維信號的小波變換相當(dāng)于 圖象的行變換。 （2）第二次一維信號的小波變換相當(dāng)于 圖象的列變換。 小波變換用于圖象壓縮有良好的效果， 已形成圖象壓縮的標(biāo)準(zhǔn)如JPEG2000。 53 小波變換用于圖象特征抽取小波變換用于圖象特征抽取 第1級 斜線細(xì)節(jié) 第1級 水平細(xì)節(jié) 第1級 垂直細(xì)節(jié) 水平細(xì)節(jié) 近似 圖象 垂直細(xì)節(jié) 斜線細(xì)節(jié) 54 第1級 L1 斜線細(xì)節(jié) 第1級 L1 水平細(xì)節(jié) 第1級 L1 垂直細(xì)節(jié) 第2級 L2細(xì)節(jié) 近似圖象 第3級 L3 小波系數(shù)分級方塊表示法 55 第 3 級 L3分辨率 第 2 級 L2分辨率 第 1 級

24、 L1分辨率 小波系數(shù)分級樹形表示法 56 小波變換用于圖象壓縮小波變換用于圖象壓縮 采用小波進行壓縮。作“小波變換”后，統(tǒng)計特 性有改善，消除行和列之間的相關(guān)關(guān)系。 有損壓縮：根據(jù)視覺原理，不同分辨率小波系 數(shù)進行比特分配。然后轉(zhuǎn)換到一維作熵編碼， 如算術(shù)編碼或霍夫曼編碼。 無損壓縮：選擇“整數(shù)小波變換”，無舍入誤差 。但不能進行比特分配。 57 小波變換用于圖象壓縮小波變換用于圖象壓縮 第 3 級 L3 水平、 斜線、垂直細(xì)節(jié) 第 2 級 L2 水平、 斜線、垂直細(xì)節(jié) 第 1 級 L1 水平、 斜線、垂直細(xì)節(jié) 兩閾值線 之間的直 方圖被去 除（有損 壓縮） 58 小波變換用于無損數(shù)據(jù)隱藏小

25、波變換用于無損數(shù)據(jù)隱藏 無損數(shù)據(jù)隱藏：是基于無損壓縮：選擇“整數(shù)小波變 換”，無舍入誤差。例如可以采用第二代小波。 無損數(shù)據(jù)隱藏：避免在嵌入數(shù)據(jù)后小波反變換時圖象 灰度的溢出。小波變換前要作預(yù)處理，作直方圖調(diào) 整，將圖象中灰度出現(xiàn)少的數(shù)據(jù)，合并入隱藏數(shù)據(jù) 。 第一個無損數(shù)據(jù)隱藏是1999年科達公司發(fā)表的一個專 利。由于法律上原因，醫(yī)學(xué)圖象數(shù)據(jù)隱藏必須是無 損的。此外、無損數(shù)據(jù)隱藏在電子銀行、電子政務(wù) 、電子商務(wù)、圖象建檔等有廣泛的用途。 59 數(shù)據(jù)嵌入數(shù)據(jù)嵌入核磁共振醫(yī)學(xué)圖象核磁共振醫(yī)學(xué)圖象 (可可無損恢復(fù)無損恢復(fù)) (水印圖象見下頁) (a)原始 (5125128) (b)小波域嵌入水印圖象 60 水印圖象水印圖象 (1921202 二值圖象) 61 小波變換用于無損數(shù)據(jù)隱藏小波變換用于