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1、1 小波分析及其應(yīng)用小波分析及其應(yīng)用 Wavelet Analysis and Its Applications 2 小波分析及其應(yīng)用小波分析及其應(yīng)用 1、小波變換簡(jiǎn)介 2、小波分析在一維信號(hào)處理中的應(yīng)用 3 、小波分析在圖象分析中的應(yīng)用 圖象特征抽取 圖象壓縮 數(shù)據(jù)隱藏和圖象水印 3 小波變換簡(jiǎn)介 1.1小波變換的理論基礎(chǔ)小波變換的理論基礎(chǔ) 信號(hào)分析是為了獲得時(shí)間和頻率之間的相互關(guān)系。傅立 葉變換提供了有關(guān)頻率域的信息,但有關(guān)時(shí)間的局部化信息 卻基本丟失。與傅立葉變換不同,小波變換是通過(guò)縮放母小 波(Mother wavelet)的寬度來(lái)獲得信號(hào)的頻率特征, 通過(guò) 平移母小波來(lái)獲得信號(hào)的時(shí)間

2、信息。對(duì)母小波的縮放和平移 操作是為了計(jì)算小波系數(shù),這些小波系數(shù)反映了小波和局部 信號(hào)之間的相關(guān)程度。 4 (a) 正弦波曲線; (b) 小波曲線 (a)(b) 5 6 從小波和正弦波的形狀可以看出,變化劇烈的信號(hào),用不 規(guī)則的小波進(jìn)行分析比用平滑的正弦波更好,即用小波更能描 述信號(hào)的局部特征。 連續(xù)小波變換(Continuous Wavelet Transform, CWT)用 下式表示: dttpositionscaletfpositionscaleC),()(),( (1.1) 式(1.1)表示小波變換是信號(hào)f(x)與被縮放和平移的小波函 數(shù)()之積在信號(hào)存在的整個(gè)期間里求和的結(jié)果。CW

3、T的變換結(jié)果 是許多小波系數(shù)C,這些系數(shù)是縮放因子(scale)和平移(positon) 的函數(shù)。 7 基本小波函數(shù)()的縮放和平移操作含義如下: (1) 縮放。簡(jiǎn)單地講, 縮放就是壓縮或伸展基本小波, 縮 放系數(shù)越小, 則小波越窄,如圖1.2所示。 圖1.2 小波的縮放操作 O O O f (t) f (t) f (t) t t t f (t)(t); scale 1 f (t)(2t); scale 0.5 f (t)(4t); scale 0.25 8 (2) 平移。簡(jiǎn)單地講,平移就是小波的延遲或超前。在數(shù)學(xué) 上, 函數(shù)f(t)延遲k的表達(dá)式為f(t-k),如圖1.3所示。 圖1.3 小

4、波的平移操作 (a) 小波函數(shù)(t); (b) 位移后的小波函數(shù)(t-k) Ot (t) Ot (t k) (a)(b) 9 圖1.4 計(jì)算系數(shù)值C 原 始 信 號(hào) 小 波 信 號(hào) C 0.0102 10 圖1.5 計(jì)算平移后系數(shù)值C 原 始 信 號(hào) 小 波 信 號(hào) 11 圖1.6 計(jì)算尺度后系數(shù)值C 原 始 信 號(hào) 小 波 信 號(hào) C 0.2247 12 圖1.7 小波分解示意圖 S AD 濾波器組 低通高通 13 圖1.12 多層小波重構(gòu)示意圖 A3D3 A2D2 S A1D1 14 小波的時(shí)間和頻率特性小波的時(shí)間和頻率特性 運(yùn)用小波基,可以提取信號(hào)中的“指定時(shí)間”和“指定頻 率”的變化。

5、 時(shí)間:提取信號(hào)中“指定時(shí)間”(時(shí)間A或時(shí)間B)的 變化。顧名思義,小波在某時(shí)間發(fā)生的小的波動(dòng)。 頻率:提取信號(hào)中時(shí)間A的比較慢速變化,稱(chēng)較低頻 率成分;而提取信號(hào)中時(shí)間B的比較快速變化,稱(chēng)較 高頻率成分。 時(shí)間A時(shí)間B 15 多分辨度分析(多分辨度分析(MRA) 1988年 Mallat 提出的多分辨度分析理 論,統(tǒng)一了幾個(gè)不相關(guān)的領(lǐng)域:包括 語(yǔ)音識(shí)別中的鏡向?yàn)V波,圖象處理中 的金字塔方法,地震分析中短時(shí)波形 處理等。 當(dāng)在某一個(gè)分辨度檢測(cè)不到的現(xiàn)象, 在另一個(gè)分辨度卻很容易觀察處理。 例如: 16 17 參考: M. Vetterli, ”Wavelets and Subband Codi

6、ng “, Prentice Hall PTR, 1995 p.11 18 小波的小波的3 個(gè)特點(diǎn)個(gè)特點(diǎn) 小波變換,既具有頻率分析的性質(zhì),又能表示 發(fā)生的時(shí)間。有利于分析確定時(shí)間發(fā)生的現(xiàn)象 。(傅里葉變換只具有頻率分析的性質(zhì)) 小波變換的多分辨度的變換,有利于各分辨度 不同特征的提?。▓D象壓縮,邊緣抽取,噪聲 過(guò)濾等) 小波變換比快速Fourier變換還要快一個(gè)數(shù)量級(jí)。 信號(hào)長(zhǎng)度為M時(shí), Fourier變換(左)和小波變 換(右)計(jì)算復(fù)雜性分別如下公式: MOMMO wf ,log 2 19 小波基表示發(fā)生的時(shí)間和頻率小波基表示發(fā)生的時(shí)間和頻率 “時(shí)頻局域性” 圖解:Fourier變換的基(上

7、)小波變換基(中) 和時(shí)間采樣基(下)的比較 傅里葉變換 (Fourier)基 小波基 時(shí)間采樣基 20 Haar小小波基母函數(shù)波基母函數(shù) (a)Haar “近似”基函數(shù) (b)Haar “細(xì)節(jié)”基 函數(shù) 低頻濾波系數(shù) 高頻濾波系數(shù) H0= 1 1 q H1= 1 -1 q = q q = q -q 其中: 7071. 02 q 21 Haar小波的基函數(shù)小波的基函數(shù) 第 1 行基函數(shù)是取平均(近似), 第 2-8 行基函數(shù)是取變化(細(xì)節(jié))。 細(xì)節(jié)包括變化速率和發(fā)生的時(shí)間。 H0= 1 1 q H1= 1 -1 q 尺度函數(shù) 近似基函數(shù) 小波函數(shù) 細(xì)節(jié)基函數(shù) 7071. 02 q 22 小波分

8、析發(fā)展歷史小波分析發(fā)展歷史 1807年 Fourier 提出傅里葉分析 , 1822年發(fā)表 “熱 傳導(dǎo)解析理論”論文 1910年 Haar 提出最簡(jiǎn)單的小波 1980年 Morlet 首先提出平移伸縮的小波公式,用 于地質(zhì)勘探。 1985年 Meyer 和稍后的Daubeichies提出“正交小波 基”,此后形成小波研究的高潮。 1988年 Mallat 提出的多分辨度分析理論(MRA) ,統(tǒng)一了語(yǔ)音識(shí)別中的鏡向?yàn)V波,子帶編碼 ,圖象處理中的金字塔法等幾個(gè)不相關(guān)的領(lǐng) 域。 23 小波基可以通過(guò)給定濾波系數(shù)生成小波基可以通過(guò)給定濾波系數(shù)生成 小波基(尺度函數(shù)和小波函數(shù))可以通過(guò) 給定濾波系數(shù)生成

9、。 有的小波基是正交的,有的是非正交的。 有的小波基是對(duì)稱(chēng)的,有的是非對(duì)稱(chēng)的。 小波的近似系數(shù)和細(xì)節(jié)系數(shù)可以通過(guò)濾波 系數(shù)直接導(dǎo)出,而不需要確切知道小波基 函數(shù),這是 I. Daubechies 等的重要發(fā)現(xiàn), 使計(jì)算簡(jiǎn)化,是快速小波分解和重建的基 礎(chǔ)。 24 小波基函數(shù)和濾波系數(shù)小波基函數(shù)和濾波系數(shù)(Haar-正交,對(duì)稱(chēng)正交,對(duì)稱(chēng)) “近似”基函 數(shù) “反變換” 低頻 和 高頻 “濾波系數(shù) ” “細(xì)節(jié)”基 函數(shù) Haar小波 “正變換” 低頻 和 高頻 “濾波系數(shù) ” 25 小波基函數(shù)和濾波系數(shù)小波基函數(shù)和濾波系數(shù)(db 2-正交,不對(duì)稱(chēng)正交,不對(duì)稱(chēng) ) “近似”基函 數(shù) “細(xì)節(jié)”基 函數(shù)

10、db小波 “反變換” 低頻 和 高頻 “濾波系數(shù) ” “正變換” 低頻 和 高頻 “濾波系數(shù) ” 26 小波基函數(shù)和濾波系數(shù)小波基函數(shù)和濾波系數(shù)(db 4-正交,不對(duì)稱(chēng)正交,不對(duì)稱(chēng)) 27 小波基函數(shù)和濾波系數(shù)小波基函數(shù)和濾波系數(shù)(sym 4-正交,近似對(duì)稱(chēng)正交,近似對(duì)稱(chēng)) 28 小波基函數(shù)和濾波系數(shù)小波基函數(shù)和濾波系數(shù)(bior 2.4 雙正交,對(duì)稱(chēng)雙正交,對(duì)稱(chēng)) 29 小波基函數(shù)和濾波系數(shù)小波基函數(shù)和濾波系數(shù)(bior 6.8 雙正交,對(duì)稱(chēng)雙正交,對(duì)稱(chēng)) 30 2 2、小波、小波分析分析在一維信號(hào)處理中的應(yīng)用在一維信號(hào)處理中的應(yīng)用 小波變換小波變換就是將 “ 原始信號(hào) s ” 變換 成 “

11、 小波 系數(shù) w ” ,w=wa , wd 包括近似(approximation)系數(shù)wa 與細(xì)節(jié)(detail)系數(shù)wd 近似系數(shù)wa-平均成分(低頻) 細(xì)節(jié)系數(shù)wd-變化成分(高頻) 31 小波原始信號(hào)分解過(guò)程:小波原始信號(hào)分解過(guò)程: 原始信號(hào)s可分解成小波近似 a 與小波細(xì)節(jié)d 之和。 s = a+d 小波系數(shù) w = wa , wd 的分量,乘以 基函數(shù),形 成小波分解: 小波近似系數(shù)wa 基函數(shù)A=近似分解 a -平均 小波細(xì)節(jié)系數(shù)wd 基函數(shù)D=細(xì)節(jié)分解 d-變化 32 小波分解和小波分解和小波基小波基 小波基D 小波基A 原始信號(hào) 小波系數(shù)wd 小波系數(shù)wa 正變換:原始信號(hào)在小

12、波基上,獲得 “小波系數(shù)”分量 反變換:所有“小波分解” 合成原始信號(hào) 例如: 小波分解 a=小波系數(shù) wa 小波基A 33 離散小波變換公式離散小波變換公式 正變換 反變換 其中: 是小波基函數(shù) 參考“數(shù)字圖象處理”英文版,電子工業(yè)出版社,2002年 (R.C. Gonzalaz,”Digital Image Processing”,p.375) 信號(hào) s 有M個(gè)樣本,J 級(jí)小波變換: nDnA nDwnAwndnans JjnDnsw nAnsw wwwwMn jJ J j jjdJJa J j iJ jjd JJa dJdJaJ , 1 , ,., 1 11 1 小波分解 小波系數(shù) 34

13、 一維信號(hào)小波變換例子一維信號(hào)小波變換例子 Haar小波,例子: 16點(diǎn)信號(hào): 6 5 9 8 3 7 8 5 6 5 9 8 1 3 3 9 6 5 9 8 3 7 8 5 6 5 9 8 1 3 3 9 通過(guò)MATLAB實(shí)現(xiàn)(wavemenu) 波形圖 小波正變換:小波系數(shù): 小波近似系數(shù)(加);小波細(xì)節(jié)系數(shù)(減) 小波反變換:可以由分解信號(hào)恢復(fù)原始信號(hào)。 有2種:近似分解;細(xì)節(jié)分解 35 一維信號(hào)的二級(jí)小波變換系數(shù)一維信號(hào)的二級(jí)小波變換系數(shù) 原始信號(hào) 2級(jí)小波系數(shù) w2=w a2 , w d2 , w d1 * Haar是正交變換。除以常數(shù),目的使變換后平方和不變。例如: 2 62113

14、411 28636 216282328 9331895658738956 1 2 2 d d a w w w s 2062121262288956 22 22 2222 16位 2級(jí)近似系數(shù) 2級(jí)細(xì)節(jié)系數(shù) 1級(jí)細(xì)節(jié)系數(shù) 16位 36 一維信號(hào)的二級(jí)小波變換分解一維信號(hào)的二級(jí)小波變換分解 2級(jí)近似分解 (原始信號(hào)每4個(gè)平均值) 2級(jí)細(xì)節(jié)分解 (原始信號(hào)每2個(gè)平均的差值) 1級(jí)細(xì)節(jié)分解 (原始信號(hào)單數(shù)和雙數(shù)的差值) 恢復(fù)信號(hào) 9331895658738956 26622111133441111 48888666633336666 416161616282828282323232328282828

15、122 1 2 2 ddas d d a 37 一維信號(hào)的二級(jí)小波變換系數(shù)和分解一維信號(hào)的二級(jí)小波變換系數(shù)和分解 原始信號(hào) 2級(jí)小波系數(shù) w2=w a2 , w d2 , w d1 2級(jí)近似分解 (原始信號(hào)每4個(gè)平均值) 2級(jí)細(xì)節(jié)分解 (原始信號(hào)每2個(gè)平均的差值) 1級(jí)細(xì)節(jié)分解 (原始信號(hào)單數(shù)和雙數(shù)的差值) 恢復(fù)信號(hào) 9331895658738956 26622111133441111 48888666633336666 416161616282828282323232328282828 262113411 28636 216282328 9331895658738956 122 1 2 2

16、1 2 2 ddas d d a w w w s d d a 38 原始信號(hào)原始信號(hào) 16點(diǎn)點(diǎn) 16點(diǎn)原始信號(hào)點(diǎn)原始信號(hào) 6 5 9 8 3 7 8 5 6 5 9 8 1 3 3 9 39 兩級(jí)小波系數(shù)兩級(jí)小波系數(shù)16點(diǎn)點(diǎn) 原始信號(hào) 小波系數(shù) 262113411 28636 9331895658738956 1 2 d d w w s 原始信號(hào) (紅) 兩級(jí)小波系數(shù) wd1 wd2 |wd2 | |wd1 | 40 16點(diǎn)點(diǎn) 信號(hào)信號(hào) 的的Haar小波近似值和細(xì)節(jié)分解小波近似值和細(xì)節(jié)分解 兩級(jí)分解 26622111133441111 48888666633336666 41616161628

17、2828282323232328282828 9331895658738956 1 2 2 122 d d a ddas 41 小波小波去噪聲去噪聲 一般噪聲特點(diǎn):一般噪聲特點(diǎn): (1)高頻成分(細(xì)節(jié)) ,(2)幅度?。河瞄撝?; 去噪聲過(guò)程:去噪聲過(guò)程: 去除原始信號(hào)高頻成分(細(xì)節(jié))中幅度小于閾值部分。 對(duì)2級(jí)小波,設(shè)定2個(gè)閾值,稱(chēng)“閾值2” 和 “閾值1” 。 去除1級(jí)噪聲:去除1級(jí)小波細(xì)節(jié)分解中小于“閾值1”部分。 去除2級(jí)噪聲:去除2級(jí)小波細(xì)節(jié)分解中小于“閾值2”部分。 恢復(fù):恢復(fù): 將小波近似分解,加上去噪聲后小波細(xì)節(jié)分解,即獲得去除噪聲 的信號(hào) 42 噪聲去除噪聲去除 4181615

18、15282828282323232328282828 262113411 28636 216282328 9331895658738956 122 1 2 2 ddas w w w s dn d d a 兩級(jí)分解 噪聲去除, 括號(hào)內(nèi)保留 部分?jǐn)?shù)據(jù) 原始信號(hào) (紅),去噪后 (黃) wd1 兩級(jí)小波系數(shù) wd2 43 小波小波去噪聲去噪聲16點(diǎn)點(diǎn) 6 5 9 8 3 7 8 5 6 5 9 8 1 3 3 9 |wd1 | 1級(jí)去噪前絕對(duì)值 |wd1 | 1級(jí)去噪后絕對(duì)值 |wd2 | 2級(jí)去噪后絕對(duì)值 |wd2 | 2級(jí)去噪前絕對(duì)值 原始信號(hào) (紅),去噪后 (黃) 1 級(jí)細(xì)節(jié)小波系數(shù) 2 級(jí)

19、細(xì)節(jié)小波系數(shù) 0.7071,1,-4,3,1,1,-2,- 6 0.5-6,-3,-6,-8 兩級(jí)小波系數(shù) 閾值1wd1 wd2閾值2 44 Haar小波小波去噪聲去噪聲 (16點(diǎn)信號(hào))點(diǎn)信號(hào)) 16點(diǎn)原始信號(hào)點(diǎn)原始信號(hào) 6 5 9 8 3 7 8 5 6 5 9 8 1 3 3 9 小波去噪聲 兩級(jí)分解 45 一維信號(hào)的小波變換例子一維信號(hào)的小波變換例子 2 2 (電壓曲線電壓曲線) 通過(guò)MATLAB實(shí)現(xiàn)(wavemenu) 波形圖 ( MATLAB toolbox wavelet wavedemo leleccum.mat ) 是 “電網(wǎng)監(jiān)視的電壓曲線電網(wǎng)監(jiān)視的電壓曲線”,有4570個(gè)點(diǎn)

20、Haar小波變換 46 haar 小波小波 (s= a2+ d2+d1 1) (wavemenu) leleccum Level 2 (s-原始信號(hào),a2-近 似,d1 1-d2細(xì)節(jié)) 1 級(jí)細(xì)節(jié)分解 (奇偶數(shù)值的差) 2 級(jí) 細(xì)節(jié)分解 (前2和后2的差) 原始信號(hào) (紅) 2 級(jí)近似分解值 2 級(jí)小波分解 波形中的毛刺 (見(jiàn)下頁(yè)) 47 1 級(jí)細(xì)節(jié)分解 (奇偶數(shù)值的差) 2 級(jí)細(xì)節(jié)分解 (前2和后2的差) 原始信號(hào) (紅) 2 級(jí)近似分解值 2 級(jí)小波分解(放大) 波形中的毛刺 48 圖圖-5 haar (s= a5+ d5+.+d1 1) (wavemenu) leleccum Level

21、 5 a5-近似, d5 5-d1細(xì) 節(jié) 附錄附錄-5 (wavemenu) leleccum haar Level 5 leleccum.mat 是有 36560個(gè)點(diǎn)的一維電壓 信號(hào)(s-原始信號(hào),a1- 近似,d1-細(xì)節(jié)) 信號(hào)前2和后2的差-細(xì)節(jié)2 信號(hào)奇偶數(shù)值的差-細(xì)節(jié)1 原始信號(hào) 信號(hào)-近似值 5 級(jí)小波分解 49 小波小波去噪聲去噪聲 leleccum haar 小波小波 兩級(jí)小波系數(shù) 1 級(jí)細(xì)節(jié)小波系數(shù) 2 級(jí)細(xì)節(jié)小波系數(shù) 黃虛線表示閾值 wd1 wd2 原始信號(hào) (紅), 去噪后 (黃) |wd1 | 1級(jí)去噪前絕對(duì)值 |wd1 | 1級(jí)去噪后絕對(duì)值 |wd2 | 2級(jí)去噪后絕

22、對(duì)值 |wd2 | 2級(jí)去噪前絕對(duì)值 50 小波小波壓縮壓縮 leleccum haar 黃虛線表示閾值 1 級(jí)細(xì)節(jié)小波系數(shù) 2 級(jí)細(xì)節(jié)小波系數(shù) wd1 wd2 原始信號(hào) (紅), 壓縮后 (黃)兩級(jí)小波系數(shù) |wd1 | 1級(jí)去噪前絕對(duì)值 |wd1 | 1級(jí)去噪后絕對(duì)值 |wd2 | 2 級(jí)去噪后絕對(duì)值 |wd2 | 2 級(jí)去噪前絕對(duì)值 51 小波小波壓縮效果壓縮效果 leleccum haar 黃色虛線全局閾值(自動(dòng)分配兩級(jí)閾值) 紫色線相對(duì)能量百分比(能量盡量保持) 綠色線零數(shù)目百分比 (零數(shù)目愈大,壓縮愈明顯) 52 3 、小波小波分析分析在圖象處理中的應(yīng)用在圖象處理中的應(yīng)用 圖象是二

23、維信號(hào),其小波變換相當(dāng)于二 次一維信號(hào)的小波變換:。 (1)第一次一維信號(hào)的小波變換相當(dāng)于 圖象的行變換。 (2)第二次一維信號(hào)的小波變換相當(dāng)于 圖象的列變換。 小波變換用于圖象壓縮有良好的效果, 已形成圖象壓縮的標(biāo)準(zhǔn)如JPEG2000。 53 小波變換用于圖象特征抽取小波變換用于圖象特征抽取 第1級(jí) 斜線細(xì)節(jié) 第1級(jí) 水平細(xì)節(jié) 第1級(jí) 垂直細(xì)節(jié) 水平細(xì)節(jié) 近似 圖象 垂直細(xì)節(jié) 斜線細(xì)節(jié) 54 第1級(jí) L1 斜線細(xì)節(jié) 第1級(jí) L1 水平細(xì)節(jié) 第1級(jí) L1 垂直細(xì)節(jié) 第2級(jí) L2細(xì)節(jié) 近似圖象 第3級(jí) L3 小波系數(shù)分級(jí)方塊表示法 55 第 3 級(jí) L3分辨率 第 2 級(jí) L2分辨率 第 1 級(jí)

24、 L1分辨率 小波系數(shù)分級(jí)樹(shù)形表示法 56 小波變換用于圖象壓縮小波變換用于圖象壓縮 采用小波進(jìn)行壓縮。作“小波變換”后,統(tǒng)計(jì)特 性有改善,消除行和列之間的相關(guān)關(guān)系。 有損壓縮:根據(jù)視覺(jué)原理,不同分辨率小波系 數(shù)進(jìn)行比特分配。然后轉(zhuǎn)換到一維作熵編碼, 如算術(shù)編碼或霍夫曼編碼。 無(wú)損壓縮:選擇“整數(shù)小波變換”,無(wú)舍入誤差 。但不能進(jìn)行比特分配。 57 小波變換用于圖象壓縮小波變換用于圖象壓縮 第 3 級(jí) L3 水平、 斜線、垂直細(xì)節(jié) 第 2 級(jí) L2 水平、 斜線、垂直細(xì)節(jié) 第 1 級(jí) L1 水平、 斜線、垂直細(xì)節(jié) 兩閾值線 之間的直 方圖被去 除(有損 壓縮) 58 小波變換用于無(wú)損數(shù)據(jù)隱藏小

25、波變換用于無(wú)損數(shù)據(jù)隱藏 無(wú)損數(shù)據(jù)隱藏:是基于無(wú)損壓縮:選擇“整數(shù)小波變 換”,無(wú)舍入誤差。例如可以采用第二代小波。 無(wú)損數(shù)據(jù)隱藏:避免在嵌入數(shù)據(jù)后小波反變換時(shí)圖象 灰度的溢出。小波變換前要作預(yù)處理,作直方圖調(diào) 整,將圖象中灰度出現(xiàn)少的數(shù)據(jù),合并入隱藏?cái)?shù)據(jù) 。 第一個(gè)無(wú)損數(shù)據(jù)隱藏是1999年科達(dá)公司發(fā)表的一個(gè)專(zhuān) 利。由于法律上原因,醫(yī)學(xué)圖象數(shù)據(jù)隱藏必須是無(wú) 損的。此外、無(wú)損數(shù)據(jù)隱藏在電子銀行、電子政務(wù) 、電子商務(wù)、圖象建檔等有廣泛的用途。 59 數(shù)據(jù)嵌入數(shù)據(jù)嵌入核磁共振醫(yī)學(xué)圖象核磁共振醫(yī)學(xué)圖象 (可可無(wú)損恢復(fù)無(wú)損恢復(fù)) (水印圖象見(jiàn)下頁(yè)) (a)原始 (5125128) (b)小波域嵌入水印圖象 60 水印圖象水印圖象 (1921202 二值圖象) 61 小波變換用于無(wú)損數(shù)據(jù)隱藏小波變換用于

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