11、單調(diào)性與最大（?。┲档?課時(shí)函數(shù)的單調(diào)性

1、1.3 函數(shù)的基本性質(zhì) 1.3.1 單調(diào)性與最大（小）值 第1課時(shí) 函數(shù)的單調(diào)性 引入引入 德國有一位著名的心理學(xué)家艾賓浩斯，對人德國有一位著名的心理學(xué)家艾賓浩斯，對人類的記憶牢固程度進(jìn)行了有關(guān)研究類的記憶牢固程度進(jìn)行了有關(guān)研究. .他經(jīng)過測試，得他經(jīng)過測試，得到了有趣的數(shù)據(jù)到了有趣的數(shù)據(jù)數(shù)據(jù)表明，記憶的數(shù)量數(shù)據(jù)表明，記憶的數(shù)量y y是是時(shí)間間隔時(shí)間間隔t t的函數(shù)的函數(shù). . 艾賓浩艾賓浩斯根據(jù)這些數(shù)據(jù)描繪出了著斯根據(jù)這些數(shù)據(jù)描繪出了著名的名的“艾賓浩斯記憶遺忘曲艾賓浩斯記憶遺忘曲線線”, ,如圖：如圖：123tyo20406080記憶的數(shù)量記憶的數(shù)量( (百分?jǐn)?shù)百分?jǐn)?shù)) )天數(shù)天數(shù)100思

2、考思考1 1：當(dāng)時(shí)間間隔當(dāng)時(shí)間間隔t t逐漸增大時(shí)，你能看出對應(yīng)逐漸增大時(shí)，你能看出對應(yīng)的函數(shù)值的函數(shù)值y y有什么變化趨勢？通過這個(gè)實(shí)驗(yàn)，有什么變化趨勢？通過這個(gè)實(shí)驗(yàn)，你打算以后如何對待剛學(xué)過的你打算以后如何對待剛學(xué)過的知識(shí)知識(shí)? ?思考思考2:2: “艾賓浩斯記憶遺忘曲線艾賓浩斯記憶遺忘曲線”從左至右是逐漸下降的，對此，從左至右是逐漸下降的，對此，我們?nèi)绾斡脭?shù)學(xué)觀點(diǎn)進(jìn)行解釋？我們?nèi)绾斡脭?shù)學(xué)觀點(diǎn)進(jìn)行解釋？123tyo20406080100記憶的數(shù)量記憶的數(shù)量( (百分?jǐn)?shù)百分?jǐn)?shù)) )天數(shù)天數(shù) 我們通過幾個(gè)函數(shù)的圖象觀察函數(shù)值隨自我們通過幾個(gè)函數(shù)的圖象觀察函數(shù)值隨自變量而變化的規(guī)律變量而變化的規(guī)

3、律. . 函函數(shù)數(shù)值值在在（，）上上隨隨著著自自變變量量的的增增大大而而增增大大. .0)0函函數(shù)數(shù)值值在在（， 上上隨隨自自變變量量的的增增大大而而減減少少，在在 ，）上上隨隨自自變變量量的的增增大大而而增增大大. .探究點(diǎn)探究點(diǎn) 函數(shù)單調(diào)性的定義函數(shù)單調(diào)性的定義 這種函數(shù)在其定義域的一個(gè)區(qū)間上函數(shù)值隨這種函數(shù)在其定義域的一個(gè)區(qū)間上函數(shù)值隨著自變量的著自變量的_的性質(zhì)我們稱之為的性質(zhì)我們稱之為“函函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上是增函數(shù)數(shù)在這個(gè)區(qū)間上是增函數(shù)”；函數(shù)在其定義域的；函數(shù)在其定義域的一個(gè)區(qū)間上函數(shù)值隨著自變量的一個(gè)區(qū)間上函數(shù)值隨著自變量的_的的性質(zhì)我們稱之為性質(zhì)我們稱之為“函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上是減函

4、數(shù)函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上是減函數(shù)”. .如何用函數(shù)的解析如何用函數(shù)的解析式和數(shù)學(xué)語言進(jìn)行式和數(shù)學(xué)語言進(jìn)行描繪？描繪？增大而增大增大而增大增大而減少增大而減少對函數(shù)對函數(shù)f(xf(x)=x)=x2 2而言，而言，“函數(shù)值在（函數(shù)值在（0 0，+）上隨）上隨自變量的增大而增大自變量的增大而增大”，可以這樣描述：在區(qū)間，可以這樣描述：在區(qū)間（0 0，+）上任取兩個(gè)實(shí)數(shù)）上任取兩個(gè)實(shí)數(shù)x x1 1,x,x2 2, ,得到函數(shù)值得到函數(shù)值f(xf(x1 1)=x)=x1 12 2,f(x,f(x2 2)=x)=x2 22 2，當(dāng)，當(dāng)x x1 1xx2 2時(shí)，有時(shí)，有_請同學(xué)們用數(shù)學(xué)語言描述函數(shù)請同學(xué)們用數(shù)學(xué)語

5、言描述函數(shù)f(xf(x) )在（在（-，00上上函數(shù)值隨自變量的增大而減小的情況函數(shù)值隨自變量的增大而減小的情況. .f(xf(x1 1)f(x)f(x2 2).).一般地，設(shè)函數(shù)一般地，設(shè)函數(shù)f(xf(x) )的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)镮:I: 如果對于定義域如果對于定義域I I內(nèi)某個(gè)區(qū)間內(nèi)某個(gè)區(qū)間D D上的任意兩個(gè)自變上的任意兩個(gè)自變量的值量的值 ，當(dāng)，當(dāng) 時(shí)，都有時(shí)，都有_，那，那么就說函數(shù)么就說函數(shù) 在區(qū)間在區(qū)間D D上是上是增函數(shù)增函數(shù)12xx，12xxf(x)函數(shù)單調(diào)性的相關(guān)概念函數(shù)單調(diào)性的相關(guān)概念f(xf(x1 1)f(x)f(x)f(x2 2) )增函數(shù)或減函數(shù)增函數(shù)或減函數(shù)第一第一

6、、在中學(xué)數(shù)學(xué)中所說的單調(diào)性是指嚴(yán)格的單、在中學(xué)數(shù)學(xué)中所說的單調(diào)性是指嚴(yán)格的單調(diào)性調(diào)性, , 即必須是即必須是f(xf(x1 1)f(x)f(x)f(x2 2),),而不能是而不能是f(xf(x1 1)f(x)f(x2 2) () (或或f(xf(x1 1)f(x)f(x2 2););對函數(shù)單調(diào)性的理解對函數(shù)單調(diào)性的理解第二第二、函數(shù)的單調(diào)性是對、函數(shù)的單調(diào)性是對定義域內(nèi)定義域內(nèi)的的某個(gè)區(qū)間某個(gè)區(qū)間而而言的言的, , 是局部概念是局部概念; ;第三第三、學(xué)習(xí)函數(shù)的單調(diào)性、學(xué)習(xí)函數(shù)的單調(diào)性, ,要注意定義中條件和要注意定義中條件和結(jié)論是雙向使用的結(jié)論是雙向使用的. .例例1.1.下圖是定義在區(qū)間下

7、圖是定義在區(qū)間-5,5-5,5上的函數(shù)上的函數(shù)y=f(xy=f(x) )，根據(jù)，根據(jù)圖象說出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，以及在每一個(gè)單調(diào)區(qū)間上，圖象說出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，以及在每一個(gè)單調(diào)區(qū)間上，它是增函數(shù)還是減函數(shù)它是增函數(shù)還是減函數(shù)? ? 解：解：函數(shù)函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間有的單調(diào)區(qū)間有yf(x) 52) 2,1),1,3),3,5,，其中其中 在區(qū)間在區(qū)間 上是減函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間 上是增函數(shù)上是增函數(shù)yf(x) 52)1,3)， 2,1),3,50.kpV 分分 析析 ： 即即 要要 求求 證證 明明 函函 數(shù)數(shù)在在 （ ，）上上 是是 減減 函函 數(shù)數(shù)2(例例 . .物物理理學(xué)學(xué)中中的的玻玻意

8、意耳耳定定律律為為正正常常數(shù)數(shù)）告告訴訴我我們們，對對于于一一定定量量的的氣氣體體，當(dāng)當(dāng)其其體體積積V V減減小小時(shí)時(shí)，壓壓強(qiáng)強(qiáng) 將將增增大大. .試試用用函函數(shù)數(shù)的的單單調(diào)調(diào)性性證證明明之之. .kpkVp 21121212()().VVkkp Vp VkVVVV則則121 21221,(0,)0;,0.V VVVVVVV由由，得得由由得得120,()()0,kp Vp V又又于于是是12()().p Vp V即即作差變形作差變形定號(hào)定號(hào)判斷判斷取值取值證明：證明：根據(jù)單調(diào)性的定義，設(shè)根據(jù)單調(diào)性的定義，設(shè)V1, ,V2是定義域是定義域(0,+)(0,+)上上的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，且的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，

9、且V1 V2, ,所以，函數(shù)所以，函數(shù) V V(0,+)(0,+)是減函數(shù)，也就是說，當(dāng)體是減函數(shù)，也就是說，當(dāng)體積減小時(shí)，壓強(qiáng)積減小時(shí)，壓強(qiáng)p p將增大將增大. .kpV，取值：取值：即設(shè)即設(shè)x x1 1、x x2 2是該區(qū)間內(nèi)的任意兩個(gè)值是該區(qū)間內(nèi)的任意兩個(gè)值, ,且且x x1 1x ;由x .所以f(x )-f(x ) ，思考交流思考交流1.( )(2 1) 1111.2222f xaxbR設(shè)函數(shù)在 上是嚴(yán)格單調(diào)減函數(shù)，則有（ ）A.a . 解析：解析：直線直線y=kx+by=kx+b在在k0k0時(shí)，單調(diào)遞減時(shí)，單調(diào)遞減. . 2a-10, 2a-10,即即aaf(1-2)f(1-2a)

10、,),則則a的的取值范圍是取值范圍是 【提示【提示】利用增函數(shù)的定義可知，利用增函數(shù)的定義可知，a1-21-2a, ,即即1a.31( ,)35.5.證明函數(shù)證明函數(shù) 在區(qū)間在區(qū)間 上是增函數(shù)上是增函數(shù). .f x2x( ) 2,)證明：證明：任取任取 ，且，且 ，12, 2,) x x12xx則則 1212()()22f xf xxx1212121212(22)(22).2222xxxxxxxxxx因?yàn)橐驗(yàn)?2120,220，xxxx得得12()()fxfx所以函數(shù)所以函數(shù) 在區(qū)間在區(qū)間-2,+)-2,+)上是增函數(shù)上是增函數(shù) ( )2f xx1.1.函數(shù)的單調(diào)性定義的內(nèi)涵與外延：函數(shù)的單調(diào)

11、性定義的內(nèi)涵與外延：內(nèi)涵內(nèi)涵: :是用自變量的大小變化來刻畫函數(shù)值的變化是用自變量的大小變化來刻畫函數(shù)值的變化情況；情況；外延外延: :一般規(guī)律：自變量的變化與函數(shù)值的變化一般規(guī)律：自變量的變化與函數(shù)值的變化一致時(shí)是單調(diào)遞增，自變量的變化與函數(shù)值的變化一致時(shí)是單調(diào)遞增，自變量的變化與函數(shù)值的變化相反時(shí)是單調(diào)遞減相反時(shí)是單調(diào)遞減. . 幾何特征：在自變量取值區(qū)間上，若函數(shù)的圖象幾何特征：在自變量取值區(qū)間上，若函數(shù)的圖象上升，則為增函數(shù)，圖象下降則為減函數(shù)上升，則為增函數(shù)，圖象下降則為減函數(shù). . 3.3.證明函數(shù)的單調(diào)性的基本步驟是：證明函數(shù)的單調(diào)性的基本步驟是：（1 1）取值；）取值； （2 2）作差變形；）作差變形；（3 3）定號(hào)；）定號(hào)； （4 4）判斷）判斷. .2.2.函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)在其定義域上的函