數(shù)學(xué)分析課件

1、數(shù)學(xué)分析3 有理函數(shù)和可化為有理函數(shù)的不定積分有理函數(shù)和可化為有理函數(shù)的不定積分二、三角函數(shù)有理式的積分法二、三角函數(shù)有理式的積分法一、有理函數(shù)的積分法一、有理函數(shù)的積分法三、簡單無理函數(shù)的積分法三、簡單無理函數(shù)的積分法數(shù)學(xué)分析2、有理函數(shù)的分類：、有理函數(shù)的分類：mmmmnnnnbxbxbxbaxaxaxaxQxP 11101110)()(一、有理函數(shù)的積分法一、有理函數(shù)的積分法其其中中00 a，00 b.,)1(mn 真分式真分式；,)2(mn 假分式假分式；1、有理函數(shù)的定義；、有理函數(shù)的定義；由兩個多項式函數(shù)的商所表示的函數(shù)稱為有理函數(shù)。由兩個多項式函數(shù)的商所表示的函數(shù)稱為有理函數(shù)。數(shù)

2、學(xué)分析3 3、有理函數(shù)積分法、有理函數(shù)積分法; )1(真真分分式式多多項項式式假假分分式式多多項項式式除除法法 ：部部分分分分式式之之和和真真分分式式待待定定系系數(shù)數(shù)法法 )2(1111223 xxxxx如如數(shù)學(xué)分析（2）分母中因式）分母中因式 ，對應(yīng)的部分分式為，對應(yīng)的部分分式為kax)( ,)()(121axAaxAaxAkkk 有理真分式有理真分式 化為部分分式之和的步驟：化為部分分式之和的步驟：其中其中kAAA,21都是都是待定待定的的常數(shù)常數(shù). 特殊地：特殊地：, 1 k部分分式為部分分式為;axA hkhhkqxpxqxpxxxbxQ )()()()()(121121011 在實數(shù)

3、系作標(biāo)準(zhǔn)分解：在實數(shù)系作標(biāo)準(zhǔn)分解：）對分母）對分母（)Q()P(xx) ,1, , 2不不可可約約因因式式為為（其其中中hiqxpxii 數(shù)學(xué)分析（3）分母中因式）分母中因式 ，對應(yīng)的部分，對應(yīng)的部分分式為分式為kqpxx)(2 qpxxNxMqpxxNxMqpxxNxMkkkk 21222211)()(其其中中iiNM ,都都是是待待定定的的常常數(shù)數(shù)), 2 , 1(ki . 特殊地：特殊地：, 1 k部分分式為部分分式為;2qpxxNMx 數(shù)學(xué)分析11)(AA11,111,10 xxbkkkkkxx )(AAk,1 , 111)(DBDB112,1,11121,11,1 qxpxxqxpx

4、x )(DBDB2,21,1,1hhhhhhhhhhqxpxxqxpxx （其其中中各各系系數(shù)數(shù)待待定定）；)()(xQxP真分式真分式數(shù)學(xué)分析6532 xxx)3)(2(3 xxx分分母母因因式式分分解解,32 xBxA部部分分分分式式之之和和),2()3(3 xBxAx通通分分后后分分子子相相等等),23()(3BAxBAx , 3)23(, 1BABA例例1 1比較系數(shù)比較系數(shù)（比較系數(shù)法比較系數(shù)法）,65 BA6532 xxx.3625 xx數(shù)學(xué)分析),2()3(3 xBxAx由由3, x令令.或或（賦值法賦值法）2),3(33 B得得; 6B 2, x令令. 5 A數(shù)學(xué)分析2)1(1

5、 xx,)1(12 xCxBxA.)1()1(1 2CxxBxxA 令令, 0 x; 1 A令令, 1 x; 1 C比較二次項的系數(shù)，比較二次項的系數(shù)，.)1(11112 xxx2)1(1 xx例例2 21. AB（綜合法綜合法）,0 BA 得得數(shù)學(xué)分析說明說明 將有理函數(shù)化為部分分式之和后，只出將有理函數(shù)化為部分分式之和后，只出現(xiàn)三類情況：現(xiàn)三類情況：（A）多項式；）多項式；;)()(naxAB ;)()(2nqpxxNMxC 前兩類易求，現(xiàn)討論第三類積分前兩類易求，現(xiàn)討論第三類積分,)(2 dxqpxxNMxn, 1)1( n dxqpxxNMx2 dxqpxxMNppxM2/2)2(2數(shù)

6、學(xué)分析,42222pqpxqpxx 令令tpx 2224 apq 令令, 1)2( n dxqpxxNMxn)(2 dxqpxxpxM2)2(2 dxpqpxMNpM4/)2/(/2222 可求！可求！數(shù)學(xué)分析,422pqa ,2MpNb 則則 dxqpxxNMxn)(2 dtatMtn)(22 dtatbn)(22,222atqpxx , bMtNMx 記記 )()(122222atdatMn dtatbn)(122數(shù)學(xué)分析122)(1(2 natnM.)(122 dtatbn這三類積分均可積出這三類積分均可積出, 且原函數(shù)都是初等函數(shù)且原函數(shù)都是初等函數(shù).結(jié)論結(jié)論 有理函數(shù)的原函數(shù)都是初等

7、函數(shù)有理函數(shù)的原函數(shù)都是初等函數(shù). .推推出出。及及可可由由其其中中 122 )( IatdtInn遞遞推推公公式式 數(shù)學(xué)分析例例3 3.1515221542xxx )1)(21(12xx ),21)()1(12xCBxxA ,21 x令令,1212xCBxxA )1)(21(12xx ;54 ACAx 1 , 0 得得令令;51 C比比較較一一次次項項的的系系數(shù)數(shù)，.52 B（綜合法綜合法）CB20 得得數(shù)學(xué)分析例例4 4dxxxx)151522154(2 dxxx)1)(21(12)21(21152xdx .arctan51)1ln(51|21|ln522Cxxx )1(115122xdx

8、dxx 21151 dxxdxxxdxx22115115221154數(shù)學(xué)分析注注（1 1）有理函數(shù)的原函數(shù)都是初等函數(shù)；）有理函數(shù)的原函數(shù)都是初等函數(shù)；有理函數(shù)的積分一定可以有理函數(shù)的積分一定可以“積出來積出來”；（2 2）有理函數(shù)的積分總可以）有理函數(shù)的積分總可以“程序化地程序化地”求出來；求出來；（3 3）對具體的有理函數(shù)的積分可能有特）對具體的有理函數(shù)的積分可能有特定的簡便求法。定的簡便求法。數(shù)學(xué)分析例例5 5dxxxx 10362dxxxx)5)(2(6.|5|ln71|2|ln78Cxxdxxx)5(7/1)2(7/8數(shù)學(xué)分析例例5 5dxxxx 10362dxxxxx 103)23

9、6()103(2122 103)103(2122xxxxddxxxxx71)2)(5()2()5(29 |103|ln212xx.|52|ln149|103|ln212Cxxxx )52(149 xdxxdx解法解法2數(shù)學(xué)分析1 1、三角有理式的定義：、三角有理式的定義： 由三角函數(shù)和常數(shù)經(jīng)過有限次四則運算構(gòu)成由三角函數(shù)和常數(shù)經(jīng)過有限次四則運算構(gòu)成的函數(shù)三角函數(shù)有理式可記為的函數(shù)三角函數(shù)有理式可記為)cos,(sinxxR2cos2sin2sinxxx 2sec2tan22xx ,2tan12tan22xx 2sin2coscos22xxx 二、三角函數(shù)有理式的積分二、三角函數(shù)有理式的積分2

10、2、三角有理式的積分法：、三角有理式的積分法：2sec2tan122xx ,2tan12tan122xx 數(shù)學(xué)分析令令2tanxu ,12sin2uux ,11cos22uux uxarctan2 則則duudx212 萬萬能能代代換換dxxxR)cos,(sin.1211,122222duuuuuuR 萬能代換公式：萬能代換公式：。化化為為有有理理函函數(shù)數(shù)的的積積分分?jǐn)?shù)學(xué)分析例例6 6 dxxxxcossin1sin222222tan121112112uduuuuuuuxu 萬萬能能代代換換：duuuu )1)(1(22duuuuu )1)(1()1()1(222duuu 211duu 11

11、 21udu udu1 21uudu。還原還原 uarctan )1ln(212u Cu |1|ln數(shù)學(xué)分析注注（1）用萬能代換用萬能代換一定能一定能將三角函數(shù)有理式的積分將三角函數(shù)有理式的積分化為有理函數(shù)的積分；化為有理函數(shù)的積分；（2）萬能代換不一定是最好的；萬能代換不一定是最好的；數(shù)學(xué)分析例例7 7 求求.cossin1 dxxx解一解一 dxxx cossin1xxdxxsincoscossin1 uuduxu)1(2cos222)1 (21uuud）（)()1()1(2122222uduuuu )()111(21222uduu Cuu )1ln(ln2122。整整理理、還還原原 數(shù)學(xué)

12、分析解二解二 dxxx cossin1xxdxxcossincossin1 )1(2sinuuduxu. 解三解三 dxxx cossin1 xxdxx2sectancossin1 xxdtantan. 數(shù)學(xué)分析解四解四 dxxx cossin1倍倍角角公公式式 dxx2sin2.|2cot2csc|lnCxx 解五解五 dxxx cossin1三角公式三角公式 dxxxxxcossincossin22dxxx)cot(tan )2(2cscxxdCxx |sin|ln|cos|ln.|tan|lnCx 數(shù)學(xué)分析解六解六萬能置換萬能置換dxxx cossin122222tan1211121ud

13、uuuuuxuduuuu)1 (122數(shù)學(xué)分析例例8 8 dxxxxsin3sinsin1 dxxxxcos2sin2sin1 恒等變形恒等變形 dxxxx2cossin4sin1 變變形形 dxxx2cossin141 線線性性 dxx2cos141 dxxxxx222cossincossin41變變形形 xdx2sec41 dxxdxxxsin141cossin412xtan41 xdxxdxcsc41)(coscos1412xtan41 xcos41 xxcotcscln41 .tan41Cx 數(shù)學(xué)分析例例9 9 xdxx23sincos xdxxsinsincos22 dxxx34si

14、ncos )cos(sincos44xdxx 224)cos1(coscosxxxd dxxx22cossin dxx2)2sin21( dxx24cos141 xdxcos1 2cos22xdx dxx2sec212數(shù)學(xué)分析,) ,(dxbaxxRn 的的積積分分 ) ,(dxecxbaxxRn 有理函數(shù)的積分有理函數(shù)的積分. .三、簡單無理函數(shù)的積分三、簡單無理函數(shù)的積分 ecxbaxubaxunn ,換元：換元：1、數(shù)學(xué)分析 dxxxx11 )12( 111222dttttt 1222tdttdtt 11122Cttt 11ln2.11ln122Cxxxxx 例例1010 求求 dxxx

15、x11解解 令令txx 1,112 tx ,1222 ttdtdx數(shù)學(xué)分析例例1111 dxxx32)1)(1(1 dxxxx)1(1133變形變形 1113xdxxx,1611 ,11 232333dt)(tt, dxttxxxt 則則令令133 tdt有有理理化化所所求求積積分分Ctttt )312arctan(3) 1ln(21|1|ln2有有理理函函數(shù)數(shù)積積分分法法.還原還原 數(shù)學(xué)分析例例1212 dxxx3111616)1(1 xttx令令dttt 163Ctttt |1|ln663223.)11ln(6131312663Cxxxx 注注可可使使積積分分有有理理化化。的的最最小小公公

16、倍倍數(shù)數(shù)，為為，其其中中令令的的積積分分，對對形形如如knnnnnnecxbaxtecxbax , , ecxbaxxRk, ) ,( 11 dtttt52361 數(shù)學(xué)分析例例1313 321xdx3322 xttx令令 tdtt132 dttt11132cttt |1|ln33232cxxx |12|ln323)2(233323數(shù)學(xué)分析2、. 0,),(2 adxcbxaxxR型的積分型的積分. 040; 04022 acbaacba時：時：時：時：保證含根式。保證含根式。44)2(2222abacabxacbxax |,44| ,2222abackabxu 令令必屬于下列三類之一：必屬于下

17、列三類之一：則則cbxax 2),( |22kua ),( |22kua ).( |22uka 數(shù)學(xué)分析故只需積分故只需積分,),(22dukuuR .),(22duukuR 和和,sin,sec,tantkutkutku 分分別別令令則上述積分都化成有理式積分了。則上述積分都化成有理式積分了。例例1414dxxxx 221 22)21(45xdxx duuuux222145)21( tdttttucos25sin4545)21sin25( 22sin25數(shù)學(xué)分析dttt)1sin52sin5(412 cttt cos252sin16587cuuuu 2/54/5252/54/5528552a

18、rcsin8722cxxxx 22)21(45)21(45)21(215)2/1(2arcsin87cxxxx 21432512arcsin87t2/5u24/5u 數(shù)學(xué)分析 顯然，積分的過程比微分的過程要復(fù)雜的顯然，積分的過程比微分的過程要復(fù)雜的多，一個可微的初等函數(shù)，按照微分法總是多，一個可微的初等函數(shù)，按照微分法總是可以求出其微分的，但即使是很簡單的初等可以求出其微分的，但即使是很簡單的初等函數(shù)也未必能用初等函數(shù)寫出其不定積分。函數(shù)也未必能用初等函數(shù)寫出其不定積分。下列函數(shù)的不定積分就不能寫成初等函數(shù)下列函數(shù)的不定積分就不能寫成初等函數(shù)（盡管我們知道其不定積分是存在的）：（盡管我們知道其不定積分是存在的）： ,cos ,sin ,222dxxdxxdxex.11 ,ln1 ,sin4dxxdxxdxxx )10( sin1222