ch微積分實(shí)際應(yīng)用舉例實(shí)用PPT學(xué)習(xí)教案

1、會計學(xué)1ch微積分實(shí)際應(yīng)用舉例實(shí)用微積分實(shí)際應(yīng)用舉例實(shí)用ab xyo)(xfy （4） 求極限，得求極限，得A的精確值的精確值iinixfA )(lim10 badxxf)(提示提示 若用若用A 表示任一小區(qū)間表示任一小區(qū)間,xxx 上的窄曲邊梯形的面積，上的窄曲邊梯形的面積，則則 AA，并取，并取dxxfA)( ，于是于是 dxxfA)( dxxfA)(lim.)( badxxfxdxx dA面積元素面積元素第1頁/共37頁（1）U是是與與一一個個變變量量 x 的的變變化化區(qū)區(qū)間間a,b有有關(guān)關(guān)的的量量； （3）部分量）部分量iU 的近似值可表示為的近似值可表示為iixf )( ；就就可可以

2、以考考慮慮用用定定積積分分來來表表達(dá)達(dá)這這個個量量 U 第2頁/共37頁2、微元法的步驟、微元法的步驟第3頁/共37頁3）以以所所求求量量U的的元元素素dxxf)(為為被被積積表表達(dá)達(dá)式式，在在區(qū)區(qū)間間,ba上上作作定定積積分分，得得 badxxfU)(，即即為為所所求求量量U的的積積分分表表達(dá)達(dá)式式.這個方法通常叫做這個方法通常叫做微元法微元法或或元素法元素法應(yīng)用方向：應(yīng)用方向：平面圖形的面積；體積；平面曲線的弧長；平面圖形的面積；體積；平面曲線的弧長；功；水壓力；引力和平均值等功；水壓力；引力和平均值等定積分的物理意義：定積分的物理意義：非均勻線形物體的質(zhì)量非均勻線形物體的質(zhì)量.)( ba

3、dxxm 第4頁/共37頁解解xdxxVsin20 .22 取取積積分分變變量量為為x，, 0 x222)(sinsin2sinsin)(dxxxdxxxxxdxxV xdxxdVsin2 例例 1x y=sin x yx y=sin x y推推廣廣.)(2),)( badxxfxVybaxxfy的的體體積積軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)形形成成的的旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)體體繞繞曲曲線線第5頁/共37頁解法二解法二dyyV)arcsin2(102 .22 1 , 0 y,)arcsin2()(arcsin)arcsin(22dyydyydyydV x yy=sin x yyarcsinarcsin 第6頁/共37頁 求求由由

4、曲曲線線24xy 及及0 y所所圍圍成成的的圖圖形形繞繞直直線線3 x旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)構(gòu)構(gòu)成成旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)體體的的體體積積. 解解取取積積分分變變量量為為y,4 , 0 y體積元素為體積元素為dyQMPMdV22 dyyy)43()43(22 ,412dyy dyyV 40412.64 PQMdy例例 2第7頁/共37頁2、變力沿直線所作的功變力沿直線所作的功3、水壓力水壓力4、引力引力1、質(zhì)量、質(zhì)量第8頁/共37頁 0 6 x圖圖7.5.1解解例例 3二、定積分在物理上的應(yīng)用二、定積分在物理上的應(yīng)用1 1、質(zhì)量、質(zhì)量第9頁/共37頁 如如果果物物體體在在運(yùn)運(yùn)動動的的過過程程中中所所受受的的力力是是變變化

5、化的的，就就不不能能直直接接使使用用此此公公式式，而而采采用用“微微元元法法”思思想想.2 2、變力沿直線所作的功變力沿直線所作的功第10頁/共37頁點(diǎn)擊圖片任意處播放點(diǎn)擊圖片任意處播放暫停暫停一一圓圓柱柱形形蓄蓄水水池池高高為為 5 米米，底底半半徑徑為為 3 米米，池池內(nèi)內(nèi)盛盛滿滿了了水水.問問要要把把池池內(nèi)內(nèi)的的水水全全部部吸吸出出，需需作作多多少少功功？ 解解建立坐標(biāo)系如圖建立坐標(biāo)系如圖xoxdxx 取取x為積分變量，為積分變量，5 , 0 x5取取任任一一小小區(qū)區(qū)間間,dxxx ,例例 4第11頁/共37頁xoxdxx 5這一薄層水的重力為這一薄層水的重力為dx238 . 9 功元素

6、為功元素為,2 .88dxxdw dxxw 2 .885050222 .88 x3462 (千焦千焦)第12頁/共37頁解解 建立坐標(biāo)系建立坐標(biāo)系,1kxdxdw 該該小小區(qū)區(qū)間間對對應(yīng)應(yīng)的的功功為為第一次錘擊時所作的功為第一次錘擊時所作的功為 101kxdxw,2k .0 hhkxdxw例例5 5 用鐵錘把釘子釘入木板，設(shè)木板對鐵釘?shù)挠描F錘把釘子釘入木板，設(shè)木板對鐵釘?shù)淖枇εc鐵釘進(jìn)入木板的深度成正比，鐵錘在第阻力與鐵釘進(jìn)入木板的深度成正比，鐵錘在第一次錘擊時將鐵釘擊入一次錘擊時將鐵釘擊入1厘米，若每次錘擊所作厘米，若每次錘擊所作的功相等，問第的功相等，問第 次錘擊時又將鐵釘擊入多少次錘擊時又

7、將鐵釘擊入多少？n設(shè)設(shè) 次擊入的總深度為次擊入的總深度為 厘厘米米hn次錘擊所作的總功為次錘擊所作的總功為n1 , 0, dxxx任取任取為為積積分分變變量量，取取10 xxoxdxx 第13頁/共37頁 hhkxdxw0,22kh 依題意知，每次錘擊所作的功相等依題意知，每次錘擊所作的功相等1nwwh 22kh,2kn ,nh . 1 nn次擊入的總深度為次擊入的總深度為n第第 次擊入的深度為次擊入的深度為n第14頁/共37頁 如果平板如果平板垂直垂直放置在水中，由于水深不同放置在水中，由于水深不同的點(diǎn)處壓強(qiáng)的點(diǎn)處壓強(qiáng)p不相等，平板一側(cè)所受的水壓力不相等，平板一側(cè)所受的水壓力就不能直接使用此

8、公式，而采用就不能直接使用此公式，而采用“微元法微元法”思”思想想第15頁/共37頁解解 在端面建立坐標(biāo)系如圖在端面建立坐標(biāo)系如圖xo取取x為積分變量，為積分變量，, 0Rx 取取任任一一小小區(qū)區(qū)間間,dxxx xdxx 小小矩矩形形片片上上各各處處的的壓壓強(qiáng)強(qiáng)近近似似相相等等小小矩矩形形片片的的面面積積為為.222dxxR ,xp 例例 6第16頁/共37頁dxxRxdF222 端面上所受的壓力端面上所受的壓力dxxRxFR2202 )(22022xRdxRR RxR032232 .323R xoxdxx 第17頁/共37頁xy解解 建立坐標(biāo)系如圖建立坐標(biāo)系如圖任取任取,bbdyyy ,2)

9、235(xdyygdF xdyygFbb2)235( ).(10Ngab ytdtabtbg220cos2)sin235( 5例例 7x第18頁/共37頁 由物理學(xué)知道，質(zhì)量分別為由物理學(xué)知道，質(zhì)量分別為21,mm相距為相距為r的兩個質(zhì)點(diǎn)間的引力的大小為的兩個質(zhì)點(diǎn)間的引力的大小為221rmmkF ，其中其中k為引力系數(shù)，引力的方向沿著兩質(zhì)點(diǎn)的為引力系數(shù)，引力的方向沿著兩質(zhì)點(diǎn)的連線方向連線方向 如果要計算一根細(xì)棒對一個質(zhì)點(diǎn)的引力，如果要計算一根細(xì)棒對一個質(zhì)點(diǎn)的引力，那么，由于細(xì)棒上各點(diǎn)與該質(zhì)點(diǎn)的那么，由于細(xì)棒上各點(diǎn)與該質(zhì)點(diǎn)的距離是變化距離是變化的，且各點(diǎn)對該質(zhì)點(diǎn)的的，且各點(diǎn)對該質(zhì)點(diǎn)的引力方向也是

10、變化引力方向也是變化的，的，就不能用此公式計算就不能用此公式計算第19頁/共37頁有有一一長長度度為為 l、 線線密密度度為為的的均均勻勻細(xì)細(xì)棒棒，在在其其中中垂垂線線上上距距棒棒 a 單單位位處處有有一一質(zhì)質(zhì)量量為為 m 的的質(zhì)質(zhì)點(diǎn)點(diǎn) M，計計算算該該棒棒對對質(zhì)質(zhì)點(diǎn)點(diǎn) M 的的引引力力 2l2l xyoMa解解 建立坐標(biāo)系如圖建立坐標(biāo)系如圖取取y為為積積分分變變量量取取任任一一小小區(qū)區(qū)間間,dyyy ,2,2 lly將典型小段近似看成質(zhì)點(diǎn)將典型小段近似看成質(zhì)點(diǎn)小段的質(zhì)量為小段的質(zhì)量為,dy rydyy 例例8第20頁/共37頁小段與質(zhì)點(diǎn)的距離小段與質(zhì)點(diǎn)的距離為為,22yar 引力引力,22y

11、adymkF 水平方向的分力元素水平方向的分力元素,)(2322yadyamkdFx 2322)(22yadyamkFllx ,)4(22122laalkm 由對稱性知，引力在鉛直方向分力為由對稱性知，引力在鉛直方向分力為. 0 yF2l2l xyoMarydyy 第21頁/共37頁,lim1210nyyyyynn 函數(shù)函數(shù) 在區(qū)間在區(qū)間 上上的的平均值平均值為為)(xf,banababyyyyynn 1210limx niixxyab110lim1,)(lim1110 niixxxfab badxxfaby)(1幾何平均值公式幾何平均值公式區(qū)間長度區(qū)間長度yab)( )()( fab 三三、

12、平均值與均方根、平均值與均方根第22頁/共37頁解解設(shè)電阻為，設(shè)電阻為，R則電路中的電壓為則電路中的電壓為iRu ,sintRIm 功率功率uip ,sin22tRIm 一個周期區(qū)間一個周期區(qū)間,2, 0 平均功率平均功率tdtRIpm 2202sin12 例例 10第23頁/共37頁tdtRIpm 2202sin12 )(sin22022ttdRIm )()2cos1(4202tdtRIm 20222sin4 ttRIm 242 RIm22RIm .2mmUI )(RIUmm 結(jié)論：純電阻電路中正弦交流電的平均功率結(jié)論：純電阻電路中正弦交流電的平均功率等于電流、電壓的峰值的乘積的二分之一等于

13、電流、電壓的峰值的乘積的二分之一第24頁/共37頁 通常交流電器上標(biāo)明的功率就是平均通常交流電器上標(biāo)明的功率就是平均功率交流電器上標(biāo)明的電流值都是一種功率交流電器上標(biāo)明的電流值都是一種特定的平均值，習(xí)慣上稱為特定的平均值，習(xí)慣上稱為有效值有效值.)(12 badxxfab函數(shù)函數(shù))(xf在在,ba上的上的均方根均方根第25頁/共37頁它在它在, 0T上的平均功率為上的平均功率為,)(102 TRdttiT,)(1022 TRdttiTRI按定義有按定義有 TdttiTI022)(1.)(102 TdttiTI有效值計算公式的推導(dǎo)有效值計算公式的推導(dǎo)即即第26頁/共37頁正弦交流電正弦交流電tI

14、tim sin)( 的有效值的有效值tdtIIm 2022sin12 )(22022ttdinsIm 20222sin4 ttIm.2mI .)(12 badxxfab函數(shù)函數(shù))(xf在在,ba上的上的均方根均方根結(jié)論：正弦交流電的有效值等于電流的峰值的結(jié)論：正弦交流電的有效值等于電流的峰值的21第27頁/共37頁四、簡單數(shù)學(xué)模型和求解四、簡單數(shù)學(xué)模型和求解第28頁/共37頁解解例例 10Malthus人口模型人口模型第29頁/共37頁例例 11Logistic人口人口模型模型第30頁/共37頁第31頁/共37頁利用利用“微元法微元法”思想求變力作功思想求變力作功、水壓力和引力等物理問題、水壓

15、力和引力等物理問題（注意熟悉相關(guān)的物理知識）（注意熟悉相關(guān)的物理知識）第32頁/共37頁函數(shù)的平均值函數(shù)的平均值函數(shù)的有效值函數(shù)的有效值;)(1 badxxfaby.)(12 badxxfab（理解平均功率、電流的有效值等概念）（理解平均功率、電流的有效值等概念）第33頁/共37頁 作作 業(yè)業(yè)P345: 2, 4, 5, 6, 10, 12, 16. P330: 6, 7(4)第34頁/共37頁練習(xí)練習(xí)有一半徑為的四分之一圓周，有一半徑為的四分之一圓周，線密度為線密度為 的均勻細(xì)絲，的均勻細(xì)絲，在其圓心處在其圓心處有一質(zhì)量為有一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)，的質(zhì)點(diǎn)，計算該細(xì)絲對質(zhì)點(diǎn)計算該細(xì)絲對質(zhì)點(diǎn)的引力的引力解解 建立坐標(biāo)系如圖建立坐標(biāo)系如圖 , 0 Rx 質(zhì)量微元為質(zhì)量微元為,)(12dxy xx+dx引力微元引力微元,)(122RdxymGdF 水平方向的分力微元水平方