圓的證明與計算專題

1、2012中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)圓的證明及計算專j圓的證明及計算是中考中的一類重要的問題，此題完成情況的好壞對 解決后面問題的發(fā)揮有重要的影響，所以解決好此題比較關(guān)鍵。一、考點分析：1.圓中的重要定理：(1)圓的定義:主要是用來證明四點共圓.(2)垂徑定理:主要是用來證明一一弧相等、線段相等、垂直關(guān)系等等.(3)三者之間的關(guān)系定理：主要是用來證明一一弧相等、線段相等、 圓心角相等.(4)圓周角性質(zhì)定理及其推輪：主要是用來證明一一直角、角相等、 弧相等.(5)切線的性質(zhì)定理:主要是用來證明一一垂直關(guān)系.(6)切線的判定定理：主要是用來證明直線是圓的切線.(7)切線長定理：線段相等、垂直關(guān)系、角相等.2.圓中

2、幾個關(guān)鍵元素之間的相互轉(zhuǎn)化:弧、弦、圓心角、圓周角等 都可以通過相等來互相轉(zhuǎn)化.這在圓中的證明和計算中經(jīng)常用到.二、考題形式分析：主要以解答題的形式出現(xiàn)，圓及相似 圓及面積 圓及切線 動 態(tài)圓三、解題秘笈：1、判定切線的方法：(1)若切點明確，則“連半徑，證垂直”。常見手法有：全等轉(zhuǎn)化；平行轉(zhuǎn)化；直徑轉(zhuǎn)化；中線轉(zhuǎn)化等；有時可 通過計算結(jié)合相似、勾股定理證垂直；(2)若切點不明確，則“作垂直，證半徑”。常見手法：角平分線定理；等腰三角形三線合一，隱藏角平分線；總而言之，要完成兩個層次的證明：直線所垂直的是圓的半徑(過 圓上一點)；直線及半徑的關(guān)系是互相垂直。在證明中的關(guān)鍵是要處理 好弧、弦、角之

3、間的相互轉(zhuǎn)化，要善于進(jìn)行由此及彼的聯(lián)想、要總結(jié)常添 加的輔助線.2、及圓有關(guān)的計算：計算圓中的線段長或線段比，通常及勾股定理、垂徑定理及三角形的 全等、相似等知識的結(jié)合，形式復(fù)雜，無規(guī)律性。分析時要重點注意觀察 已知線段間的關(guān)系，選擇定理進(jìn)行線段或者角度的轉(zhuǎn)化。特別是要借助圓 的相關(guān)定理進(jìn)行弧、弦、角之間的相互轉(zhuǎn)化，找出所求線段及已知線段的 關(guān)系，從而化未知為已知，解決問題。其中重要而常見的數(shù)學(xué)思想方法有:(1)構(gòu)造思想：如：構(gòu)建矩形轉(zhuǎn)化線段；構(gòu)建“射影定理”基本 圖研究線段(已知任意兩條線段可求其它所有線段長)；構(gòu)造垂徑定理 模型：弦長一半、弦心距、半徑；構(gòu)造勾股定理模型；構(gòu)造三角函數(shù).(2

4、)方程思想：設(shè)出未知數(shù)表示關(guān)鍵線段，通過線段之間的關(guān)系，特 別是發(fā)現(xiàn)其中的相等關(guān)系建立方程，解決問題。(3)建模思想：借助基本圖形的結(jié)論發(fā)現(xiàn)問題中的線段關(guān)系，把問題 分解為若干基本圖形的問題，通過基本圖形的解題模型快速發(fā)現(xiàn)圖形中的 基本結(jié)論，進(jìn)而找出隱藏的線段之間的數(shù)量關(guān)系。四、范例講解：（一）圓及相似1.（本小題滿分8分）（2011山東濱州，22, 8分）如圖，直線切。0于點m,直線尸。交。0 于46兩點，弦月。/7必連接qm、6c求證：（1 ） abc s pom; （2） 2oa2=opbc.1/12、（2011山東日照）.（本題滿分9分）如圖，四是。的直徑，力。是弦, 是。的切線，。為

5、切點，ad1cd于息d.求證：（1） za0o2zacd, （2） ac = ab ad.3、（2011山東煙臺，25, 12分）已知：46是。的直徑，弦calm于點g, 是直線期上一動點（不 及點從b、g重合），直線應(yīng)交。于點尸，直線廳交直線于點尸.設(shè) o0的半徑為工（1）如圖1,當(dāng)點在直徑45上時，試證明：0e01（2）當(dāng)點在月6（或屈1）的延長線上時，以如圖2點的位置為例, 請你畫出符合題意的圖形，標(biāo)注上字母，（1）中的結(jié)論是否成立？請說明 理由.3 / 17cpd（圖1）（圖2）（二）圓及面積4、（2011 東營）如圖，已知點a、b、c、d均在己知圓上，adbc, bd平 分nabc,

6、 nbad=120 ,四邊形abcd的周長為15.（1）求此圓的半徑；（2）求圖中陰影部分的面積.7 / 17de5. （2011山東萊蕪）（10分）如圖，相是。的直徑，弦應(yīng)垂直平分半徑oa,。為垂足，龍=3,連接被過點作交所的延長線于 點m.（1）求。的半徑；（2）求證：/是。的切線；（3）若弦加及直徑力6相交于點尸，當(dāng)n4力=45時，求圖中陰影部 分的面積.6、（2011 臨沂）如圖.以0為圓心的圓及aaob的邊ab相切于點c.及20b 相交于點 d,且 0d二bd,己知 sina=5, ackl（1）求。的,徑：（2）求圖中陰影部分的面枳.7、（2011山東棗莊）.（本題滿分8分）第23

7、題圖如圖，點。在oo的直徑a8的延長線上，點。在oo上，且力合，zacd=120 . （1）求證：cd是oo 的切線；（2）若。的半徑為2,求圖中陰影部分的面積.（三）圓及切線8. （2011山東荷澤）（本題10分）如圖，6為。的直徑，止ac, ad交 反于點后2,吩4,求證：板（2）求相的長;延長必到f,使得b后b0,連接網(wǎng),試判斷直線fa及。的位置關(guān)系， 并說明理由.（第18題圖）9. （2011山東聊城）（8分）如圖，月6是半圓的直徑，點。是圓心，點。是期的中點，qll如交半圓于點，點是益的中點，連接班、0d,過點 作dpae交ba的延長線于點p.（1）求/4勿的度數(shù)；（2）求證：也是半

8、圓。的切線.10. （2011山東淄博）（9分）已知：aabc是邊長為4的等邊三角形，點0在邊ab上, 。過點b且分別及邊ab, bc相交于點d, e, efac,垂足為f.（1）求證：直線ef是。的切線;半徑.（2）當(dāng)直線df及。相切時，求。0（第21題）的（四）圓及新題型11. （2011山東德州）（本題滿分10分）觀察計算當(dāng)a = 5,%=3時，-及的大小關(guān)系是.2當(dāng)a = 4, z? = 4時，-+及y/ab的大小關(guān)系是.2探究證明如圖所示，aa6c為圓。的內(nèi)接三角形，a8為直徑，過。作c_la8于，, 設(shè) a =。，bab.（1）分別用表示線段oc, cd；（2）探求宏及切表達(dá)式之間

9、存在的關(guān)系（用含a, b的式子表示）.歸納結(jié)論根據(jù)上面的觀察計算、探究證明，你能得出竽及口的大小關(guān)系是:實踐應(yīng)用要制作面積為1平方米的長方形鏡框，直接利用探究得出的結(jié)論，求出鏡 框周長的最小值.（五）圓及動點12. （2011山東濟(jì)寧）（10分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，頂點為（4, -1）的拋物線交y軸于a點，交x軸于8,。兩點（點8在點。的左側(cè)）.已 知a點坐標(biāo)為（0, 3 ）.（1）求此拋物線的解析式；（2）過點b作線段a3的垂線交拋物線于點。，如果以點。為圓心的 圓及直線8。相切，請判斷拋物線的對稱軸/及。c有怎樣的位置關(guān)系，并 給出證明；（3）已知點尸是拋物線上的一個動點，且位于a,

10、。兩點之間，問： 當(dāng)點p運動到什么位置時，apac的面積最大？并求出此時p點的坐標(biāo)和 ae4c的最大面積.13 / 17（第23題）13. （2011山東德州）（本題滿分12分）在直角坐標(biāo)系xoy中，已知點尸 是反比例函數(shù)圖象上一個動點，以尸為圓心的圓始終及y軸相切，設(shè)切點 為4（1）如圖1, o尸運動到及x軸相切，設(shè)切點為，試判斷四邊形必r1 的形狀，并說明理由.（2）如圖2,。尸運動到及x軸相交，設(shè)交點為6, c.當(dāng)四邊形板 是菱形時：求出點4 b,。的坐標(biāo).在過4 6,。三點的拋物線上是否存在點必,使.也郎的面積是菱形abcp面積的若存在，試求出所有滿足條件的m點的坐標(biāo)，若不存在，試 2

11、說明理由.1、【答案】證明：直線pm切。0于點m,，npm0=901分弦 ab 是直徑,a zacb=90 2分/. zacb=zpmo3分vacpm, .*.zcab=zp 4分aaabcapom5分(2) v aabcapom, a6分又 ab=2oa, oa=om, :.7分/. 2oa1 =opbc8分2、答案.(本題滿分9分)證明：（1） 以?是。的切線，az90 , 即n/辦n47390 . 2分 ： oc二。a, ：.zaco=zcao, ：.zaoo!so -2n力。0, -za0c+zaco90 .4 分2由，得：zacd- zaooo,即/4妗2/月； 52分(2)如圖，連

12、接6c.v ab 是直徑，i. z在 及req?中,d力小90口 . 6分: /a0o2/b, :./氏/acd,:、xacm xabc, 8分，即4七月6. 9分3、【解】（1）證明：連接尸。并延長交。于0,連接q ;尸。是。直徑，：.4fdq=9g ./啊+n0=9o .vcdlab. ：.zp+zc=9q0 .,:乙q=：./qfd=/p.:乙foe= /pof,: mfoes xpof.絲=竺.比 op=of=f. of op（2）解：（1）中的結(jié)論成立.理由：如圖2,依題意畫出圖形，連接尸。并延長交。于一,連接cm是。直徑，/凡m=90 , ：. zm+ zcfm=90 .? cd

13、lab, /.z5+zp=90 .v zm= z a ：.zcfm=ze.y /pof= /foe, :. xpofsxfoe.：2l=2l, :.oe op=o=f.of oe4、解答：解：（1）.adbc, zbad=120 ,，nabc=60 . 又tbd平分nabc, zabd=zdbc= zadb=30;.ab=ad=dcf cd二60。aab=ad=dc, zdbc=90乂在宜角abdc中，bc是圓的直徑，bc=2dc.3 bc+2bc=15abc=6 此圓的半徑為3.（2）設(shè)bc的中點為0,由（1）可知0即為圓心.連接0a, 0d,過0作0e_lad于e.在直角aoe 中，za0

14、e=30373.0e=0a-cos30 = 21 期期sgg=2x3x 2 = 4.607r x 32 9，寫 37r 9/ 6/t_9j3；s 陰影二s 扇形a - saa/3 = 2/3.kijc/c ”22工圖中陰影部分的面積為-二ji.38答案、.解：證明：3后月c,n極 ：/o/d, ：/abo/d,又adb,z bae z eab, abe s3 分(2) v aabes aadb, ：, cd, 6分2結(jié)論歸納： 也. 7分實踐應(yīng)用設(shè)長方形一邊長為x米,則另一邊長為1米,設(shè)鏡框周長為/米，則x2 .9 分當(dāng)，即x = l （米）時，鏡框周長最小.此時四邊形為正方形時，周長最小為4

15、米.10分12. (1)解：設(shè)拋物線為y = a(x-4)2l.拋物線經(jīng)過點a (0, 3),3 = a(o 4)2-1. .， 拋 物 線 為y = l(x-4)2-l = lx2-2x + 344（2） 答： ，及。 c 相交.4分證明：當(dāng)時，玉=2,=6.； b 為（2, 0）,。為（6, 0） . a ab = a/32 +22 =713.設(shè)。及80相切于點e,連接ce, ubec = 90 = zaob.丁 zabd = 90 , /. zcbe = 90 - zabo.又4ao = 90。一za8o , /. zbao = zcbe .aaob sab ec.*. *. *.6分;

16、拋物線的對稱軸/為r = 4,。點至ij/的距離為2.拋物線的對稱軸/及。相交.7分解：如圖，過點p作平行于），軸的直線交4c于點q.可求出ac的解析式為. 設(shè)尸點的坐標(biāo)為（m ,）,則。點的坐標(biāo)為（胴，）.i113/. pq =+-2? + 3）= 一 1/+ ；？,* s,ac = s*八0 + sycq = x（_-/ + 孑）x6 = 一-3）2 + i,當(dāng)? = 3時，apac的面積最大為衛(wèi).（第23題）413.（本題滿分12分）解：（1）0尸分別及兩坐標(biāo)軸相切, pavoa, pkv0k.，/為3/690 .17 / 17又yn月游90 ,：./pao-/okp-n力好90 .四邊

17、形。瓦必是矩形.又：omok, ，四邊形。瓦必是正方形.2分(2)連接收，設(shè)點尸的橫坐標(biāo)為x,則其縱坐標(biāo)為2. x過點尸作pgibc于g.四邊形皿為菱形， ：.bopa=pb=pc.皈為等邊三角形.在 rt心g 中，z 7660 , pb-p忙x,pg-.xsinz/6,即.pb解之得：產(chǎn)2 (負(fù)值舍去).:.pg /3 , pa=bc=2 4分易知四邊形0d必是矩形，為二妗2, bgcgl,：0氏og吩l oooggo?.：.a (0, w), b (1, 0) c (3, 0). 6分設(shè)二次函數(shù)解析式為：y=axbxc.據(jù)題意得：解之得：2=與,占，c=0二次函數(shù)關(guān)系式為：)，=/9分33

18、解法一：設(shè)直線外的解析式為：片x+0,據(jù)題意得： 解之得：尸/，尸-36.,直線的解析式為：yfx-36 .過點力作直線417心，則可得直線4的解析式為：y = 6x + q.y =遙x +邪解方程組：，出,45萬廠 得：；.y = .v2 -x + j3i 33過點。作直線以/所，則可設(shè)直線的解析式為：)，= x +1.,.0=373+r.t = -3/3 .j直線的解析式為：y = x-36 .y = /3x - 3近解方程組：6 2 466得：；y=tx-x+綜上可知，滿足條件的必的坐標(biāo)有四個，分別為：（0, 6）, （3, 0）, （4, g）, （7, 8有）.12分解法一 ：, s*八8 = s、pbc =，力（0, 6）, c （3, 0）顯然滿足條件.延長升交拋物線于點m由拋物線及圓的軸對稱性可知，p的pa.又,：amhb3：. =sspb