灰色系統(tǒng)模型-清華大學(xué)講義

1、經(jīng)濟 管理系教師： 韓忠日期：2010年5月21日灰色系統(tǒng)建模灰色系統(tǒng)建模 灰色系統(tǒng)建?；疑到y(tǒng)建模 1 灰色系統(tǒng)理論概述2 灰色GM(1.1)模型3 序列光滑度的理論分析4 灰色GM(1.1)優(yōu)化模型分析 5 灰色模型的應(yīng)用1 灰色系統(tǒng)概述1.1 灰色系統(tǒng)理論的產(chǎn)生及發(fā)展動態(tài) 1.2 灰色系統(tǒng)的研究內(nèi)容1.3 灰色系統(tǒng)理論在建模中的應(yīng)用 1.1 灰色系統(tǒng)理論的產(chǎn)生及發(fā)展動態(tài)定義定義1.1 系統(tǒng)是客觀世界普遍存在的一種物質(zhì)系統(tǒng)是客觀世界普遍存在的一種物質(zhì)運動形式運動形式,它和運動性一樣它和運動性一樣,是物質(zhì)存在的一種是物質(zhì)存在的一種根本屬性根本屬性.定義定義1.2 灰色系統(tǒng)是指灰色系統(tǒng)是指“部

2、分信息已知部分信息已知,部分信部分信息未知息未知”的的“小樣本小樣本”,“貧信息貧信息”的不確定性的不確定性系統(tǒng)系統(tǒng),它通過對它通過對“部分部分”已知信息的生成、開發(fā)已知信息的生成、開發(fā)去了解、認(rèn)識現(xiàn)實世界，實現(xiàn)對系統(tǒng)運行行為去了解、認(rèn)識現(xiàn)實世界，實現(xiàn)對系統(tǒng)運行行為和演化規(guī)律的正確把握和描述和演化規(guī)律的正確把握和描述.灰色系統(tǒng)模型的灰色系統(tǒng)模型的特點：特點：對試驗觀測數(shù)據(jù)及其分對試驗觀測數(shù)據(jù)及其分布沒有特殊的要求和限制，是一種十分簡便的布沒有特殊的要求和限制，是一種十分簡便的新理論，具有十分寬廣的應(yīng)用領(lǐng)域。新理論，具有十分寬廣的應(yīng)用領(lǐng)域。灰色系統(tǒng)理論，是在一般系統(tǒng)理論的基礎(chǔ)上灰色系統(tǒng)理論，是在

3、一般系統(tǒng)理論的基礎(chǔ)上產(chǎn)生的，它是系統(tǒng)科學(xué)思想發(fā)展的必然產(chǎn)物，產(chǎn)生的，它是系統(tǒng)科學(xué)思想發(fā)展的必然產(chǎn)物，是社會經(jīng)濟深入發(fā)展對科學(xué)刺激和需要的產(chǎn)是社會經(jīng)濟深入發(fā)展對科學(xué)刺激和需要的產(chǎn)物。當(dāng)我們認(rèn)識與研究自然和社會時，要從物。當(dāng)我們認(rèn)識與研究自然和社會時，要從系統(tǒng)的角度出發(fā)，從宏觀上對其進行深入的系統(tǒng)的角度出發(fā)，從宏觀上對其進行深入的剖析和整體把握。在實際中，我們首先要對剖析和整體把握。在實際中，我們首先要對事物進行系統(tǒng)性認(rèn)識，進而對已有的系統(tǒng)進事物進行系統(tǒng)性認(rèn)識，進而對已有的系統(tǒng)進行有效控制以及設(shè)計一些最優(yōu)系統(tǒng)來為人民行有效控制以及設(shè)計一些最優(yōu)系統(tǒng)來為人民服務(wù)。對系統(tǒng)進行控制就要通過系統(tǒng)內(nèi)部和服務(wù)。

4、對系統(tǒng)進行控制就要通過系統(tǒng)內(nèi)部和外部的信息和信息流來加以實施，通過對信外部的信息和信息流來加以實施，通過對信息的控制進而達到對系統(tǒng)本身的控制。息的控制進而達到對系統(tǒng)本身的控制。但是無論是現(xiàn)代控制理論還是經(jīng)典控制理論，但是無論是現(xiàn)代控制理論還是經(jīng)典控制理論，它們都要依賴正確而精確的數(shù)學(xué)模型，否則，它們都要依賴正確而精確的數(shù)學(xué)模型，否則，一切都很難取得滿意的結(jié)果。然而，在現(xiàn)實生一切都很難取得滿意的結(jié)果。然而，在現(xiàn)實生活中，有許多情況不大可能求得精確的數(shù)學(xué)?；钪?，有許多情況不大可能求得精確的數(shù)學(xué)模型，如工業(yè)系統(tǒng)、生物系統(tǒng)、經(jīng)濟系統(tǒng)、社會型，如工業(yè)系統(tǒng)、生物系統(tǒng)、經(jīng)濟系統(tǒng)、社會系統(tǒng)等。若得不出精確的數(shù)

5、學(xué)模型，現(xiàn)代控制系統(tǒng)等。若得不出精確的數(shù)學(xué)模型，現(xiàn)代控制理論的方法和手段就無法施行，因而，現(xiàn)代控理論的方法和手段就無法施行，因而，現(xiàn)代控制理論對一些研究對象也鞭長莫及。制理論對一些研究對象也鞭長莫及。 當(dāng)人們對這些問題進行潛心研究時，當(dāng)人們對這些問題進行潛心研究時，查德查德于于1965年首創(chuàng)年首創(chuàng)模糊理論模糊理論，第一次用精確的數(shù)，第一次用精確的數(shù)學(xué)方式來分析和研究模糊量，取得了新的突破，學(xué)方式來分析和研究模糊量，取得了新的突破，隨后，模糊集合論迅速應(yīng)用于控制領(lǐng)域，隨后，模糊集合論迅速應(yīng)用于控制領(lǐng)域，收到了良好的效果收到了良好的效果。模糊控制能夠?qū)σ恍o法模糊控制能夠?qū)σ恍o法構(gòu)造數(shù)學(xué)模型的系

6、統(tǒng)進行控制，但模糊控制也構(gòu)造數(shù)學(xué)模型的系統(tǒng)進行控制，但模糊控制也表現(xiàn)出固有的弱點，即信息利用率低，控制粗表現(xiàn)出固有的弱點，即信息利用率低，控制粗糙、精度低等。因而，在要求高精度的情況下糙、精度低等。因而，在要求高精度的情況下，這種控制難以勝任，并且它也未能對被控對，這種控制難以勝任，并且它也未能對被控對象的運動規(guī)律作深刻的闡明，故模糊控制有它象的運動規(guī)律作深刻的闡明，故模糊控制有它的局限性，只適應(yīng)于一些特有的模糊系統(tǒng)的局限性，只適應(yīng)于一些特有的模糊系統(tǒng)。 經(jīng)典控制理論、現(xiàn)代控制理論和模糊控制經(jīng)典控制理論、現(xiàn)代控制理論和模糊控制理論都有一個共同點，那就是它們所研究的對理論都有一個共同點，那就是它

7、們所研究的對象系統(tǒng)必須是象系統(tǒng)必須是白色系統(tǒng)白色系統(tǒng)（信息完全確知的系統(tǒng)（信息完全確知的系統(tǒng)），而事實上，無論是自然系統(tǒng)還是社會系統(tǒng)），而事實上，無論是自然系統(tǒng)還是社會系統(tǒng)，宏觀系統(tǒng)還是微觀系統(tǒng)，無生命系統(tǒng)還是有，宏觀系統(tǒng)還是微觀系統(tǒng)，無生命系統(tǒng)還是有生命系統(tǒng)，對我們認(rèn)識的主體來說，總是信息生命系統(tǒng)，對我們認(rèn)識的主體來說，總是信息不完全的，艱難說明一個系統(tǒng)的內(nèi)部參數(shù)是完全的。毫無疑問，內(nèi)部參數(shù)不完全的系統(tǒng)具有極為普遍的意義。就像模糊理論的誕生一樣，灰色系統(tǒng)理論也應(yīng)運而生了。 灰色系統(tǒng)理論是我國學(xué)者鄧聚龍教授于19世紀(jì)80年代初創(chuàng)立并發(fā)展的理論，它把一般系統(tǒng)論，信息論和控制論的觀點和方法延伸到社

8、會，經(jīng)濟，生態(tài)等抽象系統(tǒng)，結(jié)合運用數(shù)學(xué)方法發(fā)展的一套解決灰色系統(tǒng)的理論和方法，20多年來，灰色系統(tǒng)理論引起了國內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注。灰色系統(tǒng)理論已成功應(yīng)用到工業(yè)，農(nóng)業(yè)，社會，經(jīng)濟等眾多領(lǐng)域，解決了生產(chǎn)，生活和科學(xué)研究中的大量實際問題。1.2 灰色系統(tǒng)理論研究的內(nèi)容 灰色系統(tǒng)理論經(jīng)過20年的發(fā)展，已基本建立起一門新興的結(jié)構(gòu)體系，其研究內(nèi)容主要包括：灰色系統(tǒng)建模理論、灰色系統(tǒng)控制理論、灰色關(guān)聯(lián)分析方法、灰色預(yù)測方法、灰色規(guī)劃方法、灰色決策方法等。 今天我們主要介紹灰色系統(tǒng)建模理論及灰色數(shù)列預(yù)測?；疑珨?shù)列預(yù)測是指利用動態(tài)GM模型，對系統(tǒng)的時間序列進行數(shù)量大小的預(yù)測，即對系統(tǒng)的主行為特征量或某項指標(biāo)，發(fā)

9、展變化到未來特定時刻出現(xiàn)的數(shù)值進行預(yù)測。1.3 灰色系統(tǒng)理論在建模中的應(yīng)用 灰色系統(tǒng)理論在建模中被廣泛用來處理數(shù)據(jù)。與插值擬合相比，利用灰色模型處理數(shù)據(jù)不僅對數(shù)據(jù)沒有很強的限制，而且精度更高，計算更簡便。2 灰色GM(1.1)模型2.1 灰色生成 2.2 GM（1.1）模型建模機理2.3 GM(1.1)模型的精度檢驗 2.1 灰色生成 將原始數(shù)據(jù)列中的數(shù)據(jù),按某種要求作數(shù)據(jù)處理稱為生成. 客觀世界盡管復(fù)雜,表述其行為的數(shù)據(jù)可能是雜亂無章的,然而它必然是有序的,都存在著某種內(nèi)在規(guī)律,不過這些規(guī)律被紛繁復(fù)雜的現(xiàn)象所掩蓋,人們很難直接從原始數(shù)據(jù)中找到某種內(nèi)在的規(guī)律.對原始數(shù)據(jù)的生成就是企圖從雜亂無章

10、的現(xiàn)象中去發(fā)現(xiàn)內(nèi)在規(guī)律. 常用的灰色系統(tǒng)生成方式有: 累加生成,累減生成,均值生成,級比生成等,下面對這幾種生成做簡單介紹.2.1.1 累加生成 累加生成,即通過數(shù)列間各時刻數(shù)據(jù)的依個累加以得到新的數(shù)據(jù)與數(shù)列.累加前的數(shù)列稱原始數(shù)列,累加后的數(shù)列稱為生成數(shù)列.,它在灰色系統(tǒng)理論中占有極其重要地累加生成是使灰色過程由灰變白的一種方法位,通過累加生成可以看出灰量積累過程的發(fā)展態(tài)勢,使離亂的原始數(shù)據(jù)中蘊含的積分特性或規(guī)律加以顯化.累加生成是對原始數(shù)據(jù)列中各時刻的數(shù)據(jù)依次累加,從而生成新的序列的一種手段.(0)(0)(0)(0)(0)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(0)(1),(2),( ),(

11、1),(2),( ),:xxxxxnxxxxxnxx 令令為為原原始始序序列列, ,記記生生成成數(shù)數(shù)為為如如果果與與之之間間滿滿足足如如下下關(guān)關(guān)系系(1)(0)1( )( );1,2,(21)kixkxikn ,1()AGO AccumulatingGenerationOperator 一一次次累累加加生生成成則則稱稱為為記記為為:r次次累累加加生生成成有有下下述述關(guān)關(guān)系系( )(1)1( )( )(22)krrixkxi (22),1:rr 從從式式 又又有有次次到到 次次的的累累加加為為1( )(1)(1)(1)(1)1( )( )( )(1)( )krrrrrixkxixkxkxk (

12、)(1)(2)111( )( )( )kkirrriijxkxixj 累累加加生生成成在在灰灰色色系系統(tǒng)統(tǒng)理理論論中中有有著著非非常常重重要要的的地地位位, ,它它能能使使任任意意非非負(fù)負(fù)數(shù)數(shù)列列, ,擺擺動動的的或或非非擺擺動動的的, ,轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化化為為非非減減的的的的, ,遞遞增增的的數(shù)數(shù)列列. .2.1.2 累減生成 累減生成,即對數(shù)列求相鄰兩數(shù)據(jù)的差,累減生成是累加生成的逆運算,常簡記為IAGO(Inver se Accumulated Generating Operation), 累減生成可將累加生成還原為非生成數(shù)列,在建模過程中用來獲得增量信息,其運算符號為. ( )( )( ),:r

13、rixrxi 令令為為 次次生生成成數(shù)數(shù)列列 對對作作 次次累累減減生生成成記記為為其其基基本本關(guān)關(guān)系系式式為為(0)( )( )(1)( )(0)( )(0)( )(2)( )(1)( )(1)( )( )( )(1)( )(1)( )( )( )( )( )(1)( )( )(1)(25)( )( )(1)rrrrrrrriririrxkxkxkxkxkxkxkxkxkxkxk (0)(1)( ),(0)0,;(0)1(0)11.ikkikki 式式中中為為 次次累累減減 即即無無累累減減為為1 1次次累累減減, ,即即與與 時時刻刻兩兩個個零零次次累累減減量量求求差差, ,為為 次次累累

14、減減, ,即即與與 時時刻刻兩兩個個次次累累減減量量求求差差(25): 從從式式還還可可得得到到以以下下關(guān)關(guān)系系(1)( )(0)( )(0)( )( )( )1(1)(1)11(1)( )( )(1)( )(1)(26)( )( )( )rrrrrkkrriirxkxkxkxkxkxixixk (2)( )(1)( )(1)( )(1)(1)1(2)(2)11(2)( )( )(1)( )(1)(27)( )( )( )rrrrrkkrriirxkxkxkxkxkxixixk :同同理理可可得得( )( )()( )( )(28)irr ixkxk ( )( )(0)( )( )(29)rr

15、xkxk (29),.,.:1,rrr 從從式式可可以以看看出出 對對 次次生生成成數(shù)數(shù)列列作作 次次累累減減即即還還原原為為非非生生成成數(shù)數(shù)列列事事實實上上 累累加加中中包包含含著著累累減減 累累減減中中包包含含著著累累加加比比如如時時 有有1(1)(0)(0)(0)11(1)(0)( )( )( )( )(1)( )(210)kkiixkxixixkxkxk (0)(1)(1)( )( )(1)xkxkxk進進一一步步有有(1)( )( )( )( )(1)(211)rrrxkxkxk .上上述述關(guān)關(guān)系系式式經(jīng)經(jīng)常常被被用用在在從從生生成成數(shù)數(shù)列列求求還還原原數(shù)數(shù)列列中中2.1.3 均值生

16、成.均均值值生生成成分分為為鄰鄰均均值值生生成成與與非非鄰鄰均均值值生生成成兩兩種種, (1), (2), ( ),( ),( )0.5 ( )0.5 (1),( )Xxxx nkz kz kx kx kz k 所所謂謂就就是是對對于于等等時時距距的的數(shù)數(shù)列列, ,用用相相鄰鄰數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)的的平平均均值值構(gòu)構(gòu)造造新新的的數(shù)數(shù)據(jù)據(jù). .即即若若有有原原始始數(shù)數(shù)列列記記 點點的的生生成成值值為為且且則則稱稱為為鄰鄰均均值值生生成成數(shù)數(shù), ,顯顯然然, ,這這種種生生成成是是相相鄰鄰值值的的等等鄰鄰均均值值生生成成權(quán)權(quán)生生成成. ., (1), (2), ( ), (1), ( ),( ),( ),(

17、)0.5 (1)0.5 (1),( )Xxxkx kx nkkz kz kx kx kz k 所所謂謂就就是是對對于于非非等等時時距距的的數(shù)數(shù)列列, ,或或雖雖為為等等時時距距數(shù)數(shù)列列, ,但但剔剔除除異異常常值值之之后后出出現(xiàn)現(xiàn)空空穴穴的的數(shù)數(shù)列列, ,用用空空穴穴兩兩邊邊的的數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)求求平平均均值值構(gòu)構(gòu)造造新新的的數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)以以填填補補空空穴穴, ,即即若若有有原原始始數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)這這里里為為空空穴穴 記記 點點的的生生成成值值為為且且則則稱稱為為非非鄰鄰均均值值生生成成數(shù)數(shù), ,顯顯然然, ,這這種種生生成成是是空空穴穴前前后后信信息息的的非非鄰鄰均均值值生生成成等等權(quán)權(quán)生生成成. .2.1.

18、4 級比生成 級級比比生生成成是是一一種種常常用用的的填填補補序序列列端端點點空空穴穴的的方方法法. .對對數(shù)數(shù)列列端端點點值值的的生生成成, ,我我們們無無法法采采用用均均值值生生成成填填補補空空缺缺, ,只只能能采采用用級級比比生生級級比比生生成成. .成成是是級級比比級級比比生生( (k k成成在在建建模模中中可可以以獲獲得得較較好好的的灰灰) )與與光光滑滑比比 ( (k k) )生生成成指指數(shù)數(shù)律律. .的的總總稱稱. .(0)(0)(0)(0)(1),(2),( ),(),( ),XxxxnKk 設(shè)設(shè)序序列列為為原原始始序序列列稱稱為為級級比比為為光光滑滑比比 其其表表達達式式為為

19、(0)(0)(0)(1)( )( )/(1)( )( )/(1)(212)kxkxkkxkxk (0)(0)(0)(0)(0)(0)(0) (1),(2),(1), ( ),(1)(1),( )( ),(1)( )Xxxnnxnxnxxn設(shè)設(shè)為為端端點點是是空空穴穴的的序序列列 若若用用右右鄰鄰的的級級比比生生成成用用的的左左鄰鄰級級比比生生成成則則稱稱和和為為級級比比生生成成2.2 GM(1.1)模型建模機理,(1.1)GM灰灰色色系系統(tǒng)統(tǒng)是是對對離離散散序序列列建建立立的的微微分分方方程程是是一一階階微微分分方方程程模模型型, ,其其形形式式為為: :(2(1.1)13)dGMxaxudt

20、 :由由導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)定定義義知知0()( )limtdxx ttx tdtt 1,t 當(dāng)當(dāng)很很小小時時并并且且取取很很小小的的 單單位位時時 則則近近似似地地有有(1)( )xx tx tt 寫寫成成離離散散形形式式為為(1)(1)( )( (1)xx kx kx kt (1),(1)( ),(1)( )(1), ( ).(1), ( ):xxx kttx kx kx kx kx kx kxx kx kt 這這表表示示是是的的一一次次累累減減生生成成 因因此此是是和和二二元元組組合合等等效效值值 則則稱稱與與的的二二元元組組合合為為偶偶對對, ,記記為為 于于是是我我們們可可以以定定義義一一個個從

21、從 到到的的一一個個映映射射: (1), ( )(214)dxFx kx kdt ( )(),( ).dxR ttxdtdxR tdtdxaxudt 若若定定義義是是 時時刻刻背背景景的的就就是是對對應(yīng)應(yīng)的的 的的值值那那么么 每每一一個個都都有有一一個個偶偶對對背背景景值值與與之之對對應(yīng)應(yīng)現(xiàn)現(xiàn)在在考考慮慮一一階階微微程程值值分分方方,1,( )(),dxx udtdxdtxx tx tt 它它是是與與的的線線性性組組合合. .那那么么, ,作作這這種種線線性性組組合合時時, ,所所對對應(yīng)應(yīng)的的背背景景值值究究竟竟取取偶偶對對是是的的哪哪一一個個呢呢? ?如如果果認(rèn)認(rèn)為為在在的的很很短短時時間

22、間內(nèi)內(nèi) 變變量量之之間間不不會會出出現(xiàn)現(xiàn)突突變變量量 那那么么可可取取偶偶對對的的平平均均值值作作為為背背景景值值1( ) ( )(1)(215)2z tx kx k ,(1.1)GM基基于于上上述述機機理理 下下面面介介紹紹的的具具體體模模型型及及計計算算式式, ,設(shè)設(shè)非非負(fù)負(fù)原原始始序序列列 (0)(0)(0)(0)(1),(2),( )Xxxxn (0),X對對作作一一次次累累加加 得得到到生生成成數(shù)數(shù)列列為為 (1)(1)(1)(1)(1),(2),( )Xxxxn (1)0,( )( )kixkx i 其其中中(0)( )(1.1)xkGM于于是是的的白白化化形形式式的的微微分分方方

23、程程為為(1)(1)(216)dxaxudt , , a u其其中中為為待待定定參參數(shù)數(shù), ,將將( (2 2- -1 16 6) )式式離離散散化化, ,即即得得(1)(1)(1)(1)( (1)(2 17)xkazx ku (1)(1)(1)(1)(1),(1)(1),(1)(1)xkxkdxzkkdt其其中中為為在在時時刻刻的的累累減減生生成成序序列列為為在在時時刻刻的的背背景景值值. .因因為為(1)(1)(1)(1)(0)(1)(1)( )(1)(218)xkxkxkxk (1)(1)(1)1(1)(1)( )(219)2zkxkxk(218),(219) 將將式式代代入入( (2

24、2- -1 17 7) )式式, ,得得(0)(1)(1)1(1)( )(1)(220)2xkaxkxku(220) 將將式式展展開開得得(1)(1)(0)(1)(1)(0)(0)(1)(1)1(1)(2)12(2)1(2)(3)1(3)(221)2( )1(1)( )12xxxxxxxnxnxn (1)(1)(0)(1)(1)(0)(0)(1)(1)1(1)(2)12(2)1(2)(3)1(3),2( )1(1)( )12xxxxxxYBxnxnxn 令令,(221)Tau 為為待待辨辨識識參參數(shù)數(shù)向向量量 則則可可寫寫成成(222)YB 參參數(shù)數(shù)向向量量可可用用最最小小二二乘乘法法求求取取

25、, ,即即1 , ()(223)TTTa uB BB Y (216), 把把求求取取的的參參數(shù)數(shù)代代入入式式 并并求求出出其其離離散散解解為為(1)(1)(1)(1)(224)akuuxkxeaa 還還原原到到原原始始數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)得得(0)(1)(1)(1)(1)(1)( )(1)(1)(225)aakxkxkxkuexea (224),(225)(1.1),(1.1).GMGM 式式稱稱為為模模型型的的時時間間相相應(yīng)應(yīng)函函數(shù)數(shù)模模型型 它它是是模模型型灰灰色色預(yù)預(yù)測測的的具具體體計計算算公公式式2.3 GM(1.1)模型的精度檢驗?zāi)ＤＰ托瓦x選定定之之后后, ,一一定定要要經(jīng)經(jīng)過過檢檢驗驗才才能能

26、判判定定其其是是否否合合理理, ,只只有有通通過過檢檢驗驗的的模模型型才才能能用用來來作作預(yù)預(yù)測測, ,灰灰色色模模型型的的精精度度檢檢驗驗一一般般有有三三種種方方法法: :相相對對誤誤差差大大小小檢檢驗驗法法, ,關(guān)關(guān)聯(lián)聯(lián)度度檢檢驗驗法法和和后后驗驗差差檢檢驗驗法法. .下下面面對對這這三三種種方方法法做做個個簡簡單單介介紹紹. .2.3.1 相對誤差檢驗法(1)(1)(0)(1.1),GMXXX設(shè)設(shè)按按建建模模法法已已求求出出并并將將做做一一次次累累減減轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化化為為即即(0)(0)(0)(0)(1),(2),( )(231)Xxxxn 計計算算殘殘差差得得(0)(0) (1), (2),

27、( )(232)Eeee nXX (0)(0), ( )( )( ),1,2,e kxkxk kn其其中中計計算算相相對對誤誤差差得得(0)( )( )100%,1,2,(233)( )e krel kknxk計計算算平平均均相相對對誤誤差差得得11( ),(234)nkrelrel kn 2.3.2 后驗差檢驗法(0)(0)2212(1.1)(231),(232),GMXXESS 設(shè)設(shè)按按建建模模法法所所求求出出的的如如所所示示 殘殘差差如如所所示示 原原始始序序列列及及殘殘差差序序列列 的的方方差差分分別別為為和和則則2(0)21122211( )1 ( )(235)nknkSxkxnSe

28、 ken (0)1111,( ),( )nnkkxxk ee knn 其其中中計計算算后后驗驗差差比比為為21/(236)CSS 計計算算小小誤誤差差概概率率為為 1( )0.6745(237)pP e keS 1212,.CpCCSSSSC指指標(biāo)標(biāo) 和和 是是后后驗驗差差檢檢驗驗的的兩兩個個重重要要指指標(biāo)標(biāo). .指指標(biāo)標(biāo) 越越小小越越好好越越小小表表示示大大而而越越小小大大表表示示原原始始數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)方方差差大大, ,即即原原始始數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)離離散散程程度度大大. .小小表表示示殘殘方方差差小小, ,即即殘殘差差離離散散程程度度小小. . 小小就就表表明明盡盡管管原原始始數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)很很離離散散, ,而

29、而模模型型所所得得計計算算值值與與實實際際值值之之差差并并不不太太離離散散. .1,0.6745,.ppC p指指標(biāo)標(biāo) 越越大大越越好好越越大大 表表明明殘殘差差與與殘殘差差平平均均值值之之差差小小于于給給定定值值的的點點較較多多 即即擬擬合合值值( (或或預(yù)預(yù)測測值值) )分分布布比比較較均均勻勻. .按按兩兩個個指指標(biāo)標(biāo) 可可綜綜合合評評定定預(yù)預(yù)測測模模型型的的精精度度 模模型型的的精精度度由由后后驗驗差差和和小小誤誤差差概概率率共共同同刻刻劃劃. .一一般般地地, ,將將模模型型的的精精度度分分為為四四級級, ,見見表表2 2- -1 12 1 表表精精度度檢檢驗驗等等級級參參照照表表

30、,Max pC 模模型型的的精精度度級級別別的的級級別別于于是是的的級級別別2.3.3 關(guān)聯(lián)度檢驗法灰灰關(guān)關(guān)聯(lián)聯(lián)分分析析實實質(zhì)質(zhì)上上就就是是比比較較數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)到到曲曲線線幾幾何何形形狀狀的的接接近近程程度度, ,一一般般來來說說, ,幾幾何何形形狀狀越越接接近近, ,變變化化趨趨勢勢也也就就越越接接近近, ,關(guān)關(guān)聯(lián)聯(lián)度度就就越越大大. .因因而而在在進進行行關(guān)關(guān)聯(lián)聯(lián)分分析析時時, ,必必須須先先確確定定參參考考數(shù)數(shù)列列, ,然然后后比比較較其其它它數(shù)數(shù)列列同同參參考考數(shù)數(shù)列列的的接接近近程程度度, ,這這樣樣才才能能對對其其它它數(shù)數(shù)列列進進行行比比較較, ,進進而而做做出出判判斷斷. . 000

31、001(1),(2),( ),(1),(2),( ) ,1,2,:iiiiXXXXnXXXX nimXX 設(shè)設(shè)為為參參考考序序列列為為其其它它序序列列 則則與與的的關(guān)關(guān)聯(lián)聯(lián)系系數(shù)數(shù)為為0000min( )( )maxmax( )( )( )( )maxmax( )( )iijijijiiijXjXjXjXjXjXjXjXj ,1,2,jn 其其中中從從關(guān)關(guān)聯(lián)聯(lián)系系數(shù)數(shù)的的計計算算來來看看, ,我我們們得得到到比比較較數(shù)數(shù)列列與與參參考考數(shù)數(shù)列列在在各各點點的的關(guān)關(guān)聯(lián)聯(lián)系系數(shù)數(shù)值值, ,結(jié)結(jié)果果較較多多, ,信信息息過過于于分分散散, ,不不便便于于比比較較, ,因因而而有有必必要要將將每每一一

32、比比較較數(shù)數(shù)列列各各個個時時刻刻的的關(guān)關(guān)聯(lián)聯(lián)系系數(shù)數(shù)集集中中體體現(xiàn)現(xiàn)在在一一個個值值上上, ,這這一一數(shù)數(shù)值值就就是是灰灰關(guān)關(guān)鄧鄧氏氏灰灰聯(lián)聯(lián)度度. .色色關(guān)關(guān)聯(lián)聯(lián)度度為為11(239)niijjn (0)(0)(0)(0)0000(0)(0)(0)(0)(1),(2),( ),(1),(2),( ) ,1,2,.(1(,2,),.1,2,),iiiiXxxxnmXxxxnimmimmii i ii i設(shè)設(shè)原原始始數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)序序列列為為參參考考序序列列 用用 種種灰灰色色如如果果r r在在所所有有關(guān)關(guān)聯(lián)聯(lián)度度中中建建模模方方法法所所得得模模型型值值分分別別為為求求出出該該個個序序列列與與參參考考

33、序序列列的的鄧鄧最最大大 則則第第 種種灰灰色色建建模模方方法法為為所所建建模模型型中中最最好好關(guān)關(guān)聯(lián)聯(lián)度度的的模模型型氏氏3 序列光滑度的理論分析3.1 序列的光滑性 3.2 提高數(shù)據(jù)序列光滑度的方法3.3 基于函數(shù)sinx變換的改進GM(1.1)模型 3.1 序列的光滑性* (1), (2), ( ),: (1), (2), ( ), ( )0.5( )0.5 (1),1,2, ;,(1),:3.1Xxxx nZXZzzz nz kz kz kkn Xx nX 設(shè)設(shè)序序列列是是 的的均均值值生生成成序序列列其其中中是是某某一一可可導(dǎo)導(dǎo)函函數(shù)數(shù)的的代代表表序序列列 我我們們將將刪刪去去后后所

34、所得得的的序序列列仍仍記記為為定定若若滿滿足足義義11*11(1), ( )( );(2)max( )( )max( )( )kik nk nkx kx ix kx kx kz k 當(dāng)當(dāng) 充充分分大大時時,(1),(2).X則則稱稱 為為光光滑滑序序列列稱稱為為序序列列光光滑滑條條件件(0)(0)(0)(0)(0)(0)1(1)(0)1(0)(1),(2),( ),( )( )( ),2,3,(1)(.)3 2.kiXxxxnxkxkkknxkxiX 定定義義設(shè)設(shè)序序列列稱稱為為序序的的光光滑滑比比列列,( )1( )(,( ).,.ikx kkx ikXXk k-1k-1=1=1光光滑滑比比

35、從從另另一一個個側(cè)側(cè)面面反反映映了了序序列列的的光光滑滑性性 即即用用序序列列中中第第 個個數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)與與前前個個數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)的的和和的的比比值值來來考考察察序序列列 中中數(shù)數(shù)序序列列中中的的數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)變變化化越越平平穩(wěn)穩(wěn) 其其光光滑滑比比據(jù)據(jù)變變化化是是否否平平緩緩 顯顯越越小小然然 (0)1(0)1(0)(0)(1( )0)00( )( )( )( ),( ),1,2,( ),1,2,0,.1),.,3 3kixkkxixkxk knxk knkkxkk 設(shè)設(shè)為為非非負(fù)負(fù)數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)序序列列當(dāng)當(dāng)時時 如如果果光光滑滑定定義義光光滑滑為為比比稱稱離離散散序序列列則則(1)( ):(1)1;( )2,3,

36、1;(2) ( )0, ;2,3, ;(33.4)0.5.kX kkknkknX 若若序序列列滿滿足足則則定定義義準(zhǔn)準(zhǔn)光光稱稱滑滑序序列列為為 (0)1(0)1(0)()001()( )( ).( )( ),( ),1,2,(1( ),1,2.1.,),3kixk kxkkkxixkxk knnxk 設(shè)設(shè)為為光光滑滑離離散散序序列列的的充充是是 的的遞遞減減函函數(shù)數(shù)則則稱稱要要條條件件是是定定理理光光滑滑離離為為: :光光滑滑散散序序列列比比3.2 提高數(shù)據(jù)序列光滑度的方法3.2.1 基于函數(shù)lnx變換提高數(shù)據(jù)序列的光滑度(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)11(0)(0)11(1)(

37、)(1)1,ln( )(2)( )(1),ln( )( )ln( )( )kkiixkxxkxkxexkxkxixi 若若為為遞遞增增序序列列, ,且且則則是是光光滑滑離離散散序序列列; ;若若為為遞遞增增序序列列, ,且且則則002( )( )( ),ln( )( )xkxk由由知知 變變換換序序列列具具有有比比原原始始序序列列更更好好的的光光滑滑度度(0)(0)1(0)(0)111(0)(0)11(3)( )(1)1,1,ln( )ln( )ln( )ln( )TkkTiixkxTxkxkxixi 若若為為遞遞增增序序列列, ,且且則則1003( )( )( ),ln( )ln( )Txk

38、xk由由知知 變變換換序序列列 具具有有比比原原始始序序列列更更好好的的光光滑滑度度(0)(0)1(0)(0)(0)1111(0)(0)(0)11111(0)(0)(0)11111(0)(0)(0)111(4)( )(1),1,ln( )ln( )( )ln( )ln( )( )ln( )( )( )ln( )( )( )TkkkTiiiTTkkkTTiiixkxe Txkxkxkxixixixkxkxkxixixi若若為為遞遞增增序序列列, ,且且則則(0)(0)(0)(0)(0)1(0)(0)(0)(0)1111(0)(0)(0)(0)1111(1)( )(1)1,( ) (0)(2)(

39、)(1)1,1,0( )ln( )ln( )( )( )ln( )ln( )( )aaTkkkkaTiiiixkxxkaxkxTaxkxkxkxkxixixixi 若若為為遞遞增增序序列列, ,且且則則 是是光光滑滑離離散散序序列列; ;若若為為遞遞增增序序列列, ,且且則則對對于于有有1 1002( )( )( ),( )ln( )aTxkxk由由知知 變變換換序序列列 具具有有比比原原始始序序列列 更更好好的的光光滑滑度度3 2 30. .()axa基基于于函函數(shù)數(shù)變變換換提提高高光光滑滑度度的的方方法法2( ),:在在應(yīng)應(yīng)用用時時 應(yīng)應(yīng)注注意意以以下下兩兩點點000021( )( )(

40、)( )( ),),rrxxxx1 1. .若若的的條條件件( (1 1) ) e e或或( (1 1) )不不成成立立 可可選選擇擇某某個個常常數(shù)數(shù)c c, , 使使( (1 1) )( (1 1) )+ +c ce e( (或或最最后后再再還還原原. .02( )( ),( )xka2 2. .對對的的a a可可根根據(jù)據(jù)實實際際情情況況定定 一一般般情情況況下下越越大大, ,取取得得越越小小. .3 2 3. .()xaa基基于于函函數(shù)數(shù)變變換換提提高高光光滑滑度度的的方方法法(0)(0)(0)(0)(0)( )(0)(0)1( )(0)(0)(0)11111( )(0)(0)(0)111

41、1(1)( )(1)1,(1)(2)( )(1)1,1,1ln( )ln( )( )ln( )ln( )( )xkxkTkkkkxiTiiiixkxaaxkxTaaxkxkxkaxixixi 若若為為遞遞增增序序列列, ,且且則則是是光光滑滑離離散散序序列列; ;若若為為遞遞增增序序列列, ,且且則則對對于于有有01021( )( )( )( ),ln( )xkTaaxk由由知知 變變換換序序列列( () )具具有有比比序序列列 更更好好的的光光滑滑度度(0)(0)(0)(0)11( )(0)(0)11111( )(0)(0)111(3)( )(1)1,1,1ln( )ln( )ln( )ln

42、( )xkTTkkkxkTTiiixkxTaaxkxkaxixi 若若為為遞遞增增序序列列, ,且且則則對對于于有有011031( )( )( )( ),()ln( )xkTTaaxk由由知知 變變換換序序列列具具有有比比原原始始序序列列 更更好好的的光光滑滑度度3.3 基于函數(shù)sinx變換的改進GM(1,1)模型(0)(0)(0)( ),( ),2sin( ),( 1,2, )3.2.xkkxkxkn 若若為為遞遞增增序序列列, ,且且則則是是定定理理光光滑滑離離散散序序列列1(0)(0)(0)1111(0(0)(0)(0)11(0)1)sin( )ln( )ln( )sin( )( ),(

43、 ),21ln( )ln).,33(:TkkkTiiixkxkxkxixixixkixiT 若若為為遞遞增增序序列列, ,且且則則有有 式式成成立立定定理理正正111(0)(0)(0)(0)1111111(0)(0(0)(0)(0)(0)1111)sin( )ln( )( )( )sin( )ln( )( )( ),( ),2.413,:)TTTkkkkTTTiiiixkxkxkxkxkxixixixiixiT 若若為為遞遞增增序序列列, ,且且則則有有正正式式成成立立定定理理1001( )( ), sin( )( ),TaxkxkT由由以以上上定定理理知知( () )能能夠夠2 2有有效效地

44、地提提高高原原始始序序列列的的光光滑滑度度. .基于sinx變換的GM(1,1)的建模過程:設(shè)設(shè)非非負(fù)負(fù)原原始始數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)序序列列為為遞遞增增序序列列 (0)(0)(0)(0)(1),(2),( )Yyyyn (0)( )1,1,2,yiin 其其中中 (0)(0)(0)(0)(0)(1),(2),( ),( ), .2rYyyyniyi 將將序序列列進進行行標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)化化處處理理 使使得得對對任任意意 標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)化化后后的的均均在在區(qū)區(qū)間間內(nèi)內(nèi)(0)sin( ):rxyk基基于于函函數(shù)數(shù)變變換換對對數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)序序列列進進行行處處理理 (0)(0)(0)(0)(1),(2),( )Xxxxn (0)(

45、0)( )sin( ),1,2, .rxkykkn 其其中中, ,(1):AGO 對對處處理理后后的的數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)序序列列作作一一次次累累加加得得 (1)(1)(1)(1)(1),(2),( )Xxxxn (1)(0)1( )( ),1,2, .kixkxi kn 其其中中, ,(1)( )(1.1),XkGM由由一一階階生生成成模模塊塊建建立立模模型型對對應(yīng)應(yīng)的的白白化化微微分分方方程程為為: :(1)(1)( )( )dxtaxtudt (1.1)GM模模型型對對應(yīng)應(yīng)的的差差分分方方程程為為: :(0(1)( )( ),2,3,xkaztu kn 展展開開得得(0)(0)(0)(0)(0)(0

46、)(2)(2)1(3)(3)1( )( )1xzaxzuxnzn (0)(0)(0)(2),(3),( ), , ,.Yxxxna ua u 令令稱稱為為待待辨辨識識參參數(shù)數(shù)向向量量, ,其其中中為為待待辨辨識識常常數(shù)數(shù)(0)(0)(0)(2)1(3)1( )1zzBzn (1),( ):zk其其中中為為背背景景值值(1)(1)(1)1(1)(1)( ),1,2,1.2zkxkxkkn 待待辨辨識識向向量量的的最最小小二二乘乘解解為為: :1()TTB BB Y 白白化化微微分分方方程程的的離離散散解解為為: :(1)(1)(1)(1)akuuxkxeaa 還還原原到到原原始始數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)為為:

47、:(0)(1)(1)(1)(1)(1)( )(1)(1)aakxkxkxkuexea (0)(0)( )arcsin( )rykxk (0)(0),( )( ).rykyk最最后后 將將標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)化化后后的的還還原原為為4 灰色GM(1.1)優(yōu)化模型分析4.1 傳統(tǒng)GM(1.1)模型背景值對預(yù)測精度的影響 4.2 基于積分背景值構(gòu)造法的改進GM(1.1)模型對對原原始始非非負(fù)負(fù)數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)序序列列 (0)(0)(0)(0)(1),(2),( )Xxxxn (1)(0)1( )( ),1,2, .kixkxi kn 其其中中, ,4.1 傳統(tǒng)GM(1,1)模型背景值的影響 (1)(1)(1)(1)(1

48、),(2),( )Xxxxn (1):AGO 作作一一次次累累加加得得(1)( )(1.1),XkGM由由一一階階生生成成模模塊塊建建立立模模型型對對應(yīng)應(yīng)的的白白化化微微分分方方程程為為: :(1)(1)( )( )(4.1)dxtaxtudt 將將上上式式在在區(qū)區(qū)間間k,k+1k,k+1上上積積分分, ,得得: :1(1)(1)(1)(1)( )( ),kkxkxkaxt dtu ,1,2,1.kn 其其中中,.a u其其中中為為待待辨辨識識常常數(shù)數(shù):若若令令背背景景值值為為(1)(1)(1)1(1)(1)( ),1,2,1.2zkxkxkkn 1(1)(1)(1)(1)( )( ) ,1,kkkxt dtxtk k 設(shè)設(shè)z z為為在在勻勻間間上上的的背背景景值值 則則有有(1)(1)(1)(1)( )(