第八章股票價格行為模式

1、第八章第八章 股票價格的行為模式股票價格的行為模式（8版教材第十三章維納過程和伊藤引理）版教材第十三章維納過程和伊藤引理）n一、隨機過程n1、隨機過程n如果某變量的值以某種不確定的方式隨時間變化，則稱該變量遵循某種隨機過程(stochastic process)。 n2、分類n隨機過程分為離散時間(discrete time)和連續(xù)時間(continuous time)兩類。n一個離散時間隨機過程是指標的變量值只能在某些確定的時間點上變化的過程n一個連續(xù)時間隨機過程是指標的變量值的變化可以在任何時刻發(fā)生的過程。n隨機過程也可分為連續(xù)變量(continuous variable)和離散變量(di

2、screte variable)兩種過程。 n在連續(xù)變量過程中，標的變量在某一范圍內(nèi)可取任意值；n在離散變量過程中，標的變量只可能取某些離散值。二、弱式效率市場假說與馬爾可夫過程 n1、效率市場假說n 1965年，法瑪(Fama)提出了著名的效率市場假說。該假說認為：n投資者都力圖利用可獲得的信息獲得更高的報酬；n證券價格對新的市場信息的反應是迅速而準確的，證券價格能完全反應全部信息；n市場競爭使證券價格從一個均衡水平過渡到另一個均衡水平，而與新信息相應的價格變動是相互獨立的。n2、效率市場分類n效率市場假說可分為三類：弱式、半強式和強式。n弱式效率市場假說認為，證券價格變動的歷史不包含任何對

3、預測證券價格未來變動有用的信息，也就是說不能通過技術(shù)分析獲得超過平均收益率的收益。n半強式效率市場假說認為，證券價格會迅速、準確地根據(jù)可獲得的所有公開信息調(diào)整，因此以往的價格和成交量等技術(shù)面信息以及已公布的基本面信息都無助于挑選價格被高估或低估的證券。 n強式效率市場假說認為，不僅是已公布的信息，而且是可能獲得的有關(guān)信息都已反映在股價中，因此任何信息(包括“內(nèi)幕信息”)對挑選證券都沒有用處。n效率市場假說提出后，許多學者運用各種數(shù)據(jù)對此進行了實證分析。結(jié)果發(fā)現(xiàn)，發(fā)達國家的證券市場大體符合弱式效率市場假說。 n3、馬爾可夫過程n弱式效率市場假說可用馬爾可夫隨機過程(Markov Stochast

4、ic Process)來表述。n馬爾科夫過程(Markov process)是一種特殊類型的隨機過程。n這個過程說明只有變量的當前值與未來的預測有關(guān)，變量過去的歷史和變量從過去到現(xiàn)在的演變方式則與未來的預測不相關(guān)。 n股價的馬爾科夫性質(zhì)與弱型市場有效性(the weak form of market efficiency)相一致：n一種股票的現(xiàn)價已經(jīng)包含了所有信息，當然包括了所有過去的價格記錄。n如果弱型市場有效性正確的話，技術(shù)分析師可通過分析股價的過去歷史數(shù)據(jù)圖表獲得高于平均收益率的收益是不可能的。n是市場競爭保證了弱型市場有效性成立。 三、維納過程n布朗運動起源于物理學中對完全浸沒于液體或

5、氣體中的小粒子運動的描述，以發(fā)現(xiàn)這種現(xiàn)象的英國植物學家Robert Brown命名。n描述布朗運動的隨機過程的定義是維納(wiener)給出的，因此布朗運動又稱維納過程。n股價行為模型通常用布朗運動來描述。n布朗運動是馬爾科夫隨機過程的一種特殊形式。 （一）標準布朗運動 n變量z是一個隨機變量，設(shè)一個小的時間間隔長度為t，定義z為在t時間內(nèi)z的變化。要使z遵循維納過程，z必須滿足兩個基本性質(zhì)：n性質(zhì)1：z與t的關(guān)系滿足方程式nz= n其中為服從標準正態(tài)分布(即均值為0、標準差為1.0的正態(tài)分布)中抽的一個隨機值。n性質(zhì)2：對于任何兩個不同時間間隔t，nz的值相互獨立。 tn從性質(zhì)1，我們得到z

6、本身具有正態(tài)分布，n z的均值=0n z的標準差=n z的方差=tn性質(zhì)2則隱含z遵循馬爾科夫過程。 t在一段相對長的時間T中z值的增加表示為z(T)-z(0)。這可被看作是在N個長度為t的小時間間隔中z的變化的總量，這里n其中i（i=1，2，N）是從標準正態(tài)分布的隨機抽樣值。 tTNNiitzTz1) 0()(n從性質(zhì)2中可知，i是相互獨立的，從上式可得z(T)z(0)是正態(tài)分布的，其中：n z(T)z(0)的均值=0n z(T)z(0)的方差=Nt=Tn z(T)z(0)的標準差=Tn例：n假設(shè)一個遵循維納過程的變量z的最初值為25，以年為單位計時。n在第一年末，變量值服從均值為25；標準

7、差為1.0的正態(tài)分布；n第二年末，服從均值為25、標準差為2或1.414的正態(tài)分布。 n當t0時，我們就可以得到極限的標準布朗運動： dtdz(二)普通布朗運動 n漂移率(Drift Rate)是指單位時間內(nèi)變量Z均值的變化值。n方差率(VarianceRate)是指單位時間的方差。n標準布朗運動的漂移率為0，方差率為1.0。n漂移率為0意味著在未來任意時刻z的均值都等于它的當前值。n方差率為1.0意味著在一段長度為T的時間段后，z的方差為1.0T n令漂移率的期望值為a，方差率的期望值為b2，得到變量x的普通布朗運動,用dx定義如下：ndx=adt+bdzn其中a和b為常數(shù)。dz遵循標準布朗

8、運動。這個過程指出變量x關(guān)于時間和dz動態(tài)過程。 n其中第一項adt為確定項，adt項說明了x變量單位時間的漂移率期望值為a。如果缺省bdz項，方程變?yōu)?ndx=adtdx/dt=a x=x0+atn其中x0為x在零時刻的值。經(jīng)過長度為T的時間段后，x增加的值為aT。n第二項bdz是隨機項，它表明對x的動態(tài)過程添加的噪音或波動率。這些噪聲或波動率的值為維納過程的b倍。 :,.,:,且具有正態(tài)分布因此隨機抽樣值是取自標準正態(tài)分布的其中為值的變化后短時間xtbtaxxxttbxtbxtax2的方差的標準差的均值類似的，可得任意時間T后x值的變化具有正態(tài)分布，且：n方程：dx=adt+bdzn給出了

9、普通布朗運動，其漂移率(即單位時間平均漂移)的期望值為a，方差率(即單位時間的方差)的期望值為b2。如圖：TbxTbxaTx2的方差的標準差的均值(三)Ito過程 n若把變量x的漂移率和方差率當作變量x和時間t的函數(shù)，得到另一種類型隨機過程，即著名的Ito過程(Ito process)。ndx=a(x,t)dt+b(x,t)dz n n其中，dz是一個標準布朗運動，參數(shù)a和b是標的變量x和時間t值的函數(shù)。變量x的漂移率為a，方差率為b。n即Ito過程的期望漂移率和方差率都隨時間變化而變化。四、股票價格的行為過程 n討論無紅利支付股票價格無紅利支付股票價格遵循的隨機過程 n1、假定股票價格遵循普

10、通布朗運動的不合理性n這種假定表明股票價格運動具有不變的期望漂移率和方差率。n以S代表股票價格, t時間段股價的變化為S，那么在t時間段，S的均值為at,方差為b2t。此時nat/S代表股票的期望收益率。n這表明承擔相同風險的情況下，股價高的獲得的收益率低，股價低的獲得的收益率高。n這與投資者要求來自股票的期望收益率與股票價格無關(guān)的現(xiàn)實不一致。 n2、假定股票價格變化率遵循普通布朗運動的合理性n假設(shè)股價變化比率遵循布朗運動。設(shè)S遵循期望漂移率為S（為常數(shù)）的布朗運動。因此，在短時間間隔t后，S的增長期望值為St，參數(shù)是股票的期望收益率。n即：假定S/S的變化遵循普通布朗運動，其期望漂移率為一恒

11、定參數(shù)。在短時間間隔t后，S/S的期望值（股票的期望收益率）為。 （1）若股票價格的方差率恒為0，模型即為： n其中So是零時刻的股票價格。以上方程說明了當方差率為0時，股票價格以單位時間為的連續(xù)復利方式增長。teSSdtSdSSdtdS0:結(jié)果為即（2）股票價格的方差率不為0 n當然，實際上股票價格確實存在著波動率。n一個合理假設(shè)是：無論股票價格如何，短時間t后的百分比收益率的方差保持不變。n即，不管股票價格為$50還是$10，投資者認為其收益率的不確定性是相同的。n定義2為股票價格比例變化的方差率，n即2t是t時間后股票價格比例變化(proportional change)的方差；n2S2

12、t是經(jīng)過t后股票價格的實際變化(actual change)的方差；n因此，S的瞬態(tài)方差率(instantaneous variance rate)為2S2。3、股票價格行為的幾何布朗運動 n（1）從以上闡述可以得出結(jié)論：S可以用瞬態(tài)期望漂移率(instantaneous expected drift rate)為S和瞬態(tài)方差率為2S2的Ito過程（幾何布朗運動）來表達，表示為： dzdtSdSSdzSdtdS:即n幾何布朗運動是描述股票價格行為最廣泛使用的一種模型。n變量通常被稱為股票價格波動率(stock price volatility)。即是股票收益率單位時間的標準差。2表示股票收益率

13、單位時間的方差。n變量為股票在單位時間內(nèi)以連續(xù)復利表示的股票價格的預期收益率(expected rate of return)。n這兩個參數(shù)假設(shè)為常數(shù)。dz表示標準布朗運動。n（2）從幾何布朗運動可知，在短時間t后，證券價格比率的變化值S/S為：n S/S=t+ n方程的左邊是短時間t后股票的收益率。nt項是這一收益率的期望值，n 項是收益率的隨機部分。隨機部分的方差(也是整個收益的方差)為2t。 tt 可見，S/S也具有正態(tài)分布特征，其均值為t，標準差為 ，方差為2t。 n其中(m，s)表示均值為m，標準差為s的正態(tài)分布。 tttSS,n短時間t后股票價格比例變化的標準差為 。n作一粗略的近

14、似，在相對長一段時間T后股票價格比例變化的標準差為 。n這就是說，作為近似，波動率可被解釋為一年內(nèi)股票價格變化的標準差。n注意：在一段較長時間T后的股票價格比例變化的標準差并不精確地為 。這是因為比例變化不具有可加性 tTT4、參數(shù)的討論 n（1）參數(shù)時間：n在幾何布朗運動中，我們涉及兩個符號：和，其大小取決于時間計量單位。n若無特別申明，通常以年為時間的計量單位。 n（2）n根據(jù)資本資產(chǎn)定價原理，值取決于：n該證券的系統(tǒng)性風險，n無風險利率水平(利率水平越高，投資者要求任一種股票的預期收益率就越高)，n市場的風險收益偏好(多數(shù)投資者認為，如果承擔更大的風險，將要求獲得更高的預期收益率。所以值

15、應當取決于股票收益的風險)。n由于后者涉及主觀因素，因此的決定本身就較復雜。n然而幸運的是衍生證券的定價與標的資產(chǎn)的預期收益率()是無關(guān)的。n因為依附于某種股票的衍生證券的價值一般是獨立于的。n（3）n證券價格的波動率對于衍生證券的定價則是相當重要的。n證券價格的波動率可理解為證券價格的“脾氣”，我們可以通過歷史數(shù)據(jù)來觀察各種證券“脾氣”的大小，然后通過幾何布朗運動來確定其未來價格的概率分布。n注意，幾何布朗運動把當作常數(shù)，實際上，證券價格的脾氣是會變的。會隨時間變化而變化。 5、例n設(shè)一種不付紅利股票遵循幾何布朗運動，其波動率為每年18，預期收益率以連續(xù)復利計為每年20，其目前的市價為100

16、元，求一周后該股票價格變化值的概率分布。解：=0.20,=0.18，其股價過程為：dS/S0.20dt十0.18dz在隨后短時間間隔后的股價變化為:S/S=0.20t+0.18由于1 周等于0.0192年，因此S=100(0.00384+00249) =0.384+2.49上式表示一周后股價的增加值是均值為0.384元，標準差為2.49元的正態(tài)分布的隨機抽樣值。t 五、Ito定理 n股票期權(quán)的價格是該標的股票價格和時間的函數(shù)。n更一般地，任何一種衍生證券的價格都是這些標的證券價格和時間的函數(shù)。n在這一領(lǐng)域內(nèi)的一個重要結(jié)論由一個叫K.Ito的數(shù)學家在1951年發(fā)現(xiàn)。n這是在伊藤過程的基礎(chǔ)上，由伊

17、藤進一步推導出來的。因此稱為Ito定理(Itolemma)。n假設(shè)變量 x的值遵循Ito過程：dx=a(x,t) dt+b(x,t)dz 其中，dz是一個維納過程，a與b是x和t的函數(shù)。變量x的漂移率為a和方差率為b2。Ito定理表明x和t的函數(shù)G遵循如下過程： 22222222:21:.dz21bxGbxGtGaxGItoGbdzxGdtbxGtGaxGdG方差率是它的漂移率是過程也遵循因此是維納過程其中n dS=Sdt+Sdz n和為常數(shù)。這是股票價格運動的一個合理的模型。n從Ito定理得到S與t的函數(shù)G遵循的過程為：SdzSGdtSSGtGSSGdG222221六、Ito定理的應用 （一

18、）應用于股票價格對數(shù)變化n1.現(xiàn)在我們用Ito定理推導lnS變化所遵循的隨機過程。 dzdtdGGtGSSGS)2(:0,1,1SG:lnSG:2222的過程為得出由于定義n 由于和為常數(shù)，這個方程表明了證券價格對數(shù)G遵循一個普通布朗運動（一般化的維納過程）。n它具有恒定的漂移率22和恒定的方差率2。n tTtTSSSStTTSSTSGttTtTGTtTTTT,2lnln:lnln:.ln,ln)(:)(2:,222因此期間的變化為因此在時刻的股票價格是其中時刻的值為的值為時刻方差均值的變化是正態(tài)分布之間和將來某一時刻在當前時刻n證券價格對數(shù)的變化呈正態(tài)分布。n如果一個變量的自然對數(shù)服從正態(tài)分布，則稱這個變量服從對數(shù)正態(tài)分布。n根據(jù)正態(tài)分布的特性，從上式可以得到： ),)(2(lnln2tTtTSSTn這表明ST服從對數(shù)正態(tài)分布。nlnST 的標準差與 成比例。n這說明證券價格對數(shù)的不確定性(用標準差表示)與我們考慮的未來時間的長度的平方根成正比。n這就解決了前面所說的證券價格比例變化的標準差與時間不成正比的問題。 tT n 例 1n設(shè)A股票價格的當前值為50元，預期收益為每年18%，波動為每年的20%，該股票價格遵循幾何布朗運動，且該股票在6個月內(nèi)不付紅利，請問該股票在6個月后的價格ST 的概率分布：n解：6個月后ST的概率分布為：n由于一個正態(tài)分布變量取值位于均值左右兩個標準