第七章 梁的應(yīng)力和強(qiáng)度計(jì)算

1、1271 梁的正應(yīng)力梁的正應(yīng)力72 梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件及應(yīng)用梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件及應(yīng)用73 梁橫截面上的切應(yīng)力梁橫截面上的切應(yīng)力74 梁的切應(yīng)力強(qiáng)度條件梁的切應(yīng)力強(qiáng)度條件第七章第七章 梁的應(yīng)力和強(qiáng)度計(jì)算梁的應(yīng)力和強(qiáng)度計(jì)算37-1.1 7-1.1 梁的應(yīng)力情況梁的應(yīng)力情況由圖可知，在梁的由圖可知，在梁的acac、dbdb兩段內(nèi)，各橫截面上兩段內(nèi)，各橫截面上既有剪力又有彎矩，這既有剪力又有彎矩，這種彎曲稱(chēng)為種彎曲稱(chēng)為剪切彎曲剪切彎曲( (或或橫力彎曲橫力彎曲) )。 在梁的在梁的cdcd段內(nèi)，各段內(nèi)，各橫截面上只有彎矩而無(wú)橫截面上只有彎矩而無(wú)剪力，這種彎曲稱(chēng)為剪力，這種彎曲稱(chēng)為純純彎曲彎曲。 41

2、1、剪切彎曲、剪切彎曲內(nèi)力內(nèi)力剪力剪力q q 切應(yīng)力切應(yīng)力t t彎矩彎矩m 正應(yīng)力正應(yīng)力s s2、純彎曲純彎曲內(nèi)力內(nèi)力：彎矩彎矩m 正應(yīng)力正應(yīng)力由以上定義可得：由以上定義可得：57-1.2 7-1.2 現(xiàn)象和假設(shè)現(xiàn)象和假設(shè)1.純彎曲實(shí)驗(yàn)純彎曲實(shí)驗(yàn) 橫向線橫向線(a b、c d）變形）變形后仍為直線，但有轉(zhuǎn)動(dòng)；后仍為直線，但有轉(zhuǎn)動(dòng)；（一）梁的純彎曲實(shí)驗(yàn)一）梁的純彎曲實(shí)驗(yàn)縱向?qū)ΨQ(chēng)面縱向?qū)ΨQ(chēng)面bdacabcdmm 縱向線變?yōu)榍€，且上縱向線變?yōu)榍€，且上縮下伸；縮下伸； 橫向線與縱向線變形后橫向線與縱向線變形后仍正交。仍正交。橫截面高度不變。橫截面高度不變。6縱向纖維間無(wú)擠壓、只受軸向拉伸和壓縮。縱

3、向纖維間無(wú)擠壓、只受軸向拉伸和壓縮。 平面假設(shè)：橫截面變形后仍為平面，只是繞中性軸發(fā)生轉(zhuǎn)平面假設(shè)：橫截面變形后仍為平面，只是繞中性軸發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)，距中性軸等高處，變形相等。動(dòng)，距中性軸等高處，變形相等。中性層中性層縱向?qū)ΨQ(chēng)面縱向?qū)ΨQ(chēng)面中性軸中性軸（橫截面上只有正應(yīng)力橫截面上只有正應(yīng)力）2. 根據(jù)上述的表面變形現(xiàn)象，由表及里地推斷梁內(nèi)部的根據(jù)上述的表面變形現(xiàn)象，由表及里地推斷梁內(nèi)部的變形，作出如下的變形，作出如下的兩點(diǎn)假設(shè)：兩點(diǎn)假設(shè)：73 . .兩 個(gè) 概 念兩 個(gè) 概 念中性層：梁內(nèi)一層纖維既不伸長(zhǎng)也不縮短，因中性層：梁內(nèi)一層纖維既不伸長(zhǎng)也不縮短，因而纖維不受拉應(yīng)力和壓應(yīng)力，此層纖維稱(chēng)中性而纖維不

4、受拉應(yīng)力和壓應(yīng)力，此層纖維稱(chēng)中性層。層。中性軸：中性層與橫截面的交線。中性軸：中性層與橫截面的交線。中性層中性層縱向?qū)ΨQ(chēng)面縱向?qū)ΨQ(chēng)面中性軸中性軸8 一、公式推導(dǎo)一、公式推導(dǎo)：變形的幾何關(guān)系變形的幾何關(guān)系應(yīng)力與應(yīng)變間物理關(guān)系應(yīng)力與應(yīng)變間物理關(guān)系靜力平衡條件靜力平衡條件正應(yīng)力計(jì)算公式正應(yīng)力計(jì)算公式導(dǎo)出導(dǎo)出7-1.3 純彎曲梁正應(yīng)力純彎曲梁正應(yīng)力9（二）正應(yīng)力公式（二）正應(yīng)力公式變形幾何關(guān)系變形幾何關(guān)系物理關(guān)系物理關(guān)系ysesye靜力學(xué)關(guān)系靜力學(xué)關(guān)系z(mì)1eimzimys為梁彎曲變形后的曲率為梁彎曲變形后的曲率1為曲率半徑為曲率半徑由以上分析得由以上分析得10 m 橫截面上的彎矩橫截面上的彎矩 y 所

5、計(jì)算點(diǎn)到中性軸的距離所計(jì)算點(diǎn)到中性軸的距離 iz 截面對(duì)中性軸的慣性矩截面對(duì)中性軸的慣性矩zimys（三）正應(yīng)力公式適用條件（三）正應(yīng)力公式適用條件不僅適用于純彎曲，也適用于剪力彎曲；不僅適用于純彎曲，也適用于剪力彎曲；適用于所有截面。適用于所有截面。（四）應(yīng)力正負(fù)號(hào)確定（四）應(yīng)力正負(fù)號(hào)確定 m為正時(shí)為正時(shí),中性軸上部截面受壓下部截面受拉中性軸上部截面受壓下部截面受拉; m為負(fù)時(shí)為負(fù)時(shí),中性軸上部截面受拉下部截面受壓中性軸上部截面受拉下部截面受壓. 在拉區(qū)在拉區(qū)s s為正為正,壓區(qū)壓區(qū)s s為負(fù)為負(fù)117-2 .1 最大正應(yīng)力最大正應(yīng)力 最大正應(yīng)力最大正應(yīng)力危險(xiǎn)截面危險(xiǎn)截面: 最大彎矩所在截面

6、最大彎矩所在截面 mmax危險(xiǎn)點(diǎn)：距中性軸最遠(yuǎn)邊緣點(diǎn)危險(xiǎn)點(diǎn)：距中性軸最遠(yuǎn)邊緣點(diǎn) ymaxmaxmaxmaxzmyismaxyi wzz抗彎截面模量?？箯澖孛婺Ａ?。zwmmaxs 令令 則則一般截面，最大正應(yīng)力發(fā)一般截面，最大正應(yīng)力發(fā)生在彎矩絕對(duì)值最大的截生在彎矩絕對(duì)值最大的截面的上下邊緣上；面的上下邊緣上；12dddda)1 (32 43maxadyiwzz圓環(huán)bhd6212 23maxbhhbhyiwzz矩形322/64/ 34maxdddyiwzz圓形wzwz 抗彎截面模量抗彎截面模量maxyi wzz抗彎截面模量?？箯澖孛婺Ａ俊?3s 材料的容許應(yīng)力maxmax zmwss7-2.2 7

7、-2.2 正應(yīng)力強(qiáng)度條件及計(jì)算正應(yīng)力強(qiáng)度條件及計(jì)算1 1、正應(yīng)力強(qiáng)度條件：、正應(yīng)力強(qiáng)度條件： 矩形和工字形截面梁正應(yīng)力矩形和工字形截面梁正應(yīng)力 s smax=m/wz wz = iz /(h/2) 特點(diǎn)：特點(diǎn)： s smax+= s smax- t形截面梁的正應(yīng)力形截面梁的正應(yīng)力 s smax+ =m/w1 w1 = iz / y1 s smax- =m/w2 w2 = iz / y2 特點(diǎn)：特點(diǎn)： s smax+ s smax-14 s ss s zwmmaxmax2 2、強(qiáng)度條件應(yīng)用：依此強(qiáng)度準(zhǔn)則可進(jìn)行三種強(qiáng)度計(jì)算：、強(qiáng)度條件應(yīng)用：依此強(qiáng)度準(zhǔn)則可進(jìn)行三種強(qiáng)度計(jì)算：、校核強(qiáng)度：校核強(qiáng)度：設(shè)計(jì)

8、截面尺寸：確定許可載荷：maxsmwzmax zmws15例例7.2.1 受均布載荷作用的簡(jiǎn)支梁如圖所示，試求：（1）11截面上1、2兩點(diǎn)的正應(yīng)力；（2）此截面上的最大正應(yīng)力；（3）全梁的最大正應(yīng)力；（4）已知e=200gpa，求11截面的曲率半徑。q=60kn/mab1m2m11x+ m82qlm1mmax12120180zy解：畫(huà)m圖求截面彎矩knm60)22(121xqxqlxm3016q=60kn/mab1m2m11m1mmax12120zyknm5 .678/3608/22max qlm451233m10832. 5101218012012bhiz34m1048. 609. 0/zz

9、iwmpa7 .6110832. 56060 5121ziymss求應(yīng)力1803082qlx+ m17mpa6 .921048. 610006041max1zwmsm4 .194106010832. 51020035911meizmpa2 .1041048. 610005 .674maxmaxzwms求曲率半徑q=60kn/mab1m2m11m1mmax121201803082qlx+ m18y1y2ga1a2a3a4解：畫(huà)彎矩圖并求危面內(nèi)力例例7-2.2 t 字形截面的鑄鐵梁受力如圖，鑄鐵的sl=30mpa，sy=60 mpa，其截面形心位于g點(diǎn)，y1=52mm， y2=88mm，iz=76

10、3cm4 ，試校核此梁的強(qiáng)度。并說(shuō)明t字梁怎樣放置更合理？kn5 .10;kn5 . 2barr)(knm5 . 2下拉、上壓cm（上拉、下壓）knm4bm4畫(huà)危面應(yīng)力分布圖，找危險(xiǎn)點(diǎn)p1=9kn1m1m1mp2=4knabcdx-4knm2.5knmm19校核強(qiáng)度mpa2 .2810763885 . 2822zclaiymsmpa2 .2710763524813zblaiymsmpa2 .4610763884824zbyaiymsllss2 .28maxyyss2 .46maxt字頭在上面合理。y1y2ga1a2y1y2ga3a4a3a4x-4knm2.5knmm207 73 3 梁橫截面上

11、的切應(yīng)力梁橫截面上的切應(yīng)力一、一、 矩形截面矩形截面梁橫截面上的切應(yīng)力梁橫截面上的切應(yīng)力dxxq(x)+d q(x)m(x)ym(x)+d m(x)q(x)dx圖圖a圖圖bzs s1 1xys s2 2t t1 1t tb圖圖czzsbisfy1)(ttts sz z* *為面積為面積a a* *對(duì)橫截面中性軸的對(duì)橫截面中性軸的靜矩靜矩. .21)4(2)2(22d22yhbyhbyhayayscazzy式中式中: -: -所求切應(yīng)力面上的剪力所求切應(yīng)力面上的剪力. .i iz z-整個(gè)截面對(duì)中性軸的慣性矩整個(gè)截面對(duì)中性軸的慣性矩. .s sz z* *-過(guò)所求應(yīng)力點(diǎn)橫線以外部分面積對(duì)中性軸的

12、靜矩過(guò)所求應(yīng)力點(diǎn)橫線以外部分面積對(duì)中性軸的靜矩. .b-b-所求應(yīng)力點(diǎn)處截面寬度所求應(yīng)力點(diǎn)處截面寬度. .,:即隨高度變化變化只隨則一般也不變定，、則如截面確定公式中注意zzzssbizqbisfttya*yc*sf22tt5 . 123maxafs)()4(222為二次拋物線矩yhifzstqt t方向：與橫截面上剪力方向相同 ；t t大?。貉亟孛鎸挾染鶆蚍植?，沿高度h分布為拋物線。中性軸上有最大切應(yīng)力. 為平均切應(yīng)力的1.5倍。23 二、其它截面梁橫截面上的切應(yīng)力二、其它截面梁橫截面上的切應(yīng)力工字形截面梁工字形截面梁 剪應(yīng)力分布假設(shè)仍然適用剪應(yīng)力分布假設(shè)仍然適用 橫截面上剪力；橫截面上剪力

13、；iz整個(gè)工字型截面對(duì)中性軸的慣性矩；整個(gè)工字型截面對(duì)中性軸的慣性矩；b1 腹板寬度；腹板寬度；sz*陰影線部分面積陰影線部分面積a*對(duì)中性軸的靜矩對(duì)中性軸的靜矩最大剪應(yīng)力：最大剪應(yīng)力：sfzzsbisftzzsbisfmaxmaxt24iz圓形截面對(duì)中性軸的慣性矩；圓形截面對(duì)中性軸的慣性矩；b 截面中性軸處的寬度；截面中性軸處的寬度；sz*中性軸一側(cè)半個(gè)圓形截面對(duì)中性軸的靜矩中性軸一側(cè)半個(gè)圓形截面對(duì)中性軸的靜矩圓形截面梁圓形截面梁最大剪應(yīng)力仍發(fā)生在中性軸上最大剪應(yīng)力仍發(fā)生在中性軸上:圓環(huán)截面梁圓環(huán)截面梁 zzsbisfmaxmaxtafs34maxtafs2maxt257-4 梁的切應(yīng)力強(qiáng)度

14、條件梁的切應(yīng)力強(qiáng)度條件 1 1、危險(xiǎn)面與危險(xiǎn)點(diǎn)分析：、危險(xiǎn)面與危險(xiǎn)點(diǎn)分析：最大切應(yīng)力發(fā)生在剪力絕對(duì)值最大的截面的中性軸處。qt tt tqt t262 2、切應(yīng)力強(qiáng)度條件：、切應(yīng)力強(qiáng)度條件： ttzzsibsfmaxmaxmax3 3、需要校核切應(yīng)力的幾種特殊情況：、需要校核切應(yīng)力的幾種特殊情況：鉚接或焊接的組合截面，其腹板的厚度與高度比小于型鋼的鉚接或焊接的組合截面，其腹板的厚度與高度比小于型鋼的相應(yīng)比值時(shí)，要校核切應(yīng)力。相應(yīng)比值時(shí)，要校核切應(yīng)力。梁的跨度較短，梁的跨度較短，m m 較小，而較小，而f fs s 較大時(shí)，要校核切應(yīng)力。較大時(shí)，要校核切應(yīng)力。各向異性材料（如木材）的抗剪能力較差

15、，各向異性材料（如木材）的抗剪能力較差，要校核切應(yīng)力。要校核切應(yīng)力。27注意事項(xiàng) 設(shè)計(jì)梁時(shí)必須同時(shí)滿(mǎn)足正應(yīng)力和剪應(yīng)設(shè)計(jì)梁時(shí)必須同時(shí)滿(mǎn)足正應(yīng)力和剪應(yīng)力的強(qiáng)度條件。力的強(qiáng)度條件。 對(duì)細(xì)長(zhǎng)梁，彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件是主對(duì)細(xì)長(zhǎng)梁，彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件是主要的，一般按正應(yīng)力強(qiáng)度條件設(shè)計(jì)，不需要的，一般按正應(yīng)力強(qiáng)度條件設(shè)計(jì)，不需要校核剪應(yīng)力強(qiáng)度，只有在個(gè)別特殊情況要校核剪應(yīng)力強(qiáng)度，只有在個(gè)別特殊情況下才需要校核剪應(yīng)力強(qiáng)度。下才需要校核剪應(yīng)力強(qiáng)度。28彎曲強(qiáng)度計(jì)算的步驟彎曲強(qiáng)度計(jì)算的步驟 畫(huà)出梁的剪力圖和彎矩圖畫(huà)出梁的剪力圖和彎矩圖, 確定確定|fs|max和和|m|max及其所在截面的位置，即確定危險(xiǎn)截面。注及

16、其所在截面的位置，即確定危險(xiǎn)截面。注意兩者不一定在同一截面；意兩者不一定在同一截面； 根據(jù)截面上的應(yīng)力分布規(guī)律，判斷危險(xiǎn)截面上根據(jù)截面上的應(yīng)力分布規(guī)律，判斷危險(xiǎn)截面上的危險(xiǎn)點(diǎn)的位置，分別計(jì)算危險(xiǎn)點(diǎn)的應(yīng)力，即的危險(xiǎn)點(diǎn)的位置，分別計(jì)算危險(xiǎn)點(diǎn)的應(yīng)力，即s smax和和t tmax（二者不一定在同一截面，更不在同一點(diǎn)）；（二者不一定在同一截面，更不在同一點(diǎn)）； 對(duì)對(duì)s smax和和t tmax分別采用正應(yīng)力強(qiáng)度條件和剪應(yīng)分別采用正應(yīng)力強(qiáng)度條件和剪應(yīng)力強(qiáng)度條件進(jìn)行強(qiáng)度計(jì)算，即滿(mǎn)足力強(qiáng)度條件進(jìn)行強(qiáng)度計(jì)算，即滿(mǎn)足 s smax s s , t tmax t t29解：畫(huà)內(nèi)力圖求危面內(nèi)力例例7-4.1 矩形(

17、bh=0.12m0.18m）截面木梁如圖，s=7mpa，t=0. 9 m pa，試求最大正應(yīng)力和最大切應(yīng)力之比,并校核梁的強(qiáng)度。n54002336002maxqlfsnm4050833600822maxqlmq=3.6kn/mabl=3mq2ql2ql+xx+ql2/8m30求最大應(yīng)力并校核強(qiáng)度應(yīng)力之比7 .1632maxmaxmaxhlqawmztsq=3.6kn/mq2ql2ql+x7mpa6.25mpa 18. 012. 040506622maxmaxmaxssbhmwmz0.9mpa0.375mpa 18. 012. 054005 . 15 . 1maxmaxttafsx +ql2/8

18、m31梁的應(yīng)力種類(lèi)正應(yīng)力計(jì)算應(yīng)力強(qiáng)度條件及應(yīng)用切應(yīng)力計(jì)算32作彎矩圖，尋找需要校核的截面作彎矩圖，尋找需要校核的截面 ccttssssmax,max,要同時(shí)滿(mǎn)足要同時(shí)滿(mǎn)足分析：分析： 非對(duì)稱(chēng)截面，要尋找中性軸位置非對(duì)稱(chēng)截面，要尋找中性軸位置 t t型截面鑄鐵梁，截面尺寸如圖示。型截面鑄鐵梁，截面尺寸如圖示。試校核梁的強(qiáng)度。試校核梁的強(qiáng)度。 mpa,60,mpa30ctss綜合題33mm522012020808020120102080cy（2 2）求截面對(duì)中性軸）求截面對(duì)中性軸z z的慣性矩的慣性矩462323m1064. 728120201212020422080122080zi （1 1）求截面形心）求截面形心z1yz52解：解：34（4 4）b b截面校核截面校核 ttssmpa2 .27pa102 .271