051、剛體的角動(dòng)量、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

1、第五章第五章 剛體運(yùn)動(dòng)（剛體運(yùn)動(dòng)（motion of rigid body）一）概要：實(shí)際的物體運(yùn)動(dòng)不總是可以看成質(zhì)一）概要：實(shí)際的物體運(yùn)動(dòng)不總是可以看成質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)。點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)。1）何謂剛體）何謂剛體在任何情況下形狀和大小都不發(fā)生變化的在任何情況下形狀和大小都不發(fā)生變化的力學(xué)研究對象。即每個(gè)質(zhì)元之間的距離無力學(xué)研究對象。即每個(gè)質(zhì)元之間的距離無論運(yùn)動(dòng)或受外力時(shí)都保持不變。論運(yùn)動(dòng)或受外力時(shí)都保持不變。 mi mjcrji2）剛體運(yùn)動(dòng)的兩種基本形式）剛體運(yùn)動(dòng)的兩種基本形式a平動(dòng)平動(dòng)-剛體運(yùn)動(dòng)時(shí)，剛體內(nèi)任一直線恒剛體運(yùn)動(dòng)時(shí)，剛體內(nèi)任一直線恒保持平行的運(yùn)動(dòng)保持平行的運(yùn)動(dòng) mi mj mi mj mi mj

2、 mi mj mi mj2）剛體運(yùn)動(dòng)的兩種基本形式）剛體運(yùn)動(dòng)的兩種基本形式a平動(dòng)平動(dòng)-剛體運(yùn)動(dòng)時(shí)，剛體內(nèi)任一直線恒剛體運(yùn)動(dòng)時(shí)，剛體內(nèi)任一直線恒保持平行的運(yùn)動(dòng)保持平行的運(yùn)動(dòng) mi mj mi mjirjr mi mjoijr選取參考選取參考點(diǎn)點(diǎn)o，則：，則：) 1 (ijijrrrijvvijaacrij對（對（1）式求導(dǎo)：）式求導(dǎo)： mi mj mi mj mi mj mi mj mi mj mi mj mi mj結(jié)論：結(jié)論：剛體平動(dòng)時(shí)，其上各點(diǎn)具有相同的速度、剛體平動(dòng)時(shí)，其上各點(diǎn)具有相同的速度、加速度、及相同的軌跡加速度、及相同的軌跡。只要找到一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)。只要找到一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，剛體的運(yùn)動(dòng)規(guī)

3、律便全知道了。事實(shí)上這規(guī)律，剛體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律便全知道了。事實(shí)上這一點(diǎn)已經(jīng)知道一點(diǎn)已經(jīng)知道-質(zhì)心運(yùn)動(dòng)已告訴了我們。也就質(zhì)心運(yùn)動(dòng)已告訴了我們。也就是說質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理是反映物體平動(dòng)規(guī)律。是說質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理是反映物體平動(dòng)規(guī)律。b）剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)）剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的各質(zhì)元在運(yùn)動(dòng)中都繞一固定軸作圓周運(yùn)剛體的各質(zhì)元在運(yùn)動(dòng)中都繞一固定軸作圓周運(yùn)動(dòng)，動(dòng)，稱為剛體作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。稱為剛體作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。ooc）剛體的一）剛體的一 般運(yùn)動(dòng)般運(yùn)動(dòng)蔡斯勒斯定理：剛體的任一位移總可以表示為蔡斯勒斯定理：剛體的任一位移總可以表示為一個(gè)隨固定點(diǎn)的平動(dòng)加上繞固定點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)。一個(gè)隨固定點(diǎn)的平動(dòng)加上繞固定點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)。剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)1

4、. 各點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)各點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn) 在自己的轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)作在自己的轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)作圓周運(yùn)動(dòng)圓周運(yùn)動(dòng)2. 描述的物理量描述的物理量任一質(zhì)點(diǎn)圓周運(yùn)動(dòng)的線量和角量的關(guān)系任一質(zhì)點(diǎn)圓周運(yùn)動(dòng)的線量和角量的關(guān)系轉(zhuǎn)動(dòng)平面轉(zhuǎn)動(dòng)平面zr2ntrarvarrna tar減速減速加速加速()dd rddrardtdtdtdtvrvz1m2m12xx1o2o 勻角加速轉(zhuǎn)動(dòng)公式勻角加速轉(zhuǎn)動(dòng)公式 2012tt0t22002 () 0vvat20012ssv tat22002 ()vva ss 勻變速直線運(yùn)動(dòng)公式勻變速直線運(yùn)動(dòng)公式 一）一） 剛體的角動(dòng)量及其沿定軸的分量剛體的角動(dòng)量及其沿定軸的分量剛體可以看作無數(shù)多質(zhì)點(diǎn)的集合，剛體是

5、一個(gè)質(zhì)點(diǎn)系剛體可以看作無數(shù)多質(zhì)點(diǎn)的集合，剛體是一個(gè)質(zhì)點(diǎn)系,剛剛體的角動(dòng)量體的角動(dòng)量 應(yīng)該等于各質(zhì)元角動(dòng)量的矢量和。應(yīng)該等于各質(zhì)元角動(dòng)量的矢量和。設(shè)有一以角速度設(shè)有一以角速度 繞繞oz軸旋轉(zhuǎn)的均勻細(xì)棒，軸旋轉(zhuǎn)的均勻細(xì)棒，t時(shí)刻正好位于幕平面內(nèi)，時(shí)刻正好位于幕平面內(nèi)，現(xiàn)將棒分割成許多質(zhì)元現(xiàn)將棒分割成許多質(zhì)元nimmmm21,oz先研究一個(gè)質(zhì)元先研究一個(gè)質(zhì)元im對對o點(diǎn)的角動(dòng)量點(diǎn)的角動(dòng)量 m i iiiivrmliriviril 4-1 剛體的角動(dòng)量剛體的角動(dòng)量 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 angular momentum. moment of inertia先研究一個(gè)質(zhì)元先研究一個(gè)質(zhì)元im對對o點(diǎn)的角動(dòng)量點(diǎn)

6、的角動(dòng)量 m iiiiivrmlirivil m j jljvozljririv iril之大小之大小iiniivrml1l故棒的總角動(dòng)量故棒的總角動(dòng)量 大?。捍笮。篿iiivrml 方向如圖，方向如圖，可見角動(dòng)量不一定與可見角動(dòng)量不一定與z軸方向相同軸方向相同。ivoz m i iril m j lizlirizl但我們感興趣的是研究定但我們感興趣的是研究定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，即要研究角動(dòng)量軸轉(zhuǎn)動(dòng)，即要研究角動(dòng)量在在z軸的分量軸的分量)(2iiizzrmllcosiiivrm故：故：cosiizll2iirm)(iiiirrm則剛體對則剛體對z z軸的角動(dòng)量軸的角動(dòng)量jlz稱為剛體對稱為剛體對z z軸的

7、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量2iirmj令m二）轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算二）轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算對質(zhì)量連續(xù)分布的剛體則應(yīng)無限分割對質(zhì)量連續(xù)分布的剛體則應(yīng)無限分割niiinrmj12limmdmr2注意注意：dm為質(zhì)元質(zhì)量，為質(zhì)元質(zhì)量，r為質(zhì)元到轉(zhuǎn)軸之間為質(zhì)元到轉(zhuǎn)軸之間的垂直距離。的垂直距離。則剛體對則剛體對z z軸的角動(dòng)量軸的角動(dòng)量jlz稱為剛體對稱為剛體對z z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量2iirmj令imr2iirmj233222211rmrmrmjzjlzvmrlimniiinrmj12limmdmr2imr回顧回顧: :質(zhì)點(diǎn)對一參考點(diǎn)的角動(dòng)量質(zhì)點(diǎn)對一參考點(diǎn)的角動(dòng)量對一個(gè)質(zhì)點(diǎn)系對一個(gè)質(zhì)點(diǎn)系:角動(dòng)量在轉(zhuǎn)軸上的分量角動(dòng)

8、量在轉(zhuǎn)軸上的分量:1m2m3m1r2r3r對質(zhì)量連續(xù)的剛體對質(zhì)量連續(xù)的剛體:例例1）求質(zhì)量為求質(zhì)量為m,長為長為l的均勻細(xì)棒對下面三種的均勻細(xì)棒對下面三種 轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：轉(zhuǎn)軸通過棒的中心轉(zhuǎn)軸通過棒的中心o并與棒垂直并與棒垂直轉(zhuǎn)軸通過棒的一端轉(zhuǎn)軸通過棒的一端b并與棒垂直并與棒垂直轉(zhuǎn)軸通過棒上距質(zhì)心為轉(zhuǎn)軸通過棒上距質(zhì)心為h的一點(diǎn)的一點(diǎn)a 并與棒垂直并與棒垂直ho質(zhì)質(zhì)baxdxxdm已知已知：l、m求：求：jo、jb、ja解：解：以棒中心為原點(diǎn)建立坐標(biāo)以棒中心為原點(diǎn)建立坐標(biāo)ox、將棒分、將棒分割割 成許多質(zhì)元成許多質(zhì)元dm.dxdmlm/dxdmlm/22222llodxxdmxd

9、mrj求：求：jo2312112mllho質(zhì)質(zhì)baxdml求：求：jbdmxldmrjb22)2(23313mll2/2/2)2/(lldxxldxxdxdmlm/ho質(zhì)質(zhì)baxdmldmrja2求求jalhl23122/2/2)(lldxxh22121mhml 2mh222)2(12131lmmlmljjob222121)121(mlmhmljjoa注意：注意：dxx2mh222)()2(12131lmmlmljjob質(zhì)心222)(121)121(mlmhmljjoa質(zhì)心或：或：2)2(lmjjcb2mhjjca注意：注意：dxdmlm/ho質(zhì)質(zhì)baxdmldxx平行軸定理平行軸定理：剛體對

10、任一軸：剛體對任一軸a的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量ja和和通過質(zhì)心軸通過質(zhì)心軸c并與并與a軸平行的轉(zhuǎn)軸平行的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量動(dòng)慣量jc有如下關(guān)系：有如下關(guān)系：2mdjjcam為剛體的質(zhì)量、為剛體的質(zhì)量、d為軸為軸a與軸與軸c之間的垂直距離之間的垂直距離 例題例題2）半徑為半徑為r的質(zhì)量均勻分布的細(xì)圓環(huán)及薄的質(zhì)量均勻分布的細(xì)圓環(huán)及薄圓盤，質(zhì)量均為圓盤，質(zhì)量均為m，試分別求出對通過質(zhì)心并，試分別求出對通過質(zhì)心并與環(huán)面或盤面垂直的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。與環(huán)面或盤面垂直的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。rmcadr解：解：1）細(xì)圓環(huán)）細(xì)圓環(huán)dldmrdllcdlrdmrj222222mrrrdlrl2）薄圓盤）薄圓盤rdrr2drrdrd

11、s2drrdmrdj322rdrdsdm2drrdjjrmc3022）薄圓盤薄圓盤r2rdrds2drrdmrdj322rdrdsdm2424rdrrdr221mr4242rrm討論：決定轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的因素討論：決定轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的因素ho質(zhì)質(zhì)bax3）：）：剛體轉(zhuǎn)軸的位置剛體轉(zhuǎn)軸的位置。 （如例（如例1中長細(xì)棒對不中長細(xì)棒對不 同的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量）同的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量）1）：）：剛體的質(zhì)量剛體的質(zhì)量；2）：）：剛體的質(zhì)量分布剛體的質(zhì)量分布； （如例（如例2中的圓中的圓 環(huán)環(huán) 與圓盤的不同）；與圓盤的不同）；stop here!例例3）求一質(zhì)量為）求一質(zhì)量為m的均勻?qū)嵭那驅(qū)ζ湟粭l直徑的均勻?qū)嵭那驅(qū)ζ湟粭l直徑為軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。為軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。解：一球繞解：一球繞z軸旋轉(zhuǎn)，離球軸旋轉(zhuǎn)，離球心心z高處切