剛體轉(zhuǎn)動(dòng)及角動(dòng)量守恒課件

1、剛體轉(zhuǎn)動(dòng)及角動(dòng)量守恒剛體運(yùn)動(dòng)的分類 剛體：形狀固定的質(zhì)點(diǎn)系（含無(wú)數(shù)質(zhì)點(diǎn)、不形變、理想固體。）平 動(dòng) 剛體任意兩點(diǎn)的連線保持方向不變。各點(diǎn)的 相同，可當(dāng)作質(zhì)點(diǎn)處理。定軸轉(zhuǎn)動(dòng) 剛體每點(diǎn)繞同一軸線作圓周運(yùn)動(dòng)，且轉(zhuǎn)軸空間位置及方向不變。平面運(yùn)動(dòng) 剛體質(zhì)心限制在一平面內(nèi)，轉(zhuǎn)軸可平動(dòng)，但始終垂直于該平面且通過質(zhì)心定點(diǎn)運(yùn)動(dòng) 剛體上各質(zhì)點(diǎn)都以某一定點(diǎn)為球心的各個(gè)球面上運(yùn)動(dòng)。一般運(yùn)動(dòng) 復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)與平動(dòng)的混合。定軸轉(zhuǎn)動(dòng)參量剛體轉(zhuǎn)軸1. 角位置轉(zhuǎn)動(dòng)平面（包含p并與轉(zhuǎn)軸垂直）(t)(t+t)參考方向剛體中任一點(diǎn)剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程2. 角位移3. 角速度常量靜止勻角速變角速4. 角加速度變角加速常量 勻角加速勻角速

2、用矢量表示 或 時(shí)，它們與 剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)方向采用右螺旋定則 轉(zhuǎn)動(dòng)方程求導(dǎo)例題單位：rad-1rad s-2rad srad 50p 51p 52p 53p1rad stsrad100p150pst 50p p 2rad stsp-1rad s-2rad s勻 變 角 速 定 軸 轉(zhuǎn) 動(dòng)積分求轉(zhuǎn)動(dòng)方程任意時(shí)刻的恒量且 t = 0 時(shí) 得得或勻變角速定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角位移方程勻變角速定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程線量與角量的關(guān)系定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體在某時(shí)刻t 的瞬時(shí)角速度為 ，瞬時(shí)角加速度為 ，剛體中一質(zhì)點(diǎn)P至轉(zhuǎn)軸的距離為r質(zhì)點(diǎn)P 的大小 瞬時(shí)線速度瞬時(shí)切向加速度瞬時(shí)法向加速度這是定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中線量線量與角量角量的基本關(guān)系公式對(duì)

3、比質(zhì)點(diǎn)直線運(yùn)動(dòng)或剛體平動(dòng)剛 體 的 定 軸 轉(zhuǎn) 動(dòng)速度速度角速度角速度加速度加速度角加速度角加速度位移位移角位移角位移勻速直線運(yùn)動(dòng)勻速直線運(yùn)動(dòng)勻角速定軸轉(zhuǎn)動(dòng)勻角速定軸轉(zhuǎn)動(dòng)勻變速直線運(yùn)動(dòng)勻變速直線運(yùn)動(dòng)勻變角速定軸轉(zhuǎn)動(dòng)勻變角速定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)定律引言質(zhì) 點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)定律或剛體平動(dòng)F = m a慣性質(zhì)量慣性質(zhì)量合合 外外 力力合加速度合加速度若剛體作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，服從怎樣的運(yùn)動(dòng)定律？若剛體作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，服從怎樣的運(yùn)動(dòng)定律？主要概念使剛體產(chǎn)生轉(zhuǎn)動(dòng)效果的合外力矩剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)定律剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量合外力矩 外力在轉(zhuǎn)動(dòng)平面上對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩使剛體發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)M = r F111力矩切向1Ft tFrM叉乘右螺旋1M2MM = r

4、F222M = r F sin j j222大小2r2=2Ft td2=2F1M2M合外力矩=M+d22F大小M=d11F=r22Ft tr11Ft tr1=1Ft tM = r F sin j j111大小1d1=1Fj j1d1r1F1P1OF2r22Ft tP2j j2d2切向方向轉(zhuǎn)動(dòng)定律某質(zhì)元fi受內(nèi)力受外力FiFi+ f =aii其法向n 分量均通過轉(zhuǎn)軸，不產(chǎn)生轉(zhuǎn)動(dòng)力矩。t t其切向投影式為ij jFisin+if sinq qit t=ai=rib bt tnFiOrifiij jq qi瞬時(shí)角速度角加速度瞬時(shí)等式兩邊乘以 ri 并對(duì)所有質(zhì)元及其所受力矩求和=內(nèi)力矩成對(duì)抵消= 0+

5、riifsinq qiiFij jsinri合外力矩 Mb bri得Mb bri=轉(zhuǎn)動(dòng)慣量某質(zhì)元fi受內(nèi)力受外力FiFi+ f =aii其法向n 分量均通過轉(zhuǎn)軸，不產(chǎn)生轉(zhuǎn)動(dòng)力矩。t t其切向投影式為ij jFisin+if sinq qit t=ai=rib bt tnFiOrifiij jq qi瞬時(shí)角速度角加速度瞬時(shí)等式兩邊乘以 ri 并對(duì)所有質(zhì)元及其所受力矩求和=內(nèi)力矩成對(duì)抵消= 0+riifsinq qiiFij jsinri合外力矩 Mb bri得Mb bri=Mb bri=與剛體性質(zhì)及質(zhì)量分布有關(guān)的物理量，用 表示稱為 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)定律即剛體所獲得的角加速度 的大小

6、與剛體受到的 合外力矩 的大小成正比，與剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 成反比。轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算Mb b=I將剛體轉(zhuǎn)動(dòng)定律與質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)定律F=am對(duì)比轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 是剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣性的量度II 與剛體的質(zhì)量、形狀、大小及質(zhì)量對(duì)轉(zhuǎn)軸的分布情況有關(guān)質(zhì)量連續(xù)分布的剛體用積分求I 為體積元 處的密度II的單位為分立質(zhì)點(diǎn)的算例可視為分立質(zhì)點(diǎn)結(jié)構(gòu)的剛體轉(zhuǎn)軸 若連接兩小球（視為質(zhì)點(diǎn)）的輕細(xì)硬桿的質(zhì)量可以忽略，則轉(zhuǎn)軸0.75直棒算例質(zhì)量連續(xù)分布的剛體勻直細(xì)桿對(duì)中垂軸的勻直細(xì)桿對(duì)端垂軸的質(zhì)心新軸質(zhì)心軸平行移軸定理平行移軸定理對(duì)對(duì)新軸新軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量對(duì)質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量對(duì)質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量新軸新軸對(duì)心軸的平移量對(duì)心軸的平移量例如：例如：

7、時(shí)時(shí)代入可得代入可得端圓盤算例勻質(zhì)薄圓盤對(duì)心垂軸的 取半徑為 微寬為 的窄環(huán)帶的質(zhì)量為質(zhì)元球體算例勻質(zhì)實(shí)心球?qū)π妮S的可看成是許多半徑不同的共軸薄圓盤的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 的迭加距 為 、半徑為 、微厚為的薄圓盤的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為其中常用結(jié)果LRmm勻質(zhì)薄圓盤勻質(zhì)薄圓盤勻質(zhì)細(xì)直棒勻質(zhì)細(xì)直棒轉(zhuǎn)軸通過中心垂直盤面22I =m R123I =m L1轉(zhuǎn)軸通過端點(diǎn)與棒垂直其它典型勻質(zhì)矩形薄板轉(zhuǎn)軸通過中心垂直板面I = (a + b ) 22m12勻質(zhì)細(xì)圓環(huán)轉(zhuǎn)軸通過中心垂直環(huán)面I = m R 2勻質(zhì)細(xì)圓環(huán)轉(zhuǎn)軸沿著環(huán)的直徑2I =2m R勻質(zhì)厚圓筒轉(zhuǎn)軸沿幾何軸I = (R1 + R2 ) 22m2勻質(zhì)圓柱體轉(zhuǎn)軸通過中心垂直

8、于幾何軸mI = R + 22m124L勻質(zhì)薄球殼轉(zhuǎn)軸通過球心2I =2m R3轉(zhuǎn)動(dòng)定律例題一合外力矩 應(yīng)由各分力矩進(jìn)行合成 。 合外力矩 與合角加速度 方向一致。在定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中，可先設(shè)一個(gè)正軸向（或繞向），若分力矩與此向相同則為正，反之為負(fù)。與時(shí)刻對(duì)應(yīng)，何時(shí)何時(shí)則何時(shí) ，則何時(shí)恒定恒定。 勻直細(xì)桿一端為軸水平靜止釋放轉(zhuǎn)動(dòng)定律例題二T1T2a（以后各例同）Rm1m2m輪軸無(wú)摩擦輕繩不伸長(zhǎng)輪繩不打滑T2T1G1G2T2T1a ab b T1 m1 g = m1am2 g T2 = m2a( T2 T1 ) R = Ib b a = Rb bI = m R 22轉(zhuǎn)動(dòng)平動(dòng)線-角聯(lián)立解得a=m1m1+

9、m2+ gm2m21gT1 = m1 ( g + a )T2 = m2 ( g a )m1 gm2 g如果考慮有轉(zhuǎn)動(dòng)摩擦力矩 Mr ,則 轉(zhuǎn)動(dòng)式為( T2 T1 ) R Mr= Ib b再聯(lián)立求解。轉(zhuǎn)動(dòng)定律例題三Rm1m細(xì)繩纏繞輪緣Rm（A）（B）恒力F滑輪角加速度 b b細(xì)繩線加速度 a（A）（B）轉(zhuǎn)動(dòng)定律例題四Rm1m2mm= 5kgm2= 1kg m1= 3kgR = 0.1mT2T1T1T2G1G2b baa對(duì)對(duì)m1m2m分別應(yīng)用分別應(yīng)用和和質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)和剛體轉(zhuǎn)動(dòng)定律質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)和剛體轉(zhuǎn)動(dòng)定律m1 g T1 = m1aT2 m2 g = m2a( T1 T2 ) R = Ib b及 a = R

10、b bI = mR221得b b =(m1-m2)gR(m1+ m2+ m 2)常量(m1-m2)gR(m1+ m2+ m 2)故由(m1-m2)gR(m1+ m2+ m 2)2 (rad)gt物體從靜止開始運(yùn)動(dòng)時(shí)，滑輪的 轉(zhuǎn)動(dòng)方程轉(zhuǎn)動(dòng)定律例題五q qq q 從等傾角 處?kù)o止釋放兩勻直細(xì)桿地面兩者瞬時(shí)角加速度之比兩者瞬時(shí)角加速度之比213q q1q q1321根據(jù)短桿的角加速度大短桿的角加速度大且與勻質(zhì)直桿的質(zhì)量無(wú)關(guān)且與勻質(zhì)直桿的質(zhì)量無(wú)關(guān)轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能剛體中任一質(zhì)元 的速率該質(zhì)元的動(dòng)能對(duì)所有質(zhì)元的動(dòng)能求和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 II得得力矩的功力力 的元功的元功力對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)剛體所作的功用力矩的功來(lái)計(jì)算力對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)剛體所作

11、的功用力矩的功來(lái)計(jì)算若在某變力矩 的作用下，剛體由 轉(zhuǎn)到 ，作的總功為作的總功為力矩的瞬時(shí)功率力矩的瞬時(shí)功率力矩的功算例撥動(dòng)圓盤轉(zhuǎn)一周，摩擦阻力矩的功的大小總摩擦力矩 是各微環(huán)帶摩擦元力矩 的積分環(huán)帶面積環(huán)帶質(zhì)量環(huán)帶受摩擦力環(huán)帶受摩擦力矩圓盤受總摩擦力矩 轉(zhuǎn)一周摩擦力矩的總功得粗 糙 水 平 面轉(zhuǎn)軸平放一圓盤剛體的動(dòng)能定理回憶質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理由由 力矩的元功力矩的元功轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)定律則則合外力矩的功合外力矩的功轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的增量轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的增量稱為動(dòng)能定理例題一勻質(zhì)圓盤盤緣另固連一質(zhì)點(diǎn)水平靜止釋放通過盤心垂直盤面的水平軸圓盤下擺 時(shí)質(zhì)點(diǎn) 的角速度、切向、法向加速度的大小對(duì)系統(tǒng)外力矩的

12、功系統(tǒng)轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能增量其中得由轉(zhuǎn)動(dòng)定律得則動(dòng)能定理例題二外力矩作的總功從水平擺至垂直由得代入得本題利用的關(guān)系還可算出此時(shí)桿上各點(diǎn)的線速度水平位置靜止釋放擺至垂直位置時(shí)桿的勻直細(xì)桿一端為軸動(dòng)能定理例題三段，外力矩作正功段，外力矩作負(fù)功合外力矩的功從水平擺至垂直由得轉(zhuǎn)軸對(duì)質(zhì)心軸的位移 代入得擺至垂直位置時(shí)桿的水平位置靜止釋放含平動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)問題機(jī)械外力非保守內(nèi)力矩力力矩動(dòng)勢(shì)動(dòng)勢(shì)平動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)平動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)系統(tǒng)（輪、繩、重物、地球）右例忽略摩擦外力力矩非保守內(nèi)力矩力平動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)勢(shì)平動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)勢(shì)可求或此外勢(shì)剛體的角動(dòng)量定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量是無(wú)數(shù)質(zhì)點(diǎn)對(duì)公共轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量的疊加 所有質(zhì)點(diǎn)都以其垂軸距離為半徑作圓周運(yùn)動(dòng)任一質(zhì)元（視為質(zhì)點(diǎn)

13、）的質(zhì)量其角動(dòng)量大小全部質(zhì)元的總角動(dòng)量對(duì)質(zhì)量連續(xù)分布的剛體剛體的角動(dòng)量定理合外力矩合外力矩角動(dòng)量的時(shí)間變化率角動(dòng)量的時(shí)間變化率（微分形式）（積分形式）沖量矩沖量矩角動(dòng)量的增量角動(dòng)量的增量回憶質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理（微分形式）（積分形式）剛體系統(tǒng)的角動(dòng)量定理若一個(gè)系統(tǒng)包含多個(gè)共軸剛體或平動(dòng)物體系統(tǒng)的總合外力矩系統(tǒng)的總合外力矩 系統(tǒng)的總角動(dòng)量的變化率系統(tǒng)的總角動(dòng)量的變化率系統(tǒng)的總沖量矩系統(tǒng)的總沖量矩系統(tǒng)的總角動(dòng)量增量系統(tǒng)的總角動(dòng)量增量系統(tǒng)： 輕繩（忽略質(zhì)量）總合外力矩對(duì)O的角動(dòng)量對(duì)O的角動(dòng)量由得同向而解得例如例如靜止釋放求角加速度主要公式歸納（微分形式）（積分形式）是矢量式與質(zhì)點(diǎn)平動(dòng)對(duì)比剛體的角動(dòng)量守恒

14、定律由剛體所受合外力矩若則即 當(dāng)剛體所受的合外力矩 等于零時(shí)， 剛體的角動(dòng)量 保持不變。角動(dòng)量守恒的另一類現(xiàn)象角動(dòng)量守恒的另一類現(xiàn)象變小則變大，乘積保持不變，變大則變小。收臂大小 用外力矩用外力矩啟動(dòng)轉(zhuǎn)盤后啟動(dòng)轉(zhuǎn)盤后撤除外力矩撤除外力矩張臂大小花樣滑冰中常見的例子角動(dòng)量守恒的另一類現(xiàn)象變小則變大，乘積保持不變，變大則變小。收臂大小 用外力矩用外力矩啟動(dòng)轉(zhuǎn)盤后啟動(dòng)轉(zhuǎn)盤后撤除外力矩撤除外力矩張臂大小花 樣 滑 冰收臂大小張臂大小先使自己轉(zhuǎn)動(dòng)起來(lái)收臂大小守恒例題一A、B兩輪共軸A以w wA A作慣性轉(zhuǎn)動(dòng) 以A、B為系統(tǒng)，忽略軸摩擦，脫離驅(qū)動(dòng)力矩后，系統(tǒng)受合外力矩為零，角動(dòng)量守恒。初態(tài)角動(dòng)量末態(tài)角動(dòng)量得兩輪嚙合后一起作慣性轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度w wABAB守恒例題二以彈、棒為系統(tǒng)擊入階段子彈擊入木棒瞬間，系統(tǒng)在鉛直位置，受合外力矩為零，角動(dòng)量守恒。該瞬間之始該瞬間之末彈棒彈棒彈嵌于棒子彈上擺最大轉(zhuǎn)角木棒上擺階段彈嵌定于棒內(nèi)與棒一起上擺，非保守內(nèi)力的功為零