第8章第45講直線的斜率與直線的方程

1、求直線的方程求直線的方程 【例1】 本題考查直線方程的基礎(chǔ)知識(shí)和基本方法，主要考查點(diǎn)斜式和兩點(diǎn)式第(1)問已知直線過一定點(diǎn)，傾斜角又是已知直線的傾斜角的一半，用三角函數(shù)公式可以把它們的斜率聯(lián)系起來，故而想到設(shè)點(diǎn)斜式方便一些應(yīng)該注意的是，傾斜角是另一直線的傾斜角的一半，并不意味著斜率也是一半！本小題方法較多第一種方法是：設(shè)點(diǎn)a(x，y)在l1上，則點(diǎn)a關(guān)于點(diǎn)p的對(duì)稱點(diǎn)b(6x，y)在l2上，代入l2的方程，聯(lián)立求得交點(diǎn)，從而求得直線方程【變式練習(xí)1】基本不等式與直線方基本不等式與直線方程的綜合問題程的綜合問題 【例2】 (1)截距相等，包括過原點(diǎn)的情形；(2)應(yīng)用基本不等式求最值一定要注意條件的

2、驗(yàn)證【變式練習(xí)2】已知直線l過點(diǎn)m(1,1)，且與x軸的正半軸交于a點(diǎn)，與y軸的正半軸交于b點(diǎn)，o是坐標(biāo)原點(diǎn)求：(1)當(dāng)|oa|ob|取得最小值時(shí)，直線l的方程； (2)當(dāng)|ma|2|mb|2取得最小值時(shí)，直線l的方程 1(00).111,1111()()222424.210 xylababoaa obblmaboaobabababbab aaba bbaaboaobablxy依題意，設(shè)直線 的方程為 ，則 ，因?yàn)橹本€ 過點(diǎn)，所以 ，所以 ，當(dāng)且僅當(dāng)，即 時(shí)，取得最小值所以直線 的方程為【】析解 222.0.1,11(1)10(10)0(0,1)11(11)121lkklmlyk xyakxb

3、kmakk設(shè)直線 的斜率為由題意知因?yàn)橹本€ 過點(diǎn)，所以直線 的方程為 當(dāng) 時(shí)，得 點(diǎn)的坐標(biāo)是 ，；當(dāng) 時(shí)，得 點(diǎn)的坐標(biāo)是因?yàn)?2222222222222|1(11)1112()224114.1( 1) (1)20.mbkkmambkkkkkkkmamblyxxy ，所以 ，當(dāng)且僅當(dāng)=，即 時(shí)，取得最小值所以直線 的方程為 ，即 直線方程的應(yīng)用直線方程的應(yīng)用 【例3】某房地產(chǎn)公司要在荒地abcde(如圖)上劃出一塊長(zhǎng)方形地面(不改變方位)建造一幢商業(yè)住宅已知bc70 m，cd80 m，de100 m，ea60 m，問如何設(shè)計(jì)才能使住宅樓占地面積最大？并求出最大面積(精確到1 m2) 0,2030

4、,01.30202()20.32(100)m80(20)m,3ababxyabpxyyxpcddefgpfdgxx如圖建立直角坐標(biāo)系，則，故線段所在的直線方程為設(shè)線段上一點(diǎn) 的坐標(biāo)為 ， ，則 由 分別向、作垂線，垂足分別為 、 ，則得到長(zhǎng)方形，其邊長(zhǎng)分別為和【解析】22222(100)80(20)3220600033250(5)6000(030)335056017 m .350(5)6017 m .3pfdgsxxxxxxxyp則長(zhǎng)方形的面積所以，當(dāng) ， 時(shí)，其面積最大，為即當(dāng)，時(shí)，長(zhǎng)方形的面積最大，為 本題是一個(gè)生活實(shí)際問題，解法不只一種像上面這樣利用直線方程來解決是比較好的一種方法因?yàn)橐?/p>

5、使得占地面積盡可能地大，線段ab上不取點(diǎn)是不現(xiàn)實(shí)的，而線段ab所在的直線方程可以用截距式很方便地寫出，p點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)x、y滿足，就可以消去一個(gè)未知量了，何樂而不為呢？ 13020 xy【變式練習(xí)3】已知直線l：kxy12k0(kr)(1)證明：直線l過定點(diǎn)；(2)若直線l不經(jīng)過第四象限，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；(3)若直線l與x軸的負(fù)半軸交于a點(diǎn)，與y軸的正半軸交于b點(diǎn)，o是坐標(biāo)原點(diǎn)，aob的面積為s，求s的最小值，并求此時(shí)直線l的方程 1(2)(2)(1)0202,101(2,1)21.00.2100)lxkyxxyyllykxklkkkk 【解析】 證明：將直線 的方程化為 令解得即直線 過

6、定點(diǎn) 將直線 的方程化為： 欲使直線 不經(jīng)過第四象限，必須,即所以實(shí)數(shù) 的取值范圍是 ， 2120.0120012 .0.1201212 .1443111222 224222211222240.kkyxkkxxykkkykkoaobkkkksoa obkkkkkkkklxy顯然 存在且不為 當(dāng) 時(shí)， ；當(dāng) 時(shí)， 由題意，所以 所以， 所以 當(dāng)且僅當(dāng)，即 時(shí)，上式等號(hào)成立所以此時(shí)直線 的方程為 1.m為任意實(shí)數(shù)時(shí)，直線(m1)x(2m1)ym5必經(jīng)過定點(diǎn)_. (9，4)(21)(5)02109504(94)m xyxyxyxxyy 由直線得： ，所以有，解得故直線必經(jīng)過定點(diǎn) ，【析解】2.231

7、06 4.mxym 若直線 的傾斜角， ，則實(shí)數(shù) 的取值范圍是_3322 ，3tan16 4332331.3322kmm 因?yàn)椋?，所以，即，所以【解析】3.已知直線l被坐標(biāo)軸截得線段中點(diǎn)是(1，3)，則直線l的方程是_.3xy602,0(06)026360.lxylxy直線 與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為、， ，故由截距式可求直線 的方程是 ，即 【】解析 本節(jié)內(nèi)容主要從兩個(gè)方面考查： 一是如何利用題目給出的條件求直線方程，多用待定系數(shù)法，需要仔細(xì)審題，判明設(shè)直線方程的哪一種形式更為方便，并且要分類討論，考慮周全，以免漏解； 二是直線方程的應(yīng)用，包括用直線方程解決實(shí)際問題，也包括給出一個(gè)含參數(shù)的直線方

8、程，根據(jù)條件討論參數(shù)的取值范圍等 1用待定系數(shù)法求直線方程時(shí)，要考慮特殊情形，以防丟解下面列出直線方程的形式及注意事項(xiàng)： 名稱條件方程注意事項(xiàng)點(diǎn)斜式已知直線的斜率為k且過點(diǎn)(x0，y0)yy0k(xx0)記得把直線xx0“撿回來”斜截式已知直線的斜率為k、縱截距為bykxb記得把k不存在的直線“撿回來”名稱條件方程注意事項(xiàng)兩點(diǎn)式已知直線過兩點(diǎn)(x1，y1)、(x2，y2)記得把直線xx1和直線yy1“撿回來”截距式直線在x、y軸上的截距分別是a、b記得把過原點(diǎn)的直線及平行于坐標(biāo)軸的直線“撿回來”112121yyxxyyxx1xyab 2.用待定系數(shù)法求直線方程的步驟：(1)根據(jù)判斷，設(shè)所求直線方程的一種形式；(2)由條件建立所求參數(shù)的方程；(3)解方程(組)求出參數(shù)；(4)把參數(shù)值代入所設(shè)直線方程，最后將直線方程化為一般式 212121 3()tan()20)2()2yykxxxxkkk求斜率一般有兩種方法：，已知直線上兩點(diǎn)，根據(jù)斜率公式 求斜率；，已知直線的傾斜角 或 的三角函數(shù)值，根據(jù) 求斜率，此類問題常與三角函數(shù)知識(shí)聯(lián)系在一起當(dāng)傾斜角， 時(shí)，斜率 隨 的增大而增大，當(dāng)傾斜角，時(shí)，