9講-中心力場(chǎng)徑向方程

1、1量子力學(xué)量子力學(xué)光電子學(xué)科與工程學(xué)院光電子學(xué)科與工程學(xué)院劉勁松劉勁松第九講第九講力學(xué)量完全集與守恒量力學(xué)量完全集與守恒量中心力場(chǎng)的徑向方程中心力場(chǎng)的徑向方程20、中心力場(chǎng)中的波函數(shù)（、中心力場(chǎng)中的波函數(shù)（1）+rrerV2)(氫原子中，電子的勢(shì)能函數(shù)：氫原子中，電子的勢(shì)能函數(shù)：半徑。為BohraraererV02022, 10 ,)(堿金屬原子中，電子的勢(shì)能函數(shù)：堿金屬原子中，電子的勢(shì)能函數(shù)：它們都是球?qū)ΨQ的，稱之為中心力場(chǎng)。它們都是球?qū)ΨQ的，稱之為中心力場(chǎng)。30、中心力場(chǎng)中的波函數(shù)（、中心力場(chǎng)中的波函數(shù)（2）ErVrlrrrrlrrrrlrrrrprVrVrVpHHamiltonrV)(2

2、2)()(2)(2)(222222222222222222222能量本征方程標(biāo)：的球?qū)ΨQ性，采用球坐考慮到為中運(yùn)動(dòng)，則的粒子在中心勢(shì)設(shè)質(zhì)量為cossinrx sinsinry cosrz ？和本征值如何確定本征態(tài)E4目錄目錄一、態(tài)疊加原理與力學(xué)量完全集一、態(tài)疊加原理與力學(xué)量完全集二、守恒量與力學(xué)量完全集二、守恒量與力學(xué)量完全集三、守恒量與能級(jí)簡并三、守恒量與能級(jí)簡并四、中心力場(chǎng)的徑向方程四、中心力場(chǎng)的徑向方程5一、態(tài)疊加原理與力學(xué)量完全集（一、態(tài)疊加原理與力學(xué)量完全集（1）nnnnnnnnnnnaadraaAA1|,|,1223*且的概率是體系處于其中，函數(shù)可表示為描述體系狀態(tài)的任一波和的本征

3、函數(shù)和本征值為設(shè)算符、態(tài)疊加原理的回顧6一、態(tài)疊加原理與力學(xué)量完全集（一、態(tài)疊加原理與力學(xué)量完全集（2）22/2*32(1)1:(1/2),0,1,2,3,:( )(),0,1,2,na xnnnnnnnnnEnnxA eHax naadr 、波函數(shù)的展開（）對(duì)一維諧振子，能量本征值本征函數(shù)構(gòu)成一組正交歸一完備函數(shù)，任一函數(shù)可按來展開，即其中，展開系數(shù)7一、態(tài)疊加原理與力學(xué)量完全集（一、態(tài)疊加原理與力學(xué)量完全集（3）/2(2)(1):(2)1( ),21( )()( )()21()( )2xxxxxixppxixpxpxxxixpxxepxpx dpp edppx edx 、波函數(shù)的展開一維諧

4、振子 離散情況。 動(dòng)量本征態(tài)，連續(xù)情況本征函數(shù)為本征值（）它們也能構(gòu)成正交完備態(tài)矢，因?yàn)閺臄?shù)學(xué)上講，按傅立葉展開定理，任何平方可積函數(shù)均可展開如下：其中，展開系數(shù)為從態(tài)疊加原理出發(fā)：是描述體系狀態(tài)的一個(gè)波函數(shù)8一、態(tài)疊加原理與力學(xué)量完全集（一、態(tài)疊加原理與力學(xué)量完全集（4）何？那么，存在簡并時(shí)，如的概率。下測(cè)得在狀態(tài)其中，均可展開如下：何狀態(tài)一完備態(tài)矢，系統(tǒng)的任能構(gòu)成一組正交歸都是不簡并的，則如果的本征態(tài)與本征值，是算符和）一般情況：（動(dòng)量本征態(tài)：連續(xù)譜離散譜。對(duì)一維諧振子、波函數(shù)的展開1|,)(,3)2(:) 1 ()3(2223*nnnnnnnnnnnnnaAadraaxAAA9一、態(tài)疊加

5、原理與力學(xué)量完全集（一、態(tài)疊加原理與力學(xué)量完全集（5）dkxkkxxECeCeEmkECempHEikxEikxEikxEx),()()(),(2/,2/)4(:) 3()2(:) 1 ()4(2222一般情況下，則是二重簡并的本征值兩個(gè)本征態(tài)和本征值本征態(tài)況一維自由粒子：簡并情不簡并；一般情況動(dòng)量本征態(tài)：連續(xù)譜離散譜；對(duì)一維諧振子、波函數(shù)的展開10一、態(tài)疊加原理與力學(xué)量完全集（一、態(tài)疊加原理與力學(xué)量完全集（6）*222(5)( ),( )( )( , )|0EEEikxEikxExxkk x dkECedCed 、波函數(shù)的展開如果本征值 是簡并的，則一般情況下，為什么？是因?yàn)閷儆谕粋€(gè)本征值

6、的本征態(tài)之間的正交性得不到保證。例如，一維自由粒子，兩個(gè)本征態(tài)，則11一、態(tài)疊加原理與力學(xué)量完全集（一、態(tài)疊加原理與力學(xué)量完全集（7）2(6)( ),( )( )( , ),0,(,)12ikxEikxEEkCeHCexxkk x dkH AH AEA、波函數(shù)的展開注意一維自由粒子的本征態(tài)是哈密頓算符的本征態(tài)。對(duì)來說，雖然對(duì)于但是 可以尋找另外的算符A 若則有可能用A的本征值對(duì)的共同本征函數(shù)進(jìn)行分類，從而使同一個(gè)對(duì)應(yīng)的簡并態(tài)之間的正交性得到保證。問題是，、能找到這樣的 嗎？ 、如何進(jìn)行分類？12一、態(tài)疊加原理與力學(xué)量完全集（一、態(tài)疊加原理與力學(xué)量完全集（8）dkkxkCxdkkxkCxxkxk

7、xmkEkxCpmkEkxCppPPPHPHP)cos()()()sin()()(),()cos()sin(2/),sin(1,2/),cos(1110,)7(22222或有是正交歸一完備的，和奇宇稱偶宇稱，可將他們劃分為兩類和的本征值按不簡并和兩個(gè)共同本征函數(shù)：擁有和，為宇稱算符，不難證明設(shè)、波函數(shù)的展開奇偶奇偶13一、態(tài)疊加原理與力學(xué)量完全集（一、態(tài)疊加原理與力學(xué)量完全集（9）1231232223(,),(,)(1),kkkkklmlmzklmzlmlmA A A AaA A Al Yl lYllYl Ym Yklm k 、力學(xué)量完全集設(shè)有一組彼此對(duì)易的厄密算符，它們擁有共同本征函數(shù)若構(gòu)成

8、正交歸一完備集，使得任給體系的一個(gè)量子態(tài) ，總有則稱構(gòu)成體系的一組力學(xué)量完全集。如，和 的共同本征態(tài)一組量子數(shù)的籠統(tǒng)記號(hào)14一、態(tài)疊加原理與力學(xué)量完全集（一、態(tài)疊加原理與力學(xué)量完全集（10）集。構(gòu)成體系的力學(xué)量完全如一維自由粒子，來展開函數(shù)可以用它們的共同本征，都集。體系任一量子態(tài)構(gòu)成體系的力學(xué)量完全對(duì)易，而與量，其算符找到其它的力學(xué)的本征值簡并，總可以）若體系（維諧振子。的力學(xué)量完全集，如一自身就構(gòu)成體系集，此時(shí)就能構(gòu)成正交歸一完備應(yīng)的本征函數(shù)的本征值不簡并，其對(duì)）若體系（：個(gè)重要課題?？梢宰C明尋找力學(xué)量完全集是一完全集、哈密頓算符與力學(xué)量),(),(,214321321pHaAAAHHAA

9、AHHHkkkk 15二、守恒量與力學(xué)量完全集（二、守恒量與力學(xué)量完全集（1）tAiHAAiHtAtAAttAdtdHtidrttAtttAttAA,)()()()()()(),()() 1 (13*含時(shí)薛定格方程下的平均值為在下，算符體系處于量子態(tài)依賴特性、力學(xué)量平均值的時(shí)間16二、守恒量與力學(xué)量完全集（二、守恒量與力學(xué)量完全集（2）,1)(0,1, ,1,1,1,)()2(1HAitAdtdtAtAtAHAitAHAitAHAiAHitAiHAAiHtAdtd，有，即不顯含若依賴特性、力學(xué)量平均值的時(shí)間17二、守恒量與力學(xué)量完全集（二、守恒量與力學(xué)量完全集（3）。也可稱為守恒量完全集能構(gòu)成

10、力學(xué)量完全集，則如果為守恒量和。即，量為體系的一個(gè)守恒量對(duì)應(yīng)的力學(xué)稱此時(shí)都不隨時(shí)間改變平均值下的在任何態(tài)若，有若集、守恒量與力學(xué)量完全),(0,0)(0)(0,1)(02HAAHAtAAAtAtAdtdHAHAitAdtdtA18三、守恒量與能級(jí)簡并（三、守恒量與能級(jí)簡并（1）, ,0, ,0, ,0 ,0, ,0,HFGF HG HG FF HFHHEFFG HHGGHGEEGHGEGGHE 能級(jí)是否簡并，決定了 能否單獨(dú)構(gòu)成力學(xué)量完全集?！径ɡ怼吭O(shè)體系有兩個(gè)彼此不對(duì)易的守恒量 和即但，則體系能級(jí)是簡并的?！咀C】和有共同本征函數(shù)又也是 的對(duì)應(yīng)本征值 的本征態(tài)。一個(gè)EG對(duì)應(yīng)和兩個(gè)態(tài)能級(jí)是簡并的

11、。19三、守恒量與能級(jí)簡并（三、守恒量與能級(jí)簡并（2） ,0, ,0, ,0 ,0,F HG HG FEGGG FFGGFGFFGGFFG 【定理】設(shè)但，則體系能級(jí)是簡并的。【證】 一個(gè) 對(duì)應(yīng)和兩個(gè)態(tài)能級(jí)是簡并的。但和是否為同一個(gè)態(tài)？不是 的本征態(tài) 但是 的本征態(tài)，和不是同一個(gè)態(tài)。 能級(jí)是簡并的20四、中心力場(chǎng)的徑向方程四、中心力場(chǎng)的徑向方程(1)？和本征值如何確定本征態(tài)能量本征方程標(biāo)：的球?qū)ΨQ性，采用球坐考慮到為中運(yùn)動(dòng)，則的粒子在中心勢(shì)設(shè)質(zhì)量為EErVrlrrrrlrrrrlrrrrprVrVrVpHHamiltonrV)(22)()(2)(2)(2222222222222222222222

12、1四、中心力場(chǎng)的徑向方程四、中心力場(chǎng)的徑向方程(2)nnnnnnnnnnkBBAAEHBAHHHzyxllHllErVrlrrr,),(,0,0,)(2222222找到其共同本征函數(shù)力學(xué)量完全集尋求全集自身不能構(gòu)成力學(xué)量完得不到保證簡并態(tài)之間的正交性來說，屬于同一能級(jí)的函數(shù)自身的本征對(duì)體系能級(jí)是簡并的和明：是角動(dòng)量算符，可以證設(shè)能量本征方程22四、中心力場(chǎng)的徑向方程四、中心力場(chǎng)的徑向方程(3)?.,.,),(, 0,0,，如何尋找正交性問題得到保證。于同一能級(jí)的簡并態(tài)的進(jìn)行分類，從而使得屬對(duì)，用可能是簡并的，但可以對(duì)盡管找到其共同本征函數(shù)尋求力學(xué)量完全集體系能級(jí)是簡并的和BABAEBBAAEH

13、BAHzyxllHlnnnnnnnnnnnnnnn23四、中心力場(chǎng)的徑向方程四、中心力場(chǎng)的徑向方程(4)2222222,0, 0,( , , )( ) ( , )( , )(1),0,1,2,1,zzlzzlmlmlmzlmlmlHllHllrR r fllllYl Yl lYl Ym Ylml ll 為尋求力學(xué)量完全集 考慮到且（ ，）組成完全集，設(shè)其共同本征函數(shù)為（球坐標(biāo)）注意，球坐標(biāo)下，和 只對(duì) 和起作用，且和 擁有共同本征函數(shù)：球諧函數(shù)( , )( , )( , , )( )( , )lmllmfYrR r Y ，即為什么？24四、中心力場(chǎng)的徑向方程四、中心力場(chǎng)的徑向方程(5)2222

14、222222( , , )( ) ( , )(, ),( , , )( ) ( , )( )( , )( , , )( , , )( ) ( , ),( , )( , ),(1),lzzzzllllmlmrR r fHlllLlllllrl R r fR r l flrLrLR r fl fLfl Yl lYf 是，的共同本征函數(shù)，則球坐標(biāo)下，和 只對(duì)和起作用，有2( , )( , )(1)lmzYLl llm ，同理可證，25四、中心力場(chǎng)的徑向方程四、中心力場(chǎng)的徑向方程(6)mlYfYmYlflflfrRlrlrlflrRfrRlrlllllLlllHfrRrzlmlmlmzzzlzzzzllzzzzzzl，有起作用，和只對(duì)和球坐標(biāo)下，本征函數(shù)，則的共同，是),(),(,),(),(),()(),(),(),()(),()(),(,),(),()(),(22226四、中心力場(chǎng)的徑向方程四、中心力場(chǎng)的徑向方程(7)的形式取決于徑向波函數(shù)其中，或得到徑向方程代入將)()()()(0)() 1()(2)(0)() 1()(2)(2)()(22),()(),(),(22