第五章 梁的內(nèi)力

1、5.1 基本概念基本概念5.2 剪力和彎矩剪力和彎矩5.3 剪力圖和彎矩圖剪力圖和彎矩圖5.4 剪力、彎矩與分布載荷集度剪力、彎矩與分布載荷集度 間的微分關(guān)系間的微分關(guān)系第五章第五章 梁的內(nèi)力梁的內(nèi)力5.1 梁彎曲的概念梁彎曲的概念 構(gòu)件的彎曲變形是工程中常見(jiàn)的，也是重要的基本變形。如圖5.1中橋式吊車(chē)梁、圖5.2中支架的橫梁、圖5.3中的管道梁、圖5.4中的樓面梁等，都是工程中受彎曲的實(shí)例。當(dāng)桿件受到垂直于桿軸的外力或在桿軸平面內(nèi)受到外力偶作用時(shí)，桿的軸線將由直線變?yōu)榍€，這種變形稱為彎曲變形。發(fā)生彎曲變形或以彎曲變形為主的構(gòu)件，通稱為梁。 5.1.1 彎曲的概念彎曲的概念圖5.1 圖5.2

2、 圖5.3 圖5.4 工程中大多數(shù)的梁，其橫截面都具有對(duì)稱軸，如圖5.5所示。對(duì)稱軸與梁的軸線構(gòu)成的平面稱為縱向?qū)ΨQ面(圖5.6)。若作用在梁上的外力或外力偶都作用在縱向?qū)ΨQ面內(nèi)，且外力垂直于梁的軸線，則梁在變形時(shí)，其軸線將在縱向?qū)ΨQ面內(nèi)彎曲成一條平面曲線，這種彎曲變形稱為平面彎曲。5.1.2 平面彎曲的概念平面彎曲的概念圖5.5 圖5.6 根據(jù)梁的支座反力能否全部由靜力平衡條件確定，將梁分為靜定梁和超靜定梁。靜定梁又可分為單跨靜定梁和多跨靜定梁。單跨靜定梁按支座情況可分三種基本類型：（1） 簡(jiǎn)支梁梁的一端為固定鉸支端，另一端為活動(dòng)鉸支座(圖5.7(a)。（2） 外伸梁其支座形式和簡(jiǎn)支梁相同，

3、但梁的一端或兩端伸出支座之外(圖5.7(b)。（3） 懸臂梁梁的一端固定，另一端自由(圖5.7(c)。5.1.3 梁的類型梁的類型圖5.7 5.2 -剪力和彎矩剪力和彎矩圖5.8(a)為一簡(jiǎn)支梁，載荷P與支座反力NA和NB是作用在梁縱向?qū)ΨQ面內(nèi)的平衡力系?，F(xiàn)用截面法分析任一截面mm上的內(nèi)力。 梁的橫截面上的內(nèi)力比較復(fù)雜，一般存在兩個(gè)內(nèi)力元素：（1） 剪力Q相切于橫截面的內(nèi)力。剪力的作用線通過(guò)截面形心。（2） 彎矩M作用面與橫截面垂直的內(nèi)力偶矩。 5.2.1 剪力和彎矩剪力和彎矩截面mm上剪力Q的大小和方向以及彎矩M的大小和轉(zhuǎn)向，可由右段梁的平衡方程確定Fy=0，NB-Q=0Q=NBmC(F)=

4、 0，NBx-M=0M=NBx根據(jù)作用力和反作用力的關(guān)系，分別以梁的左段和右段為研究對(duì)象求出的Q和M，大小是相等的，而方向或轉(zhuǎn)向是相反的(圖5.8(b)、(c)。 圖5.8 (1) 剪力的正負(fù)號(hào)規(guī)定正剪力：截面上的剪力使研究對(duì)象作順時(shí)針?lè)较虻霓D(zhuǎn)動(dòng)(圖5.9(a)；負(fù)剪力：截面上的剪力使研究對(duì)象作逆時(shí)針?lè)较虻霓D(zhuǎn)動(dòng)(圖5.9(b)。 (2) 彎矩的正負(fù)號(hào)規(guī)定正彎矩：截面上的彎矩使該截面附近彎成上凹下凸的形狀(圖5.10(a)；負(fù)彎矩：截面上的彎矩使該截面附近彎成上凸下凹的形狀(圖5.10(b)。5.2.2 剪力和彎矩和正負(fù)號(hào)規(guī)定剪力和彎矩和正負(fù)號(hào)規(guī)定圖5.9 圖5.10利用截面法計(jì)算指定截面的剪力

5、和彎矩的步驟如下：（1） 計(jì)算支座反力。（2） 用假想的截面在欲求內(nèi)力處將梁截成兩段，取其中一段為研究對(duì)象。（3） 畫(huà)出研究對(duì)象的內(nèi)力圖。截面上的剪力和彎矩均按正方向假設(shè)。（4） 建立平衡方程，求解剪力和彎矩。5.2.3 用截面法求指定截面的剪力和彎矩用截面法求指定截面的剪力和彎矩【例 5.1】簡(jiǎn)支梁如圖5.11(a)所示。已知P1=36kN，P2=30kN，試求截面II上的剪力和彎矩?！窘狻?1) 求支座反力以整梁為研究對(duì)象，受力圖如圖5.11(a)。列平衡方程由mA(F)= 0，RB6-P11-P24=0得RB=（P11+P24）/6=26kN由mB(F)= 0，P15+P22-RA6=0

6、得RA=(P15+P22)/6=40kN(2) 求截面I-I的內(nèi)力用I-I截面將梁假想地截開(kāi)，取左段為研究對(duì)象，受力圖如圖5.11(b)。列平衡方程由Fy=0，RA-P1-Q1=0得Q1=RA-P1=(40-36)kN=4kN由m1(F)=0，M1+P11-RA2=0得M1=RA2-P11=(402-361)kNm=44kNm計(jì)算結(jié)果Q1、M1為正，表明Q1、M1實(shí)際方向與圖示假設(shè)方向相同，故為正剪力和正彎矩。若取梁的右段為研究對(duì)象，受力圖如圖5.11(c)所示。列平衡方程由Fy=0，Q1+RB-P2=0得Q1=P2-RB=(30-26)kN=4kN由m1(F)=0，RB4-P22-M1=0得

7、M1=RB4-P22=(264-302)kNm=44kNm可見(jiàn)，不管選取梁的左段或右段為研究對(duì)象，所得截面I-I的內(nèi)力結(jié)果相同?！纠?5.2】外伸梁受載荷作用如圖5.12(a)所示。圖中截面1-1是指從右側(cè)無(wú)限接近于支座B。試求截面1-1和截面2-2的剪力和彎矩。【解】(1) 求支座反力以整梁為研究對(duì)象，受力圖如圖5.12(a)。由平衡方程求解支座反力。mB(F)=0，RCa-P2a-Me=0RC=(2Pa+Me)/a=（2Pa+Pa）/a=3PmC(F)=0，-RBa-Pa-Me=0RB=(-Pa-Me)/a=(-Pa-Pa)/a=-2P(2) 求截面1-1的內(nèi)力用1-1截面將梁假想地截開(kāi)，

8、取左段為研究對(duì)象，受力圖如圖5.12(b)。由平衡方程求Q1和M1Fy=0，RB-Q1=0Q1=RB=-2Pm1(F)= 0，M1-Me=0M1=Me=Pa計(jì)算結(jié)果Q1為負(fù)，表明Q1實(shí)際方向與圖示假設(shè)方向相反，故為負(fù)剪力；M1為正，表明M1實(shí)際方向與圖示假設(shè)方向相同，故為正彎矩。(3) 求截面2-2的內(nèi)力用2-2截面將梁假想地截開(kāi)，取右段為研究對(duì)象，受力圖如圖5.12(c)。由平衡方程求Q2和M2Fy=0，Q2-P=0Q2=P(正剪力)m2(F)= 0，-M2-Pa/2=0M2=-Pa/2 (負(fù)彎矩)圖5.11圖5.12圖5.12圖5.12(1) 梁內(nèi)任一截面上的剪力，其大小等于該截面左側(cè)(或

9、右側(cè))梁上所有外力的代數(shù)和；梁內(nèi)任一截面的彎矩，其大小等于該截面左側(cè)(或右側(cè))梁上所有外力對(duì)于該截面形心之矩的代數(shù)和。(2) 外力對(duì)內(nèi)力的符號(hào)規(guī)則左上右下，剪力為正；左順右逆，彎矩為正。(3) 代數(shù)和的正負(fù)，就是剪力或彎矩的正負(fù)。 5.2.4 計(jì)算剪力和彎矩的規(guī)律計(jì)算剪力和彎矩的規(guī)律【例 5.3】簡(jiǎn)支梁受載荷作用如圖5.13所示。已知集中力P=1000N，集中力偶m=4kNm，均布載荷q=10kN/m，試求1-1和2-2截面的剪力和彎矩?！窘狻?1) 求支座反力以整梁為研究對(duì)象，受力圖如圖9.13所示，由平衡方程求解支座反力。mB(F)=0，P750-RA1000-m+q500250=0RA=

10、(P750-m+q500250)/1000=-2000NFy=0，RA-P-500q+RB=0RB=P+500q-RA=8000N (2) 計(jì)算1-1截面的內(nèi)力利用計(jì)算剪力和彎矩的規(guī)律，由1-1截面左側(cè)外力計(jì)算Q1=RA=-2000N(負(fù)剪力)M1=RA200=-400Nm(負(fù)彎矩)(3) 計(jì)算2-2截面的內(nèi)力利用計(jì)算剪力和彎矩的規(guī)律，由2-2截面的右側(cè)外力計(jì)算Q2=q0.4-RB=-4000N(負(fù)剪力)M2=RB0.4-q0.40.2=2400Nm(正彎矩) 圖5.135.3 剪力圖和彎矩圖剪力圖和彎矩圖若以橫坐標(biāo)x表示橫截面在梁軸線上的位置，則各橫截面上的剪力和彎矩皆可表示為坐標(biāo)x的函數(shù)，

11、即Q=Q(x)M=M(x)以上兩函數(shù)表達(dá)了剪力和彎矩沿梁軸線的變化規(guī)律，分別稱為梁的剪力方程和彎矩方程。5.3.1 剪力方程和彎矩方程剪力方程和彎矩方程為了形象地表示剪力和彎矩沿梁軸的變化規(guī)律，把剪力方程和彎矩方程用其圖像表示，稱為剪力圖和彎矩圖。剪力圖和彎矩圖的畫(huà)法與軸力圖、扭矩圖很相似，用平行于梁軸的橫坐標(biāo)x表示梁橫截面的位置，用垂直于梁軸的縱坐標(biāo)表示相應(yīng)截面的剪力和彎矩。在土建工程中，習(xí)慣上將正剪力畫(huà)在x軸上方，負(fù)剪力畫(huà)在x軸的下方；正彎矩畫(huà)在x軸下方，負(fù)彎矩畫(huà)在x軸的上方，即把彎矩圖畫(huà)在梁受拉的一側(cè)。 5.3.2 剪力圖和彎矩圖剪力圖和彎矩圖(1) 求支座反力以梁整體為研究對(duì)象，根據(jù)梁

12、上的荷載和支座情況，由靜力平衡方程求出支座反力。(2) 將梁分段以集中力和集中力偶作用處、分布荷載的起訖處、梁的支承處以及梁的端面為界點(diǎn)，將梁進(jìn)行分段。(3) 列出各段的剪力方程和彎矩方程各段列剪力方程和彎矩方程時(shí)，所取的坐標(biāo)原點(diǎn)與坐標(biāo)軸x的正向可視計(jì)算方便而定，不必一致。5.3.3 繪制剪力圖和彎矩圖的步驟繪制剪力圖和彎矩圖的步驟(4) 畫(huà)剪力圖和彎矩圖先根據(jù)剪力方程(或彎矩方程)判斷剪力圖(或彎矩圖)的形狀，確定其控制截面，再根據(jù)剪力方程(或彎矩方程)計(jì)算其相應(yīng)截面的剪力值(或彎矩值)，然后描點(diǎn)并畫(huà)出整個(gè)全梁的剪力圖(或彎矩圖)。剪力圖和彎矩圖可以確定梁的最大剪力和最大彎矩值，其相應(yīng)的橫截

13、面稱為危險(xiǎn)斷面。 【例 5.4】懸臂梁如圖5.14(a)所示，在自由端B處有集中力P作用，試作此梁的剪力圖和彎矩圖?！窘狻?1) 列剪力方程和彎矩方程將坐標(biāo)原點(diǎn)取在梁右端B點(diǎn)上，取距坐標(biāo)原點(diǎn)為x的任意截面右側(cè)梁為研究對(duì)象。利用計(jì)算剪力和彎矩的規(guī)律，列出剪力方程和彎矩方程分別為Q(x)=P(0 xl) M(x)=-Px(0 xl) (2) 畫(huà)剪力圖和彎矩圖剪力圖是一條在x軸線上側(cè)與x軸平行的直線，如圖5.14(b)所示。從式(b)可見(jiàn)，彎矩M(x)是x的一次函數(shù)，所以彎矩圖是一條斜直線。只需確定始末兩個(gè)控制截面的彎矩值，就能畫(huà)出彎矩圖。由式(b)x=0，MA=0 x=l，MB左=-Pl彎矩圖如圖

14、5.14(c)所示。從所作的內(nèi)力圖可知，剪力在全梁的所有截面都相等，且處處為最大剪力，其值為Qmax=P；彎矩的最大值發(fā)生在固定端，其值為Mmax=Pl。最大剪力和最大彎矩指的是絕對(duì)值最大的剪力和彎矩?！纠?.5】簡(jiǎn)支梁如圖5.15(a)所示，受均布荷載q作用，試畫(huà)出梁的剪力圖和彎矩圖?！窘狻?1) 求支座反力由于載荷對(duì)稱，支座反力也對(duì)稱，有RA=RB=ql/2(2) 列剪力方程和彎矩方程坐標(biāo)原點(diǎn)取在左端A點(diǎn)處，距原點(diǎn)A為x處的任意截面，其剪力方程和彎矩方程為Q(x)=RA-qx=ql/2-qx(0 xl) M(x)=RAx-qx2/2=ql/2x-qx2/2 (0 xl)(3) 畫(huà)剪力圖和彎

15、矩圖由式(a)可見(jiàn)，Q(x)是x的一次函數(shù)，所以剪力圖是一條斜直線。由式(a)x=0，QA右=ql/2x=l，QB左=-ql/2剪力圖如圖9.15(b)所示。由式(b)可見(jiàn)，M(x)是x的二次函數(shù)，所以彎矩圖是一條二次拋物線，至少需要確定三個(gè)控制截面的彎矩值，才能描出曲線大致形狀。由式(b)x=0，MA=0 x=l/2，MC=ql2/8x=l，MB=0彎矩圖如圖5.15(c)所示。從所作的內(nèi)力圖可知，最大剪力發(fā)生在梁端，其值為Qmax=ql/2，最大彎矩發(fā)生在剪力為零的跨截面，其值為Mmax=ql2/8?！纠?5.6】簡(jiǎn)支梁受集中力P作用如圖9.16(a)所示，試畫(huà)出梁的剪力圖和彎矩圖?！窘狻?/p>

16、(1) 求支座反力以整梁為研究對(duì)象，由平衡方程求支座反力。mB(F)= 0，-RAl+Pb=0RA=Pb/lFy=0，RA+RB-P=0RB=Pa/l(2) 列剪力方程和彎矩方程梁在C截面處有集中力P作用，AC段和CB段所受的外力不同，其剪力方程和彎矩方程也不相同，需分段列出。取梁左端A為坐標(biāo)原點(diǎn)AC段：Q(x)=RA=Pb/l (0 xa)M(x)=RAx=Pb/lx(0 xa)CB段：Q(x)=RA-P=-Pa/l (axb，則在CB段任一截面上的剪力值都相等且比AC段的要大，其值Qmax=Pa/l，最大彎矩發(fā)生在集中力P作用的截面上，其值Mmax=Pab/l。如果集中力P作用在梁的跨中，

17、即a=b=l/2，則Qmax=P/2Mmax=Pl/4【例 5.7】簡(jiǎn)支梁受集中力偶m作用如圖5.17(a)所示，試畫(huà)出梁的剪力圖和彎矩圖?！窘狻?1) 求支座反力以整梁為研究對(duì)象，由平衡方程得mB(F)= 0，RAl-m=0RA=m/lmA(F)= 0，-m-RBl=0RB=-m/l(2) 列剪力方程和彎矩方程梁在C截面處有集中力偶m作用，需分為AC段和CB段。取梁左端A為坐標(biāo)原點(diǎn)AC段：Q(x)=RA=m/l (0 xa)M(x)=RAx=m/lx(0 xa) CB段：Q(x)=RA=m/l (axl) M(x)=RAx-m=m/lx-m(axl) (3) 畫(huà)剪力圖從式(a)和式(c)可知

18、，AC段和CB段的剪力為常數(shù)m/l，剪力圖是一條在x軸線上側(cè)與x軸平行的直線。剪力圖如圖5.17(b)所示。 【例 5.8】外伸梁受荷載作用如圖5.18(a)所示，試畫(huà)出梁的剪力圖和彎矩圖?！窘狻?1) 求支座反力以整梁為研究對(duì)象，由平衡方程得mB(F)= 0，q6aa-RA4a=0RA=1.5qamA(F)= 0，RB4a-q6a3a=0RB=4.5qa(2) 列剪力方程和彎矩方程梁在B截面處有支座反力RB作用，需分為AB段和BC段。 AB段：坐標(biāo)原點(diǎn)取在左端A點(diǎn)處，距原點(diǎn)A為x1處的任意截面，其剪力方程和彎矩方程為Q(x1)=RAqx1=1.5qa-qx1(0 x14a) M(x1)=RA

19、x1-qx21/2=3qa/2x1-q/2x12 (0 x14a) BC段：坐標(biāo)原點(diǎn)取在右端C點(diǎn)處，距原點(diǎn)C為x2處的任意截面，其剪力方程和彎矩方程為Q(x2)=qx2(0 x22a) M(x2)=-qx22/2 (0 x22a) (3) 畫(huà)剪力圖從式(a)可知，AB段的剪力Q(x1)是x1的一次函數(shù)，剪力圖是一條斜直線，由式(a) x1=4a，QB左=-2.5qa從式(c)可知，BC段的剪力Q(x2)是x2的一次函數(shù)，剪力圖也是一條斜直線，由式(c)x2=0，QC=0 x2=2a，QB右=2qa畫(huà)出剪力圖如圖5.18(b)所示。(4) 畫(huà)彎矩圖從式(b)可知，AB段的彎矩M(x1)是x1的二

20、次函數(shù)，彎矩圖是一條二次拋物線，至少需要確定A截面、B截面和極值彎矩截面三個(gè)控制截面上的彎矩值，才能畫(huà)出彎矩圖。由式(b) x1=0，MA=0 x1=4a，MB=-2qa2為計(jì)算AB段的極值彎矩，首先要確定產(chǎn)生極值彎矩截面的位置。由例9.5知，在剪力為零的截面有彎矩的極值，令Q(x1)=0，有1.5qa-qx1=0得x1=1.5a即距離原點(diǎn)A為1.5a處的截面上剪力為零，該截面上有極值彎矩。將x1=1.5a代入式(b)Mx1=1.5a=1.5qa1.5a-q/2 (1.5a)2=1.125qa2 從式(d)可知，BC段的彎矩M(x2)是x2的二次函數(shù)，彎矩圖也是一條二次拋物線，由式(d)x2=

21、0，MC=0 x2=2a，MB=-2qa2畫(huà)出彎矩圖如圖5.18(c)所示。圖5.14圖5.14圖5.15圖5.15圖5.16圖5.16圖5.17圖5.17圖5.17圖5.18圖5.18圖5.185.4剪力、彎矩與分布載荷集度間的微分關(guān)系剪力、彎矩與分布載荷集度間的微分關(guān)系(1) 梁上沒(méi)有均布荷載作用的一段剪力圖為一條水平線，彎矩圖為一條斜直線。(2) 梁上有均布荷載作用的一段剪力圖為一條斜直線，若均布荷載指向向上，其斜率為正，即由左下向右上傾斜(/)；若均布荷載指向向下，其斜率為負(fù)，即由左上向右下傾斜()。彎矩圖是一條拋物線，拋物線的凸向與均布荷載的指向相同。 5.4.1 剪力圖和彎矩圖的規(guī)

22、律剪力圖和彎矩圖的規(guī)律(3) 梁上集中力作用的截面剪力圖發(fā)生突變，突變量的絕對(duì)值等于集中力的大小。若從左向右作圖，突變的方向與集中力方向相同；若從右向左作圖，突變的方向與集中力方向相反。彎矩圖發(fā)生轉(zhuǎn)折。(4) 梁上集中力偶作用的截面剪力圖不變。彎矩圖發(fā)生突變，突變量的絕對(duì)值等于集中力偶的力偶矩。 (5) 絕對(duì)值最大的彎矩出現(xiàn)在下述截面： 均布荷載作用段內(nèi)Q=0的截面； 集中力作用的截面； 集中力偶作用處的左右截面。其作圖步驟如下：(1) 求支座反力以梁整體為研究對(duì)象，根據(jù)梁上的荷載和支座情況，由靜力平衡方程求出支座反力。(2) 梁的分段和分截面梁的分段原則與列剪力方程和彎矩方程的分段相同，即以

23、集中力和集中力偶作用處、分布荷載的起訖處、梁的支承處以及梁的端面為界點(diǎn)，將梁進(jìn)行分段。5.4.2 利用內(nèi)力圖的規(guī)律作剪力圖和彎矩圖利用內(nèi)力圖的規(guī)律作剪力圖和彎矩圖分截面原則：對(duì)于剪力圖，在集中力作用的截面上發(fā)生突變，需將集中力作用的截面分出來(lái)；對(duì)于彎矩圖，在集中力偶作用的截面上發(fā)生突變，需將集中力偶作用的截面分出來(lái)。(3) 畫(huà)剪力圖和彎矩圖按照作圖方向截面和分段出現(xiàn)的先后順序，利用剪力圖和彎矩圖的規(guī)律，再結(jié)合剪力和彎矩的規(guī)律計(jì)算各控制截面上的剪力值和彎矩值，依次就可以簡(jiǎn)捷地畫(huà)出剪力圖和彎矩圖。 【例 5.9】如圖5.19(a)所示的外伸梁，試畫(huà)出該梁的剪力圖和彎矩圖。【解】(1) 求支座反力以

24、整梁為研究對(duì)象，由平衡方程得mA(F)= 0，RB4a+qa5a-q4a2a=0RB=3/4qamB(F)= 0，q4a2a+qaa-RA4a=0RA=9/4qa (2) 畫(huà)剪力圖了從左向右作圖，根據(jù)分段和分截面的原則，梁依次分為A截面、AB段、B截面、BC段和C截面。A截面：有向上的集中力RA作用，Q圖向上突變RA=9/4qa。QA右=0+9/4qa=9/4qaAB段：有向下的均布荷載q作用，Q圖為一條斜直線()，需確定QA右和QB左。QB左=RA-q4a=-7/4qaB截面：有向上的集中力RB作用，Q圖向上突變RB=3/4qa。QB右=-7/4qa+3/4qa=-qaBC段：沒(méi)有均布荷載作

25、用，Q圖為一條水平線。QC左=QB右=-qaBC段：沒(méi)有均布荷載作用，Q圖為一條水平線。QC左=QB右=-qaC截面：有向上的集中力qa作用，Q圖向上突變qa，回到x軸線上。畫(huà)出的剪力圖如圖5.19(b)所示。(3) 畫(huà)彎矩圖從左向右作圖，根據(jù)分段和分截面的原則，梁依次分為AB段和BC段。AB段：有向下的均布荷載q作用，M圖為一條下凸的二次拋物線。由于該段內(nèi)有Q=0的截面，需確定MA、MB和極值彎矩。MA=0MB=qaa=qa2為計(jì)算極值彎矩，首先確定Q=0的截面位置，距離左端A為x的任意截面Q(x)=RA-qx，令Q(x)=0，有9/4qa-qx=0得x=9/4a該截面上的彎矩，即為極值彎矩，其值Mx=9/4a=RAx-qx2/2= 81/32qa2BC段：沒(méi)有均布荷載作用，M圖是一條斜直線，需確定MB和MC。MC=0畫(huà)出的彎矩圖如圖5.19(c)所示