2021屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習第八章平面解析幾何第二節(jié)直線的位置關(guān)系與距離公式教師文檔教案文北師大版

1、第二節(jié)第二節(jié)直線的位置關(guān)系與距離公式直線的位置關(guān)系與距離公式授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第 153 頁基礎(chǔ)梳理三種距離三種距離條件公式兩點間的距離a(x1，y1)，b(x2，y2)|ab|（x1x2）2（y1y2）2點到直線的距離p(x0，y0)到直線 axbyc0 的距離為dd|ax0by0c|a2b2兩平行線間的距離直線 axbyc10到直線 axbyc20 的距離為 dd|c1c2|a2b21點到直線的距離公式(1)直線方程為一般式(2)公式中分母與點無關(guān)(3)分子與點及直線方程都有關(guān)2兩平行直線間的距離(1)是一條直線上任意一點到另一條直線的距離(2)也可以看成是兩條直線上各取一點的最短距離

2、四基自測1(基礎(chǔ)點：點到直線的距離)點(1，1)到直線 xy10 的距離是()a.12b32c.22d.3 22答案：d2(基礎(chǔ)點：直線的交點)直線 2xy10，yx1，yax2 交于一點，則 a的值為_答案：233(基礎(chǔ)點：兩平行線間的距離)已知兩平行線 l1：2x3y6，l2：2x3y10，則 l1與 l2間距離為_答案：5 13134(易錯點：點到直線距離的應(yīng)用)已知點 a(3，2)和 b(1，4)到直線 axy10的距離相等，則 a 的值為_答案：4 或12授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第 154 頁考點一直線的交點及應(yīng)用挖掘直線交點的應(yīng)用/ 自主練透例(1)經(jīng)過兩直線 l1：x2y40 和

3、l2：xy20 的交點 p，且與直線 l3：3x4y50 垂直的直線 l 的方程為_解析法一：由方程組x2y40 xy20得 x0，y2，即 p(0，2)因為 ll3，所以直線 l 的斜率 k43，所以直線 l 的方程為 y243x，即 4x3y60.法二：因為直線 l 過直線 l1和 l2的交點，所以可設(shè)直線 l 的方程為 x2y4(xy2)0，即(1)x(2)y420.因為 ll3，所以 3(1)(4)(2)0，所以11，所以直線 l 的方程為 12x9y180，即 4x3y60.答案4x3y60(2)過點 m(0，1)作直線，使它被兩條直線 l1：x3y100，l2：2xy80 所截得的

4、線段恰好被 m 所平分，則此直線方程為_解析過點 m 且與 x 軸垂直的直線是 x0， 它和直線 l1， l2的交點分別是0，103 ，(0，8)，顯然不符合題意，故可設(shè)所求直線方程為 ykx1，其圖像與直線 l1，l2分別交于 a，b 兩點，則有yakxa1，xa3ya100，ybkxb1，2xbyb80.由解得 xa73k1，由解得 xb7k2.因為點 m 平分線段 ab，所以 xaxb2xm，即73k17k20，解得 k14.所以所求直線為 y14x1，即 x4y40.答案x4y40(3)已知直線 l 經(jīng)過點 p(3，1)，且被兩條平行直線 l1：xy10 和 l2：xy60 截得的線段

5、長為 5，求直線 l 的方程解析法一：若直線 l 的斜率不存在，則直線 l 的方程為 x3，此時與 l1，l2的交點分別為 a(3，4)，b(3，9)，截得的線段 ab的長|ab|49|5，符合題意若直線 l 的斜率存在，則設(shè)直線 l 的方程為 yk(x3)1.解方程組yk（x3）1，xy10，得 a3k2k1，4k1k1 ，解方程組yk（x3）1，xy60，得 b3k7k1，9k1k1 .由|ab|5，得3k2k13k7k124k1k19k1k1252.解之，得 k0，即所求的直線方程為 y1.綜上可知，所求直線 l 的方程為 x3 或 y1.法二：如圖所示，作直線 l1：xy10，l2：x

6、y60.l1與 x、y 軸的交點 a(1，0)、b(0，1)，l2與 x、y 軸交點 c(6，0)、d(0，6)所以|bd|5，|ac|5.過點(3，1)與 l1、l2截得的線段長為 5.即平行 x 軸或 y 軸所以所求直線方程為 x3 或 y1.破題技法1.兩直線交點的求法求兩直線的交點坐標，就是解由兩直線方程組成的方程組，以方程組的解為坐標的點即為交點2求過兩直線交點的直線方程的方法(1)直接法：先求出兩直線的交點坐標；結(jié)合題設(shè)中的其他條件，寫出直線方程；將直線方程化為一般式(2)直線系法：設(shè)過兩直線 a1xb1yc10，a2xb2yc20 交點的直線方程為 a1xb1yc1(a2xb2y

7、c2)0.利用題設(shè)條件，求的值，得出直線方程驗證 a2xb2yc20 是否符合題意(3)數(shù)形結(jié)合法，求直線截得的線段長考點二距離問題挖掘距離問題的應(yīng)用/ 自主練透例(1)(2020昆明模擬)點 p 到點 a(1，0)和直線 x1 的距離相等，且 p 到直線 yx 的距離等于22，這樣的點 p 共有()a1 個b2 個c3 個d.4 個解析設(shè)點 p(x，y)，由題意知（x1）2y2|x1|，且22|xy|2，所以y24x，|xy|1，即y24x，xy1，或y24x，xy1，解得x32 2，y22 2或x32 2，y22 2，解得x1，y2，因此，這樣的點 p 共有 3 個答案c(2)已知兩條平行

8、直線 l1：mx8yn0 與 l2：2xmy10 間的距離為 5，則直線 l1的方程為_解析因為 l1l2，所以m28mn1，所以m4，n2或m4，n2.當 m4 時，直線 l1的方程為 4x8yn0，把 l2的方程寫成 4x8y20，所以|n2|1664 5，解得 n22 或 18.故所求直線 l1的方程為 2x4y110 或 2x4y90.當 m4 時，直線 l1的方程為 4x8yn0，把 l2的方程寫成 4x8y20，所以|n2|1664 5，解得 n18 或 22.故所求直線 l1的方程為 2x4y90 或 2x4y110.答案2x4y90 或 2x4y110破題技法應(yīng)用點到直線的距離

9、公式與兩平行線間的距離公式時應(yīng)注意：(1)用點到直線的距離公式，直線方程必須為一般式；(2)兩平行線間的距離公式，兩直線方程中 x，y 的系數(shù)分別相同；(3)兩個公式中的“絕對值”號不可盲目去掉，要等價變化考點三對稱問題挖掘 1求對稱點、直線/ 自主練透例 1已知直線 l：2x3y10，點 a(1，2)求：(1)點 a 關(guān)于直線 l 的對稱點 a的坐標；(2)直線 m：3x2y60 關(guān)于直線 l 的對稱直線 m的方程；(3)直線 l 關(guān)于點 a 的對稱直線 l的方程解析(1)設(shè)對稱點 a的坐標為(m，n)，由已知可得n2m1231，2m123n2210，解得m3313，n413，即 a3313

10、，413 .(2)在直線 m 上取一點， 如 b(2， 0)， 則 b 關(guān)于 l 的對稱點必在 m上， 設(shè)對稱點為 b(a，b)，則由2a223b0210，b0a2231，得 b613，3013 .設(shè) m 與 l 的交點為 n，由2x3y10，3x2y60，得 n(4，3)設(shè)直線 m上任意一點的坐標為(x，y)，由兩點式得直線 m的方程為y330133x46134，即 9x46y1020.(3)法一：在 l：2x3y10 上任取兩點，如 m(1，1)，n(4，3)則 m，n 關(guān)于點a 的對稱點 m，n均在直線 l上易知 m(3，5)，n(6，7)，由兩點式可得 l的方程為 2x3y90.法二：

11、設(shè)直線 l 關(guān)于點 a 的對稱直線 l上的任意一點 p(x，y)，則點 p(x，y)關(guān)于點a(1，2)的對稱點為 p(2x，4y)點 p在直線 l 上，2(2x)3(4y)10，即 2x3y90.挖掘 2利用對稱性求解直線方程/ 互動探究例 2(1)(2020淮安模擬)已知入射光線經(jīng)過點 m(3，4)，被直線 l：xy30反射，反射光線經(jīng)過點 n(2，6)，則反射光線所在直線的方程為_解析設(shè)點 m(3，4)關(guān)于直線 l：xy30 的對稱點為 m(a，b)，則反射光線所在直線過點 m，所以b4a（3）11，3a2b4230，解得 a1，b0.又反射光線經(jīng)過點 n(2，6)所以所求直線的方程為y0

12、60 x121，即 6xy60.答案6xy60(2)已知三角形的一個頂點 a(4， 1)， 它的兩條角平分線所在直線的方程分別為 l1：x y 1 0 和 l2： x 1 0 ， 則 bc 邊 所 在 直 線 的 方 程 為_解析a 不在這兩條角平分線上，因此 l1，l2是另兩個角的角平分線點 a 關(guān)于直線 l1的對稱點 a1，點 a 關(guān)于直線 l2的對稱點 a2均在邊 bc 所在直線 l 上設(shè) a1(x1，y1)，則有y11x1411，x142y11210，解得x10，y13，所以 a1(0，3)同理設(shè) a2(x2，y2)，易求得 a2(2，1)所以 bc 邊所在直線方程為 2xy30.答案

13、2xy30(3)已知直線 l：x2y80 和兩點 a(2，0)，b(2，4)在直線 l 上求一點 p，使|pa|pb|最小解析設(shè) a 關(guān)于直線 l 的對稱點為 a(m，n)，則n0m22，m222n0280，解得m2，n8，故 a(2，8)p 為直線 l 上的一點，則|pa|pb|pa|pb|ab|，當且僅當 b，p，a三點共線時，|pa|pb|取得最小值，為|ab|，點 p 即是直線 ab與直線 l 的交點，解方程組x2，x2y80，得x2，y3，故所求的點 p 的坐標為(2，3)破題技法有關(guān)對稱問題的規(guī)律方法方法解讀中心對稱點關(guān)于點點 m(x1，y1)與 n(x，y)關(guān)于 p(a，b)對稱

14、，利用中點x2ax1y2by1直線關(guān)于點l1關(guān)于 a 對稱的直線：取 bl1，求 b 關(guān)于 a 的對稱點b，利用斜率相等，求點斜式軸對稱點關(guān)于直線對稱點 a 關(guān)于 l1的對稱點 a，利用 aa 的中點在 l1上，且aal，求 a點線 l1關(guān)于線 l 對稱l1la利用 al2，且取 bl1，求 b 關(guān)于 l 的對稱點 b，由 a和 b求方程若 l1l利用平行線 l1與 l，l 與 l2之間的距離相等；或者利用斜率相等考點四點、線及位置關(guān)系、距離的應(yīng)用挖掘構(gòu)造距離求最值(創(chuàng)新問題)/ 互動探究例(1)設(shè) x0，y0，滿足 2xy1，則 xx2y2的最小值為()a.45b25c1d.1 23解析因為

15、 x，yr，滿足 2xy1，設(shè) zx x2y2，其可表示為直線 2xy1 在第一象限的點 p(x，y)到 y 軸的距離 d 與到原點的距離|po|的和設(shè)原點關(guān)于直線 2xy1 的對稱點 o1(m，n)，則由2m02n0210，（2）n0m01解得m45，n25，所以 o145，25 .由對稱性可得|po1|po|，所以 z|po1|d，故 po1y 軸時 z 最小故當且僅當 x310，y25時 zx x2y2取最小值45，故選 a.答案a(2)已知實數(shù) x 滿足|2x1|2x5|6，則 x 的取值范圍是_解析由|2x1|2x5|6 可得|x(12)|x52|3，它表示數(shù)軸上的動點 x到定點12

16、與52的距離之和為3.又定點12與52之間的距離恰好為 3， 故有x12，52答案12，52破題技法本解法利用絕對值的幾何意義，轉(zhuǎn)化為數(shù)軸上的點之間的距離問題，使解題過程直觀快捷(3)設(shè) a0，若 f(x) x26ax10a2 x22ax5a2(xr)的最小值為 10，則 a_解析f(x) （x3a）20（a）2 （xa）2（02a）2，它表示動點 p(x，0)到點 a(3a，a)與 b(a，2a)的距離之和，即 f(x)|pa|pb|.由已知條件可知：f(x)|pa|pb|的最小值為 10.因為 a0，所以點 a，b 在 x 軸的兩側(cè)，故對 x 軸上的動點 p(x，0)，一定有|pa|pb|ab|，故|pa|pb|的最小值為|ab|.于是有|ab|10，即 3a（a）2（a2a）210，又 a0，解得 a2.答案2破題技法構(gòu)造距離后，把已知條件轉(zhuǎn)化為 x 軸上的動點到兩定點的距離之和的最小值為 10，便于順利得到關(guān)于 a