矩陣運(yùn)算和行列式

1、南京 蘇州 常州啤酒(瓶裝)2016200 180 190啤酒(易拉罐)5020100 120 100干啤3016150 160 140生啤2516180 150 150重量(kg/箱)單價(jià)(元/箱)數(shù)量(箱) in =1 0 00 1 0 0 0 1 n n2. 逆序數(shù)逆序數(shù) 對(duì)于對(duì)于n個(gè)不同的元素個(gè)不同的元素, 先規(guī)定各元素之間的先規(guī)定各元素之間的 一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)次序一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)次序 (如如 n個(gè)不同的自然數(shù)個(gè)不同的自然數(shù), 可規(guī)可規(guī)定由小到大的次序?yàn)闃?biāo)準(zhǔn)次序定由小到大的次序?yàn)闃?biāo)準(zhǔn)次序), 一個(gè)排列中所有逆序的總數(shù)叫做這個(gè)排列一個(gè)排列中所有逆序的總數(shù)叫做這個(gè)排列 的的. 逆序數(shù)為奇逆序數(shù)為奇(偶偶)

2、數(shù)的排列稱為數(shù)的排列稱為(). 于是在這于是在這n個(gè)元素的任意一個(gè)排列中個(gè)元素的任意一個(gè)排列中, 當(dāng)某當(dāng)某 兩個(gè)元素的先后次序與標(biāo)準(zhǔn)次序不同時(shí)兩個(gè)元素的先后次序與標(biāo)準(zhǔn)次序不同時(shí), 就說(shuō)就說(shuō). 3. 對(duì)換對(duì)換 在排列中在排列中, 將任意兩個(gè)元素對(duì)調(diào)將任意兩個(gè)元素對(duì)調(diào), 其余的元其余的元素不動(dòng)素不動(dòng), 稱為稱為. 將相鄰的兩個(gè)元素對(duì)調(diào)將相鄰的兩個(gè)元素對(duì)調(diào), 稱為稱為. 每一項(xiàng)都是三個(gè)元素的乘積每一項(xiàng)都是三個(gè)元素的乘積. a11 a12 a13 a21 a22 a23a31 a32 a33= a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 a11 a23 a32 a1

3、2 a21 a33 a13 a22 a31 . 每一項(xiàng)的三個(gè)元素都位于不同的行和列每一項(xiàng)的三個(gè)元素都位于不同的行和列. 行列式的行列式的6項(xiàng)恰好對(duì)應(yīng)于項(xiàng)恰好對(duì)應(yīng)于1, 2, 3的的6種排列種排列. 各項(xiàng)系數(shù)與對(duì)應(yīng)的列指標(biāo)的排列的奇偶性各項(xiàng)系數(shù)與對(duì)應(yīng)的列指標(biāo)的排列的奇偶性 有關(guān)有關(guān).321321321321)() 1(jjjjjjjjjnaaaa11 a12 a13 a21 a22 a23a31 a32 a33j1 j2 j3的逆序數(shù)的逆序數(shù) 對(duì)所有不同的三級(jí)排列對(duì)所有不同的三級(jí)排列 j1 j2 j3求和求和 21212121)() 1(jjjjjjnaaa11 a12a21 a22 2. n階

4、行列式的定義階行列式的定義 a11 a12 a1n a21 a22 a2n an1 an2 annnnnjjjnjjjjjjnaaa21212121)() 1(: 當(dāng)當(dāng)n = 1時(shí)時(shí), 一階行列式一階行列式|a11| = a11, 這與絕這與絕 對(duì)值符號(hào)的意義是不一樣的對(duì)值符號(hào)的意義是不一樣的.設(shè)設(shè)a = aij為為n階方陣階方陣, a的行列式記為的行列式記為|a|, 或或deta. 3. 幾個(gè)特殊的行列式幾個(gè)特殊的行列式 1 0 0 0 2 0 0 0 n 0 0 1 0 2 0 n 0 0= 1 2 n , 1 2 n .2)1() 1(nn(1) 對(duì)角行列式對(duì)角行列式 (2) 上上(下下

5、)三角形行列式三角形行列式 a11 a12 a1n 0 a22 a2n 0 0 anna11 0 0 a21 a22 0 an1 an2 ann= a11 a22ann .= a11 a22ann .事實(shí)上事實(shí)上, 只有只有pi i (i = 1,2,n)時(shí)時(shí), nnpppaaa2121才有可能不為才有可能不為0. 若有某個(gè)若有某個(gè)pk k, 則必然有則必然有若有某個(gè)若有某個(gè)pl 1+2+n, 矛盾矛盾! a11 a12 a1n a21 a22 a2n an1 an2 ann a11 a22 ann11)(nniiina4. n階行列式的另外一種定義階行列式的另外一種定義 a11 a12 a1

6、n a21 a22 a2n an1 an2 annnnnjjjnjjjjjjnaaa21212121)() 1(nnniiiniiiiiinaaa21212121)() 1(. dt = d. nppppppnnnbbb21)(2121) 1(.) 1(212121)(daaannnppppppn. 互換行列式中的兩行互換行列式中的兩行(列列), 行列式變號(hào)行列式變號(hào). : 記互換行列式記互換行列式d中的第中的第k, l行得到的行列式為行得到的行列式為d1. nlknlknplpkppppppnbbbbd111)(1) 1(nlknlknpkplppppppnaaaa111)() 1(nkln

7、lknplpkppppppnaaaa111)() 1(nklnklnplpkppppppnaaaa1111)() 1(nklnklnplpkppppppnaaaa111)() 1(= d. . 如果行列式如果行列式d中有兩行中有兩行(列列)完全相同完全相同, 那么那么d = 0. 行列式的某一行行列式的某一行(列列)的公因子可以的公因子可以 提到行列式記號(hào)外提到行列式記號(hào)外. 事實(shí)上事實(shí)上, 若行列式若行列式d中有兩行完全相同中有兩行完全相同, 交換交換 這兩行這兩行, 得得d = d. 因此因此d = 0. 對(duì)于有兩列完全相同的情形對(duì)于有兩列完全相同的情形, 可類似地證明可類似地證明. nn

8、nppppppptaakaa32121321)()() 1(nnnpppppptaaak212121)() 1(1 1 1 1 0 2 0 0 0 0 2 00 0 0 2 = 6= 48.二二. 行列式按行行列式按行( (列列) )展開(kāi)展開(kāi) . n階行列式階行列式d等于它的任意一行等于它的任意一行 (列列) 的各元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積的各元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積 之和之和. 即即 d2n = add2(n 1) bcd2(n 1) .依次類推可得依次類推可得d2n = (ad bc)n.1. 定義定義: 設(shè)設(shè)a為方陣為方陣, 若存在方陣若存在方陣b, 使得使得 ab=ba=i. 則

9、稱則稱a, 并稱并稱b為為a的的. 2. 逆矩陣的唯一性逆矩陣的唯一性事實(shí)上事實(shí)上, 若若ab=ba=i, ac=ca=i,則則b = bi = b(ac) = (ba)c = ic = c.今后我們把可逆矩陣今后我們把可逆矩陣a的逆矩陣記為的逆矩陣記為a 1. . 設(shè)方陣設(shè)方陣a可逆可逆, 則其逆矩陣是唯一的則其逆矩陣是唯一的. 3. 設(shè)設(shè)a = aijn n為方陣為方陣, 元素元素aij的代數(shù)余子式的代數(shù)余子式 為為aij, 則稱如下矩陣則稱如下矩陣a* =a11 a21 an1a12 a22 an2 a1n a2n ann為方陣為方陣a的的. 事實(shí)上事實(shí)上, 由由ab=ba=i得得 1

10、= |i| = |ab| = |a|b|. . 設(shè)設(shè)a為方陣為方陣, 若若a可逆可逆, 則則|a| 0. 4. 逆矩陣的存在性逆矩陣的存在性 a 1 =|a|1a*. 設(shè)設(shè)a, b為方陣為方陣, 若若ab = i(或或ba = i), 則則b = a 1.= (ba)a 1 = ia 1 = a 1. 事實(shí)上事實(shí)上, ab = i |a| 0 a可逆可逆 b = ib = (a 1a)b = a 1(ab) = a 1i = a 1. ba = i |a| 0 b = bi = b(aa 1) a可逆可逆 2a2+3a i = 0. 證明證明: a及及a 2i可逆可逆, 并求它們的并求它們的(

11、2) |b| = 2 0, b 1 =|b|1b*b11 = ( 1)1+12 14 3= 2, b21 =6, b31 = 4, b12 = 3, b22 = 6, b32 = 5, b13 = 2, b23 = 2, b33 = 2. =21 2 6 4 3 6 5 2 2 2. 1 1 = , |a 1| = |a| 1. t 1 = 1 t. 1 = k 1 1. 1 = b 1 1. 1 1 1 1(i a) = 1( ) = 1 1 = 1 1 mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111 nnnnnnnnnnbxaxaxa

12、bxaxaxabxaxaxa22112222212111212111 1 0, x1 =d1d,x2 =d2d, , xn =dnd, . 若齊次線性方程組若齊次線性方程組 的系數(shù)行列的系數(shù)行列 式式d = |a| 0, 則它只有零解則它只有零解. 2. 齊次線性方程組與非齊次線性方程組齊次線性方程組與非齊次線性方程組 設(shè)設(shè)a為為m l矩陣矩陣, b為為l n矩陣矩陣, 將它們分塊如下將它們分塊如下 a =a11 a12 a1ta21 a22 a2t as1 as2 ast,b =b11 b12 b1rb21 b22 b2r bt1 bt2 btr,其中其中ai1, ai2, , ait的列數(shù)

13、分別與的列數(shù)分別與b1j, b2j, , btj的的 行數(shù)相等行數(shù)相等. (i = 1, 2, , s; j = 1, 2, , r.)c11 c12 c1r c21 c22 c2r cs1 cs2 csr, 其中其中cij = aikbkj ,則則ab = k=1t于是于是ab = i oa1 ib11 ib21 b22 b11 ia1b11+b21 a1+b22 =,而而a1b11 = 1 2 1 1 1 0 1 2 3 4 0 2=,a1b11 +b21 = 3 4 0 2 1 0 1 1+a1+b22 = 1 2 1 14 12 0+ 2 4 1 1=,3 33 1=. b11 ia1

14、b11+b21 a1+b22 從而從而ab = =. 1 0 1 0 1 2 0 1 2 4 3 3 1 1 3 1設(shè)矩陣設(shè)矩陣a = a11 a12 a1ra21 a22 a2r as1 as2 asr,a11t a21t as1t a12t a22t as2t a1rt a2rt asrt.則則at = 1 2m則則|a| = |a1| |a2| |as|. a 1 = a1 1 a2 1 as 1.則則aa1, a2, , as都都 可逆可逆. 且當(dāng)且當(dāng)a1, , as都可逆時(shí)都可逆時(shí),有有矩陣的矩陣的n維向量的概念；維向量的概念；矩陣和向量的加法、數(shù)乘、乘法運(yùn)算及矩陣矩陣和向量的加法、

15、數(shù)乘、乘法運(yùn)算及矩陣 的轉(zhuǎn)置及相關(guān)的運(yùn)算性質(zhì)，的轉(zhuǎn)置及相關(guān)的運(yùn)算性質(zhì)，上述運(yùn)算；上述運(yùn)算；零矩陣、單位矩陣、數(shù)量矩陣、對(duì)角陣、三零矩陣、單位矩陣、數(shù)量矩陣、對(duì)角陣、三 角陣、對(duì)稱矩陣、反對(duì)稱矩陣的定義及其運(yùn)算性角陣、對(duì)稱矩陣、反對(duì)稱矩陣的定義及其運(yùn)算性質(zhì)；質(zhì)；二階、三階行列式的定義，二階、三階行列式的定義，它們的它們的計(jì)算；計(jì)算；全排列及全排列的逆序數(shù)的定義，全排列及全排列的逆序數(shù)的定義，計(jì)算排計(jì)算排列的逆序數(shù)，列的逆序數(shù)，對(duì)換及對(duì)換對(duì)于排列的奇偶性對(duì)換及對(duì)換對(duì)于排列的奇偶性的影響；的影響；n階行列式的定義，階行列式的定義，用行列式的定義計(jì)算用行列式的定義計(jì)算簡(jiǎn)單的簡(jiǎn)單的n階行列式；階行列式；7. 行列式的性質(zhì)，行列式的性質(zhì)，行列式按行、列展行列式按行、列展 開(kāi)公式，開(kāi)公式，行列式的乘法定理；行列式的乘法定理；8. 不很復(fù)雜的低階行列式及簡(jiǎn)單的高階行列式不很復(fù)雜的低階行列式及簡(jiǎn)單的高階