初中數(shù)學中考幾何如何巧妙做輔助線大全

1、人教版北師大初中數(shù)學中考幾何如何巧妙做輔助線大全人們從來就是用自己的聰明才智創(chuàng)造條件解決問題的，當問題的條件不夠時，添加輔助線構成新圖形，形成新關系，使分散的條件集中，建立已知與未知的橋梁，把問題轉(zhuǎn)化為自己能解決的問題，這是解決問題常用的策略。一添輔助線有二種情況： 1按定義添輔助線： 如證明二直線垂直可延長使它們,相交后證交角為90；證線段倍半關系可倍線段取中點或半線段加倍；證角的倍半關系也可類似添輔助線。2按基本圖形添輔助線： 每個幾何定理都有與它相對應的幾何圖形，我們 把它叫做基本圖形，添輔助線往往是具有基本圖形的性質(zhì)而基本圖形不完整時補完整基本圖形，因此“添線”應該叫做“補圖”！這樣可

2、防止亂添線，添輔助線也有規(guī)律可循。舉例如下： （1）平行線是個基本圖形： 當幾何中出現(xiàn)平行線時添輔助線的關鍵是添與二條平行線都相交的等第三條直線 （2）等腰三角形是個簡單的基本圖形： 當幾何問題中出現(xiàn)一點發(fā)出的二條相等線段時往往要補完整等腰三角形。出現(xiàn)角平分線與平行線組合時可延長平行線與角的二邊相交得等腰三角形。 （3）等腰三角形中的重要線段是個重要的基本圖形： 出現(xiàn)等腰三角形底邊上的中點添底邊上的中線；出現(xiàn)角平分線與垂線組合時可延長垂線與角的二邊相交得等腰三角形中的重要線段的基本圖形。 （4）直角三角形斜邊上中線基本圖形 出現(xiàn)直角三角形斜邊上的中點往往添斜邊上的中線。出現(xiàn)線段倍半關系且倍線段

3、是直角三角形的斜邊則要添直角三角形斜邊上的中線得直角三角形斜邊上中線基本圖形。 （5）三角形中位線基本圖形 幾何問題中出現(xiàn)多個中點時往往添加三角形中位線基本圖形進行證明當有中點沒有中位線時則添中位線，當有中位線三角形不完整時則需補完整三角形；當出現(xiàn)線段倍半關系且與倍線段有公共端點的線段帶一個中點則可過這中點添倍線段的平行線得三角形中位線基本圖形；當出現(xiàn)線段倍半關系且與半線段的端點是某線段的中點，則可過帶中點線段的端點添半線段的平行線得三角形中位線基本圖形。 （6）全等三角形： 全等三角形有軸對稱形，中心對稱形，旋轉(zhuǎn)形與平移形等；如果出現(xiàn)兩條相等線段或兩個檔相等角關于某一直線成軸對稱就可以添加軸

4、對稱形全等三角形：或添對稱軸，或?qū)⑷切窝貙ΨQ軸翻轉(zhuǎn)。當幾何問題中出現(xiàn)一組或兩組相等線段位于一組對頂角兩邊且成一直線時可添加中心對稱形全等三角形加以證明，添加方法是將四個端點兩兩連結或過二端點添平行線 （7）相似三角形： 相似三角形有平行線型（帶平行線的相似三角形），相交線型，旋轉(zhuǎn)型；當出現(xiàn)相比線段重疊在一直線上時（中點可看成比為1）可添加平行線得平行線型相似三角形。若平行線過端點添則可以分點或另一端點的線段為平行方向，這類題目中往往有多種淺線方法。 （8）特殊角直角三角形 當出現(xiàn)30，45，60，135，150度特殊角時可添加特殊角直角三角形，利用45角直角三角形三邊比為1：1：2；30度角

5、直角三角形三邊比為1：2：3進行證明 （9）半圓上的圓周角 出現(xiàn)直徑與半圓上的點，添90度的圓周角；出現(xiàn)90度的圓周角則添它所對弦-直徑；平面幾何中總共只有二十多個基本圖形就像房子不外有一砧，瓦，水泥，石灰，木等組成一樣。二基本圖形的輔助線的畫法1.三角形問題添加輔助線方法 方法1：有關三角形中線的題目，常將中線加倍。含有中點的題目，常常利用三角形的中位線，通過這種方法，把要證的結論恰當?shù)霓D(zhuǎn)移，很容易地解決了問題。 方法2：含有平分線的題目，常以角平分線為對稱軸，利用角平分線的性質(zhì)和題中的條件，構造出全等三角形，從而利用全等三角形的知識解決問題。 方法3：結論是兩線段相等的題目常畫輔助線構成全

6、等三角形，或利用關于平分線段的一些定理。 方法4：結論是一條線段與另一條線段之和等于第三條線段這類題目，常采用截長法或補短法，所謂截長法就是把第三條線段分成兩部分，證其中的一部分等于第一條線段，而另一部分等于第二條線段。 2.平行四邊形中常用輔助線的添法平行四邊形（包括矩形、正方形、菱形）的兩組對邊、對角和對角線都具有某些相同性質(zhì)，所以在添輔助線方法上也有共同之處，目的都是造就線段的平行、垂直，構成三角形的全等、相似，把平行四邊形問題轉(zhuǎn)化成常見的三角形、正方形等問題處理，其常用方法有下列幾種，舉例簡解如下：（1）連對角線或平移對角線：（2）過頂點作對邊的垂線構造直角三角形（3）連接對角線交點與

7、一邊中點，或過對角線交點作一邊的平行線，構造線段平行或中位線（4）連接頂點與對邊上一點的線段或延長這條線段，構造三角形相似或等積三角形。（5）過頂點作對角線的垂線，構成線段平行或三角形全等.3.梯形中常用輔助線的添法梯形是一種特殊的四邊形。它是平行四邊形、三角形知識的綜合，通過添加適當?shù)妮o助線將梯形問題化歸為平行四邊形問題或三角形問題來解決。輔助線的添加成為問題解決的橋梁，梯形中常用到的輔助線有：（1）在梯形內(nèi)部平移一腰。（2）梯形外平移一腰（3）梯形內(nèi)平移兩腰（4）延長兩腰（5）過梯形上底的兩端點向下底作高（6）平移對角線（7）連接梯形一頂點及一腰的中點。（8）過一腰的中點作另一腰的平行線。

8、（9）作中位線當然在梯形的有關證明和計算中，添加的輔助線并不一定是固定不變的、單一的。通過輔助線這座橋梁，將梯形問題化歸為平行四邊形問題或三角形問題來解決，這是解決問題的關鍵。4.圓中常用輔助線的添法在平面幾何中，解決與圓有關的問題時，常常需要添加適當?shù)妮o助線，架起題設和結論間的橋梁，從而使問題化難為易，順其自然地得到解決，因此，靈活掌握作輔助線的一般規(guī)律和常見方法，對提高學生分析問題和解決問題的能力是大有幫助的。（1）見弦作弦心距有關弦的問題，常作其弦心距（有時還須作出相應的半徑），通過垂徑平分定理，來溝通題設與結論間的聯(lián)系。（2）見直徑作圓周角在題目中若已知圓的直徑，一般是作直徑所對的圓周

9、角，利用直徑所對的圓周角是直角這一特征來證明問題。（3）見切線作半徑命題的條件中含有圓的切線，往往是連結過切點的半徑，利用切線與半徑垂直這一性質(zhì)來證明問題。（4）兩圓相切作公切線對兩圓相切的問題，一般是經(jīng)過切點作兩圓的公切線或作它們的連心線，通過公切線可以找到與圓有關的角的關系。（5）兩圓相交作公共弦對兩圓相交的問題，通常是作出公共弦，通過公共弦既可把兩圓的弦聯(lián)系起來，又可以把兩圓中的圓周角或圓心角聯(lián)系起來。作輔助線的方法一：中點、中位線，延線，平行線。如遇條件中有中點，中線、中位線等，那么過中點，延長中線或中位線作輔助線，使延長的某一段等于中線或中位線；另一種輔助線是過中點作已知邊或線段的平

10、行線，以達到應用某個定理或造成全等的目的。二：垂線、分角線，翻轉(zhuǎn)全等連。如遇條件中，有垂線或角的平分線，可以把圖形按軸對稱的方法，并借助其他條件，而旋轉(zhuǎn)180度，得到全等形，這時輔助線的做法就會應運而生。其對稱軸往往是垂線或角的平分線。三：邊邊若相等，旋轉(zhuǎn)做實驗。如遇條件中有多邊形的兩邊相等或兩角相等，有時邊角互相配合，然后把圖形旋轉(zhuǎn)一定的角度，就可以得到全等形，這時輔助線的做法仍會應運而生。其對稱中心，因題而異，有時沒有中心。故可分“有心”和“無心”旋轉(zhuǎn)兩種。四:造角、平、相似，和、差、積、商見。如遇條件中有多邊形的兩邊相等或兩角相等，欲證線段或角的和差積商，往往與相似形有關。在制造兩個三角

11、形相似時，一般地，有兩種方法：第一，造一個輔助角等于已知角；第二，是把三角形中的某一線段進行平移。故作歌訣：“造角、平、相似，和差積商見?！蓖辛忻锥ɡ砗兔啡~勞定理的證明輔助線分別是造角和平移的代表）五：兩圓若相交，連心公共弦。如果條件中出現(xiàn)兩圓相交，那么輔助線往往是連心線或公共弦。六：兩圓相切、離，連心，公切線。如條件中出現(xiàn)兩圓相切（外切，內(nèi)切），或相離（內(nèi)含、外離），那么，輔助線往往是連心線或內(nèi)外公切線。七：切線連直徑，直角與半圓。如果條件中出現(xiàn)圓的切線，那么輔助線是過切點的直徑或半徑使出現(xiàn)直角；相反，條件中是圓的直徑，半徑，那么輔助線是過直徑（或半徑）端點的切線。即切線與直徑互為輔助線。如

12、果條件中有直角三角形，那么作輔助線往往是斜邊為直徑作輔助圓，或半圓；相反，條件中有半圓，那么在直徑上找圓周角直角為輔助線。即直角與半圓互為輔助線。八：弧、弦、弦心距；平行、等距、弦。如遇弧，則弧上的弦是輔助線；如遇弦，則弦心距為輔助線。如遇平行線，則平行線間的距離相等，距離為輔助線；反之，亦成立。如遇平行弦，則平行線間的距離相等，所夾的弦亦相等，距離和所夾的弦都可視為輔助線，反之，亦成立。有時，圓周角，弦切角，圓心角，圓內(nèi)角和圓外角也存在因果關系互相聯(lián)想作輔助線。九：面積找底高，多邊變?nèi)?。如遇求面積，（在條件和結論中出現(xiàn)線段的平方、乘積，仍可視為求面積），往往作底或高為輔助線，而兩三角形的等

13、底或等高是思考的關鍵。如遇多邊形，想法割補成三角形；反之，亦成立。另外，我國明清數(shù)學家用面積證明勾股定理，其輔助線的做法，即“割補”有二百多種，大多數(shù)為“面積找底高，多邊變?nèi)叀薄Ｈ切沃凶鬏o助線的常用方法舉例一、在利用三角形三邊關系證明線段不等關系時，若直接證不出來，可連接兩點或延長某邊構成三角形，使結論中出現(xiàn)的線段在一個或幾個三角形中，再運用三角形三邊的不等關系證明，如：例1：已知如圖1-1：d、e為abc內(nèi)兩點,求證:abacbddece.證明：（法一）將de兩邊延長分別交ab、ac 于m、n，在amn中，aman mddene;（1） 在bdm中，mbmdbd； （2） 在cen中，c

14、nnece； （3） 由（1）（2）（3）得： amanmbmdcnnemddenebdce abacbddeec （法二：）如圖1-2， 延長bd交 ac于f，延長ce交bf于g，在abf和gfc和gde中有： abaf bddggf（三角形兩邊之和大于第三邊）（1） gffcgece（同上）（2） dggede（同上）（3） 由（1）（2）（3）得： abafgffcdggebddggfgecedeabacbddeec。二、在利用三角形的外角大于任何和它不相鄰的內(nèi)角時如直接證不出來時，可連接兩點或延長某邊，構造三角形，使求證的大角在某個三角形的外角的位置上，小角處于這個三角形的內(nèi)角位置上，

15、再利用外角定理：例如：如圖2-1：已知d為abc內(nèi)的任一點，求證：bdcbac。分析：因為bdc與bac不在同一個三角形中，沒有直接的聯(lián)系，可適當添加輔助線構造新的三角形，使bdc處于在外角的位置，bac處于在內(nèi)角的位置；證法一：延長bd交ac于點e，這時bdc是edc的外角， bdcdec，同理decbac，bdcbac證法二：連接ad，并延長交bc于fbdf是abd的外角bdfbad，同理，cdfcadbdfcdfbadcad即：bdcbac。注意：利用三角形外角定理證明不等關系時，通常將大角放在某三角形的外角位置上，小角放在這個三角形的內(nèi)角位置上，再利用不等式性質(zhì)證明。三、有角平分線時，

16、通常在角的兩邊截取相等的線段，構造全等三角形，如：例如：如圖3-1：已知ad為abc的中線，且12,34,求證：becfef。分析：要證becfef ，可利用三角形三邊關系定理證明，須把be，cf，ef移到同一個三角形中，而由已知12，34，可在角的兩邊截取相等的線段，利用三角形全等對應邊相等，把en，fn，ef移到同一個三角形中。證明：在da上截取dndb，連接ne，nf，則dndc，在dbe和dne中：dbedne （sas）bene（全等三角形對應邊相等）同理可得：cfnf在efn中enfnef（三角形兩邊之和大于第三邊）becfef。注意：當證題有角平分線時，?？煽紤]在角的兩邊截取相等

17、的線段，構造全等三角形，然后用全等三角形的性質(zhì)得到對應元素相等。四、有以線段中點為端點的線段時，常延長加倍此線段，構造全等三角形。例如：如圖4-1：ad為abc的中線，且12，34，求證：becfef證明：延長ed至m，使dm=de，連接 cm，mf。在bde和cdm中， bdecdm （sas） 又12，34 （已知） 1234180（平角的定義） 32=90，即：edf90 fdmedf 90在edf和mdf中 edfmdf （sas） efmf （全等三角形對應邊相等） 在cmf中，cfcmmf（三角形兩邊之和大于第三邊） becfef注：上題也可加倍fd，證法同上。注意：當涉及到有以線

18、段中點為端點的線段時，可通過延長加倍此線段，構造全等三角形，使題中分散的條件集中。五、有三角形中線時，常延長加倍中線，構造全等三角形。例如：如圖5-1：ad為 abc的中線，求證：abac2ad。分析：要證abac2ad，由圖想到： abbdad,accdad，所以有abac bdcdadad2ad，左邊比要證結論多bdcd，故不能直接證出此題，而由2ad想到要構造2ad，即加倍中線，把所要證的線段轉(zhuǎn)移到同一個三角形中去。 證明：延長ad至e，使de=ad，連接be，則ae2ad ad為abc的中線 （已知） bdcd （中線定義） 在acd和ebd中 acdebd （sas） beca（全等

19、三角形對應邊相等） 在abe中有：abbeae（三角形兩邊之和大于第三邊） abac2ad。（常延長中線加倍，構造全等三角形）練習：已知abc，ad是bc邊上的中線，分別以ab邊、ac邊為直角邊各向形外作等腰直角三角形，如圖5-2， 求證ef2ad。六、截長補短法作輔助線。例如：已知如圖6-1：在abc中，abac，12，p為ad上任一點。求證：abacpbpc。分析：要證：abacpbpc，想到利用三角形三邊關系定理證之，因為欲證的是線段之差，故用兩邊之差小于第三邊，從而想到構造第三邊abac，故可在ab上截取an等于ac，得abacbn， 再連接pn，則pcpn，又在pnb中，pbpnbn

20、，即：abacpbpc。證明：（截長法）在ab上截取anac連接pn , 在apn和apc中 apnapc （sas） pcpn （全等三角形對應邊相等） 在bpn中，有 pbpnbn （三角形兩邊之差小于第三邊） bppcabac證明：（補短法） 延長ac至m，使amab，連接pm， 在abp和amp中 abpamp （sas） pbpm （全等三角形對應邊相等） 又在pcm中有：cmpmpc(三角形兩邊之差小于第三邊) abacpbpc。七、延長已知邊構造三角形：例如：如圖7-1：已知acbd，adac于a ，bcbd于b， 求證：adbc分析：欲證 adbc，先證分別含有ad，bc的三角

21、形全等，有幾種方案：adc與bcd，aod與boc，abd與bac，但根據(jù)現(xiàn)有條件，均無法證全等，差角的相等，因此可設法作出新的角，且讓此角作為兩個三角形的公共角。證明：分別延長da，cb，它們的延長交于e點， adac bcbd （已知） caedbe 90 （垂直的定義） 在dbe與cae中 dbecae （aas） edec ebea （全等三角形對應邊相等） edeaeceb 即：adbc。（當條件不足時，可通過添加輔助線得出新的條件，為證題創(chuàng)造條件。）八 、連接四邊形的對角線，把四邊形的問題轉(zhuǎn)化成為三角形來解決。例如：如圖8-1：abcd，adbc 求證：ab=cd。分析：圖為四邊形

22、，我們只學了三角形的有關知識，必須把它轉(zhuǎn)化為三角形來解決。證明：連接ac（或bd） abcd adbc （已知） 12，34 （兩直線平行，內(nèi)錯角相等）在abc與cda中 abccda （asa） abcd（全等三角形對應邊相等）九、有和角平分線垂直的線段時，通常把這條線段延長。例如：如圖9-1：在rtabc中，abac，bac90，12，cebd的延長于e 。求證：bd2ce 分析：要證bd2ce，想到要構造線段2ce，同時ce與abc的平分線垂直，想到要將其延長。 證明：分別延長ba，ce交于點f。 becf （已知） befbec90 （垂直的定義）在bef與bec中， befbec（a

23、sa）ce=fe=cf （全等三角形對應邊相等） bac=90 becf （已知） baccaf90 1bda901bfc90 bdabfc在abd與acf中 abdacf （aas）bdcf （全等三角形對應邊相等） bd2ce十、連接已知點，構造全等三角形。例如：已知：如圖10-1；ac、bd相交于o點，且abdc，acbd，求證：ad。分析：要證ad，可證它們所在的三角形abo和dco全等，而只有abdc和對頂角兩個條件，差一個條件，難以證其全等，只有另尋其它的三角形全等，由abdc，acbd，若連接bc，則abc和dcb全等，所以，證得ad。證明：連接bc，在abc和dcb中 abcd

24、cb (sss) ad (全等三角形對應邊相等)十一、取線段中點構造全等三有形。例如：如圖11-1：abdc，ad 求證：abcdcb。分析：由abdc，ad，想到如取ad的中點n，連接nb，nc，再由sas公理有abndcn，故bncn，abndcn。下面只需證nbcncb，再取bc的中點m，連接mn，則由sss公理有nbmncm，所以nbcncb。問題得證。證明：取ad，bc的中點n、m，連接nb，nm，nc。則an=dn，bm=cm，在abn和dcn中 abndcn （sas） abndcn nbnc （全等三角形對應邊、角相等）在nbm與ncm中 nmbncm，(sss) nbcncb

25、 （全等三角形對應角相等）nbcabn ncbdcn 即abcdcb。巧求三角形中線段的比值例1. 如圖1，在abc中，bd：dc1：3，ae：ed2：3，求af：fc。解：過點d作dg/ac，交bf于點g 所以dg：fcbd：bc因為bd：dc1：3 所以bd：bc1：4 即dg：fc1：4，fc4dg因為dg：afde：ae 又因為ae：ed2：3 所以dg：af3：2即 所以af：fc：4dg1：6例2. 如圖2，bccd，affc，求ef：fd解：過點c作cg/de交ab于點g，則有ef：gcaf：ac因為affc 所以af：ac1：2 即ef：gc1：2， 因為cg：debc：bd

26、又因為bccd所以bc：bd1：2 cg：de1：2 即de2gc因為fdedef 所以ef：fd小結：以上兩例中，輔助線都作在了“已知”條件中出現(xiàn)的兩條已知線段的交點處，且所作的輔助線與結論中出現(xiàn)的線段平行。請再看兩例，讓我們感受其中的奧妙！例3. 如圖3，bd：dc1：3，ae：eb2：3，求af：fd。解：過點b作bg/ad，交ce延長線于點g。 所以df：bgcd：cb因為bd：dc1：3 所以cd：cb3：4 即df：bg3：4， 因為af：bgae：eb 又因為ae：eb2：3所以af：bg2：3 即所以af：df例4. 如圖4，bd：dc1：3，affd，求ef：fc。解：過點d

27、作dg/ce，交ab于點g所以ef：dgaf：ad因為affd 所以af：ad1：2 圖4即ef：dg1：2 因為dg：cebd：bc，又因為bd：cd1：3， 所以bd：bc1：4即dg：ce1：4，ce4dg因為fcceef所以ef：fc1：7練習：1. 如圖5，bddc，ae：ed1：5，求af：fb。2. 如圖6，ad：db1：3，ae：ec3：1，求bf：fc。 答案：1、1：10； 2. 9：1初中幾何輔助線一 初中幾何常見輔助線口訣人說幾何很困難，難點就在輔助線。輔助線，如何添？把握定理和概念。還要刻苦加鉆研，找出規(guī)律憑經(jīng)驗。三角形圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。也可將圖對折看，

28、對稱以后關系現(xiàn)。角平分線平行線，等腰三角形來添。角平分線加垂線，三線合一試試看。線段垂直平分線，常向兩端把線連。線段和差及倍半，延長縮短可試驗。線段和差不等式，移到同一三角去。三角形中兩中點，連接則成中位線。三角形中有中線，延長中線等中線。四邊形平行四邊形出現(xiàn)，對稱中心等分點。梯形問題巧轉(zhuǎn)換，變?yōu)楹?。平移腰，移對角，兩腰延長作出高。如果出現(xiàn)腰中點，細心連上中位線。上述方法不奏效，過腰中點全等造。證相似，比線段，添線平行成習慣。等積式子比例換，尋找線段很關鍵。直接證明有困難，等量代換少麻煩。斜邊上面作高線，比例中項一大片。圓形半徑與弦長計算，弦心距來中間站。圓上若有一切線，切點圓心半徑連。切線長

29、度的計算，勾股定理最方便。要想證明是切線，半徑垂線仔細辨。是直徑，成半圓，想成直角徑連弦。弧有中點圓心連，垂徑定理要記全。圓周角邊兩條弦，直徑和弦端點連。弦切角邊切線弦，同弧對角等找完。要想作個外接圓，各邊作出中垂線。還要作個內(nèi)接圓，內(nèi)角平分線夢圓如果遇到相交圓，不要忘作公共弦。內(nèi)外相切的兩圓，經(jīng)過切點公切線。若是添上連心線，切點肯定在上面。要作等角添個圓，證明題目少困難。注意點輔助線，是虛線，畫圖注意勿改變。假如圖形較分散，對稱旋轉(zhuǎn)去實驗?；咀鲌D很關鍵，平時掌握要熟練。解題還要多心眼，經(jīng)?？偨Y方法顯。切勿盲目亂添線，方法靈活應多變。分析綜合方法選，困難再多也會減。虛心勤學加苦練，成績上升成

30、直線。二 由角平分線想到的輔助線 口訣：圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。也可將圖對折看，對稱以后關系現(xiàn)。角平分線平行線，等腰三角形來添。角平分線加垂線，三線合一試試看。角平分線具有兩條性質(zhì)：a、對稱性；b、角平分線上的點到角兩邊的距離相等。對于有角平分線的輔助線的作法，一般有兩種。從角平分線上一點向兩邊作垂線；利用角平分線，構造對稱圖形（如作法是在一側(cè)的長邊上截取短邊）。通常情況下，出現(xiàn)了直角或是垂直等條件時，一般考慮作垂線；其它情況下考慮構造對稱圖形。至于選取哪種方法，要結合題目圖形和已知條件。與角有關的輔助線（一）、截取構全等幾何的證明在于猜想與嘗試，但這種嘗試與猜想是在一定的規(guī)律基本之上

31、的，希望同學們能掌握相關的幾何規(guī)律，在解決幾何問題中大膽地去猜想，按一定的規(guī)律去嘗試。下面就幾何中常見的定理所涉及到的輔助線作以介紹。如圖1-1，aoc=boc，如取oe=of，并連接de、df，則有oedofd，從而為我們證明線段、角相等創(chuàng)造了條件。例1 如圖1-2，ab/cd，be平分bcd，ce平分bcd，點e在ad上，求證：bc=ab+cd。分析：此題中就涉及到角平分線，可以利用角平分線來構造全等三角形，即利用解平分線來構造軸對稱圖形，同時此題也是證明線段的和差倍分問題，在證明線段的和差倍分問題中常用到的方法是延長法或截取法來證明，延長短的線段或在長的線段長截取一部分使之等于短的線段。

32、但無論延長還是截取都要證明線段的相等，延長要證明延長后的線段與某條線段相等，截取要證明截取后剩下的線段與某條線段相等，進而達到所證明的目的。簡證：在此題中可在長線段bc上截取bf=ab，再證明cf=cd，從而達到證明的目的。這里面用到了角平分線來構造全等三角形。另外一個全等自已證明。此題的證明也可以延長be與cd的延長線交于一點來證明。自已試一試。例2 已知：如圖1-3，ab=2ac，bad=cad，da=db，求證dcac分析：此題還是利用角平分線來構造全等三角形。構造的方法還是截取線段相等。其它問題自已證明。例3 已知：如圖1-4，在abc中，c=2b,ad平分bac，求證：ab-ac=c

33、d分析：此題的條件中還有角的平分線，在證明中還要用到構造全等三角形，此題還是證明線段的和差倍分問題。用到的是截取法來證明的，在長的線段上截取短的線段，來證明。試試看可否把短的延長來證明呢？練習1 已知在abc中，ad平分bac，b=2c，求證：ab+bd=ac2 已知：在abc中，cab=2b，ae平分cab交bc于e，ab=2ac，求證：ae=2ce3 已知：在abc中，abac,ad為bac的平分線，m為ad上任一點。求證：bm-cmab-ac4 已知：d是abc的bac的外角的平分線ad上的任一點，連接db、dc。求證：bd+cdab+ac。（二）、角分線上點向角兩邊作垂線構全等過角平分

34、線上一點向角兩邊作垂線，利用角平分線上的點到兩邊距離相等的性質(zhì)來證明問題。例1 如圖2-1，已知abad, bac=fac,cd=bc。求證：adc+b=180分析：可由c向bad的兩邊作垂線。近而證adc與b之和為平角。例2 如圖2-2，在abc中，a=90，ab=ac，abd=cbd。求證：bc=ab+ad分析：過d作debc于e，則ad=de=ce，則構造出全等三角形，從而得證。此題是證明線段的和差倍分問題，從中利用了相當于截取的方法。例3 已知如圖2-3，abc的角平分線bm、cn相交于點p。求證：bac的平分線也經(jīng)過點p。分析：連接ap，證ap平分bac即可，也就是證p到ab、ac的

35、距離相等。練習：1如圖2-4aop=bop=15，pc/oa，pdoa， 如果pc=4，則pd=（ ） a 4 b 3 c 2 d 12已知在abc中，c=90，ad平分cab，cd=1.5,db=2.5.求ac。3已知：如圖2-5, bac=cad,abad，ceab，ae=（ab+ad）.求證：d+b=180。4.已知：如圖2-6,在正方形abcd中，e為cd 的中點，f為bc 上的點，fae=dae。求證：af=ad+cf。5 已知：如圖2-7，在rtabc中，acb=90,cdab，垂足為d，ae平分cab交cd于f，過f作fh/ab交bc于h。求證cf=bh。（三）：作角平分線的垂線

36、構造等腰三角形從角的一邊上的一點作角平分線的垂線，使之與角的兩邊相交，則截得一個等腰三角形，垂足為底邊上的中點，該角平分線又成為底邊上的中線和高，以利用中位線的性質(zhì)與等腰三角形的三線合一的性質(zhì)。（如果題目中有垂直于角平分線的線段，則延長該線段與角的另一邊相交）。例1 已知：如圖3-1，bad=dac，abac,cdad于d，h是bc中點。求證：dh=（ab-ac）分析：延長cd交ab于點e，則可得全等三角形。問題可證。例2 已知：如圖3-2，ab=ac，bac=90，ad為abc的平分線，cebe.求證：bd=2ce。分析：給出了角平分線給出了邊上的一點作角平分線的垂線，可延長此垂線與另外一邊

37、相交，近而構造出等腰三角形。例3已知：如圖3-3在abc中，ad、ae分別bac的內(nèi)、外角平分線，過頂點b作bfad，交ad的延長線于f，連結fc并延長交ae于m。求證：am=me。分析：由ad、ae是bac內(nèi)外角平分線，可得eaaf，從而有bf/ae，所以想到利用比例線段證相等。例4 已知：如圖3-4，在abc中，ad平分bac，ad=ab，cmad交ad延長線于m。求證：am=（ab+ac）分析：題設中給出了角平分線ad，自然想到以ad為軸作對稱變換，作abd關于ad的對稱aed，然后只需證dm=ec，另外由求證的結果am=（ab+ac），即2am=ab+ac，也可嘗試作acm關于cm的對

38、稱fcm，然后只需證df=cf即可。練習：1 已知：在abc中，ab=5，ac=3，d是bc中點，ae是bac的平分線，且ceae于e，連接de，求de。2 已知be、bf分別是abc的abc的內(nèi)角與外角的平分線，afbf于f，aebe于e，連接ef分別交ab、ac于m、n，求證mn=bc（四）、以角分線上一點做角的另一邊的平行線有角平分線時，常過角平分線上的一點作角的一邊的平行線，從而構造等腰三角形?；蛲ㄟ^一邊上的點作角平分線的平行線與另外一邊的反向延長線相交，從而也構造等腰三角形。如圖4-1和圖4-2所示。12acdb例4 如圖，abac, 1=2，求證：abacbdcd。例5 如圖，bc

39、ba，bd平分abc，且ad=cd，求證：a+c=180。bdcaabecd例6 如圖，abcd，ae、de分別平分bad各ade，求證：ad=ab+cd。練習：1. 已知，如圖，c=2a，ac=2bc。求證：abc是直角三角形。cab2已知：如圖，ab=2ac，1=2，da=db，求證：dcacabdc12 3已知ce、ad是abc的角平分線，b=60，求證：ac=ae+cdaebdc4已知：如圖在abc中，a=90，ab=ac，bd是abc的平分線，求證：bc=ab+adabcd三 由線段和差想到的輔助線口訣：線段和差及倍半，延長縮短可試驗。線段和差不等式，移到同一三角去。遇到求證一條線段

40、等于另兩條線段之和時，一般方法是截長補短法：1、截長：在長線段中截取一段等于另兩條中的一條，然后證明剩下部分等于另一條；2、補短：將一條短線段延長，延長部分等于另一條短線段，然后證明新線段等于長線段。對于證明有關線段和差的不等式，通常會聯(lián)系到三角形中兩線段之和大于第三邊、之差小于第三邊，故可想辦法放在一個三角形中證明。一、 在利用三角形三邊關系證明線段不等關系時，如直接證不出來，可連接兩點或廷長某邊構成三角形，使結論中出現(xiàn)的線段在一個或幾個三角形中，再運用三角形三邊的不等關系證明，如：例1、 已知如圖1-1：d、e為abc內(nèi)兩點,求證:ab+acbd+de+ce.證明：（法一）將de兩邊延長分

41、別交ab、ac于m、n，在amn中，am+anmd+de+ne;（1）在bdm中，mb+mdbd；（2）在cen中，cn+nece；（3）由（1）+（2）+（3）得：am+an+mb+md+cn+nemd+de+ne+bd+ceab+acbd+de+ec（法二：圖1-2）延長bd交ac于f，廷長ce交bf于g，在abf和gfc和gde中有：ab+afbd+dg+gf（三角形兩邊之和大于第三邊）（1）gf+fcge+ce（同上）（2）dg+gede（同上）（3）由（1）+（2）+（3）得：ab+af+gf+fc+dg+gebd+dg+gf+ge+ce+deab+acbd+de+ec。二、 在利用

42、三角形的外角大于任何和它不相鄰的內(nèi)角時如直接證不出來時，可連接兩點或延長某邊，構造三角形，使求證的大角在某個三角形的外角的位置上，小角處于這個三角形的內(nèi)角位置上，再利用外角定理：例如：如圖2-1：已知d為abc內(nèi)的任一點，求證：bdcbac。分析：因為bdc與bac不在同個三角形中，沒有直接的聯(lián)系，可適當添加輔助線構造新的三角形，使bdc處于在外角的位置，bac處于在內(nèi)角的位置；證法一：延長bd交ac于點e，這時bdc是edc的外角，bdcdec，同理decbac，bdcbac證法二：連接ad，并廷長交bc于f，這時bdf是abd的外角，bdfbad，同理，cdfcad，bdf+cdfbad+

43、cad，即：bdcbac。注意：利用三角形外角定理證明不等關系時，通常將大角放在某三角形的外角位置上，小角放在這個三角形的內(nèi)角位置上，再利用不等式性質(zhì)證明。三、 有角平分線時，通常在角的兩邊截取相等的線段，構造全等三角形，如：例如：如圖3-1：已知ad為abc的中線，且1=2,3=4,求證：be+cfef。分析：要證be+cfef，可利用三角形三邊關系定理證明，須把be，cf，ef移到同一個三角形中，而由已知1=2，3=4，可在角的兩邊截取相等的線段，利用三角形全等對應邊相等，把en，fn，ef移到同個三角形中。證明：在dn上截取dn=db，連接ne，nf，則dn=dc，在dbe和nde中：d

44、n=db（輔助線作法）1=2（已知）ed=ed（公共邊）dbende（sas）be=ne（全等三角形對應邊相等）同理可得：cf=nf在efn中en+fnef（三角形兩邊之和大于第三邊）be+cfef。注意：當證題有角平分線時，?？煽紤]在角的兩邊截取相等的線段，構造全等三角形，然后用全等三角形的對應性質(zhì)得到相等元素。四、 截長補短法作輔助線。例如：已知如圖6-1：在abc中，abac，1=2，p為ad上任一點求證：ab-acpb-pc。分析：要證：ab-acpb-pc，想到利用三角形三邊關系，定理證之，因為欲證的線段之差，故用兩邊之差小于第三邊，從而想到構造第三邊ab-ac，故可在ab上截取an

45、等于ac，得ab-ac=bn，再連接pn，則pc=pn，又在pnb中，pb-pnpb-pc。證明：（截長法）在ab上截取an=ac連接pn,在apn和apc中an=ac（輔助線作法）1=2（已知）ap=ap（公共邊）apnapc（sas）,pc=pn（全等三角形對應邊相等）在bpn中，有pb-pnbn（三角形兩邊之差小于第三邊）bp-pcpm-pc(三角形兩邊之差小于第三邊)ab-acpb-pc。daecb例1如圖，ac平分bad，ceab，且b+d=180，求證：ae=ad+be。例2如圖，在四邊形abcd中，ac平分bad，ceab于e，ad+ab=2ae，求證：adc+b=180例3已知

46、：如圖，等腰三角形abc中，ab=ac，a=108，bd平分abc。dcba求證：bc=ab+dc。mbdca例4如圖，已知rtabc中，acb=90，ad是cab的平分線，dmab于m，且am=mb。求證：cd=db。1如圖，abcd，ae、de分別平分bad各ade，求證：ad=ab+cd。edcba2.如圖，abc中，bac=90，ab=ac，ae是過a的一條直線，且b，c在ae的異側(cè)，bdae于d，ceae于e。求證：bd=de+ce四 由中點想到的輔助線 口訣：三角形中兩中點，連接則成中位線。三角形中有中線，延長中線等中線。在三角形中，如果已知一點是三角形某一邊上的中點，那么首先應該

47、聯(lián)想到三角形的中線、中位線、加倍延長中線及其相關性質(zhì)（直角三角形斜邊中線性質(zhì)、等腰三角形底邊中線性質(zhì)），然后通過探索，找到解決問題的方法。（一）、中線把原三角形分成兩個面積相等的小三角形即如圖1，ad是abc的中線，則sabd=sacd=sabc（因為abd與acd是等底同高的）。例1如圖2，abc中，ad是中線，延長ad到e，使de=ad，df是dce的中線。已知abc的面積為2，求：cdf的面積。解：因為ad是abc的中線，所以sacd=sabc=2=1，又因cd是ace的中線，故scde=sacd=1，因df是cde的中線，所以scdf=scde=1=。cdf的面積為。（二）、由中點應想

48、到利用三角形的中位線例2如圖3，在四邊形abcd中，ab=cd，e、f分別是bc、ad的中點，ba、cd的延長線分別交ef的延長線g、h。求證：bge=che。證明：連結bd，并取bd的中點為m，連結me、mf，me是bcd的中位線，mecd，mef=che，mf是abd的中位線，mfab，mfe=bge，ab=cd，me=mf，mef=mfe，從而bge=che。（三）、由中線應想到延長中線例3圖4，已知abc中，ab=5，ac=3，連bc上的中線ad=2，求bc的長。解：延長ad到e，使de=ad，則ae=2ad=22=4。在acd和ebd中，ad=ed，adc=edb，cd=bd，acd

49、ebd，ac=be，從而be=ac=3。在abe中，因ae2+be2=42+32=25=ab2，故e=90，bd=，故bc=2bd=2。例4如圖5，已知abc中，ad是bac的平分線，ad又是bc邊上的中線。求證：abc是等腰三角形。證明：延長ad到e，使de=ad。仿例3可證：bedcad，故eb=ac，e=2，又1=2，1=e，ab=eb，從而ab=ac，即abc是等腰三角形。（四）、直角三角形斜邊中線的性質(zhì)例5如圖6，已知梯形abcd中，ab/dc，acbc，adbd，求證：ac=bd。證明：取ab的中點e，連結de、ce，則de、ce分別為rtabd，rtabc斜邊ab上的中線，故de=ce=ab，因此cde=dce。ab/dc，cde=1，dce=2，1=2，在ade和bce中，de=ce，1=2，ae=be，adebce，ad=bc，從而梯形abcd是等腰梯形，因此ac=bd。（五）、角平分線且垂直一線段，應想到等腰三角形的中線例6如圖7，abc是等腰直角三角形，bac=90，bd平分abc交ac于點d，ce垂直于bd，交bd的延長線于點e。求證：bd=2ce。證明：延長ba，ce交于點f，在bef和bec中，1=2，be=be，b