初一幾何難題練習(xí)題含答案

1、1、證明線段相等或角相等 兩條線段或兩個(gè)角相等是平面幾何證明中最基本也是最重要的一種相等關(guān)系。很多其它問(wèn)題最后都可化歸為此類問(wèn)題來(lái)證。證明兩條線段或兩角相等最常用的方法是利用全等三角形的性質(zhì)，其它如線段中垂線的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)等也經(jīng)常用到。 例1. 已知：如圖1所示，中，。 求證：dedf 分析：由是等腰直角三角形可知，由d是ab中點(diǎn)，可考慮連結(jié)cd，易得，。從而不難發(fā)現(xiàn) 證明：連結(jié)cd 說(shuō)明：在直角三角形中，作斜邊上的中線是常用的輔助線；在等腰三角形中，作頂角的平分線或底邊上的中線或高是常用的輔助線。顯然，在等腰直角三角形中，更應(yīng)該連結(jié)cd，因?yàn)閏d既是斜邊上的中

2、線，又是底邊上的中線。本題亦可延長(zhǎng)ed到g，使dgde，連結(jié)bg，證是等腰直角三角形。有興趣的同學(xué)不妨一試。 例2. 已知：如圖2所示，abcd，adbc，aecf。 求證：ef 證明：連結(jié)ac 在和中， 在和中， 說(shuō)明：利用三角形全等證明線段求角相等。常須添輔助線，制造全等三角形，這時(shí)應(yīng)注意： （1）制造的全等三角形應(yīng)分別包括求證中一量； （2）添輔助線能夠直接得到的兩個(gè)全等三角形。2、證明直線平行或垂直 在兩條直線的位置關(guān)系中，平行與垂直是兩種特殊的位置。證兩直線平行，可用同位角、內(nèi)錯(cuò)角或同旁內(nèi)角的關(guān)系來(lái)證，也可通過(guò)邊對(duì)應(yīng)成比例、三角形中位線定理證明。證兩條直線垂直，可轉(zhuǎn)化為證一個(gè)角等于9

3、0，或利用兩個(gè)銳角互余，或等腰三角形“三線合一”來(lái)證。 例3. 如圖3所示，設(shè)bp、cq是的內(nèi)角平分線，ah、ak分別為a到bp、cq的垂線。 求證：khbc 分析：由已知，bh平分abc，又bhah，延長(zhǎng)ah交bc于n，則babn，ahhn。同理，延長(zhǎng)ak交bc于m，則cacm，akkm。從而由三角形的中位線定理，知khbc。 證明：延長(zhǎng)ah交bc于n，延長(zhǎng)ak交bc于m bh平分abc 又bhah bhbh 同理，cacm，akkm 是的中位線 即kh/bc 說(shuō)明：當(dāng)一個(gè)三角形中出現(xiàn)角平分線、中線或高線重合時(shí)，則此三角形必為等腰三角形。我們也可以理解成把一個(gè)直角三角形沿一條直角邊翻折（軸對(duì)

4、稱）而成一個(gè)等腰三角形。 例4. 已知：如圖4所示，abac，。 求證：fded 證明一：連結(jié)ad 在和中， 說(shuō)明：有等腰三角形條件時(shí)，作底邊上的高，或作底邊上中線，或作頂角平分線是常用輔助線。 證明二：如圖5所示，延長(zhǎng)ed到m，使dmed，連結(jié)fe，fm，bm 說(shuō)明：證明兩直線垂直的方法如下： （1）首先分析條件，觀察能否用提供垂直的定理得到，包括添常用輔助線，見(jiàn)本題證二。 （2）找到待證三直線所組成的三角形，證明其中兩個(gè)銳角互余。 （3）證明二直線的夾角等于90。3、證明一線段和的問(wèn)題 （一）在較長(zhǎng)線段上截取一線段等一較短線段，證明其余部分等于另一較短線段。（截長(zhǎng)法） 例5. 已知：如圖6

5、所示在中，bac、bca的角平分線ad、ce相交于o。 求證：acaecd 分析：在ac上截取afae。易知，。由，知。，得： 證明：在ac上截取afae 又 即（二）延長(zhǎng)一較短線段，使延長(zhǎng)部分等于另一較短線段，則兩較短線段成為一條線段，證明該線段等于較長(zhǎng)線段。（補(bǔ)短法） 例6. 已知：如圖7所示，正方形abcd中，f在dc上，e在bc上，。 求證：efbedf 分析：此題若仿照例1，將會(huì)遇到困難，不易利用正方形這一條件。不妨延長(zhǎng)cb至g，使bgdf。 證明：延長(zhǎng)cb至g，使bgdf 在正方形abcd中， 又 即gaefae 4、中考題： 如圖8所示，已知為等邊三角形，延長(zhǎng)bc到d，延長(zhǎng)ba到

6、e，并且使aebd，連結(jié)ce、de。 求證：eced 證明：作df/ac交be于f 是正三角形 是正三角形 又aebd 即efac 題型展示： 證明幾何不等式： 例題：已知：如圖9所示，。 求證： 證明一：延長(zhǎng)ac到e，使aeab，連結(jié)de 在和中， 證明二：如圖10所示，在ab上截取afac，連結(jié)df 則易證 說(shuō)明：在有角平分線條件時(shí)，常以角平分線為軸翻折構(gòu)造全等三角形，這是常用輔助線?！緦?shí)戰(zhàn)模擬】 1. 已知：如圖11所示，中，d是ab上一點(diǎn)，decd于d，交bc于e，且有。求證： 2. 已知：如圖12所示，在中，cd是c的平分線。 求證：bcacad 3. 已知：如圖13所示，過(guò)的頂點(diǎn)a，在a內(nèi)任引一射線，過(guò)b、c作此射線的垂線bp和cq。設(shè)m為bc的中點(diǎn)。 求證：mpmq 4. 中，于d，求證：【試題答案】 1. 證明：取cd的中點(diǎn)f，連結(jié)af 又 2. 分析：本題從已知和圖形上看好象比較簡(jiǎn)單，但一時(shí)又不知如何下手，那么在證明一條線段等于兩條線段之和時(shí)，我們經(jīng)常采用“截長(zhǎng)補(bǔ)短”的手法。“截長(zhǎng)”即將長(zhǎng)的線段截成兩部分，證明