局域熵產(chǎn)生率及最小熵產(chǎn)生定理

1、13屆屆 分 類 號: O551.1 單位代碼:10452畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）局域熵產(chǎn)生率的推導(dǎo)及最小熵產(chǎn)生定理局域熵產(chǎn)生率的推導(dǎo)及最小熵產(chǎn)生定理 姓 名 徐徐 峰峰 學(xué) 號 200901020118200901020118 年 級 20092009 專 業(yè) 物理學(xué)物理學(xué) 系（院） 理學(xué)院理學(xué)院 指導(dǎo)教師 艾樹濤艾樹濤 2013 年 04 月 17 日臨沂大學(xué) 2013 屆本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）摘摘 要要本文用類比的方法對熵函數(shù)進(jìn)行分析討論,簡要介紹了熵理論的發(fā)展.基于非平衡系統(tǒng)的局域平衡假設(shè),把熱力學(xué)基本微分方程、能量守恒定律和物質(zhì)守恒定律應(yīng)用于熱力學(xué)中的不可逆過程.通過兩個(gè)例子對不可逆過程進(jìn)行熱

2、力學(xué)分析,探討了不可逆過程中熵的處理的一般方法,得到了不可逆過程熵產(chǎn)生率的表達(dá)式,此表達(dá)式具有普遍性意義.參照擴(kuò)散不可逆過程中熵流密度與局域熵產(chǎn)生率的計(jì)算,介紹單純熱傳導(dǎo)過程和單純擴(kuò)散過程的最小熵產(chǎn)生定理,推導(dǎo)了最小熵產(chǎn)生定理表達(dá)式.簡單的闡述了局域熵產(chǎn)生率和最小熵產(chǎn)生定理的研究意義.關(guān)鍵字:熵函數(shù);熵流密度;局域熵產(chǎn)生率;最小熵產(chǎn)生定理臨沂大學(xué) 2013 屆本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）ABSTRACTIn this paper, we use the method of analogism to Entropy function for discussing and analyzing, intro

3、duced the development of the theory of entropy local equilibriu -m assumption briefly. Based on non-equilibrium system, the basic differential equa- tions of thermodynamics, energy conservation law and the law of conservation of matter used in thermodynamics of irreversible processes and thermodynam

4、ic ana- lysis. Though two examples of irreversible process to analysis the entropy of irrever- -sible process and general expression of the irreversible process of entropy production rate, this expression has universal significance. Depend on the density of entropy flow -calculation and the entropy

5、production rate in spread irreversible process, introduced the theory of minimum entropy production in pure heat conduction and simple dif- fusion process.Infer the theorem of the local entropy production rate and minimum entropy production theorem expressions. Simple expositions of the local entrop

6、y production rate and the minimum entropy production theorem significance.Key words: Entropy function; Entropy flux density; Local entropy production rate; Minimum entropy production theorem臨沂大學(xué) 2013 屆本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）目目 錄錄1 1 引言引言.12 2 熵函數(shù)的導(dǎo)出熵函數(shù)的導(dǎo)出.12.1 熵函數(shù).12.2 熵的意義.23 3 局域熵產(chǎn)生率的推導(dǎo)局域熵產(chǎn)生率的推導(dǎo).24 4 兩個(gè)實(shí)例兩個(gè)實(shí)例.

7、55 5 最小熵產(chǎn)生定理最小熵產(chǎn)生定理.85.1 單純熱傳導(dǎo)過程的最小熵產(chǎn)生定理.85.2 單純擴(kuò)散過程的最小熵產(chǎn)生定理.85.3 最小熵產(chǎn)生定理的推導(dǎo).96 6 結(jié)語結(jié)語.13參參 考考 文文 獻(xiàn)獻(xiàn).14致致 謝謝.15臨沂大學(xué) 2013 屆本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）11 引言熵增加定律,即熵表述的熱力學(xué)第二定律,是自然界一個(gè)基本定律1.它不僅在物理學(xué)、而且在宇宙學(xué)、化學(xué)和生物學(xué)等領(lǐng)域都起著重要作用.這個(gè)被 Eins -tein 譽(yù)為整個(gè)科學(xué)的首要定律,自建立以來雖經(jīng) 100 多年的研究,其理論描述迄今能肯定的只有兩種:一是熟知的孤立系統(tǒng)的熵只增不減的不等式描述；二是不可逆熱力學(xué)描述:熵產(chǎn)生率等于

8、廣義力與由其引起的廣義流的標(biāo)量積之和2.兩者相比,前者除不等式外,缺乏具體內(nèi)容;后者的物理內(nèi)涵雖更多更形象,但卻是唯象的,且不能統(tǒng)一化簡成由少數(shù)幾個(gè)物理量表述之.從物理學(xué)的發(fā)展角度看,很多重要的物理定律都可由定量的單項(xiàng)數(shù)學(xué)公式表示之3.隨著非平衡態(tài)統(tǒng)計(jì)物理的興起,熵產(chǎn)生率即熵增加定律的微觀物理基礎(chǔ)是什么？它是由哪幾個(gè)物理量決定的？可否由一個(gè)定量的簡明統(tǒng)計(jì)公式表示之？這就成為該領(lǐng)域一個(gè)中心課題.當(dāng)前,研究熵產(chǎn)生的工作甚為活躍,其方法和結(jié)果可謂眾說紛紜,莫衷一是.綜合來看,這些工作有兩個(gè)共同點(diǎn):其一,它們絕大多數(shù)僅是單個(gè)孤立課題的計(jì)算,與非平衡態(tài)統(tǒng)計(jì)物理原理無關(guān)；其二,尚未見到文獻(xiàn)中能給出一個(gè)物理

9、意義清晰且可用于實(shí)際課題計(jì)算的熵產(chǎn)生率的簡明公式.本文就局域熵產(chǎn)生率和最小熵產(chǎn)生定理作了簡要的介紹.2 熵函數(shù)的導(dǎo)出2.1 熵函數(shù)根據(jù)克勞休斯原理:任意可逆循環(huán)過程的熱溫商之和為零4.有如下所示的任意可逆循環(huán)過程:A.如下圖所示. 4 因?yàn)?(2-1) 0TQR所以 （2-2）0TQ2R1ABRBAQ臨沂大學(xué) 2013 屆本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）2所以 (2-3)ABBARRATQTQ22BR1TQ上式表明:的值與 AB 之間所經(jīng)歷的具體的可逆途徑無關(guān),而僅由BARTQ始,終態(tài)決定.所以是某一函數(shù)的全微分,而狀態(tài)函數(shù)在數(shù)學(xué)上具全微分的TQR性質(zhì).所以定義熵函數(shù): TQdS （2-4)2.2 熵的意

10、義1.熵是系統(tǒng)的狀態(tài)函數(shù),是容量性質(zhì),整個(gè)系統(tǒng)的熵值是各個(gè)部分的熵的總和5.2.熵是狀態(tài)函數(shù),但不像溫度和壓力可憑感覺知道,也不像體積可由實(shí)驗(yàn)測知5.3.熵的特點(diǎn)是當(dāng)系統(tǒng)的狀態(tài)發(fā)生變化時(shí),為了確定系統(tǒng)熵的變化不是研究從始態(tài)到終態(tài)的實(shí)際過程所能辦到的,而是在始,終態(tài)之間假設(shè)一個(gè)可逆的變化過程,計(jì)算可逆過程的熱溫熵.即 （2-BARTSQ5）4.熵的性質(zhì)是在孤立系統(tǒng)中,熵只增加而不減少,以此可作為熱力學(xué)過程方向與限度的判據(jù).即:S孤立 0 為自發(fā)過程;S孤立= 0 為系統(tǒng)處于平衡; 1 2 S孤立 0 為不能發(fā)生的過程. 3 5.熵的統(tǒng)計(jì)意義是它代表了分子熱運(yùn)動混亂程度的量度(S=kln 其中 k

11、 為玻茲曼常數(shù), 為熱力學(xué)幾率).熵的增加表示系統(tǒng)從微觀狀態(tài)數(shù)小的狀態(tài)向微觀狀態(tài)數(shù)大的狀態(tài)演變;從比較有規(guī)則有秩序的狀態(tài)向更無規(guī)則,更無序的狀態(tài)演變6-7.3 局域熵產(chǎn)生率的推導(dǎo)近幾年,提出了一個(gè)新的非平衡態(tài)統(tǒng)計(jì)物理基本方程,即 6N 維相空間反常朗之萬方程或與其等價(jià)的劉維爾擴(kuò)散方程,以取代現(xiàn)有的劉維爾方程.由這個(gè)基本方程出發(fā)求得了波爾茲曼碰撞擴(kuò)散方程、熵增加定律、最小熵產(chǎn)生原理等,進(jìn)而臨沂大學(xué) 2013 屆本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）3首次得到了非平衡熵密度隨時(shí)空變化的非線性演化方程,預(yù)言了熵?cái)U(kuò)散的存在,得到了熵產(chǎn)生率的統(tǒng)計(jì)表達(dá)式.接下來從此表達(dá)式出發(fā),推導(dǎo)出 6N 維和 6 維相空間的熵產(chǎn)生率,即

12、熵增加定律的簡明統(tǒng)計(jì)公式.這個(gè)公式物理意義清晰,整個(gè)推導(dǎo)過程簡單嚴(yán)格8.統(tǒng)計(jì)公式：在非平衡態(tài)統(tǒng)計(jì)物理中,6N 維相空間的非平衡熵可定義為 （3-SSSSGXGGddtXtXt000,ln,1）對于廣延性質(zhì)(如 U、S、V 等),整個(gè)系統(tǒng)的熱力學(xué)量是相應(yīng)的局部熱力學(xué)量之和；對于強(qiáng)度性質(zhì)(如 T、P、等),整個(gè)系統(tǒng)不具有統(tǒng)一的數(shù)值.因?yàn)樵诓豢赡孢^程中,體系的熵變?yōu)?（3-2）TdQdS不可逆引進(jìn)一個(gè)待定的正數(shù) diS,可以把(3-2)式寫成等號的形式(此處假設(shè)(3-2)式對于局部熵也成立) (3-3)SdTdQSdSdiiedS即把系統(tǒng)的熵變看作是兩部分組成的.在與環(huán)境成熱平衡的條件下,系統(tǒng)的熵變

13、一部分來源于系統(tǒng)與外界交換物質(zhì)和能量所引起的系統(tǒng)的熵變,可正可負(fù) (des);另一部分來源于內(nèi)部的不可逆變化(dis),dis 是一個(gè)恒正量,從而確使 （3-4）TdQdS 對不可逆過程,對可逆過程.對于孤立系統(tǒng)，故0Sdi0dSi0Sde這就是熵增加原理.0SddSi對于封閉系統(tǒng)得到,這時(shí)的正負(fù)取決于系統(tǒng)是吸熱還TdQSdeTdQdS Sde是放熱.對于開系,除了熱量交換外系統(tǒng)與外界的物質(zhì)交換也會引起.為了建Sde立不可逆過程的熱力學(xué)需要計(jì)算各種不可逆過程熱力學(xué),需要計(jì)算各種不可逆過程的和6-7.SdiSde下面將對處于非平衡狀態(tài)的不可逆過程進(jìn)行熱力學(xué)分析.我們限于討論這樣的情況:雖然整個(gè)體

14、系處于非平衡狀態(tài),但是如果把系統(tǒng)分成若干個(gè)小部分,使每一部分仍然是含有大量粒子的宏觀系統(tǒng),那么整個(gè)體系卻可以看作處在局部的平臨沂大學(xué) 2013 屆本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）4衡狀態(tài).在這種情形下,每一部分的溫度、壓力、內(nèi)能和熵等就都有確定的意義8.我們稱之為局部的熱力學(xué)量.假設(shè)這些局部熱力學(xué)量的改變?nèi)匀粷M足下列基本熱力學(xué)微分方程: (3-5)NiniidPdVdUTdS0式中 Ni是 i 組元的分子數(shù),相應(yīng)的i是一個(gè)分子的化學(xué)勢.上式給出系統(tǒng)在兩個(gè)相鄰平衡態(tài)的熵、內(nèi)能、體積、和分子數(shù)之差的關(guān)系.對于系統(tǒng)在不可逆過程中所經(jīng)歷的非平衡態(tài),我們限于討論下述情形：整個(gè)系統(tǒng)雖然處于非平衡狀態(tài),如果將系統(tǒng)分成若

15、干個(gè)小部分,使每個(gè)小部分仍然含有大量粒子的宏觀系統(tǒng),由于各個(gè)部分之間只通過界面區(qū)域的分子發(fā)生相互作用,且各小部分的弛豫時(shí)間比整個(gè)系統(tǒng)的弛豫時(shí)間要小得多,各個(gè)部分可以近似處于局域平衡狀態(tài).在這情形下,每一小部分的溫度、壓強(qiáng)、化學(xué)勢、內(nèi)能、熵、粒子數(shù)等就都確定的意義.我們假設(shè)這些局域熱力學(xué)量的改變?nèi)匀粷M足熱力學(xué)基本方程.如果問題不涉及流體力學(xué)問題可以略去.將全式除以局域體積可以得到聯(lián)系局域熵密度 s、內(nèi)能 密度 u 和粒子數(shù)密度 ni的方程式： (3-6)iiidnduTdS對于內(nèi)能、熵、粒子數(shù)等廣延量,整個(gè)系統(tǒng)的量可以表示為： , , (3-7)udUsdSdnNii對于強(qiáng)度量(溫度和化學(xué)勢等)

16、,系統(tǒng)不具有統(tǒng)一的數(shù)值.式(3-7)對于局域熱力學(xué)量仍然成立,在不可逆過程熱力學(xué)中是個(gè)假設(shè),其正確性由其推論與實(shí)際相符而得到肯定.統(tǒng)計(jì)物理學(xué)可以分析上述的正確性及其適用限度6-7.在局域平衡的情形下,可以將局域熵密度的增加率寫成如下的形式： (3-8)sJdtds式中的 單位時(shí)間內(nèi)流過單位截面的熵,稱為熵流密度,是單位時(shí)間內(nèi)單位體積中產(chǎn)生的熵,稱為局域熵產(chǎn)生率.根據(jù)式(3-7),整個(gè)系統(tǒng)熵的增加率可以表示為 (3-9)ddtssddtddtdsiJ利用高斯定理將右方第一項(xiàng)化為面積分,得 (3-10)dddtdsJs上式右方第一項(xiàng)表示單位時(shí)間內(nèi)通過系統(tǒng)表面從外界流入的熵,第二項(xiàng)表示單位時(shí)間內(nèi)系統(tǒng)

17、各體積元的熵產(chǎn)生之和.與式(3-3)比較知臨沂大學(xué) 2013 屆本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）5 , （3-dJdtsdseddtsdi11）由于任何宏觀區(qū)域中熵產(chǎn)生都是正定的,故有 (3-12) 0式(3-8)和式(3-10)只是一種形式的表示.需要對具體的不可逆過程求得熵流密度和局域熵產(chǎn)生率的具體表達(dá)式.下面我們介紹兩個(gè)例子10.4 兩個(gè)實(shí)例例例 1 1 考慮單純的熱傳導(dǎo)過程,即在過程中沒有物質(zhì)的遷移,并忽略體積的膨脹.當(dāng)物體各處的溫度不均勻時(shí),物體內(nèi)部將發(fā)生熱傳導(dǎo)過程.考慮物體中一個(gè)固定的體積元.在單純的熱傳導(dǎo)過程中,體積元中物質(zhì)內(nèi)能的增加是熱量流人的結(jié)果.以 u 表示體積元中的內(nèi)能密度,表示單位

18、時(shí)間內(nèi)通過單位截面的熱量,引人納qJ布拉算符 .根據(jù)能量守恒定律: (4-1)qJtU在沒有物質(zhì)流動和體積膨脹時(shí),熱力學(xué)基本微分方程為: （4-2）TdsdU 式中:s 是體積元中的熵密度.u 體積元中的內(nèi)能密度.由(4-2)式得局域熵密度的增加率為 (4-3)tuTts1即為熵密度的增加率.將(4-1)式帶入(4-3)式得 （4-4）qJTts1在直角坐標(biāo)系中,矢量算符 為 (4-5) zkyjxi根據(jù)矢量算符運(yùn)算公式:+得 ()= (4-6)TJJTTJqqq11臨沂大學(xué) 2013 屆本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）6所以 (4-7)TJTJtsqq1上式指出,熵密度增加率可分為兩部分,一部分是表示從

19、體積元外流TJq入的熱量所引起的局部熵密度的增加率.另一部分是表示體積元中的熱傳導(dǎo)過程所引起的局域熵密度的產(chǎn)生TJq1率.與(3-8)式比較有 , （4-8）TJJqsTJq1溫度不均勻是引起熱傳導(dǎo)的原因.定義稱為熱流動力.Tq1X局域熵密度的產(chǎn)生率可以表為熱流密度和熱流動力的乘積 (4-9)qqXJ 根據(jù)熱傳導(dǎo)過程遵從傅里葉定律 (4-10)TJq其中 是熱傳導(dǎo)系數(shù),所以(4-9)式可表示為： （4-01222TTTTJTJqq11）由于熱傳導(dǎo)系數(shù) 恒正,所以在熱傳導(dǎo)過程中的局部熵產(chǎn)生率是正定的6-7914.例例 2 2 如果除了溫度不均勻之外,物體性質(zhì)(如化學(xué)性質(zhì)或電學(xué)性質(zhì))也不均勻,即物

20、體各處的溫度和化學(xué)性質(zhì)都不等.則除了熱傳導(dǎo)之外,還將有物質(zhì)的遷移.現(xiàn)在討論同時(shí)存在熱傳導(dǎo)和物質(zhì)遷移時(shí)的局部熵產(chǎn)生率.同上例,考慮物體中一個(gè)固定的體積元.根據(jù)物體守恒定律,體積元中粒子數(shù)密度 n 的變化滿足連續(xù)方程: （4-0nJtn13）式中J Jn n.為粒子流密度,即單位時(shí)間內(nèi)通過單位截面的粒子數(shù).根據(jù)能量守恒定率,體積元中物質(zhì)的內(nèi)能密度 u 的變化率滿足連續(xù)性方程:臨沂大學(xué) 2013 屆本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）7 （4-0uJtu14）式中J Ju u為內(nèi)能流密度.根據(jù)(3-6)式,當(dāng)粒子數(shù)增加 dn 時(shí),內(nèi)能的增加為 dn,其中 是一個(gè)分子的化學(xué)勢.當(dāng)存在粒子流時(shí),內(nèi)能流密度可表示為:uJ

21、 （4-nquJJJ15）即內(nèi)能流密度是熱流密度與粒子流所攜帶的能流密度之和.將(4-15)式代人(4-14)式得: （4-nqJJTu16）由(3-6)式得熵密度的增加率為 (4-17)tnTtuTts1將(4-13)式和(4-14)式代人上式,得nnqJTJTJTts11 nnnqqJTJTJTTJTJ111 （4-18）nqqJTTJTJ11其中,表示從體積元外流入的熱量所引起的熵密度增加率,TJn表示體積元中熱傳導(dǎo)過程所引起的局域熵密度的產(chǎn)生率, 表TJq1nJT1示由于化學(xué)勢不均勻體積元中物質(zhì)遷移過程所引起的熵密度產(chǎn)生率.即體積元中的熵密度增加率共有此三個(gè)部分組成.與(3-8)式比較

22、可得： , (4-19)TJJqsnqJTTJ11前面說過,化學(xué)勢的不均勻性是引起物質(zhì)遷移的的原因.定義稱TXn1為粒子流動力.局域熵密度的產(chǎn)生率可以表為兩種流與力的乘積之和 （4-20）qqnnXJXJ臨沂大學(xué) 2013 屆本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）8上式具有普遍性,當(dāng)多個(gè)不可逆過程同時(shí)存在時(shí),熵密度產(chǎn)生率都可以表示成上述形式.因?yàn)轶w積元是任意選定的,所以對于整個(gè)物體也成立.局域熵0密度可以表為各種不可逆過程的流與力的雙線性函數(shù)： （4-21）kkkXJ公式(3-5)對于局部熱力學(xué)量仍然成立在熱力學(xué)理論中是假設(shè)的,其正確性可由其推論與實(shí)際相符而得到肯定17.通過對上述兩個(gè)例子的分析,得出了不可逆過

23、程熵密度產(chǎn)生率的一般表達(dá)式,此式可推廣到任意不可逆過程,具有普遍性意義.在分析中,解決了不可逆過程熵的處理問題,得到了不可逆過程熱力學(xué)問題的一般處理方法 6-7913.5 最小熵產(chǎn)生定理5.1 單純熱傳導(dǎo)過程的最小熵產(chǎn)生定理最小熵產(chǎn)生定理6-7是非平衡態(tài)熱力學(xué)基本理論之一單純(線性)熱傳導(dǎo)過程的最小熵產(chǎn)生隨時(shí)間變化的表達(dá)式為 （5-1）dtTTCdtdPV2212由于被積函數(shù)非負(fù),故有 或 （5-2）01dtdP0dtdQ1上式表明,如果系統(tǒng)的溫度分布隨時(shí)間變化,其中發(fā)生的(線性)熱傳導(dǎo)過程將使系統(tǒng)的熵產(chǎn)生隨時(shí)間減少,直到熵產(chǎn)生率達(dá)到最小值、系統(tǒng)處在具有定常分布的非平衡定態(tài)為止.這就是最小熵產(chǎn)

24、生定理1116.5.2 單純擴(kuò)散過程的最小熵產(chǎn)生定理給出了在流體保持恒溫恒壓因而不存在流動和熱傳導(dǎo)且 k 種化學(xué)組元不發(fā)生化學(xué)反應(yīng)的情況下,單純( 線性) 擴(kuò)散過程的最小熵產(chǎn)生隨時(shí)間變化的表達(dá)式為 （5-dtntnnTijijii1dtdP23）現(xiàn)在討論式(5-3)中被積函數(shù)的符號.由于系統(tǒng)中各小部分處在局域平衡,在恒溫恒壓條件下,局域吉布斯函數(shù)密度 g 應(yīng)具有極小值,即它的一級微分為臨沂大學(xué) 2013 屆本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）9 （5-0iiing4）二級微分為 （5-ijjijinnn025）其中用了式,應(yīng)當(dāng)注意, 作為 T,P,的函數(shù),是iiidnVdPSdTdGn1 的零次齊函數(shù),因此式

25、(5-4)和(5-5)中的 不是完全獨(dú)立的,要滿足零次n1齊函數(shù)的條件 （5-0jijjnn6）比較式(5-3)和(5-4),注意它們都同樣滿足式(5-6),知式(5-3)的被積函數(shù)不為負(fù),故有 02dtdP (5-7)這是多元體系中擴(kuò)散過程的最小熵產(chǎn)生定理1215.5.3 最小熵產(chǎn)生定理的推導(dǎo)所謂熱擴(kuò)散過程是既有熱傳導(dǎo)又有擴(kuò)散的過程15-16(這里我們假設(shè): 熱流動力和粒子流動力都很小都還滿足輸運(yùn)的線性定律).單純熱傳導(dǎo)過程的局域熵產(chǎn)生率17 (5-8)TJq11單純擴(kuò)散過程的局域熵產(chǎn)生率18 (5-9)iiiTJ2寫成流和動力的乘積,有動力,假設(shè)流與動力仍呈線性iiXJ 2TXq1關(guān)系,滿

26、足 ( 傅里葉定律) （5-10）TJp ( 菲克定律) （5-nDJn11）而同時(shí)有熱流臨沂大學(xué) 2013 屆本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）10 （5-TTLTLXLJqqqqqqqq2112）所以(5-10)式與(5-12)式聯(lián)立得位力系數(shù) （5-2TLqq13）粒子流 （5-TLnDXLJiiiiii14）所以,式(5-11)與式(5-14)式聯(lián)立得 （5-nTDLii15）由,知由粒子流動力引起的熱流為llklkXLJ TTTTXJLiqqi （5-16）由熱流動力引起的粒子流為 （5-TnDTTnDXJLqiiq2117）整個(gè)熱擴(kuò)散系統(tǒng)的局域熵產(chǎn)生率22iiiqiiqiqqiqqqXLXXLX

27、XLXL2222111TunTDTTTnDTTuTTTTnTDTTTT212222nTDTT222TnDTT12臨沂大學(xué) 2013 屆本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）11 （5-iiqqXJXJ 218）滿足線性關(guān)系kKKXJ所以 (5-19)dP最小熵的條件是熵產(chǎn)生率隨時(shí)間的變化等于零,即 （5-20）0dtdtdddtdP從而 dXJXJdtdPiiqq 2 （5-dTTJTJdTXJXJiqiiqq12221） 在 Lqq,Lii不隨時(shí)間變化的情況下,有 (5-22)dtTLdtTLdtdPiiqq2122上式中的第一項(xiàng)dTtJdTTTLdtTLqqqqq14114122 （5-dJTtdTtJqq

28、141423）上式右方第一項(xiàng)可換為面積分dJTtq14在邊界溫度不隨時(shí)間變化的情形下面積分為零,故有dJtTTdJTtdtTLqqqq22141412 （5-24）而(5-22)式中的第二項(xiàng)臨沂大學(xué) 2013 屆本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）12dtTJdtTTLdtTLiiiii442dtTTtJi)1(14dtJTdTtJii1414dtJTdJTtii1414第一項(xiàng)用 AAA (5-25) dtJTdJtTTdJtTTiii14141422所以(5-22)式變?yōu)閐JtTTdJtTTdtdPiq221414 (5-26)dTJTdJtTTii14142而上式前兩項(xiàng)dJJtTTdJtTTdJtTTiq

29、iq222141414 (5-27)又因?yàn)?（5-28）tTCJJdtduviq所以（5-26）式前兩項(xiàng)可以化為 (5-29)dtTTCdJtTTdJtTTViq222241414而(5-26)式后兩項(xiàng)dtJTdJtTTii14142 (5-30)dJtTdtJTdJtTTiii1414142將第二項(xiàng)換為面積分有臨沂大學(xué) 2013 屆本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）13 (5-31)dtJTdtJTii1414它在邊界條件不隨時(shí)間變化時(shí)為零.所以式（5-30）可變?yōu)?(5-32)dJtTdJTtii1414所以（5-26）式 (5-33)dJtTdJTtdtTTCdtdPiiV14144222由前面單純擴(kuò)

30、散過程的結(jié)論知(5-33)式第三項(xiàng)可化為dtntnnTijji14所以(5-33)式可化為 (5-34)dtntnnTdJTtdtTTCdtdPijjiiV14144222由前邊單純熱傳導(dǎo)過程知0422dtTTCV單純擴(kuò)散過程知恒溫恒壓下014dtntnnTijji對于動力加以約束,令熱流動力X為常數(shù),則(5-34)式第二項(xiàng)為零,所以(5-34)式可化為 (5-35)014422dtntnnTdtTTCdtdPijjiV即0dtdP綜上知,系統(tǒng)處在具有定常的流動力 Xq和 Xi,定常的流 Jq和 Ji的非平衡定態(tài)時(shí),且熱流動力 Xq是常數(shù)的約束條件下,系統(tǒng)的熵產(chǎn)生率最小,這就是熱擴(kuò)散過程的最小

31、熵產(chǎn)生定理19.6 結(jié)語 熵的增加就意味著有效能量的減少.每當(dāng)自然界發(fā)生任何事情,一定的能量就被轉(zhuǎn)化成了不能再做功的無效能量.實(shí)際上世界上轉(zhuǎn)化成無效能量的全部有效臨沂大學(xué) 2013 屆本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）14能量的總和.耗散了的能量就是污染.既然根據(jù)熱力學(xué)第一定律,能量既不能被產(chǎn)生又不能被消滅,而根據(jù)熱力學(xué)第二定律,能量只能沿著一個(gè)方向,即耗散的方向轉(zhuǎn)化,那么污染就是熵的同義詞.它是某一系統(tǒng)中存在的一定單位的無效能量.本文從熵函數(shù)出發(fā),把熱力學(xué)基本微分方程、能量守恒定律和物質(zhì)守恒定律應(yīng)用于熱力學(xué)中的不可逆過程,推導(dǎo)出局域熵產(chǎn)生率的表達(dá)式,進(jìn)而得到最小熵產(chǎn)生定理.推導(dǎo)過程細(xì)致嚴(yán)謹(jǐn).可以用局域熵產(chǎn)

32、生描述自然災(zāi)害發(fā)生過程的耗散強(qiáng)度,它有深厚的物理基礎(chǔ)和理論根據(jù).可以得到徑向能流和地表溫度的觀測值算得的局域熵產(chǎn)生緯度分布與北半球重大自然災(zāi)害的緯度分布有很好的相關(guān)性.它表明局域熵產(chǎn)生是可以用來描述自然災(zāi)害耗散強(qiáng)度的.臨沂大學(xué) 2013 屆本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）15參 考 文 獻(xiàn)1胡珍珠.講授物理化學(xué)中熱力學(xué)第二定律的探討J.高等理科教育.2001.2羅久里,李琳麗.熵、巨勢與開放的近平衡系統(tǒng)熱力學(xué)第二定律的兩種表現(xiàn)形式J.四川大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版).1994(01)3范建中.不可逆過程的基本方程和熵增率J.太原師范學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版).2004(01)4高貴軍.對熵函數(shù)概念的討論J.張家口師專學(xué)報(bào).2006(06)5李衛(wèi)東.熵產(chǎn)生率與特性函數(shù)變化率的等價(jià)性J.延安大學(xué)學(xué)報(bào).2003(06)6汪志誠.熱力學(xué)與統(tǒng)計(jì)物理學(xué)M.