數(shù)列與不等式的結(jié)合

1、1.（浙江省五校2009屆高三第一次聯(lián)考理科第21題）已知函數(shù)，數(shù)列滿足：（1）求證：；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）求證不等式：分析：（1）構(gòu)造函數(shù)、利用函數(shù)的單調(diào)性證明；（2）根據(jù)函數(shù)關(guān)系把數(shù)列的遞推關(guān)系找出來(lái)，利用變換的方法將遞推關(guān)系轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列的關(guān)系解決；（3）根據(jù)（1）（2）的結(jié)果分析探究解析：（1）， ，當(dāng)時(shí)，即是單調(diào)遞增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，即是單調(diào)遞減函數(shù) 所以，即是極大值點(diǎn)，也是最大值點(diǎn) ，當(dāng)時(shí)取到等號(hào) （2）由得， ，即數(shù)列是等差數(shù)列，首項(xiàng)為，公差為，（3） 又時(shí)，有，令，則 點(diǎn)評(píng)：本題第一問(wèn)的不等式及其類似的不等式是一類很重要的不等式，在各地的高考試題中已經(jīng)出現(xiàn)過(guò)多次，

2、對(duì)其在解決數(shù)列問(wèn)題中的應(yīng)用要多加體會(huì)和總結(jié)；第二問(wèn)中的遞推數(shù)列是形如之類的遞推數(shù)列的一個(gè)深化；第三問(wèn)中的問(wèn)題實(shí)際上就是和式的估計(jì)問(wèn)題，這也是一個(gè)經(jīng)常用來(lái)命題試題的地方2.已知用數(shù)學(xué)歸納法證明；對(duì)對(duì)都成立，證明（無(wú)理數(shù)）（05年遼寧卷第22題）解析 結(jié)合第問(wèn)結(jié)論及所給題設(shè)條件（）的結(jié)構(gòu)特征，可得放縮思路：。于是， 即注：題目所給條件（）為一有用結(jié)論，可以起到提醒思路與探索放縮方向的作用；當(dāng)然，本題還可用結(jié)論來(lái)放縮： ，即4.設(shè)數(shù)列滿足，當(dāng)時(shí)證明對(duì)所有 有；（02年全國(guó)高考題） 解析 用數(shù)學(xué)歸納法：當(dāng)時(shí)顯然成立，假設(shè)當(dāng)時(shí)成立即，則當(dāng)時(shí)，成立。 利用上述部分放縮的結(jié)論來(lái)放縮通項(xiàng)，可得 注：上述證明用

3、到部分放縮，當(dāng)然根據(jù)不等式的性質(zhì)也可以整體放縮：；證明就直接使用了部分放縮的結(jié)論或再用數(shù)學(xué)歸納法證明此加強(qiáng)命題，就容易多了5.數(shù)列由下列條件確定：，（i）證明：對(duì)總有；(ii)證明：對(duì)總有（02年北京卷第（19）題） 解析 構(gòu)造函數(shù)易知在是增函數(shù)。 當(dāng)時(shí)在遞增故 對(duì)(ii)有，構(gòu)造函數(shù)它在上是增函數(shù)，故有，得證。注：本題有著深厚的科學(xué)背景：是計(jì)算機(jī)開(kāi)平方設(shè)計(jì)迭代程序的根據(jù)；同時(shí)有著高等數(shù)學(xué)背景數(shù)列單調(diào)遞減有下界因而有極限： 是遞推數(shù)列的母函數(shù)，研究其單調(diào)性對(duì)此數(shù)列本質(zhì)屬性的揭示往往具有重要的指導(dǎo)作用。6.定義數(shù)列如下：證明：（1）對(duì)于恒有成立。 （2）當(dāng)，有成立。 （3）。分析：（1）用數(shù)學(xué)歸納法易證。 （2）由得：， ， 以上各式兩邊分別相乘得： ，又， （3）要證不等式，可先設(shè)法求和：，再進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆趴s。， ， 又， ， 原不等式得證。7.已知數(shù)列中，其前項(xiàng)和滿足.令.（）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）若，求證：（）；（）令（），求同時(shí)滿足下列兩個(gè)條件的所有的值：對(duì)于任意正整數(shù)，都有；對(duì)于任意的，均存在，使得時(shí)，.【解】（）由題意知即12檢驗(yàn)知、時(shí)，結(jié)論也成立，故.3（）由于故.6（）（）當(dāng)時(shí)，由（）知：，即條件滿足；又，.取等于不超過(guò)的最大整數(shù)，則當(dāng)時(shí)，.9（）當(dāng)時(shí)，.由（）知存在，當(dāng)時(shí)，故存在，當(dāng)時(shí)，不