點到平面距離的若干典型求法

1、點到平面距離的若干典型求法目錄1. 引言 12. 預(yù)備知識 13. 求點到平面距離的若干求法 33.1 定義法求點到平面距離 33.2 轉(zhuǎn)化法求點到平面距離 53.3 等體積法求點到平面距離 73.4 利用二面角求點到平面距離 83.5 向量法求點到平面距離 93.6 最值法求點到平面距離 113.7 公式法求點到平面距離 131 .引言求點到平面的距離是高考立體幾何部分必考的熱點題型之一，也是學(xué)生較難準(zhǔn)確把握難 點問題之一。點到平面的距離的求解方法是多種多樣的， 本講將著重介紹了幾何方法（如體 積法，二面角法）、代數(shù)方法（如向量法、公式法）及常用數(shù)學(xué)思維方法（如轉(zhuǎn)化法、最值 法）等角度等七種

2、較為典型的求解方法，以達(dá)到秒殺得分之功效。2.預(yù)備知識（1）正射影的定義：（如圖1所示）從平面外一點P向平面 引垂線，垂足為P，則點P叫 做點P在平面 上的正射影，簡稱為射影。同時把線段 PP叫作點P與平面 的垂線段。圖1 點到平面距離定義：一點到它在一個平面上的正射影的距離叫作這點到這個平面的距離， 也即點與平面間垂線段的長度。（3）四面體的體積公式1V Sh3其中V表示四面體體積，S、h分別表示四面體的一個底面的面積及該底面所對應(yīng)的高。(4) 直線與平面垂直的判定定理 : 一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線垂直， 則該直線與此 平面垂直。(5) 三垂線定理 : 在平面內(nèi)的一條直線， 如果它

3、和這個平面的一條斜線的射影垂直， 那么它和 這條斜線也垂直。(6) 二面角及二面角大小 : 平面內(nèi)的一條直線 l 把平面分為兩部分， 其中的每一部分都叫做 半平面，從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形，叫做二面角, 這條直線叫做二面角的棱，每個半平面叫做二面角的面。圖2 所示為平面 與平面 所成的二面角，記作二面角 I ，其中I為二面角的棱。如圖在棱I上任取一點0 ,過點0分別在平面 及 平面 上作I的垂線0A、0B，則把平面角 AOB叫作二面角 I 的平面角， AOB的 大小稱為二面角 I 的大小。在很多時候為了簡便敘述，也把 AOB稱作 與平面 所 成的二面角。圖2(7) 空間向量內(nèi)積

4、:代數(shù)定義 : 設(shè)兩個向量 ar (x1,y1,z1)， br (x2,y2,z2) ，則將兩個向量對應(yīng)分量的乘積之和r r r定義為向量a與b的內(nèi)積，記作cago，依定義有acb = x-jx2 y1y2 z(z2幾何定義：在歐幾里得空間中，將向量a與b的內(nèi)積直觀地定義為Cgb |a|b|cos a,b ， 這里|舌|、|b|分別表示向量a、b的長度，a,b表示兩個向量之間的夾角。 向量內(nèi)積的 幾何意義為一個向量的模與另一個向量在這個向量正方向上投影向量模的乘積。當(dāng)r r0r rr r r rr r r r0a,b 90，即 a b 時，ago | a | b | cos a, b |a|b

5、|cos900。下面說明這兩種定義是等價的。r uuur r uuur r uuur如圖3所示，設(shè)0、P、Q為空間的三點，令a OP，b OQ，c PQ圖3由余弦定理|cr|2 |ar|2 |b|2 2|ar|b|cos ar,brrr再設(shè)a (知力憶)，b &2肆2厶)，則c (x? 洛，y? wz Zi)xx22)y12x = 2)z12z22x2z2 yz z y y xrb ra,這就證得了兩個定義是等價的。3 求點到平面距離的若干求法定義法求點到平面距離 (直接法 )定義法求點到平面距離是根據(jù)點到平面的定義直接作出或者尋找出點與平面間的垂線 段，進(jìn)而根據(jù)平面幾何的知識計算垂線段長度而

6、求得點與平面距離的一種常用方法。 定義法 求點到平面距離的關(guān)鍵在于找出或作出垂線段，而垂線段是由所給點及其在平面射影間線 段，應(yīng)而這種方法往往在很多時候需要找出或作出點在平面的射影。 以下幾條結(jié)論常常作為尋找射影點的依據(jù) :(1) 兩平面垂直的性質(zhì)定理 : 如果兩個平面互相垂直，那么在一個平面內(nèi)垂直于他們交線的 直線垂直于另一個平面。(2) 如果一個角所在平面外一點到角的兩邊的距離相等，那么這個點在該平面內(nèi)的射影在 這個角的角平分線所在的直線上。(3) 經(jīng)過一個角的頂點引這個角所在平面的斜線。設(shè)斜線和已知兩邊的夾角為銳角且相等， 則這條斜線在這個平面的射影是這個角的角平分線。(4) 若三棱錐的

7、三條棱長相等，則頂點在底面上的射影是底面三角形的外心。例 如圖 4 所示，所示的正方體 ABCD ABCD 棱長為 a ，求點 A 到平面 ABD 的距離。( 注 : 本文所有解法均使用本例 )圖4解法一(定義法):如圖5所示，連結(jié)交BD于點E，再連結(jié)AE，過點A作AH垂直于AE，垂足為H，下面證明 AH 平面ABD。圖5Q AA 平面 ABCDBD AA又Q在正方形ABC D中，對角線BD AC，且AAIAC AAA 平面AAE, AC 平面AA E由線面垂直的判定定理知道 B D 平面AA EQ AH 平面AA EAH BD又由A H的作法知道AH AE，且有BD I AE E，B D 平

8、面ABD，AE 平面AB D由線面垂直的判定定理知道 AH 平面ABD根據(jù)點到平面距離定義,AH的長度即為點A到平面ABD的距離，下面求AH的長度。ABD中，容易得到ABBDDA 、.2a，從而 ABD為正三角形，ABD 60 o進(jìn)而在Rt ABE中，AEAB sinAB D、2asi n 606a o2得到11由 Saae - AA AE - AE A H2 21 AA -AC2AE從而A到平面AB D的距離為一a o3轉(zhuǎn)化法求點到平面距離有時候限于幾何體的形狀，不易直接尋找出點在平面的射影，或者由直接法作出的射影線段在所給幾何體中不易計算其長度，此時轉(zhuǎn)化法不失為一種有效的方法。轉(zhuǎn)化法即是將

9、點到平面的距離轉(zhuǎn)化為另一點到平面間的距離的方法。轉(zhuǎn)化法依據(jù)主要有以下兩點：(1)若直線I /平面，則直線I上所有點到平面 的距離均相等。 若直線AB與平面 交于點M，則點A、B到平面 的距離之比為AM : BM。特別地, 當(dāng)M為AB中點時，A、B到平面的距離相等。下面用轉(zhuǎn)化法重解上面例題解法二(轉(zhuǎn)化法)如圖6所示，連結(jié)AC、AC、AC、AB、AB , AC交BD于點E ,連結(jié)AE交AC1于點H，延長AC至點G使得CG丄AC，連結(jié)CG。2圖6Q CB 平面 AABB從而斜線AC在平面AABB的射影為A BQ AB、AB為正方形 AABB對角線AB AB，由三垂線定理知道AB AC同理可以得到AD

10、 AC又 Q AB I AD A，AB 平面 ABD，AD 平面 AB DA C 平面AB DAH 平面ABD，即點H為A在平面ABD的射影，AH的長度為所求1 1Q AC/AC 即 AC/EG，且 EG EC C G AC AC AC AC22四邊形ACGE為平行四邊形AE/CG在ACG由等比性質(zhì)有A H AE 1AC EG 31A H AC3而在正方體 ABCD ABCD中對角線AC . A A2 AB2 BC2 . 3aAH a3在本例中，未直接計算垂線段 AH的長度，而是找出了其與正方體 ABCD ABCD中 對角線AC的數(shù)量關(guān)系，從而轉(zhuǎn)化為求正方體 ABCD ABCD對角線AC長度，

11、而AC長度 是極易計算的，故用這種轉(zhuǎn)化方法降低了運算量。本例運用的轉(zhuǎn)化方法與依據(jù) (2)類似，都 是尋求所要求的垂線段與某一已知或易求線段的數(shù)量關(guān)系，從而簡化計算。等體積法求點到平面距離用等體積法求點到平面的距離主要是一個轉(zhuǎn)換的思想，即要將所要求的垂線段置于一個四面體中，其中四面體的一個頂點為所給點，另外三點位于所給點射影平面上，這里不 妨將射影平面上的三點構(gòu)成的三角形稱為底面三角形。先用簡單的方法求出四面體的體積，然后計算出底面三角形的面積，再根據(jù)四面體體積公式 V -Sh求出點到平面的距離h。在3首選此常規(guī)方法不能輕松獲得結(jié)果的情況下，如果能用到等體積法，則可以很大程度上提高解題效 率，達(dá)

12、到事半功倍的效果。特別是遇到四面體的有一條棱垂直于其所相對的底面時，方法。下面用等體積法求解上面例子解法三（等體積法）:如圖7所示，作AH垂直于平面ABD于點H，則AB D 求。對于四面體 AABD，易見底面ABD的高為AH，底面ABD的高為AA。長度為所對四面體AABD的體積而言有:Va AB DVa AB D即有：1 -AA3也即：A H由ABBDS ABDSabd -AH3AA S a B DS ABDS ABDDA 2a，從而ABD為正三角形,AB D 600，進(jìn)而可求得又易計算得到1 -AB 2AT ABD 如十60Rt ABD的面積為S AB D：；3 2a2a -a2AA S所以

13、AHSabdS ABD，3 2a2我們在使用等體積法求點到平面距離時使用的點與平面間的垂線段只是概念上的，并不一定要知道點在平面射影的具體位置，從而也就不需要使用幾何方法尋找或者求作垂線 段，垂線段的長度在這種方法上只是作為幾何體高的意義而存在的。利用二面角求點到平面距離如圖8所示，I為二面角I的的棱，AOB為二面角I的一個平面角。下面考慮點B到平面 的距離。作BH OA，垂足為H，下面證明BH 平面 。圖8Q AOB為二面角丨的一個平面角OA l 、 OB l又Q OAI OB Ol 平面 AOB又Q BH 平面AOBBH l又Q BH OA，OAI l=O，OA 平面，I 平面BH 平面在

14、 Rt OBH 中，有BH OBsin BOH 這個公式就建立點到平面距離與二面角的一個數(shù)量關(guān)系。 從而如果能將點與平面置于一個二 面角中，則可利用通過所給點關(guān)于平面的一條斜線及二面角計算點與平面間的距離。 下面利用二面角法求解上面例子。解法四（二面角法）：如圖9所示，連結(jié)AB、AB，AB與AB相交于點O ,連結(jié)DOQ AB與AB為正方形ABBA的對角線A B AB （即 A O AB ）， O 為 AB 中點圖9又Q ABD 中 AD BDD O ABA OD 為二面角 A AB D 的平面角設(shè)A到平面ABD的距離為d，OA是過點A的關(guān)于平面ABD的一條斜線，又上面得到的公式 有d OA s

15、in A OD易見，D A 平面ABBA，從而DA OA.在Rt AOD中有tan A ODADOAa2從而點A到平面AB D的距離為d OA sin AOD二 asin (arcta n、2)22 .2 ,3aa2.3 3向量法求點到平面的距離向量法求點到平面的距離主要是依據(jù)如下結(jié)論：點到平面的距離等于這個與平面上任 一點所連接的向量與該平面法向量方向上的單位向量數(shù)量積的絕對值。證明:如圖io所示，p為平面 外一點，q為平面上任意一點，po平面 于點o, n 為平面的單位法向量。LUUT r uuuu rLUUT ruumrUUUT rQ PQgi | PQ |g n| cos PQ,n |

16、 PQ |cos PQ,n圖10uiur uuuuuuuuuur r uuuuruult r uuur r|PO|PQ|cosQPO | PQ g cosPQ,n| | PQ |cosPQ,n| | PQgi |即uult uuur r|PO| | PQgn |這個公式將點到平面的距離轉(zhuǎn)化為了過所給點的任意斜線上的起點和終點分別在所給點及所給平面上一點的向量與平面法單位法向量的內(nèi)積。下面用向量法從新求解上面例子uuu UULT uuuu解法五(向量法)如圖11所示以D點為原點，DA , DC , DD所在的正方向分別x, y , z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系。圖11由所給條件知道坐標(biāo)點A(a

17、,0,0)UULTA(a,0, a) , B (a,a,a) , D (0,0, a)，從而有 AB (0, a, a),UUUUUULTUUAD ( a,0, a) , AA (0,0, a)。設(shè)平面ABD的任意一個法向量為n0 (x,y,z),則有UUUJLTUT UUUTn AB , nAD ,即代入已知得到ur uuir ngAB ur uuuu nogADay az 0ax az 0這是一個關(guān)于x, y, z的不定方程，為了方便起見，不妨設(shè) z 1，這樣上式變?yōu)閍y aax a解該式得到x 1,y1這樣就得到平面ABD的一個法向量為ni (1, 1,1)，將其單位化得到平面 ABD的

18、一r個單位法向量為r (1 , -1 , 1 )。設(shè)點A到平面ABD的距離為d，結(jié)合式所給出的結(jié)論有即點A到平面ABD的距離為d |AAcp| |0用向量法求解點到平面的距離比之前面提供的幾種幾何方法而言，這種方法不需要大量的幾何證明，而主要是較為機(jī)械地進(jìn)行代數(shù)運算。因而在實際使用這種方法時，第一步建立 空間直角坐標(biāo)系常常成為最為關(guān)鍵的步驟，如果所建立的坐標(biāo)系不能確定所給幾何圖形中關(guān) 鍵點(所給平面外點及所給平面上不共線的任意三個點)在建立的坐標(biāo)系的坐標(biāo)，則無法進(jìn) 行后續(xù)步驟；如果所建立的坐標(biāo)系雖然能夠表示的關(guān)鍵點的坐標(biāo)，但在所建立的坐標(biāo)系中得 到關(guān)鍵點坐標(biāo)的計算過程復(fù)雜，或者得到的關(guān)鍵點坐標(biāo)

19、表達(dá)式復(fù)雜， 都將會導(dǎo)致繁瑣的的計 算。因此，選擇恰當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系對于使用本方法及簡化計算都是相當(dāng)重要的。利用最值求點到平面距離在介紹最值法之前，先介紹一個簡單的知識，即點到平面的距離是點與平面上任意點連 線的最小值。以下對這點做簡要說明。如圖12所示，平面 外一點P在平面 的射影為點P , Q為平面 上任意一點圖12若Q不與P重合，則PQ O,PPQ構(gòu)成三角形。因PP 平面 ，PQ 平面 ，PP PQ ,三角形PPQ為直角三角形，從而由勾股定理有PQ . PP2 P Q2 PP這樣就證得了結(jié)論。有了上面這個結(jié)論，那么只要找到平面外一點到平面上任意一點的距離的函數(shù)表示，再求出該函數(shù)的最小值，則

20、由上面結(jié)論即可知該最小值即為點到平面的距離。一般構(gòu)造函數(shù)沒有確定的方法，不同的角度構(gòu)造出的函數(shù)表示很可能是不一樣的，不過這并不影響最終結(jié)果。下面用常用的向量構(gòu)造方法構(gòu)造函數(shù)求解上面例子中點到平面的距離.uuu umr解法六(最值法)如圖13所示，E為平面ABD上任意一點，以D點為原點，DA，DC，uuuuDD所在的正方向分別x，y，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系。圖13由所給條件知道 A(a,O,O)、A(a,O,a)，B(a,a,a)，D (0,0, a)ULUrUUUUUULT從而有 AB (0,a,a) AD ( a,0, a)，AA (0,0, a)。設(shè)點E在所建立的坐標(biāo)系下的坐標(biāo)為E

21、(x,y,z)，因E在平面ABD上，從而向量uuuuuur uuuuuuuuuuruuuuAE(x a, y,z)可由相交向量AB、AD線性表示，不妨設(shè)AEABAD (,R)則uuuuuuuruuuuuuruuuruuuuA E AAAEA AABAD(a ,a ,aaa)因此uuuu|AE|.(a)2 (a)2(aaa)2a 22 2 2222 1a,2( 1)2 2(1)22(1)( 1) 133333 a (當(dāng)且僅當(dāng)1時取等號)3 3從而A到平面ABD上點的距離最小值為 乜a，也即點A到平面AB D的距離為二a。3 3最值方法提供了求解點到平面距離的一種較為新穎的方法，同時這種方法是建立

22、在對點到平面距離的深入理解的基礎(chǔ)上的，也有助于加深理解點到平面距離的概念。不過這種方 法對使用者的代數(shù)知識素養(yǎng)要求較高，要將幾何圖形中的幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為代數(shù)關(guān)系，構(gòu)造 出平面外點到平面上點的函數(shù)關(guān)系，而且對函數(shù)最值的求法也需要較高的變形技巧，否則 即使構(gòu)造出平面外點到平面上點的函數(shù)關(guān)系也難求出函數(shù)最值，故一般這種方法對水平較 高的讀者比較適用。利用點到平面的距離公式求點到平面的距離點到平面的距離公式主要是利用解析幾何的知識，將所給點及平面均給予代數(shù)表式，從 而用代數(shù)方法得到的點與平面距離的統(tǒng)一的代數(shù)表示。 點到平面的距離公式的推導(dǎo)方法有相 當(dāng)多，如直接用兩點間距離公式推導(dǎo)、利用直線參數(shù)方程中參數(shù)

23、的幾何性質(zhì)推導(dǎo)、利用球的切平面性質(zhì)推導(dǎo)、利用極值法推導(dǎo)等等。公式法的實質(zhì)是幾何量代數(shù)化的結(jié)果，因此絕大多 數(shù)求解點到平面距離的幾何方法轉(zhuǎn)化為代數(shù)語言都可以得到一般意義上的點到平面的距離 公式。限于本文篇幅，就不對這些方法一一介紹了，下面僅從利用兩點間距離公式的角度給 出點到平面的距離公式一種推導(dǎo)。如圖14所示，平面 外一點P在平面 的射影為點P。圖14在某空間直角坐標(biāo)系下，設(shè)平面的代數(shù)方程為：Ax By Cz D 0，點P的坐標(biāo)為P(xo, yo,zo)。將平面 的方程改寫為A(x xo) B(y yo) C(z z) (Ax By。Cz D)又由PP 平面 及直線PP過點P(xo, yo,zo)知道直線PP的方程為x Xo y yo z ZoF面不妨設(shè)x xoyyoz zotABC將代入中得到tAx。Byo Czo DA2 B2 C2顯然P的坐標(biāo)P(X, y, z)在直線PP上，從而滿足，即有AtA(AxoByoCz0D)人oA2B2C2yyoBtB(AXoByoCzoD)A2B2c2zzoCtC( AXoByoCzoD)A2B2C2進(jìn)而根據(jù)兩點間的距離公式d |PP | ,(x xo)2 (y yo)2 (y y。)2(A2 B2 C2)(A