空間中直線與直線的位置關(guān)系

1、-1-2.1.2空間中直線與直線之間的位置關(guān)系空間中直線與直線之間的位置關(guān)系首頁(yè)課前預(yù)習(xí)案課堂探究案首頁(yè)課前預(yù)習(xí)案課堂探究案1.異面直線 首頁(yè)課前預(yù)習(xí)案課堂探究案首頁(yè)課前預(yù)習(xí)案課堂探究案2.空間兩條直線的位置關(guān)系(1)相交直線同一平面內(nèi),有且只有一個(gè)公共點(diǎn);(2)平行直線同一平面內(nèi),沒(méi)有公共點(diǎn);(3)異面直線不同在任何一個(gè)平面內(nèi),沒(méi)有公共點(diǎn).首頁(yè)課前預(yù)習(xí)案課堂探究案做一做1平面內(nèi)一點(diǎn)與平面外一點(diǎn)連線和這個(gè)平面內(nèi)直線的關(guān)系是.答案:相交或異面首頁(yè)課前預(yù)習(xí)案課堂探究案3.公理4 首頁(yè)課前預(yù)習(xí)案課堂探究案4.等角定理 首頁(yè)課前預(yù)習(xí)案課堂探究案首頁(yè)課前預(yù)習(xí)案課堂探究案做一做2已知bac=30,abab

2、,acac,則bac=()a.30b.150c.30或150 d.大小無(wú)法確定解析:當(dāng)bac與bac開(kāi)口方向相同時(shí),bac=30;當(dāng)bac與bac開(kāi)口方向相反時(shí),bac=150.答案:c首頁(yè)課前預(yù)習(xí)案課堂探究案5.兩條異面直線所成的角(夾角) 首頁(yè)課前預(yù)習(xí)案課堂探究案做一做3在正方體abcd-a1b1c1d1中,bae=25,則異面直線ae與b1c1所成的角的大小為.答案:65 首頁(yè)課前預(yù)習(xí)案課堂探究案思考辨析判斷下列說(shuō)法是否正確,正確的在后面的括號(hào)內(nèi)畫(huà)“”,錯(cuò)誤的畫(huà)“”.(1)沒(méi)有公共點(diǎn)的兩條直線一定是異面直線. ()(2)兩直線垂直,則這兩條直線一定相交. ()(3)兩直線和第三條直線成等

3、角,則這兩條直線平行. ()答案:(1)(2)(3)首頁(yè)課堂探究案課前預(yù)習(xí)案探究一探究二探究三思維辨析當(dāng)堂檢測(cè)空間兩條直線位置關(guān)系的判定空間兩條直線位置關(guān)系的判定【例1】 (1)在正方體abcd-a1b1c1d1中,判斷下列直線間的位置關(guān)系:a1b與d1c;a1b與b1c;d1d與ce(e為c1d1的中點(diǎn));ab與b1c.(2)已知三條直線a,b,c,a與b異面,b與c異面,那么a與c有什么樣的位置關(guān)系?并畫(huà)圖說(shuō)明.首頁(yè)課堂探究案課前預(yù)習(xí)案探究一探究二探究三思維辨析當(dāng)堂檢測(cè)思路分析:(1) (2)根據(jù)異面直線的定義分析.首頁(yè)課堂探究案課前預(yù)習(xí)案探究一探究二探究三思維辨析當(dāng)堂檢測(cè)解:(1)平行異

4、面相交異面(2)直線a與c的位置關(guān)系有三種情況,如圖所示.直線a與c可能平行,如圖;可能相交,如圖;可能異面,如圖.首頁(yè)課堂探究案課前預(yù)習(xí)案探究一探究二探究三思維辨析當(dāng)堂檢測(cè)首頁(yè)課堂探究案課前預(yù)習(xí)案探究一探究二探究三思維辨析當(dāng)堂檢測(cè)變式訓(xùn)練1在本例的正方體中,所有與直線ab異面的棱所在的直線為.解析:正方體中與直線ab異面的棱所在的直線有:cc1,b1c1,dd1,a1d1.答案:cc1,b1c1,dd1,a1d1首頁(yè)課堂探究案課前預(yù)習(xí)案探究一探究二探究三思維辨析當(dāng)堂檢測(cè)平行公理、等角定理的應(yīng)用平行公理、等角定理的應(yīng)用【例2】如圖,在正方體abcd-a1b1c1d1中,m,m1分別是棱ad和a

5、1d1的中點(diǎn).(1)求證:四邊形bb1m1m為平行四邊形;(2)求證:bmc=b1m1c1.思路分析:(1)通過(guò)公理4證明mm1bb1,且mm1=bb1;(2)由(1)知b1m1bm,同理證得c1m1cm,再由等角定理證得bmc=b1m1c1.也可以通過(guò)證明bcm b1c1m1證出bmc=b1m1c1.首頁(yè)課堂探究案課前預(yù)習(xí)案探究一探究二探究三思維辨析當(dāng)堂檢測(cè)證明:(1)在正方形add1a1中,m,m1分別為ad,a1d1的中點(diǎn),mm1 aa1.又aa1 bb1,mm1bb1,且mm1=bb1,四邊形bb1m1m為平行四邊形.(2)(方法一)由(1)知四邊形bb1m1m為平行四邊形,b1m1b

6、m.同理可得四邊形cc1m1m為平行四邊形,c1m1cm.由平面幾何知識(shí)可知,bmc和b1m1c1都是銳角.bmc=b1m1c1.首頁(yè)課堂探究案課前預(yù)習(xí)案探究一探究二探究三思維辨析當(dāng)堂檢測(cè)(方法二)由(1)知四邊形bb1m1m為平行四邊形,b1m1=bm.同理可得四邊形cc1m1m為平行四邊形,c1m1=cm.又b1c1=bc,bcm b1c1m1,bmc=b1m1c1.首頁(yè)課堂探究案課前預(yù)習(xí)案探究一探究二探究三思維辨析當(dāng)堂檢測(cè)首頁(yè)課堂探究案課前預(yù)習(xí)案探究一探究二探究三思維辨析當(dāng)堂檢測(cè)變式訓(xùn)練2在本例中,若n1是d1c1的中點(diǎn),則四邊形m1n1ca是.(填“平行四邊形”或“梯形”)答案:梯形

7、首頁(yè)課堂探究案課前預(yù)習(xí)案探究一探究二探究三思維辨析當(dāng)堂檢測(cè)求異面直線所成的角求異面直線所成的角【例3】如圖,在正方體abcd-a1b1c1d1中,e,f分別是a1b1,b1c1的中點(diǎn),求異面直線db1與ef所成角的大小.思路分析:先作出角,再證明角的兩邊分別與兩異面直線平行,最后在三角形中求角.首頁(yè)課堂探究案課前預(yù)習(xí)案探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測(cè)思維辨析解法一:如圖(1),連接a1c1,b1d1,并設(shè)它們相交于點(diǎn)o,取dd1的中點(diǎn)g,連接og,則ogb1d,efa1c1.goa1為異面直線db1與ef所成的角或其補(bǔ)角.ga1=gc1,o為a1c1的中點(diǎn),goa1c1.異面直線db1與ef所成的角

8、為90.首頁(yè)課堂探究案課前預(yù)習(xí)案探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測(cè)思維辨析首頁(yè)課堂探究案課前預(yù)習(xí)案探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測(cè)思維辨析解法三:如圖(3),在原正方體的右側(cè)補(bǔ)上一個(gè)全等的正方體,連接b1q,則b1qef.于是db1q為異面直線db1與ef所成的角或其補(bǔ)角.通過(guò)計(jì)算,不難得到:b1d2+b1q2=dq2,從而異面直線db1與ef所成的角為90.首頁(yè)課堂探究案課前預(yù)習(xí)案探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測(cè)思維辨析首頁(yè)課堂探究案課前預(yù)習(xí)案探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測(cè)思維辨析首頁(yè)課堂探究案課前預(yù)習(xí)案探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測(cè)思維辨析變式訓(xùn)練3本例已知條件不變,則a1d與d1c的夾角為.解析:如圖,連接a1b,

9、bd. a1d1 bc,四邊形a1bcd1是平行四邊形,d1ca1b,ba1d就是a1d與d1c的夾角.a1bd是等邊三角形,ba1d=60,即a1d與d1c的夾角是60.答案:60首頁(yè)課堂探究案課前預(yù)習(xí)案探究一探究二探究三思維辨析當(dāng)堂檢測(cè)因忽略異面直線所成的角的范圍而致錯(cuò)典例已知abbc,bccd,deae,debc,且ab=bc=cd,異面直線ab與cd成60角,求異面直線ad與bc所成的角.錯(cuò)解:連接ae,be(如圖所示).debc,bc=cd,bccd,四邊形bcde為正方形.abbc,ab=bc,異面直線ab與cd成60角,abe=60,abe是正三角形.ae=ab=bc=de,又d

10、eae,ade是等腰直角三角形,ade=45,異面直線ad與bc所成的角的度數(shù)為45.首頁(yè)課堂探究案課前預(yù)習(xí)案探究一探究二探究三思維辨析當(dāng)堂檢測(cè)錯(cuò)因分析:錯(cuò)誤的原因是漏掉了如圖所示的情況,補(bǔ)齊即可.正解:同錯(cuò)解.連接ae,be(如圖所示).debc,bc=cd,bccd,四邊形bcde是正方形.又abbc,ab=bc,異面直線ab與cd成60角,ab=be,abe=120.設(shè)ab=1,則 ,deae,在rtade中,ade=60,即異面直線ad與bc所成的角的度數(shù)為60.綜上所述,異面直線ad與bc所成的角的度數(shù)為60或45.首頁(yè)課堂探究案課前預(yù)習(xí)案探究一探究二探究三思維辨析當(dāng)堂檢測(cè)首頁(yè)課堂探

11、究案課前預(yù)習(xí)案探究一探究二探究三思維辨析當(dāng)堂檢測(cè)變式訓(xùn)練已知在三棱錐a-bcd中,ab=cd,且直線ab與cd成60角,點(diǎn)m,n分別是bc,ad的中點(diǎn),則直線ab和mn所成的角為.首頁(yè)課堂探究案課前預(yù)習(xí)案探究一探究二探究三思維辨析當(dāng)堂檢測(cè)解析:取ac的中點(diǎn)p,連接mp,np.因?yàn)閙,n分別是bc,ad的中點(diǎn), 所以mpn(或其補(bǔ)角)為ab與cd所成的角.所以pmn(或其補(bǔ)角)為ab與mn所成的角.因?yàn)橹本€ab與cd成60角,所以mpn=60或mpn=120.又因?yàn)閍b=cd,所以pm=pn.若mpn=60,則pmn是等邊三角形,所以pmn=60,即ab與mn所成的角為60.若mpn=120,則

12、易知pmn是等腰三角形,所以pmn=30,即ab與mn所成的角為30.綜上,ab與mn所成的角為60或30.答案:60或30首頁(yè)課堂探究案課前預(yù)習(xí)案探究一探究二探究三思維辨析當(dāng)堂檢測(cè)123451.如果兩條直線a和b沒(méi)有公共點(diǎn),那么a和b()a.共面 b.平行c.異面 d.平行或異面解析:直線a,b沒(méi)有公共點(diǎn)時(shí),a,b可能平行,也可能異面.答案:d首頁(yè)課堂探究案課前預(yù)習(xí)案探究一探究二探究三思維辨析當(dāng)堂檢測(cè)123452.直線a與直線b相交,直線c與直線b相交,則直線a與直線c的位置關(guān)系是()a.相交 b.平行c.異面 d.以上都有可能解析: 如圖所示,在長(zhǎng)方體abcd-a1b1c1d1中,ab與aa1相交,a1b1與aa1相交,aba1b1;又ad與aa1相交,ab與ad相交;又a1d1與aa1相交,ab與a1d1異面.故選d.答案:d首頁(yè)課堂探究案課前預(yù)習(xí)案探究一探究二探究三思維辨析當(dāng)堂檢測(cè)123453.如圖所示,在正方體abcd-a1b1c1d1中,異面直線ac與b1c1所成的角等于.解析:由于bcb1c1,則acb就是異面直線ac與b1c1所成的角.又四邊形abcd是正方形,則acb=45.答案:45首頁(yè)課堂探究案課前預(yù)習(xí)案探究一探究二探究三思維辨析