北師大版選修2數(shù)學(xué)歸納法課件

1、數(shù)學(xué)歸納法數(shù)學(xué)歸納法 1北師大版選修2數(shù)學(xué)歸納法對(duì)于某類事物，由它的一些特殊事對(duì)于某類事物，由它的一些特殊事例或其全部可能情況，歸納出一般例或其全部可能情況，歸納出一般結(jié)論的推理方法，叫歸納法結(jié)論的推理方法，叫歸納法歸納法歸納法 完全歸納法完全歸納法不完全歸納法不完全歸納法2北師大版選修2數(shù)學(xué)歸納法一、不完全歸納法一、不完全歸納法特點(diǎn)特點(diǎn):由特殊由特殊 一般一般 a2=a1+da3=a1+2da4=a1+3dan=a1+(n-1)d3北師大版選修2數(shù)學(xué)歸納法二、數(shù)學(xué)歸納法的概念：二、數(shù)學(xué)歸納法的概念：證明某些與自然數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)題證明某些與自然數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)題, ,可用下列方法可用下列方法來證明它

2、們的正確性來證明它們的正確性: :(1)(1)驗(yàn)證驗(yàn)證當(dāng)當(dāng)n n取第一個(gè)值取第一個(gè)值n n0 0( (例如例如n n0 0=1)=1)時(shí)命題成立時(shí)命題成立, ,(2)(2)假設(shè)假設(shè)當(dāng)當(dāng)n=k(kn=k(k n n* * ，k k n n0 0 ) )時(shí)命題成立時(shí)命題成立, , 證明當(dāng)證明當(dāng)n=k+1n=k+1時(shí)命題也成立時(shí)命題也成立完成這兩步，就可以斷定這個(gè)命題對(duì)從完成這兩步，就可以斷定這個(gè)命題對(duì)從n n0 0開始的所開始的所有正整數(shù)有正整數(shù)n n都成立這種證明方法叫做都成立這種證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法數(shù)學(xué)歸納法驗(yàn)證驗(yàn)證n=nn=n0 0時(shí)命時(shí)命題成立題成立若若當(dāng)當(dāng)n=k(n=k(k k n n

3、0 0 ) )時(shí)命題成立時(shí)命題成立, , 證明當(dāng)證明當(dāng)n=k+1n=k+1時(shí)命題也成立時(shí)命題也成立命題對(duì)從命題對(duì)從n n0 0開始的所開始的所有正整數(shù)有正整數(shù)n n都成立都成立4北師大版選修2數(shù)學(xué)歸納法111111證明：證明：1）當(dāng)n =1式，a = a +(1-1)d = a ,結(jié)論成立1）當(dāng)n =1式，a = a +(1-1)d = a ,結(jié)論成立k1k1k+1kk+1kk+11k+111111n1n12)假設(shè)n = k式結(jié)論成立，即a = a +(k-1)d2)假設(shè)n = k式結(jié)論成立，即a = a +(k-1)d a= a +d a= a +d a= a +(k-1)d+da= a +

4、(k-1)d+d = a +kd = a +(k+1)-1d = a +kd = a +(k+1)-1d 綜合1）、2）知a = a +(n-1)d成立. 綜合1）、2）知a = a +(n-1)d成立.所以所以n=k+1時(shí)結(jié)論也成立時(shí)結(jié)論也成立那么那么nn1例：已知數(shù)列a 為等差，公差為d, :通項(xiàng)公式為a =a +(n-1)d求證求證5北師大版選修2數(shù)學(xué)歸納法注意注意 1.1.用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明時(shí)用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明時(shí), ,要分兩個(gè)步驟要分兩個(gè)步驟, ,兩個(gè)步驟缺一不可兩個(gè)步驟缺一不可. .2 (1)(1)(歸納奠基歸納奠基) )是遞推的基礎(chǔ)是遞推的基礎(chǔ). . 找準(zhǔn)找準(zhǔn)n n0 0(2)

5、(2)(歸納遞推歸納遞推) )是遞推的依據(jù)是遞推的依據(jù)n nk k時(shí)時(shí)命題成立作為必用的條件運(yùn)用，而命題成立作為必用的條件運(yùn)用，而n nk+1k+1時(shí)情況則有待時(shí)情況則有待利用假設(shè)利用假設(shè)及已知的定義、公式、及已知的定義、公式、定理等加以證明定理等加以證明6北師大版選修2數(shù)學(xué)歸納法證明：證明：當(dāng)當(dāng)n=1n=1時(shí)，左邊時(shí)，左邊=1=1，右邊，右邊=1=1，等式成立，等式成立 假設(shè)假設(shè)n=k(kn ,k1)n=k(kn ,k1)時(shí)等式成立時(shí)等式成立, ,即：即： 1+3+5+1+3+5+(2k-1)=k+(2k-1)=k2 2， 當(dāng)當(dāng)n=k+1n=k+1時(shí)：時(shí)： 1+3+5+1+3+5+(2k-1

6、)+2(k+1)-1=k+(2k-1)+2(k+1)-1=k2 2+2k+1=(k+1)+2k+1=(k+1)2 2， 所以當(dāng)所以當(dāng)n=k+1n=k+1時(shí)等式也成立時(shí)等式也成立 由由和和可知，對(duì)可知，對(duì)nn nn ，原等式都成立，原等式都成立例例1 1、用數(shù)學(xué)歸納法證明、用數(shù)學(xué)歸納法證明1+3+5+1+3+5+(2n-1)=n+(2n-1)=n2 2（nn nn ）. . 請(qǐng)問：請(qǐng)問：第第步中步中“當(dāng)當(dāng)n=k+1n=k+1時(shí)時(shí)”的證明可否改換為：的證明可否改換為：1+3+5+1+3+5+(2k-1)+2(k+1)-1= 1+3+5+(2k-1)+2(k+1)-1= 1+3+5+(2k-1)+(2k+1)+(2k-1)+(2k+1)= = (k+1)= = (k+1)2 2 ? ?為什么？為什么？（k+1)1+(2k+1)27北師大版選修2數(shù)學(xué)歸納法312111nnnn31109nn題型二、用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式例2、歸納法證明+ （n1，且）8北師大版選修2數(shù)學(xué)歸納法)(*nn22 nn題型三、用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問題例4平面內(nèi)有n個(gè)圓,其中每?jī)蓚€(gè)圓都相交于