高等代數(shù)課件：5-2 標(biāo)準(zhǔn)形

1、二次型中非常簡(jiǎn)單的一種是只含平方項(xiàng)的二次型二次型中非常簡(jiǎn)單的一種是只含平方項(xiàng)的二次型它的矩陣是對(duì)角陣它的矩陣是對(duì)角陣 平方和的形式？若能，如何作非退化線性替換？平方和的形式？若能，如何作非退化線性替換？ 任意二次型能否經(jīng)過(guò)適當(dāng)非退化線性替換化成任意二次型能否經(jīng)過(guò)適當(dāng)非退化線性替換化成?2221122nnd xd xd x12120000(,)000nndddiag d ddd 證明：證明： 對(duì)二次型變量個(gè)數(shù)對(duì)二次型變量個(gè)數(shù)n作歸納法作歸納法.假定對(duì)假定對(duì)n1元二次型結(jié)論成立元二次型結(jié)論成立. 過(guò)非退化線性替換化成平方和的形式過(guò)非退化線性替換化成平方和的形式. .1 1、（定理、（定理1 1）數(shù)

2、域）數(shù)域P P上任一二次型都可經(jīng)上任一二次型都可經(jīng)n=1時(shí)，時(shí)， 結(jié)論成立結(jié)論成立.21111(),f xa x 下面考慮下面考慮n元二次型元二次型12(,).nf x xx212111121211(,)22nnnf x xxa xa x xa x x2222222nna xax x2333332nna xax x2nnnax2111112222nnnjjijijjija xa x xa x x2111112222nnnjjijijjija xxa xa x x 這里，這里， 2111111112112112()2njjjnjjjaxxaaaa xx 12121111111112222()()

3、nnnnjjjjijijjjijaxaa xaa xa x x1211121122()nnnijijijjjja xaaxax 12111111222()nnnjjijijjijaxaa xb x x 1211122222()nnnnnijijjjijijijjijb x xaa xa x x 是一個(gè)是一個(gè).的的n1元二次型元二次型.23,nxxx配方配方法法它是非退化的，它是非退化的，111111222njjjnnyxaa xyxyx 令令111111222njjjnnxyaa yxyxy 或或112111111221,0100001nnnaaxyaaxyxy 即即, ,21211122(,

4、).nnnijijijf x xxa yb y y且使且使使它變成平方和使它變成平方和 于是，非退化線性替換于是，非退化線性替換 22222332332233332233nnnnnnnnnnzc yc ycyzc yc ycyzcycycy 11222223322233nnnnnnnnzyzc yc ycyzcycycy 2222 23 3n nd zd zd z由歸納假設(shè)，對(duì)由歸納假設(shè)，對(duì) 有非退化線性替換有非退化線性替換22nnijijijb y y11221233nnxyyxyyxyxy 2221211 12 2(,)nn nf x xxa zd zd z就使就使 變成變成12(,)nf

5、 x xx2） 但至少有一個(gè)但至少有一個(gè) 0,(1,2, ),iiain10(1)jaj不妨設(shè)不妨設(shè) 作非退化線性替換：作非退化線性替換： 120,a 不為零不為零.由情形由情形1）知，結(jié)論成立）知，結(jié)論成立.2212112222a ya y1212122()()ayyyy12122a x x則則 121(,)2nijijij nf x xxa x x 這是一個(gè)這是一個(gè) 的二次型，且的二次型，且 的系數(shù)的系數(shù) 12,nyyy21y這是一個(gè)這是一個(gè)n1元二次型，由歸納假設(shè)，結(jié)論成立元二次型，由歸納假設(shè)，結(jié)論成立. 總之，數(shù)域總之，數(shù)域P上任一二次型都可經(jīng)過(guò)非退化線性上任一二次型都可經(jīng)過(guò)非退化線性

6、替換化成平方和的形式替換化成平方和的形式.即即1222(,).nnnijijijf x xxa x x 213110.naaa3） 由對(duì)稱性，由對(duì)稱性， 111210.naaa2 2、二次型的標(biāo)準(zhǔn)形的定義、二次型的標(biāo)準(zhǔn)形的定義所變成的平方和形式所變成的平方和形式注注：1）由定理）由定理1任一二次型的標(biāo)準(zhǔn)形是存在的任一二次型的標(biāo)準(zhǔn)形是存在的. 2）可應(yīng)用配方法得到二次型的標(biāo)準(zhǔn)形）可應(yīng)用配方法得到二次型的標(biāo)準(zhǔn)形.2221122nnd yd yd y二次型二次型 經(jīng)過(guò)非退化線性替換經(jīng)過(guò)非退化線性替換 12(,)nf x xx的一個(gè)的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)形標(biāo)準(zhǔn)形. 稱為稱為 12(,)nf x xx則則 解：作非

7、退化線性替換解：作非退化線性替換 2221332232()228yyyyy y221213232248yyy yy y1232()yyy121212123(,)2()()6()nf x xxyyyyyyy1122331 1011 00 0 1xyxyxy即即, ,11221233xyyxyyxy 例例1、求求123122313(,)262f x xxx xx xx x的標(biāo)準(zhǔn)形的標(biāo)準(zhǔn)形.222123322(2)6zzzz22221233322(2)82zzzzz或或 11223332zwzwwzw 最后令最后令 11223332wzwzzwz 則則 222121232 3(,)2228nf x

8、xxzzzz z1122331 0 10 1 00 0 1yzyzyz 即即, ,或或 1132233yzzyzyz 再令再令 1132233zyyzyzy 所作的非退化線性替換是所作的非退化線性替換是 即即 11232123333xwwwxwwwxw 1231 101 0 11 0 011 00 1 00 1 20 0 10 0 10 0 1www1231 131110 01www1112223331 101 101 0 111 011 00 1 00 0 10 0 10 0 1xyzxyzxyz222123123(,)226f x xxwww則則 3 3、（定理、（定理2 2）數(shù)域）數(shù)域P

9、 P上任一對(duì)稱矩陣合同于上任一對(duì)稱矩陣合同于證：證：對(duì)對(duì)A的級(jí)數(shù)作歸納法的級(jí)數(shù)作歸納法.假定對(duì)假定對(duì)n1級(jí)對(duì)稱矩陣結(jié)論成立，考慮級(jí)對(duì)稱矩陣結(jié)論成立，考慮n級(jí)矩陣級(jí)矩陣A，分四種情形討論：分四種情形討論： 使使C AC為對(duì)角矩陣為對(duì)角矩陣 即即 若若 A A ，則存在可逆矩陣，則存在可逆矩陣,n nAP n nCP n1時(shí)，時(shí)，為對(duì)角陣為對(duì)角陣,結(jié)論成立結(jié)論成立. 1111,AaE AEa 設(shè)設(shè) ,.ijn nAaAA 一個(gè)對(duì)角矩陣一個(gè)對(duì)角矩陣.11111211111111110100001nnaaaaaCE 令令111,aAA 再再令令111)0a 12131naaa 這里這里22212,nn

10、nnaaAaa 這里這里A1為為n1級(jí)對(duì)稱矩陣級(jí)對(duì)稱矩陣.11111100aAa 1111111111100naaEAa 則則 11111111111111010nnaaC ACAaEE 111111111111AaAaAa 這里這里 是是n1級(jí)對(duì)稱矩陣，級(jí)對(duì)稱矩陣，1111Aa 為對(duì)角矩陣為對(duì)角矩陣.由歸納假設(shè)，存在可逆矩陣由歸納假設(shè)，存在可逆矩陣G，使，使 11111101 01 0000aGGAa 2112CC ACC 111111110000aaGAaGD 為對(duì)角矩陣為對(duì)角矩陣. 1111GAaGD 令令 則則 21 0,0CG 令令 12,CC C 則則C可逆，且可逆，且 為對(duì)角矩陣

11、為對(duì)角矩陣.C AC 其中其中 110.iiba歸結(jié)為情形歸結(jié)為情形1，結(jié)論成立，結(jié)論成立.12211111122,0,0.jjjbbababa其其中中 112,2,n nijC ACPj APjbP 令令 ，則，則 12,CPj 3) 但有一個(gè)但有一個(gè) 0,1,2, ,iiain10,1.jaj則則 111,1,n nijC ACPi APibP 令令 1(1, ),CPi 顯然顯然 1(1, )CPi 2) 但有一個(gè)但有一個(gè) 0,1iiai110,a 歸結(jié)為情形歸結(jié)為情形1）. 則則 211211120.n nijjCC ACCdPda 中中, ,2110011 0000100001C 再

12、再令令4) 由對(duì)稱性由對(duì)稱性, 有有10,1,2, ,jajn10,1,2, ,jajn于是于是 為為n1級(jí)對(duì)稱矩陣級(jí)對(duì)稱矩陣.110 0,0AAA 為對(duì)角矩陣為對(duì)角矩陣.為對(duì)角矩陣為對(duì)角矩陣. 10 01 01 0000C ACAGG 1000 000G AGD 由歸納假設(shè)，有由歸納假設(shè)，有n1級(jí)可逆矩陣級(jí)可逆矩陣G，使，使 1G AGD 令則令則 1 0,0CG 例例2根據(jù)定理根據(jù)定理2，求例，求例1中二次型的標(biāo)準(zhǔn)形中二次型的標(biāo)準(zhǔn)形. .情形情形3)情形情形1)123122313(,)262f x xxx xx xx x1111 100111 1011 010311 00 0 11300

13、0 1AC A C 令令11 1011 0 ,0 0 1C解：解：的矩陣為的矩陣為011103130A 123(,)f x xx202024240 200024042 情形情形1)22121 0 02021 0 10 1 00240 1 01 0 12400 0 1AC AC 令令31 0 00 1 2 ,0 0 1C 令令21 0 10 1 0 ,0 0 1C 33231 0 02021 0 00 1 00240 1 20 2 12420 0 1AC A C 20002 0006為對(duì)角矩陣為對(duì)角矩陣.1 131110 011231 101 0 11 0 011 00 1 00 1 20 0

14、10 0 10 0 1CC C C令令作非退化線性替換作非退化線性替換XCY，則則20002 0 ,006C AC 222123123(,)226.f x xxwww即得即得 的標(biāo)準(zhǔn)形的標(biāo)準(zhǔn)形123(,)f x xx（1）互換矩陣的互換矩陣的 , i j兩行，再互兩行，再互 換矩陣的換矩陣的 , i j兩列兩列;1. 定義定義：合同變換合同變換是指下列三種變換是指下列三種變換 （2）以數(shù)以數(shù) k（ 0k ) 乘矩陣的第乘矩陣的第 i 行；再以數(shù)行；再以數(shù) k 乘乘ii（3）將矩陣的第將矩陣的第i行的行的k倍加倍加 到第到第 j行，再將第行，再將第 i列列 的的k倍加到第倍加到第 j列（列（ )

15、. ij矩陣的第矩陣的第 i 列列.2. 2. 合同變換法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形合同變換法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形 又，又，設(shè)對(duì)稱矩陣設(shè)對(duì)稱矩陣A與對(duì)角矩陣與對(duì)角矩陣D合同，則存在可逆矩陣合同，則存在可逆矩陣基本原理基本原理：C, 使使 . ( , )( , ),( ( )( ( ),p i jp i jp i kp i ks2112sC ACQQ Q AQ QQ s2112sQQQ AQQQ （ （） ）若若 為初等陣，則為初等陣，則 12,siCQ QQQ ( , ( )( , ( )p i j kp j i k 對(duì)對(duì)E施行同樣的施行同樣的初等列變換初等列變換便可求得可逆矩陣便可求得可逆矩陣C滿足滿足就

16、相當(dāng)于對(duì)就相當(dāng)于對(duì)A作作s次合同變換化為次合同變換化為D.所以，在所以，在合同變換合同變換化矩陣化矩陣A為對(duì)角陣為對(duì)角陣D的同時(shí)，的同時(shí)，又注意到又注意到12.SCEQ QQ 212(.().)SSQQ Q AQ QQD所以，所以，212(.().)SSC ACQQQ AQ QQ .C ACD 基本步驟基本步驟：對(duì)對(duì)A作合同變換化為對(duì)角矩陣作合同變換化為對(duì)角矩陣D 對(duì)對(duì)E僅作上述合同變換中的僅作上述合同變換中的初等列變換得初等列變換得C 作非退化線性替換作非退化線性替換X=CY，則，則即即,12(,.,),nf x xxX AXAA 寫(xiě)出二次型寫(xiě)出二次型的矩陣的矩陣A12(,.,)nf x x

17、x為標(biāo)準(zhǔn)形為標(biāo)準(zhǔn)形.12(,.,)nf x xxY DY DC AED為對(duì)角陣為對(duì)角陣,且且DC AC i）若若a110，作合同變換：將，作合同變換：將A的第一行的的第一行的 倍倍111jaa 加到第加到第 j 行，再將所得矩陣的第一列的行，再將所得矩陣的第一列的 倍加到倍加到111jaa 第第 j 列列,j=2,3,.n則則1110 . 00.0aAA合同變換化對(duì)稱矩陣合同變換化對(duì)稱矩陣 為對(duì)角陣為對(duì)角陣D時(shí)時(shí)()0ijnnAa ii) 若若a11=0，而有某個(gè)，而有某個(gè)aii 0，作合同變換：，作合同變換：互換互換1, i 兩行，再互換兩行，再互換1, i 兩列，所得矩陣的第兩列，所得矩陣

18、的第1行行第第1列處元素為列處元素為aii 0，轉(zhuǎn)為情形，轉(zhuǎn)為情形i)，即，即. . .*.iiaA iii) 若若aii=0, i=1,2,n.則必有某個(gè)則必有某個(gè)aij0(i j)，作，作合同變換：合同變換：iv) 對(duì)對(duì) i）中）中A1重復(fù)上述做法重復(fù)上述做法. 將第將第 j 行加到第行加到第 i 行，再將第行，再將第 j 列加到第列加到第 i 列，所列，所得矩陣第得矩陣第 i 行第行第 i 列處元素為列處元素為2aij 0. 轉(zhuǎn)為情形轉(zhuǎn)為情形ii).例例3用合同變換求下面二次型用合同變換求下面二次型的標(biāo)準(zhǔn)形的標(biāo)準(zhǔn)形r r1 1+r+r2 2 c c1 1+c+c2 2（同例（同例1）12

19、3122313(,)262f x xxx xx xx x112103130100010001 011103130100010001AE 212103230100110001 解：解：的矩陣為的矩陣為011103130A 123(,)f x xxr3+r1r2r112c3+c1c2c1122r22c220002404211111 1001 1221202022100110001 121212200020221111001 12122000140221111001 c3+2c2r3+2r220002 400611111 1001 20002 0006113111001 作非退化線性替換作非退化線性

20、替換X=CY, 則二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形則二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形 222123123(,)226f xxxyyy令令1 13111 ,0 01C則則20002 0 ,006C AC對(duì)對(duì)A每施行一次合同變換后所得矩陣必仍每施行一次合同變換后所得矩陣必仍 為對(duì)稱矩陣為對(duì)稱矩陣.（因?yàn)楹贤儞Q保持矩陣的對(duì)（因?yàn)楹贤儞Q保持矩陣的對(duì) 稱性稱性可利用這一點(diǎn)檢查計(jì)算是否正確可利用這一點(diǎn)檢查計(jì)算是否正確.）對(duì)對(duì)A作合同變換時(shí)，無(wú)論先作行變換還是作合同變換時(shí)，無(wú)論先作行變換還是先作列變換，結(jié)果是一致的先作列變換，結(jié)果是一致的. .可連續(xù)作可連續(xù)作n次初等行（列）變換后，再依次次初等行（列）變換后，再依次作作n次相應(yīng)的初等列（行）變換次相應(yīng)的初等列（行）變換.說(shuō)明說(shuō)明：作非退化線性替換作非退化線性替換f 的標(biāo)準(zhǔn)形為的標(biāo)準(zhǔn)形為 求下面二次型的標(biāo)準(zhǔn)形，并求出所作的非退化線求下面二次型的標(biāo)準(zhǔn)形，并求出所作的非退化線替性換替性換.答案：答案：22123411213142(,)4422f xxxxxx xx xx xx22324344222x xx xx xx1211013 1,00210001XCYC 其其中中22212322yyy的矩陣為的矩陣