正交矩陣與正交變換的性質(zhì)及應(yīng)用.doc

1、 正交矩陣與正交變換的性質(zhì)及應(yīng)用 程祥 河南大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 開(kāi)封 475004摘要 矩陣是數(shù)學(xué)中的重要概念，是代數(shù)學(xué)重要研究對(duì)象之一，也是數(shù)學(xué)與其他領(lǐng)域研究與應(yīng)用的一個(gè)重要工具，而正交矩陣作為一類特殊且常用的矩陣，在矩陣論中占有重要地位，且應(yīng)用非常廣泛，因此對(duì)正交矩陣的探討具有十分重要的意義.本文主要對(duì)正交矩陣的性質(zhì)及結(jié)論進(jìn)行歸納總結(jié)，并對(duì)相關(guān)性質(zhì)進(jìn)行推廣.關(guān)鍵詞:正交矩陣;正交變換;性質(zhì) 1.1 正交矩陣的的定義及其判定定義1 階實(shí)矩陣, 若滿足, 則稱為正交矩陣.性質(zhì)1 為正交矩陣.性質(zhì)2 為正交矩陣. 性質(zhì)3 為正交矩陣.1.2 正交矩陣的性質(zhì) 性質(zhì)1 若為正交矩陣則均為正交矩陣

2、. 證明 有, 可得均為正交矩陣. 性質(zhì)2 若為正交矩陣則 證明 對(duì)兩邊同取行列式,可得, 故. 性質(zhì)3 若為正交矩陣，則也為正交矩陣. 證明 有, 可得 為正交矩陣. 性質(zhì)4 正交矩陣的特征值的模為1. 證明 設(shè)為正交矩陣，復(fù)數(shù)為其任一特征值為其對(duì)應(yīng)的特 征向量，即，兩邊取轉(zhuǎn)置，由此得, 有可得, 從而. 性質(zhì)5 正交矩陣的實(shí)特征值為. 性質(zhì)6 行列式為1的奇數(shù)階正交矩陣必有特征值1. 證明 設(shè)為n階正交矩陣且，n為奇數(shù) 則 , 故, 即有特征值1. 性質(zhì)7 行列式為1的正交矩陣必有特征值1. 證明 設(shè)為正交矩陣且 則 , 故, 即有特征值1.性質(zhì)8 設(shè)為正交矩陣的特征值，則也為的特征值.證

3、明 因?yàn)榈奶卣髦?故存在特征向量 從而, 得, 即為的特征值, 從而也為的特征值.性質(zhì)9 設(shè)為一n階正交矩陣，有一特征值為，相應(yīng)的特征向量為，則證明 有, 得, 兩邊轉(zhuǎn)置得 ,令,故,計(jì)算可得,比較第一行元素可知,又為正交矩陣，有性質(zhì)4知,代入并注意到有,可得即,易得,從而.下面舉具體例子說(shuō)明正交矩陣上述性質(zhì)的應(yīng)用.例1 證明：不存在正交矩陣. 證明 設(shè)有正交矩陣, 則都是正交矩陣,且, 故為正交矩陣, 從而, 兩式相加，得, 矛盾 故得證.例2 設(shè) 證明 因?yàn)檎环疥?，? 又, 從而, 得有特征值-1, 故, 即, 因此.例3 設(shè)證明：存在一實(shí)數(shù) 使得. 證明 設(shè)則 , 因?yàn)闉槠鏀?shù)階正交矩

4、陣且, 故有特征值1，不妨設(shè)則, 于是, 從而, 其中, 有因正交矩陣的特征值的模為1, 故, 得, 于是, 從而,.例4有橢球面的中心，引三條兩兩垂直的射線，分 交曲面于點(diǎn) ，設(shè).證明： .證明 設(shè)， 則 ，且,代入曲面方程可得, 故, 有兩兩垂直可得為正交矩陣, 故, 從而有.2.1正交變換的定義及等價(jià)條件 定義2：歐氏空間的線性變換稱為正交變換，如果它保持向量的內(nèi)積不變，即對(duì)任意的，都有.正交變換可以從幾個(gè)不同的方面來(lái)加以刻畫.定理 設(shè)是維歐氏空間的一個(gè)線性變換，于是下面的四個(gè)命題是相互等價(jià)的： (1) 是正交變換； （2）保持向量的長(zhǎng)度不變，即對(duì)于； （3）如果是標(biāo)準(zhǔn)正交基，那么也是標(biāo)

5、準(zhǔn)正交基； （4）在任一組標(biāo)準(zhǔn)正交基下的矩陣是正交矩陣. 2.2正交變換的性質(zhì)和應(yīng)用 由于矩陣與變換間存在一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系,因此正交矩陣性質(zhì)可以平 移到正交變換上來(lái).下面通過(guò)具體例子說(shuō)明其應(yīng)用.例5 設(shè)是歐氏空間的一個(gè)變換，證明：如果是保持內(nèi)積不變.即對(duì)于，那么它一定是線性的，因而它是正交變換.證：先證：由條件得從而再證：同理，由于例6 設(shè)與是維歐氏空間的兩組向量，證明：存在正交變換使的充要條件是證明 設(shè)有正交變換，則 證 設(shè)成立.令 則但易知是到的同構(gòu)映射.于是=.從而得，,令為到得一個(gè)同構(gòu)映射，則對(duì)令,易知是的正交變換且由得例7設(shè)是維歐氏空間的兩個(gè)線性變換，證明：存在.證明 令則易知, 是，因此有, 令, 是的正交變換，且對(duì)任意有 故, 因此.參考文獻(xiàn)1楊子胥. 高等代數(shù)精選習(xí)題m.高等教育出版社，2008.2北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室前代數(shù)小組.高等代數(shù)(第三版)m.高 等教育出版社，2003.9. 3劉志明.關(guān)于正交矩陣性質(zhì)的探討j.重慶師范學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2000，第17卷增刊. 4吳險(xiǎn)峰，張曉林.正交矩陣的進(jìn)一步探討j.齊齊哈爾大學(xué)學(xué)報(bào)，2008，第14卷第6期. 5戴立輝，王澤文，劉龍章.正交矩陣的若干性質(zhì)j.華東地質(zhì)學(xué)院學(xué)報(bào)，2002，第25卷第3 期.6涂文彪.正交矩陣的進(jìn)一步推廣及性質(zhì)j.蒙自師專學(xué)報(bào)，19