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文檔簡介
1、余弦定理教學(xué)案例天印高級中學(xué) 張梅一、 教材分析及設(shè)計(jì)思路1、教材分析 “余弦定理”是全日制普通高級中學(xué)教科書(數(shù)學(xué)必修5)第一章第一節(jié)的主要內(nèi)容之一,是解決有關(guān)斜三角形問題的兩個(gè)重要定理之一,也是初中“勾股定理”內(nèi)容的直接延拓,它是三角函數(shù)一般知識和平面向量知識在三角形中的具體運(yùn)用,是解可轉(zhuǎn)化為三角形計(jì)算問題的其它數(shù)學(xué)問題及生產(chǎn)、生活實(shí)際問題的重要工具,因此具有廣泛的應(yīng)用價(jià)值。本節(jié)課是“正弦定理、余弦定理”教學(xué)的第二節(jié)課,其主要任務(wù)是引入并證明余弦定理,在課型上屬于“定理教學(xué)課”。布魯納指出,學(xué)生不是被動(dòng)的、
2、消極的知識的接受者,而是主動(dòng)的、積極的知識的探究者。教師的作用是創(chuàng)設(shè)學(xué)生能夠獨(dú)立探究的情境,引導(dǎo)學(xué)生去思考,參與知識獲得的過程。因此,做好“余弦定理”的教學(xué),不僅能復(fù)習(xí)鞏固舊知識,使學(xué)生掌握新的有用的知識,體會(huì)聯(lián)系、發(fā)展等辯證觀點(diǎn),而且能培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識和實(shí)踐操作能力,以及提出問題、解決問題等研究性學(xué)習(xí)的能力。2、設(shè)計(jì)思路 根據(jù)“情境 -問題”教學(xué)模式,沿著“設(shè)置情境-提出問題-解決問題-反思應(yīng)用”這條主線,把從情境中探索和提出數(shù)學(xué)問題作為教學(xué)的出發(fā)點(diǎn),以“問題”為紅線組織教學(xué),形成以提出問題與解決問題相互引發(fā)攜手并進(jìn)的“情境-問題”學(xué)習(xí)鏈,使學(xué)生真正成為
3、提出問題和解決問題的主體,成為知識的“發(fā)現(xiàn)者”和“創(chuàng)造者”,使教學(xué)過程成為學(xué)生主動(dòng)獲取知識、發(fā)展能力、體驗(yàn)數(shù)學(xué)的過程。根據(jù)上述精神,做出了如下設(shè)計(jì):(1)創(chuàng)設(shè)一個(gè)現(xiàn)實(shí)問題情境作為提出問題的背景(2)啟發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生提出自己關(guān)心的現(xiàn)實(shí)問題,逐步將現(xiàn)實(shí)問題轉(zhuǎn)化、抽象成過渡性數(shù)學(xué)問題,解決問題時(shí)需要使用余弦定理,借此引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突,揭示解斜三角形的必要性,并使學(xué)生產(chǎn)生進(jìn)一步探索解決問題的動(dòng)機(jī)。然后引導(dǎo)學(xué)生抓住問題的數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì),引伸成一般的數(shù)學(xué)問題:已知三角形的兩條邊和他們的夾角,求第三邊(3)為了解決提出的問題,引導(dǎo)學(xué)生從原有的知識經(jīng)驗(yàn)中“生長”出新的知識經(jīng)驗(yàn),通過作邊bc的垂線得到兩個(gè)直角三角形,
4、然后利用勾股定理和銳角三角函數(shù)得出余弦定理的表達(dá)式,進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行嚴(yán)格的邏輯證明。證明時(shí),關(guān)鍵在于啟發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生如何將向量關(guān)系轉(zhuǎn)化成數(shù)量關(guān)系(4)由學(xué)生獨(dú)立使用已證明的結(jié)論去解決中所提出的問題教學(xué)目標(biāo):1、掌握余弦定理及其證明方法;2、會(huì)運(yùn)用余弦定理解三角形;能力目標(biāo): 培養(yǎng)學(xué)生推理探索數(shù)學(xué)規(guī)律和歸納總結(jié)的思維能力,以及觀察、分析、類比、計(jì)算能力;德育目標(biāo): 通過知識間的聯(lián)系,體現(xiàn)事物的普遍聯(lián)系與辯證統(tǒng)一;教學(xué)重難點(diǎn): 余弦定理的推導(dǎo)、證明及應(yīng)用;教法學(xué)法: 教師的“引導(dǎo)式教學(xué)”和學(xué)生的“研究性學(xué)習(xí)”相結(jié)合二、教學(xué)過程、設(shè)置情境
5、 自動(dòng)卸貨汽車的車箱采用液壓機(jī)構(gòu)。設(shè)計(jì)時(shí)需要計(jì)算油泵頂桿 bc的長度(如下圖),已知車箱的最大仰角為60°,油泵頂點(diǎn)b與車箱支點(diǎn)a之間的距離為1.95m,ab與水平線之間的夾角為6°20,ac的長為1.40m,計(jì)算bc的長(保留三個(gè)有效數(shù)字)。 、提出問題師:大家想一想,能否把這個(gè)實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題?(數(shù)學(xué)建模)能,在三角形 abc,已知ab1.95m,ac1.40m,bac60°6°2066°20,求bc的長。師:能用正弦定理求解嗎?為什么?不能。正弦定理主要解決:已知三角形的兩邊與一邊的對角,求另一邊的對角;已知三
6、角形的兩角與一邊,求角的對邊。師:這個(gè)問題的實(shí)質(zhì)是什么?在三角形中,已知兩邊和它們的夾角,求第三邊。(一般化)三角形 abc,知acb,bca,角c,求ab。iii、解決問題師:請同學(xué)們想一想,我們以前遇到這種一般問題時(shí),是怎樣處理的?先從特殊圖形入手,尋求答案或發(fā)現(xiàn)解法。(特殊化)可以先在直角三角形中試探一下。直角三角形中 c 2 =a 2 +b 2 (勾股定理角c為直角)斜三角形abc中(如圖3),過a作bc邊上的高ad,將斜三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形。(聯(lián)想構(gòu)造)師:垂足 d一定在邊bc上嗎?不一定,當(dāng)角 c為鈍角時(shí),點(diǎn)d在bc的延長線上。(分類討論,培養(yǎng)學(xué)生從不同的角度研究問題)在銳角三角
7、形 abc中,過a作ad垂直bc交bc于d,在直角三角形adb中,ab 2 ad 2 bd 2 ,在直角三角形adc中,adacsinc, cdaccosc 即adbsinc, cdbcosc又 bdbc-cd,即bda-bcosc c 2 =(bsinc) 2 +(a-bcosc) 2=b 2 sin 2 c+a 2 -2abcosc+b 2 cos 2 c=a 2 +b 2 -2abcosc同理 a 2 =b 2 +c 2 -2bccosab 2 =a 2 +c 2 -2accosb在鈍角三角形 abc中,不妨設(shè)角c為鈍角,過a作ad垂直bc交bc的延長線于d,在直角三角形 adb中,ab
8、 2 ad 2 bd 2 ,在直角三角形adc中,adacsin(-c),cdaccos(-c),即adbsinc, cd-bcos c,又bdbccd,即bda-bcosc c 2 =(bsinc) 2 +(a-bcosc) 2=b 2 sin 2 c+a 2 -2abcosc+b 2 cos 2 c=a 2 +b 2 -2abcosc同理 a 2 =b 2 +c 2 -2bccosab 2 =a 2 +c 2 -2accosb同理可證 a 2 =b 2 +c 2 -2bccosab 2 =a 2 +c 2 -2accosb師:大家回想一下,在證明過程易出錯(cuò)的地方是什么?iv、反思應(yīng)用師:同
9、學(xué)們通過自己的努力,發(fā)現(xiàn)并證明了余弦定理。余弦定理揭示了三角形中任意兩邊與夾角的關(guān)系,請大家考慮一下,余弦定理能夠解決哪些問題?知三求一,即已知三角形的兩邊和它們的夾角,可求另一邊;已知三角形的三條邊,求角。余弦定理三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍。師:請同學(xué)們用余弦定理解決本節(jié)課開始時(shí)的問題。(請一位同學(xué)將他的解題過程寫在黑板上)解:由余弦定理,得bc1.89(m)答:頂桿bc約長1.89m。師:大家回想一想,三角形中有六個(gè)元素,三條邊及三個(gè)角,知道其中任意三個(gè)元素,是否能求出另外的三個(gè)元素?不能,已知的三個(gè)元素中,至少要有一個(gè)邊。師:解三角形時(shí),何時(shí)用正弦定理?何時(shí)用余弦定理?已知三角形的兩邊與一邊的對角或兩角與一角的對邊,解三角形時(shí),利用正弦定理;已知三角形的兩邊和它們的夾角或三條邊,解三角形時(shí),利用余弦定理。鞏固練
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