五法搞定空間距離

1、“五法”搞定空間距離空間距離包括點到面、異面直線間、線到面、面到面的距離等多種情況，所以，求空間距離的方法也很多?，F(xiàn)將五種常用的方法歸納如下：一、 定義法。求空間距離,有時我們可按照定義求垂線段或公垂線段的長度。所以，只要能找出或作出垂線段或公垂線段，然后利用解三角形等方法就可求出其長度。例1、 平面內(nèi)有rtabc，c=90°，p是平面abc外一點，且pa=pb=pc，p到平面abc的距離為40cm,ac=18cm,求點p到bc的距離。分析：求點到直線的距離，一般可直接或結(jié)合三垂線定理等作出垂線段。p解：如圖作po平面abc，垂足為o。pa=pb=pc，則ao=bo=co。oo為ab

2、c的外心。ab又c=90°，o點落在ab邊的中點，即po的長就是dc作odbc，由三垂線定理知pdbc，pd就是點p到bc邊的距離，又odac且od=ac，od=9，在rtpod中，pd=41p到bc的距離為41cm。二、 轉(zhuǎn)化法。在求空間距離時，有時可根據(jù)需要實行各種距離之間的相互轉(zhuǎn)化，即：線線距離線面距離面面距離點面距離，從而打開思路，或使解題思路和解題過程簡化。例2、 如圖，正方形abcd邊長為1，過d作pd平面abcd，且pd=1，e、f分別是ab、bc的中點，求直線ac到平面pef的距離。分析：要想求直線ac到平面pef的距離，可在ac上找一點到，求其到平面pef的距離或到

3、平面pef上一直線（或一點）的距離即可。p解：acef，ac平面pef，設ac與bd交于點o,ac與平面pef的距離，就是點o到平面pef的距離。efbd，efpd，ef平面pbd，平面pef平面pbd，交線為pg，過o作ohpg于h點，dc則oh平面pef，oh就是o點到平面pef的距離。ohf在rtpdg中，ohpg，pdgohg，geba，而pd=1，og=，pg=，oh=。即直線ac到平面pef距離是。本例的關(guān)鍵是把線面的距離轉(zhuǎn)化為點線距離，再通過解三角形來求解，類似地求面面距離也是轉(zhuǎn)化為點面距離；另一方面求點到面距離還能夠轉(zhuǎn)化另一點到平面的距離。讀者可在解決問題時認真體會其妙處。三、

4、 等積法。點到面的距離，往往能夠用等體積法來解。如例2、設o到平面pef距離為h，則由vo-pef=vp-oef得h·spef=pd·soef ，h=。等積法關(guān)鍵在于把點到平面的距離看作一個棱錐的一個底面上的高，再將此棱錐用另外的底面及相對應的高求出體積即可。四、 向量法。利用向量法來求距離常用的方法又有兩種，其一是建立直角坐標系，其二是直接利用向量的運算來求解。例3、已知正方體abcd-a1b1c1d1，棱長為1，求異面直線aa1和bd1的距離。分析：充分利用“向量數(shù)量積為0向量垂直”這個結(jié)論。解法一（向量法）：取aa1的中點m，連結(jié)md1、mb，設o為bd1的中點。d1

5、c1b1a1，omd，bac，=（）=0，mobd1。又=0，moaa1。mo是 aa1 與bd1的公垂線段。2=z=，故aa1和bd1的距離是。d1c1a1解法二（坐標向量法）如圖建立空間直角坐標系。則a（1，0，0），a1（1，0，1），b（1，1，0），b1d1（0，0，1），=（0，0，1），=（-1，-1，1），dcbay設=（x,y,z）是與的公垂線的方向向量，x由得z=0，x= -y。取=（1,-1,0）又=（0，1，0），則d=兩種方法均利用向量法求解,但思路卻不一樣.方法一以向量為工具達到了兩個目的,一是找出公垂線段,二是用向量的模得到公垂線段的長度.整體用的還是定義法的思路.方法二同樣以向量為工具,但利用公式d=（即在方向上的射影長度）求出距離,思路更加新穎,計算也更加簡單。此法可用于求點到面、和異面直線間的距離。其中，求點到平面距離時，可求點到平面上任一點構(gòu)成的向量在平面法向量上的射影長度。求異面直線距離時，可求異面直線各一點構(gòu)成的向量在異面直線公垂向量上的射影長度。五、函數(shù)法。求距