不等式恒成立問題中的參數(shù)求解技巧

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載不等式恒成立問題中的參數(shù)求解技巧在不等式中， 有一類問題是求參數(shù)在什么范圍內(nèi)不等式恒成立。恒成立條件下不等式參數(shù)的取值范圍問題，涉及的知識(shí)面廣，綜合性強(qiáng)，同時(shí)數(shù)學(xué)語(yǔ)言抽象，如何從題目中提取可借用的知識(shí)模塊往往捉摸不定，難以尋覓，是同學(xué)們學(xué)習(xí)的一個(gè)難點(diǎn)，同時(shí)也是高考命題中的一個(gè)熱點(diǎn)。其方法大致有：用一元二次方程根的判別式，參數(shù)大于最大值或小于最小值，變更主元利用函數(shù)與方程的思想求解。本文通過實(shí)例，從不同角度用常規(guī)方法歸納，供大家參考。一、用一元二次方程根的判別式有關(guān)含有參數(shù)的一元二次不等式問題， 若能把不等式轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)或二次方程， 通過根的判別式或數(shù)形結(jié)合思想，可使問題得到順

2、利解決。例 1 對(duì)于 x R，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)m 的取值范圍。解：不妨設(shè)，其函數(shù)圖象是開口向上的拋物線，為了使，只需，即，解得。變形：若對(duì)于x R，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)m 的取值范圍。變形：此題需要對(duì)m 的取值進(jìn)行討論，設(shè)。當(dāng) m=0 時(shí)， 3>0 ，顯然成立。當(dāng) m>0 時(shí)，則 <0。當(dāng) m<0 時(shí)，顯然不等式不恒成立。由知。關(guān)鍵點(diǎn)撥：對(duì)于有關(guān)二次不等式（或 <0）的問題，可設(shè)函數(shù)，由a 的符號(hào)確定其拋物線的開口方向，再根據(jù)圖象與x 軸的交點(diǎn)問題，由判別式進(jìn)行解決。例 2 已知函數(shù)，在時(shí)恒有，求實(shí)數(shù)k 的取值范圍。例 2 解：令，則對(duì)一切恒成立，而是開口向上

3、的拋物線。當(dāng)圖象與x 軸無交點(diǎn)滿足<0，即，解得 2<k<1< span=""> 。 </k<1<>當(dāng)圖象與x 軸有交點(diǎn)，且在時(shí)，只需由知關(guān)鍵點(diǎn)撥：為了使在恒成立，構(gòu)造一個(gè)新函數(shù)是解題的關(guān)鍵，再利學(xué)習(xí)必備歡迎下載用二次函數(shù)的圖象性質(zhì)進(jìn)行分類討論，使問題得到圓滿解決。二、參數(shù)大于最大值或小于最小值如果能夠?qū)?shù)分離出來，建立起明確的參數(shù)和變量x 的關(guān)系，則可以利用函數(shù)的單調(diào)性求解。恒成立，即大于時(shí)大于函數(shù)值域的上界。恒成立，即小于時(shí)小于函數(shù)值域的下界。例 3 已知二次函數(shù)，如果 x 0， 1時(shí)，求實(shí)數(shù)a 的取值范圍。解：

4、x 0， 1時(shí)，即當(dāng) x=0 時(shí)， aR當(dāng) x時(shí)，問題轉(zhuǎn)化為恒成立由恒成立，即求的最大值。設(shè)。因?yàn)闇p函數(shù)，所以當(dāng)x=1 時(shí)，可得。由恒成立，即求的最小值。設(shè)。因?yàn)樵龊瘮?shù)，所以當(dāng)x=1 時(shí)，可得 a 0。由知。關(guān)鍵點(diǎn)撥：在閉區(qū)間0， 1上使分離出 a，然后討論關(guān)于的二次函數(shù)在上的單調(diào)性。例 4 若不等式在 x 1，2時(shí)恒成立，試求a 的取值范圍。解：由題設(shè)知，得 a>0，可知 a+x>1 ，所以。原不等式變形為。，即。又，可得恒 成 立 。 設(shè)， 在x 1 ， 2 上 為 減 函 數(shù)， 可 得學(xué)習(xí)必備歡迎下載，知。綜上知。關(guān)鍵點(diǎn)撥：將參數(shù)a 從不等式中分離出來是解決問題的關(guān)鍵。例 5

5、 是否存在常數(shù)c 使得不等式，對(duì)任意正數(shù)x、 y 恒成立？試證明你的結(jié)論。解：首先，欲使恒成立（ x、 y>0），進(jìn)行換元令。上述不等式變?yōu)椋春愠闪?。尋求的最小值，由a>0， b>0，利用基本不等式可得。同理欲使恒成立，令，得上述不等式變?yōu)?，即。尋求的最大值，易得。學(xué)習(xí)必備歡迎下載綜上知存在使上述不等式恒成立。關(guān)鍵點(diǎn)撥：本題是兩邊夾的問題，利用基本不等式，右邊尋找最小值，左邊尋找最大值，可得 c=。三、變更主元在解含參不等式時(shí)，有時(shí)若能換一個(gè)角度，變參數(shù)為主元，可以得到意想不到的效果，使問題能更迅速地得到解決。例 6 若不等式，對(duì)滿足所有的 x 都成立，求x 的取值范圍。解

6、：原不等式可化為令是關(guān)于 m 的一次函數(shù)。由題意知解得 x 的取值范圍是關(guān)鍵點(diǎn)撥：利用函數(shù)思想，變換主元，通過直線方程的性質(zhì)求解。例 7 已知是定義在 1，1上的奇函數(shù)且，若 a、b 1，1，a+b0，有。（ 1）判斷函數(shù)在 1，1上是增函數(shù)還是減函數(shù)。（ 2）解不等式。（ 3）若對(duì)所有、 a 1， 1恒成立，求實(shí)數(shù)m 的取值范圍。解：（ 1）設(shè)，則，可知，所以在 1， 1上是增函數(shù)。學(xué)習(xí)必備歡迎下載（ 2）由在 1， 1上是增函數(shù)知解得，故不等式的解集（ 3）因?yàn)樵?1， 1上是增函數(shù)，所以，即1 是的最大值。依題意有，對(duì) a 1，1恒成立，即恒成立。令，它的圖象是一條線段，那么。關(guān)鍵點(diǎn)撥：

7、對(duì)于（1），抽象函數(shù)單調(diào)性的證明往往借助定義，利用拼湊條件，判斷差的符號(hào)。對(duì)于（2），后一步解不等式往往是上一步單調(diào)性的繼續(xù)，通過單調(diào)性、函數(shù)值的大小轉(zhuǎn)化到自變量的大小上來。對(duì)于（3），轉(zhuǎn)換視角變更主元，把看作關(guān)于 a 的一次函數(shù)，即在 a 1， 1上大于等于0，利用是一條直線這一圖象特征，數(shù)形結(jié)合得關(guān)于m 的不等式組，從而求得m 的范圍。不等式恒成立問題中的參數(shù)求解技巧學(xué)習(xí)必備歡迎下載一、用一元二次方程根的判別式例 1 對(duì)于 x R，不等式變形：若對(duì)于x R，不等式恒成立，求實(shí)數(shù) m 恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。m 的取值范圍。例 2 已知函數(shù)，在時(shí)恒有，求實(shí)數(shù)k 的取值范圍。二、參數(shù)大于最大值或小于最小值例 3 已知二次函數(shù)，如果 x 0， 1時(shí)，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍。例 4 若不等式在 x 1， 2時(shí)恒成立，試求a 的取值范圍。例 5是否存在常數(shù)c 使得不等式，對(duì)任意正數(shù) x、 y 恒成立？試證明你的結(jié)論。三、變更主元例 6若不等式，對(duì)滿足所有的 x 都成