初中平面幾何中的定值問題

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載平面幾何中的定值問題開場白：同學(xué)們，動態(tài)幾何類問題是近幾年中考命題的熱點(diǎn)，題目靈活、多變，能夠全面考查同學(xué)們的綜合分析和解決問題的能力。 這類問題中就有一類是定值問題， 下面我們來看幾道題：【問題 1】已知一等腰直角三角形的兩直角邊 AB=AC=1 ，P 是斜邊 BC 上的一動點(diǎn)，過P 作 PEAB 于 E，PFAC 于 F，則PE+PF=。方法 1：特殊值法：把P 點(diǎn)放在特殊的B 點(diǎn)或 C 點(diǎn)或 BC 中點(diǎn)。此種方法只適合小題。方法 2：等量轉(zhuǎn)化法： 這是絕大部分同學(xué)能夠想到的方法， PF=AE,PE=BE, 所以 PE+PF=BE+AE 。方法 3：等面積法：連接AP， S

2、 ABCS ABPS APCAFEBPCABACAB PEAC PFABPEPF總結(jié)語：這雖然是一道動態(tài)幾何問題，難嗎？不難，在解決過程中（方法2 抓住了邊長AB的不變性和PE,PF 與 BE,AE 的不變關(guān)系； 方法 3 抓住了面積的不變性） ，使得問題迎刃而解。設(shè)計：大部分學(xué)生都能想到方法2，若其他兩種方法學(xué)生沒有想到，也不要深究，更不要自己講掉。此題可叫差生或中等偏下的學(xué)生回答（賽比艷，艾科）（設(shè)計意圖：由簡到難，讓程度最差的同學(xué)也有在課堂上展示自我的機(jī)會。）過渡： 這道題太簡單了， 因為等腰直角三角形太特殊了， 我若把等腰直角三角形換成一般的等腰三角形，問題有沒有變化，又該如何解決？請

3、看：【變式 1】若把問題 1 中的等腰直角三角形改為A等腰三角形，且兩腰AB=AC=5 ，底邊 BC=6 ，過 P 作 PE AB 于 E，PFAC 于 F，則FPE+PF 還是定值嗎？若是，是多少？E若不是，為什么 ?BC方法 1：三角形相似進(jìn)行量的轉(zhuǎn)化ABMPBEPCFPAMPEPFPEAM PB ,PFAMPCABPBPCABABPEAM ( PB PC)AM BC4 624PFABAB5（板書）5（M 為 BC 中點(diǎn)）（解題要點(diǎn)：等腰三角形中，底邊上的中線是常作的輔助線，抓住這條線的長度 是不變量這個特點(diǎn)，建立PE,PF 與 AM 之間的聯(lián)系，化動為靜）方法 2：等面積法：S ABCS

4、 ABPS APCBCAMAB PEAC PFPEPFBCAM6424AB55（ M 為 BC 中點(diǎn)）（板書）（解題要點(diǎn)： 抓住三角形面積 是個不變量， 用等面積法求解， 這是在三角形中求解與 垂線段有關(guān)的量的常用方法。 ）學(xué)習(xí)必備歡迎下載(若學(xué)生想不到，可提示：在此題中，不變的東西是什么？不變的這個量和變量PE,PF 之間有什么聯(lián)系，能不能用一個等式來表示？學(xué)生會三角形的邊長，角度，周長，面積等都是不變量。（設(shè)計意圖：由特殊到一般，引出求垂線段長度的常用方法：等面積法）（教師行為：出示題之后，讓學(xué)生做，教師下去看。叫用方法1 的同學(xué)先站起來回答，然后再叫用方法2 的同學(xué)。以達(dá)到過渡到下一題的

5、目的。）問：我把題中的5 改為 a， 6 改為 b， PE+PF 還是定值嗎？你能求出這個定值嗎？答：是定值，求解方法不變。問：由這題，你能得出等腰三角形的一個一般性結(jié)論嗎？結(jié)論：等腰三角形底邊上任意一點(diǎn)到兩腰的距離之和為定值bPE+PF= h (a 為腰長 ,b 為底邊a長,h 為的邊上的高)（等面積法可以求解，注意當(dāng)頂角為鈍角的情況）（設(shè)計意圖：培養(yǎng)學(xué)生探究的精神，養(yǎng)成勤總結(jié)的習(xí)慣）問題：通過前面幾題， 你能說說在解答動態(tài)幾何問題時解題的關(guān)鍵是什么？應(yīng)該注意什么問題？答：不要被 " 動 "、" 變 "迷惑，通過觀察，分析，動中窺靜，變化之中求不變，從

6、而明確圖形之間的內(nèi)在聯(lián)系， 找到不變量或不變關(guān)系， 找到解題的途徑。 在解題過程中要注意點(diǎn)或線在運(yùn)動的過程中，是否需要討論。過渡：上面兩題中的動點(diǎn)都是在一定線段或直線上運(yùn)動，有些同學(xué)可能還是覺得不夠刺激，下面再來一道刺激一點(diǎn)的，讓點(diǎn)在一個區(qū)域內(nèi)運(yùn)動，請看：【變式 2】已知 P 為邊長為 a 的等邊三角形ABC 內(nèi)任意一動點(diǎn)，P 到三邊的距離分別為h1,h2,h3,則 P 到三邊的距離之和是否為定值？為什么？A（由上題的啟示，學(xué)生可能很容易想到等面積法）S ABCS ABP S ACP S BCP BC AMAB PE AC PFBC PDFEPE PF PD AM 為定值（M 為 BC 中點(diǎn)）

7、（板書）可以用幾何畫板度量長度，進(jìn)行演示（設(shè)計意圖：使學(xué)生更深一步理解等面積法的應(yīng)用）過渡：研究完了 P 在三角形內(nèi)部運(yùn)動的情況，我們不防降低對P 點(diǎn)D的約束，讓這個好動的點(diǎn) P 動到三角形外部去， 情況又會有何變化？B【變式 3】已知 P 為邊長為 a 的等邊三角形 ABC 外任意一點(diǎn)， P 到三邊的距離分別為則 P 到三邊的距離之間有何關(guān)系？為什么？PCh1,h2,h3,AEFAAPPFEFDEDBCBPCBCD圖1圖2圖3學(xué)習(xí)必備歡迎下載在幾何畫板中操作，發(fā)現(xiàn)當(dāng)點(diǎn) P 移出三角形時， h1 h2 h3 發(fā)生改變，那么 h1,h2,h3 有沒有什么一定的關(guān)系呢？等面積法還可以用嗎？ PAB

8、，PBC， PAC 的面積有何關(guān)系？這三個三角形的面積和不變的三角形 ABC 的面積有何關(guān)系？（直需講解一種情況，其它讓學(xué)生自己去補(bǔ)充）圖1：SABCSABPSACPSBCPBCAMAB PEAC PFBC PDPEPFPDAM 為定值（板書）圖2：SABCS ACPS BCPS ABPBCAMAC PFBC PDAB PEPFPDPEAM 為定值（只把結(jié)論板書）圖3：SABCS ABPS BCPS ACPBCAMAB PEBC PDAC PFPEPDPFAM 為定值（只把結(jié)論板書）AAPFEAFEDCDBC BCPPBDEF圖 1圖 2圖 3圖1：SABCS ACPS ABPS BCPBC

9、AMACPEAB PFBC PDPF PEPDAM 為定值（板書）圖2：SABCS ABPS BCPS ACPBC AMAB PEBC PDAC PFPE PDPFAM 為定值（只把結(jié)論板書）圖3：SABCS BCPS ABPS ACPBC AMBCPDAB PEAC PFPD PEPFAM 為定值（只把結(jié)論板書）（設(shè)計意圖：滲透分類討論思想在平面幾何中的應(yīng)用。）（教師行為： 在幾何畫板中作出個三角形， 填充內(nèi)部， 讓學(xué)生直觀地發(fā)現(xiàn)幾個三角形之間的面積關(guān)系。）過渡：前面我們研究的都是以三角形為背景的動態(tài)幾何定值問題，下面再看一道以圓為背景的定值問題。學(xué)習(xí)必備歡迎下載【問題 2】已知：已知弧AB

10、 為 120 度，在以 AB 為弦的弓形劣弧上取一點(diǎn)M( 不包括 A 、B 兩點(diǎn) )，以 M 為圓心作圓M 和 AB 相切，分別過A ， B 作 M 的切線，兩條切線相交于點(diǎn) C.求證： ACB 有定值，并求出這個定值.分析：C問：這個圖形中不變的是什么？不變的角是那一個？EF答： 此題中的 不變量是弧 AB ，因此 AMB 也是不變量；不變關(guān)系是相切。M問：已知直線和圓已經(jīng)相切，我們會想到什么？AB答：連接圓心與切線方法 1：問：要證 ACB 有定值，可以轉(zhuǎn)化為求什么為定值？答：要證 ACB 有定值，只需證CAB+ CBA 是定值，只需證MAB+ MBA 是定值，只要AMB 是定值即可。證明

11、：在 ABC 中， MAB+ MBA=180 AMB ，M 是 ABC 的內(nèi)心， CAB+ CBA=2(180 AMB).D ACB=180（ CAB+ CBA ） =180 2(180 AMB)= 2 AMB 180 60. ACB 有定值 60 .方法 2：問：要證 ACB 有定值，可以轉(zhuǎn)化為求什么為定值？答：要證 ACB 有定值，只需證EMF 是定值，只需證EMD+ FMD 是定值，只要 AMD+ BMD 即 AMB 是定值即可。證明：在四邊形CEMF 中， C+ EMF=180，M 是 ABC 的內(nèi)心， DMA= EMA, FMB= DMB EMD+ FMD=2 AMB =240 EM

12、F=120 C =180 - EMF=60總結(jié)： 若要證的不變量比較困難，你可以先找找題中比較容易看出的不變量，然后建立兩者之間的聯(lián)系。（設(shè)計意圖：多角度，多方位地研究動態(tài)幾何中的定值問題，本題以圓為背景，研究角的定值問題。）過渡： 上題是道有關(guān)定值的證明題，也就是已經(jīng)明確方向肯定是定值了，若不是證明題呢？學(xué)習(xí)必備歡迎下載【問題 3】已知： O 是如圖同心圓的圓心 ,AB 是大圓的直徑 ?點(diǎn) P 是小圓上的一動點(diǎn) 2 2分析：這道題是探索定值的問題，可以先用特位定值法，探索以下是否可能是定值。,大小點(diǎn) P放在直徑AB 上.得 PA2 PB2（ Rr ）2（ . R r） 2 2（ R2 r2）

13、 . 點(diǎn) P 放在與直徑 AB 垂直的另一條直徑上也可得 PA2PB 2 R2 r2R2 r2 2（ R2 r2） .說明 PA2PB 2 非常有可能是定值，而且這個值為2（ R2 r2）BBBPOOOAOBPHPPAAA證明：（直角三角形計算法）222222222PAPBHAPH+PH HB 2PH (OH+R)+(R-OH) 2PH2 2OH2+2R 2=2(PH 2 OH 2) +2R 2=2r 2 2R2解答動態(tài)幾何定值探索問題的方法，一般有兩種：第一種是分兩步完成：先探求定值 .它要用題中固有的幾何量表示.再證明它能成立.探求的方法，常用特殊位置定值法，即把動點(diǎn)放在特殊的位置，找出定值的表達(dá)式，然后寫出證明 .第二種是采用綜合法，直接寫出證明.結(jié)束語： 數(shù)學(xué)因運(yùn)動不再枯燥，數(shù)學(xué)因