第四文鼎創(chuàng)杯華中地區(qū)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模邀請(qǐng)賽

1、第四屆文鼎創(chuàng)杯華中地區(qū)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模邀請(qǐng)賽承 諾 書我們仔細(xì)閱讀了第四屆文鼎創(chuàng)杯華中地區(qū)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模邀請(qǐng)賽的選手須知。我們完全明白，在競(jìng)賽開始后參賽隊(duì)員不能以任何方式（包括電話、電子郵件、網(wǎng)上咨詢等）與隊(duì)外的任何人（包括指導(dǎo)教師）研究、討論與賽題有關(guān)的問題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競(jìng)賽規(guī)則的, 如果引用別人的成果或其他公開的資料（包括網(wǎng)上查到的資料），必須按照規(guī)定的參考文獻(xiàn)的表述方式在正文引用處和參考文獻(xiàn)中明確列出。我們鄭重承諾，嚴(yán)格遵守競(jìng)賽規(guī)則，以保證競(jìng)賽的公正、公平性。如有違反競(jìng)賽規(guī)則的行為，我們將受到嚴(yán)肅處理。我們的競(jìng)賽編號(hào)為：我們的選擇題號(hào)為：參賽隊(duì)員（打印并簽名）：隊(duì)員1：隊(duì)

2、員2：隊(duì)員3：（以下內(nèi)容參賽隊(duì)伍不需要填寫）評(píng)閱編號(hào)：武漢工業(yè)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)第四屆文鼎創(chuàng)杯華中地區(qū)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模邀請(qǐng)賽競(jìng)賽組委會(huì)題目：摘要一、問題重述2010年三月份以來，我國的物價(jià)指數(shù)呈現(xiàn)飛速增長(zhǎng)的趨勢(shì)?！皾q價(jià)”成為全國民眾茶余飯后最頻繁的交流詞匯，普通百姓的生活成本帳單隨著這些物品的快速上漲跳躍到了一個(gè)新的數(shù)字。物價(jià)上漲不僅給國家宏觀調(diào)控政策帶來一定程度的影響，而且還極大的影響著老百姓的日常生活消費(fèi)水平。今年年初，社科院發(fā)布的一項(xiàng)調(diào)查表明，物價(jià)上漲已經(jīng)成為頭號(hào)社會(huì)熱點(diǎn)，人們對(duì)物價(jià)的關(guān)注首次超過了收入差距的關(guān)注。尤其是食品類價(jià)格的上漲，更是成為影響居民生活消費(fèi)信心的關(guān)鍵。由于2011年異常的

3、氣候情況，導(dǎo)致農(nóng)產(chǎn)品生產(chǎn)成本大量增加，加之國際糧價(jià)對(duì)國內(nèi)供需的影響，食品價(jià)格未來可能繼續(xù)呈現(xiàn)上漲趨勢(shì)。為了研究食品價(jià)格變動(dòng)對(duì)居民生活的影響，在本文中，我們將以消費(fèi)者物價(jià)指數(shù)作為切入點(diǎn)，解決城市居民食品分類及零售價(jià)格預(yù)測(cè)等相關(guān)問題。消費(fèi)者物價(jià)指數(shù)（consumer price index即cpi），也稱消費(fèi)價(jià)格指數(shù)，是指反映與居民生活有關(guān)的產(chǎn)品及勞務(wù)價(jià)格統(tǒng)計(jì)出來的物價(jià)變動(dòng)指數(shù)，通常作為觀察通貨膨脹水平的重要指標(biāo)，是與人民生活密切相關(guān)的參考指標(biāo)。根據(jù)國家統(tǒng)計(jì)局公布的2011年一季度經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)顯示，3月份居民消費(fèi)價(jià)格同比上漲5.4%，創(chuàng)出32個(gè)月以來新高。而如果消費(fèi)者物價(jià)指數(shù)升幅過大，表明通脹過渡，會(huì)

4、帶來經(jīng)濟(jì)不穩(wěn)定，央行就會(huì)有緊縮貨幣政策和財(cái)政政策的風(fēng)險(xiǎn)，從而會(huì)造成經(jīng)濟(jì)前景不明朗。因此，該指數(shù)過高的升幅往往不被歡迎。本文旨在通過分析武漢市2010年3月2011年4月的城市居民食品類零售價(jià)格數(shù)據(jù)，建立相對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，獲得各類相關(guān)食品對(duì)消費(fèi)者物價(jià)指數(shù)的貢獻(xiàn)度，進(jìn)而解決以下三大問題：1：建立數(shù)學(xué)模型，將所涉及食品適當(dāng)分類，并分析每類食品的特點(diǎn)；2：建立數(shù)學(xué)模型，預(yù)測(cè)2011年4、5月的城市居民食品零售價(jià)格走勢(shì)；3：寫一篇城市居民食品零售價(jià)格情況分析和對(duì)有關(guān)部門建議的文章。二、問題分析2.1問題理解及分析針對(duì)上面提出的三個(gè)方面的問題，我們分別做出了以下幾個(gè)方面的分析：?jiǎn)栴}一分析從附錄所給的相關(guān)數(shù)

5、據(jù)，我們可以看出需要討論的食品品種比較多，根據(jù)商品分類基本原則我們將所給食品分為五大類：油類：菜籽油、大豆油、花生油、大豆調(diào)和油肉蛋魚類：鮮豬肉、鮮牛肉、鮮羊肉、活雞、雞肉、雞蛋、帶魚、草魚、鯽魚、鮮牛奶蔬菜類：芹菜、大白菜、油菜、黃瓜、蘿卜、茄子、西紅柿、土豆、胡蘿卜、青椒、尖椒、圓白菜、豆角、蒜苔、韭菜、豆腐水果類：蘆柑、蘋果、香蕉、西瓜調(diào)味料類：食用鹽、綿白糖、白砂糖、紅糖、醬油、醋在每一大類中，再根據(jù)不同的原則將其進(jìn)行進(jìn)一步細(xì)分。針對(duì)這個(gè)問題，我們從以下兩種方面來對(duì)所討論的食品進(jìn)行分類：1.根據(jù)食品在歷史上的變化相似程度在每個(gè)大類中，雖然各種食品的變化情況有著各自的特點(diǎn)，但是它們之間也

6、存在著聯(lián)系。比方說，如果在某一時(shí)期，豬肉的價(jià)格上漲，那人們可能會(huì)去選擇雞肉來作為它的替代品。這樣也會(huì)導(dǎo)致雞肉的價(jià)格的上漲，所以它們的的價(jià)格變化在歷史上應(yīng)該是十分相像的?；谶@個(gè)原理，我們通過找出所給時(shí)間段內(nèi)（2010.3-2011.2）的數(shù)據(jù)變化的相似性來將它們進(jìn)行分類。為了找出各個(gè)食品的相似性，在這里我們利用fcm聚類算法對(duì)每個(gè)大類里面的食品進(jìn)行再分類，使得食品對(duì)象之間相似度較大的被劃分到同一簇，而相似度較小的被劃到不同簇。2.根據(jù)各種食品對(duì)cpi的貢獻(xiàn) 在上述得到的各類簇的基礎(chǔ)上，再結(jié)合各種食品對(duì)cpi的貢獻(xiàn)，從而對(duì)所給食品進(jìn)行更加準(zhǔn)確的分類。cpi （consumer price ind

7、ex，消費(fèi)者物價(jià)指數(shù)）是世界各國普遍編制的一種指數(shù)，它可以用于分析市場(chǎng)價(jià)格的基本動(dòng)態(tài)，是政府制定物價(jià)政策和工資政策的重要依據(jù)。既然消費(fèi)者價(jià)格指數(shù)，能夠很好的反映市場(chǎng)商品的價(jià)格變動(dòng)，根據(jù)這一特點(diǎn)，我們可以從各商品對(duì)cpi的影響角度出發(fā)，在每大類食品中，根據(jù)每類商品對(duì)cpi的“貢獻(xiàn)”的大小來進(jìn)行分類。在工程試驗(yàn)中，要想研究試驗(yàn)中每個(gè)實(shí)驗(yàn)變量對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果的影響程度，通常會(huì)采用單一變量試驗(yàn)的方法來進(jìn)行量化。但是對(duì)于歷史上發(fā)生過的事情，我們沒法真正的進(jìn)行試驗(yàn)，只能夠進(jìn)行模擬。要想知道食品價(jià)格與cpi之間準(zhǔn)確的相互關(guān)系是十分復(fù)雜的。所以在這里我們利用的工具是神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中我們把這種未知的影響關(guān)系看作

8、是一個(gè)“黑箱”。首先，利用已知的數(shù)據(jù)來對(duì)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行訓(xùn)練，進(jìn)而不斷完善黑箱里的內(nèi)容，訓(xùn)練數(shù)據(jù)越多，黑箱就越接近真實(shí)狀態(tài)，所以我們先利用樣條插值來對(duì)黑箱數(shù)據(jù)進(jìn)行豐富。然后，針對(duì)得到的黑箱，我們通過單一變量試驗(yàn)，來量化影響程度。最后根據(jù)影響程度的大小和不同對(duì)食品進(jìn)行分類，最終得到分類結(jié)果。問題二分析為了預(yù)測(cè)2011年的4、5月份的城市居民食品零售價(jià)格走勢(shì)，我們建立了如下兩個(gè)預(yù)測(cè)模型分別進(jìn)行預(yù)測(cè)，然后對(duì)比兩個(gè)模型的預(yù)測(cè)結(jié)果，綜合修正，最終得出2011年4、5月的城市居民食品零售價(jià)格走勢(shì)。模型一 gm（1，1）模型考慮到數(shù)據(jù)可能的時(shí)效性問題，我們提取最近的數(shù)據(jù)（2010年9月25以后的）作為歷史數(shù)據(jù)建

9、立時(shí)間序列，得出白化方程，并進(jìn)行精度檢驗(yàn)，從而預(yù)測(cè)出4、5月每類食品的價(jià)格。模型二 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)為了運(yùn)用已有的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，對(duì)將來各種食品價(jià)格的發(fā)展趨勢(shì)進(jìn)行預(yù)測(cè)，在這里我們?cè)俅卫蒙窠?jīng)網(wǎng)絡(luò)，以時(shí)間為網(wǎng)絡(luò)的輸入，以每個(gè)食品的價(jià)格為網(wǎng)絡(luò)的輸出。在得到網(wǎng)絡(luò)之后，我們更換輸入的時(shí)間點(diǎn)，得出對(duì)應(yīng)的輸出的價(jià)格數(shù)值，進(jìn)而達(dá)到預(yù)測(cè)的目的。三、模型準(zhǔn)備四、基本假設(shè)與符號(hào)說明五、模型的建立及求解5.1 問題一的求解根據(jù)問題1的分析，我們對(duì)五大類食品（第一次初步分類）進(jìn)行了各大類食品內(nèi)部的價(jià)格特點(diǎn)以及其對(duì)貢獻(xiàn)兩個(gè)方面的討論和研究，分別建立了模糊矩陣劃分模型和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)聚類模型。為此，我們定義第二次精細(xì)分類的兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)：各食品間

10、的價(jià)格變化趨勢(shì)相似程度各食品價(jià)格對(duì)cpi變化的貢獻(xiàn)率51.1 模型一之fcm模糊矩陣劃分模型5.1.?模型二之網(wǎng)絡(luò)神經(jīng)聚類模型模型一中討論并研究了各大類食品內(nèi)部的發(fā)展變化的相關(guān)性這一標(biāo)準(zhǔn)，為了進(jìn)一步分析各類食品對(duì)的影響，我們建立了能夠很好地處理復(fù)雜數(shù)據(jù)關(guān)系，多變量的網(wǎng)絡(luò)神經(jīng)模型。5.1.？數(shù)據(jù)準(zhǔn)備三次樣條法從附錄中提取的數(shù)據(jù)量相對(duì)bp網(wǎng)絡(luò)模型精度要求比較少，而如果大量挖掘過期歷史數(shù)據(jù)，其實(shí)效性較差，為了更好對(duì)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行訓(xùn)練，達(dá)到實(shí)驗(yàn)要求的精度范圍，我們采用三次樣條對(duì)近期歷史數(shù)據(jù)進(jìn)行插值，以獲得相當(dāng)量的數(shù)據(jù)，更合理準(zhǔn)確地完成網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練。采用三次樣條插值增加數(shù)據(jù)的理由如下：i雖然價(jià)格的增長(zhǎng)并不是一

11、個(gè)連續(xù)的過程，而只是在某個(gè)時(shí)間節(jié)點(diǎn)發(fā)生，但我們可以近似地認(rèn)為其是連續(xù)的（因?yàn)檫@并不影響其在該時(shí)間節(jié)點(diǎn)發(fā)生改變的數(shù)量或者幅度），故可以用插值法增加數(shù)據(jù)。ii.三次樣條具有分段的性質(zhì)，這是線性或非線性擬合所不能具備的，即三次樣條能更好地反映數(shù)據(jù)的局部變化趨勢(shì)而非過分得考慮整體趨勢(shì)，符合價(jià)格變化的特點(diǎn)。iii三次樣條插值使數(shù)據(jù)盡可能地平滑，可以更好地反映實(shí)際情況。通過三次樣條插值，我們得到了一系列的近期數(shù)據(jù)，具體見表格： 5.1.？bp網(wǎng)絡(luò)的建立總體思路：bp網(wǎng)絡(luò)中網(wǎng)絡(luò)是否可用，需要輸入，輸出數(shù)據(jù)的不斷訓(xùn)練學(xué)習(xí)，最后建立一個(gè)精度在控制范圍類的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò),為此我們提取上述插值獲得的數(shù)據(jù)，以其中70%的數(shù)

12、據(jù)為學(xué)習(xí)訓(xùn)練數(shù)據(jù)輸入，30%的作為誤差驗(yàn)證分析用，不斷地調(diào)節(jié)各實(shí)驗(yàn)條件（bp神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中的迭代次數(shù)，學(xué)習(xí)率以及網(wǎng)絡(luò)目標(biāo)），使其不斷完善。bp神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的隱含層節(jié)點(diǎn)數(shù)對(duì)bp神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)精度有較大的影響。如果節(jié)點(diǎn)數(shù)太少，網(wǎng)絡(luò)不能很好的學(xué)習(xí)，需要增加訓(xùn)練次數(shù)，訓(xùn)練的精度也會(huì)受影響；如果節(jié)點(diǎn)太多，訓(xùn)練時(shí)間增加了，網(wǎng)絡(luò)容易擬合。最佳隱含層節(jié)點(diǎn)數(shù)可參考公式：算法流程圖精度及誤差控制 數(shù)據(jù)表或者分析圖5.1.？單一變量實(shí)驗(yàn)單變量實(shí)驗(yàn)方法就是單獨(dú)地改變大類中的一個(gè)項(xiàng)目，其他各項(xiàng)目保持不變，通過模擬實(shí)驗(yàn)的方法確定該因子對(duì)總輸出指標(biāo)的影響程度。在本文中，我們給定每個(gè)項(xiàng)目一個(gè)相對(duì)數(shù)的增長(zhǎng)或減少，其他項(xiàng)目保持不變，依次輸

13、入神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)進(jìn)行訓(xùn)練學(xué)習(xí)（我們稱之為實(shí)驗(yàn)），進(jìn)而得到在該條件下的cpi貢獻(xiàn)絕對(duì)量，再以原相應(yīng)cpi為基值，得到相對(duì)貢獻(xiàn)也就是cpi貢獻(xiàn)率。最后，根據(jù)所得各項(xiàng)目的cpi貢獻(xiàn)率大小進(jìn)行第二次精細(xì)分類。實(shí)驗(yàn)流程圖及結(jié)果figure？神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型結(jié)構(gòu)圖5.2.1問題二的求解 根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)，我們知道做預(yù)測(cè)分析的模型基本大致有：時(shí)間回歸預(yù)測(cè)分析，傅里葉擬合，灰色模型預(yù)測(cè)，樣條插值外推，以及神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)等。而對(duì)于如何選擇合適的預(yù)算模型是本問題的關(guān)鍵。根據(jù)本文數(shù)據(jù)特點(diǎn)以及預(yù)測(cè)因子的數(shù)量，我們以灰色模型和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型分別預(yù)測(cè)，并將二者結(jié)果進(jìn)行比較分析與修正，最后得到精確的預(yù)測(cè)結(jié)果。模型三之灰色預(yù)測(cè)模型由于所搜

14、集到的數(shù)據(jù)量并不太大，為了體現(xiàn)數(shù)據(jù)的實(shí)效性，我們以2010年9月25以后的數(shù)據(jù)作為初始數(shù)據(jù)對(duì)2011年4、5月份的數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)，而灰色模型適合做短期預(yù)測(cè)，故我們采用模型各類食品價(jià)格進(jìn)行預(yù)測(cè)，具體步驟如下：構(gòu)造和預(yù)測(cè)步驟設(shè)已經(jīng)參考數(shù)據(jù)列為做一次累加生成數(shù)列其中。求均值數(shù)列即，于是建立灰微分方程為相應(yīng)的白化微分方程為（5）其中是發(fā)展灰度，是集中控制灰度由于，取為灰導(dǎo)數(shù)，為背景值，則將方（5）對(duì)應(yīng)的灰微分方程即矩陣的形式為其中,則由最小二乘法，求使得達(dá)到最小值的.于是求解方程（5）得根據(jù)以上操作步驟，我們利用matlab編程，可以得到通用的預(yù)測(cè)程序【見附錄】。由于本文篇幅有限，我們僅以在此展開花生油

15、的預(yù)測(cè)過程，其他食品預(yù)測(cè)結(jié)果見附表。預(yù)測(cè)實(shí)例：表？花生油的單位價(jià)格表序號(hào)月份單價(jià)序號(hào)年份單價(jià)12010/9/2512.55112011/1/513.422010/10/512.18122011/1/1512.8332010/10/1512.38132011/1/2513.4542010/10/2512.7142011/2/514.0852010/11/513.48152011/2/1513.5362010/11/1513.24162011/2/2513.0372010/11/2513.37172011/3/513.3382010/12/513.37182011/3/1513.2892010/1

16、2/1513.12192011/3/2513.2102010/12/2513.28第一步級(jí)比檢驗(yàn)建立花生油價(jià)格數(shù)據(jù)時(shí)間序列如下：（1）求級(jí)比（2）級(jí)比判斷由于所有的，故可以用作滿意的gm（1，1）建模。第二步 gm（1，1）建模1）對(duì)原始數(shù)據(jù)作一次累加，即 2）構(gòu)造數(shù)據(jù)矩陣及數(shù)據(jù)向量于是得到3）計(jì)算于是得到，4）建立模型，白化方程為取，得時(shí)間響應(yīng)函數(shù)5）求生成數(shù)列值及模型還原值：令由上面的時(shí)間響應(yīng)函數(shù)可算得，其中取由取，得第三步模型檢驗(yàn)花生油單價(jià)的各種檢驗(yàn)指標(biāo)值的計(jì)算結(jié)果見表4.3，經(jīng)驗(yàn)證，該模型的精度較高，不需要作殘差修正，可進(jìn)行預(yù)測(cè)和預(yù)報(bào)。序號(hào)時(shí)間原始數(shù)據(jù)模型值殘差相對(duì)誤差精度12010/

17、9/2512.550012.55000.00000.00000%22010/10/512.180013.18101.00100.07598%32010/10/1512.380013.18210.80210.06096%42010/10/2512.700013.18330.48330.03674%52010/11/513.480013.1844(0.2956)(0.0224)2%62010/11/1513.240013.1855(0.0545)(0.0041)0%72010/11/2513.370013.1866(0.1834)(0.0139)1%82010/12/513.370013.1877

18、(0.1823)(0.0138)1%92010/12/1513.120013.18880.06880.00521%102010/12/2513.280013.1900(0.0900)(0.0068)1%112011/1/513.400013.1911(0.2089)(0.0158)2%122011/1/1512.830013.19220.36220.02753%132011/1/2513.450013.1933(0.2567)(0.0195)2%142011/2/514.080013.1944(0.8856)(0.0671)7%152011/2/1513.530013.1955(0.3345)(0.0253)3%162011/2/2513.030013.19670.16670.01261%172011/3/513.330013.1978(0.1322)(0.0100)1%182011/3/1513.280013.1989(0.0811)(0.0061)1%192011/3/2513.200013.20000.00000.00000%平均精度2%根據(jù)所得灰色預(yù)測(cè)方程，我們得到4,5月