簡支梁在移動載荷作用下的最大剪力和最大彎矩

1、第 1 期 (總第 102 期)1999 年 3 月山 西 機 械sha n x i m a ch in er yn o 11m a r1簡支梁在移動載荷作用下的最大剪力和最大彎矩李英華1)摘要應用剪力圖、彎矩圖和代數(shù)二次函數(shù)極值的知識, 對簡支梁受移動載荷作用時的最大剪力和最大彎矩的計算方法進行了論證。關鍵詞: 材料力學 剪應力 彎矩中國圖書資料分類號: tb 301載荷平面彎曲的內力計算是材料力學非常重要的一部分內容。 計算梁橫截面的剪力 和彎矩時, 梁上載荷的位置都假設是固定的, 這在很多情況下是不符合實際的。 例如: 載 重卡車或火車過橋、 橋式起重機或龍門起重 機的起重小車在橫梁上運

2、動, 就是典型的移 動載荷的例子, 它們通過等距離的輪子傳遞 著載荷。 當載荷移動著經過梁時, 梁每一橫 截面上的剪力和彎矩的大小將發(fā)生變化。 那 么, 梁的最大剪力和最大彎矩的數(shù)值是多少, 移動載荷運行到梁上什么位置會產生最大剪件下, 將載荷向右或向左任一方向移動, 把兩邊的載荷輪換放到支座上計算反力大小,最大支座反力即為簡支梁截面的最大剪力,而此時移動載荷在梁上的位置即是產生最大 剪力的位置。2最大彎矩由彎矩圖可知, 簡支梁在集中載荷作用下的最大彎矩發(fā)生在集中載荷作用的載面。只需計算出每一個載荷下的最大彎矩值, 即可找到簡支梁的最大彎矩。 但由于載荷是移 動的, 載荷作用截面的彎矩在發(fā)生變

3、化, 下 面以簡支梁上承受三個距離不變的移動載荷 為例進行論證。簡支梁上的移動載荷見圖 1。力和最大彎矩,上的情況較多,作一敘述。1最大剪力由于移動載荷作用在簡支梁下面僅對簡支梁的上述問題由于簡支梁的截面最大剪力等于最大支座反力。 因此, 要確定最大剪力, 只需求出 最大支座反力即可。 但反力的大小是隨載荷 在梁上移動而發(fā)生變化的, 為確定支座反力, 必須考慮載荷的不同位置。 我們知道, 當載 荷作用在支座上時, 支座反力最大。 對于移 動載荷, 在保證載荷間的距離不能改變的條圖 1 簡支梁上的移動載荷f 為其合力。支座反力r a =f 2 到梁中點的距離 d 1 為f (l - x - l)

4、l l - l- s 1l ,(x + s 1 ) = 2 -d 1 = 2 -lf (x + l)2l- s 1。r b =s 1 =,l2211f 1 作用截面的彎矩考慮 f 1 左邊梁的截面, 其彎矩為f 到梁中點的距離 d 2 為l - l- s 1l l d 2 = ( l+ x )-=l +-=222 (l - x - l)m 1 = r a ·x = ff x = -·l- s 1。ll2即當 f 2 作用截面處有最大彎矩時, f 2和 f 到梁中點的距離相等。(l - l)x 。x 2 + f(1)l由于l 、f、 l 是常數(shù), 所以, 這是一個二次函數(shù)。由

5、代數(shù)二次函數(shù)可知, y = a x 2 + bx作用截面的彎矩213f 3b 處,+ c 中,大值。若 a < 0,則在 x = -函數(shù)有極考慮 f 3右邊梁的截面, 其彎矩為2a (x + l)fm 3 = r b (l -x - s 1 - s 2 ) =·lf < 0, 所以m 1在式 (1) 中, 因為 a = -有極大值存在, 且此時()經化簡得:l -x -s 1 - s 2 ,lff m 3 = -x 2 +(l - l-s 1 - s 2 ) x +lls 1 -f(l -l)= l -x = -b = -ll ,f l合力 f(l -s 2 )。(3)f

6、 < 0, 所以,2a2 f2l-l在式 (3) 中,m 3 有極大值存在,因為 a = -且此時l= l -l + l= l +l。l到 r a 的距離為 x +22很明顯, 當 f 1 作用截面處存在有最大彎矩時, 梁的中點在載荷 f 1 和所有載荷的合力f 中間, 即 f 1 和 f 到梁中點的距離相等。f(l -l-2 )ss1blx =-= -=2af-2 lf 2 作用截面的彎矩考慮 f 2 左邊梁的截面,212l - l- s 1 -s 2。其彎矩為-f 1 · s 12f 3 到梁中點的距離 d 3 為( xs 1 )l)m 2 = r a+=l l - l-

7、s 1 - s 2f (l - x -d 3 =x + s 1 + s 2 -=+(x + s1 )-1 ,f s221ll s 1 + s 2 - l 。經化簡得:m 2 = -s 1 + s 2 -=22f x 2 +ff 到梁中點的距離 d 4 為(l -s 1 )l-x +lll - l- s 1 - s 2l l f l )。d 4 =2 -x - l=2 -s 1 (f - f 1 -(2)2ls 1 + s 2 - lf < 0,l=在式 (2) 中,因為 a = -所以,2l即當 f 3 作用截面存在最大彎矩時, f 3 和 f到梁中點的距離相等。由以上論證可得, 當載荷

8、作用處產生最 大彎矩時, 梁的中點到該載荷和所有載荷的 合力的距離相等。盡管只考慮了三個載荷, 但b =m 2 有極大值存在,且此時 x = -2af(l - l- s 1 )= l -l-ls 1。-22 f-l© 1994-2013 china academic journal electronic publishing house. all rights reserved. ki.ne引出的結論是普遍的, 并能應用于任何多個的移動載荷中。該定理可敘述如下: 在一組移動的集中 載荷的任一載荷下產生最大彎矩時, 該載荷 到梁中點的距離等于所有載荷的合力到梁中 點的距離。計算梁的最大

9、彎矩時, 應將每一個移動 載荷放置在產生最大彎矩的位置上來確定最 大彎矩, 所求出數(shù)值中的最大值, 即為整個 梁的最大彎矩。3應用舉例已知: f 1 = 40kn , f 2 = 20kn , 兩個載荷 間隔為 3m , 滾過 10m 長的梁, 產生最大剪力 和彎矩時載荷的位置見圖 2。試求: 最大剪力, 最大彎矩。311求最大剪力最大彎矩位置, 此時, 梁中點到 f 和 f 2 的距離均為 1m 。由m b = 0,r a ×10+支座反力:-a40×7+ 20×4= 0, 得 r a = 36kn 。f 2 作用截面的最大彎矩 (kn ·m ) :m

10、 2 = 36×6- 40×3= 96。由 于 m 1 > m 2 , 故 梁 的 最 大 彎 矩 m m ax =12115kn ·m , 載荷作用位置如圖 2 (c) 所示。圖 2 (a) 為 f 1 作用在a 支座上, a支座反力具有最大值, 此時a 支座反力 (kn ) 為7×20= 54。r a = 40+10圖 2 (b ) 為 f 2 作用在b 支座上, b 支座反力具有最大值, 此時b 支座反力 (kn ) 為7×40= 48。由于 r a > r b ,因r b = 20+10此,梁的最大剪力q m ax = 54

11、kn ,載荷作用位置見圖 2(a)所示。312求最大彎矩求合力位置: 設合力到 f 1 作用點距離為則:f 2 ×3- f ·l= 0l,l= f 2 ×3= 20×3= 1(m )60f圖 2 (c) 為移動載荷在 f 1 作用截面產生最大彎矩位置, 此時, 梁中點到 f 1 和 f 的距 離均為 l2, 即 015m 。由m b = 0,r a ×10a 處支座反力:-+ 40×415+ 20×215= 0, 得: r a = 27kn 。f 1 作用截面的最大彎矩 (kn ·m ) :m 1 = 217

12、15;415= 12115。圖 2 (d) 為移動載荷在 f 2 作用截面產生圖 2 產生最大剪力和彎矩時載荷的位置( 收稿日期: 1998210230; 英文摘要見第 23 頁)3 結論本算法從原理上提高了解題精度, 降低 了計算機時。 當問題的邊界條件可用不多幾個付立葉項表示時, 這種算法較三維算法有 較多的優(yōu)點, 否則情況就不同了。 實際工程 中的拉、 彎、 扭問題用本算法是非常好的。參 考 文 獻r izzo f j 1a n in teg ra l equa t io n app ro ach to1bo unda ryva lauep ro b lemo fc la ssica l

13、e la sto sta t ic s1q ua r te r ly o f a pp l m a th ,19671252 r b p e te r so n1 設計中的應力集中系數(shù) 1 劉純仆譯 1 北京: 機械工業(yè)出版社, 1965131 953 于 軍 1 用邊界元法進行受彎回轉體形狀優(yōu)化 設計 1 碩士論文1 太原: 太原工業(yè)大學, 1990( 收稿日期: 1998208220)圖 4 減速器軸分多鐘 cp u , 優(yōu)化完畢約 25 分鐘 cp u。shape o p t im iza t ion an d cad of a x isymm e tr icbod ie s un de

14、r ben d in g by m ean s ofboun dary e lem en t m e thod (bem )y u y on gq in g y u jun sh i d af ua bstrac t:3 -1 -d bo unda ry in teg ra l equa t io n fo r ax isymm e t r ic bo dy can be reduced tod in po la rcoo rd ina te s1t h is is benef ic ia l to cu t t ing dow n th e co st o f eng inee r ing

15、ca lcu la t io n1t h e b em fo rm u la t io n and num e r ica l im p lem e ta t io n fo r th e e la st ic st re ss ana ly sis o f an ax isymm e t r ic bo dy sub jec ted to bend ing a re g iven 1key words: bem stre ss ana ly s is ben d in g o p t im iza t ion d e s ign a x isymm e tr ic bod ie s(上接第

16、19 頁)the m ax im um shear force an d them ax im um ben d in g m om en t of freebeam un der the fun c t ion of m ov in g l oadl i y in ghuaa bstrac t: b y m ak ing u se o f th e k now ledge o f sh ea r fo rce cu rve, bend ing m om en t cu rve, a lgeb ra, quad ra t icfunc t io n and ex t rem e va lue, th is a r t ic le m ak e s a d iscu ssio n o n ca lcu la t ing th e m ax im um sh ea r fo rce and th e m ax